文档内容
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十二
知识点一 根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,椭圆中的直线过定点
问题
典例1、已知椭圆C： 过点 ．右焦点为F，纵坐标为 的点M在C上，
且AF⊥MF．
（1）求C的方程；
（2）设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于
点Q，证明：直线PQ过定点．
随堂练习：已知点 ，圆 ，点 在圆 上运动， 的垂直平分线交 于点 ．
（1）求动点 的轨迹 的方程.
（2）动点 的轨迹 与 轴交于 ， 两点 在 点左侧 ，直线 交轨迹 于 ， 两点 不在
轴上 ，直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ，求证：直线 过定点．典例2、已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴， 轴，且过 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2） 为椭圆 的右焦点，直线 交椭圆 于 （不与点 重合）两点，记直线 的斜率分
别为 ，若 ，证明： 的周长为定值，并求出定值.
随堂练习：已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，且焦距长为2，过 且斜率为
的直线与椭圆 的一个交点在 轴上的射影恰好为 .（1）求椭圆 的方程；
（2）如图，下顶点为 ，过点 作一条与 轴不重合的直线，该直线交椭圆 于 两点，直
线 分别交 轴于 ， 两点， 为坐标原点.求证： 与 的面积之积为定值，并
求出该定值.
典例3、如图，已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；（2）过左焦点 且斜率为正的直线 与椭圆 交于 、 两点，过点 、
分别作与直线 垂直的直线，交 轴于 、 两点，求 的最小值.知识点二 根据椭圆过的点求标准方程,根据韦达定理求参数
典例4、已知椭圆 ，其长轴长为短轴长的 倍，且两焦点距离为2，点 .
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P的直线交椭圆 于M､N两点，O为坐标原点，求 面积的最大值，并求此时直线的方
程；
（3）已知斜率为k的直线l交椭圆 于A､B两点，直线 ､ 分别交椭圆于C､D，且直线 过点，求k的值.
随堂练习：已知椭圆 过点 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设 ，直线l与椭圆C交于 两点，且 ，当 （O为坐标原点）的面积S
最大时，求直线l的方程．
典例5、已知椭圆 的离心率为 ，椭圆C与y轴交于A，B两点，且 ．
（1）求椭圆C的方程．（2）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线 分别交于M，N两
点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及 的最大值．
随堂练习：已知焦点在 轴上，中心在原点，离心率为 的椭圆经过点 ，动点 （不与定
点
重合）均在椭圆上，且直线 与 的斜率之和为1， 为坐标原点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）求证直线 经过定点；
（3）求 的面积 的最大值典例6、在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率 ，且椭圆C上一点
N到 距离的最大值为4，过点 的直线交椭圆C于点A、B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足 （O为坐标原点），当 时，求实数t的取值范
围.
随堂练习：已知M，N分别是x轴，y轴上的动点，且 ，动点P满足 ，设点P
的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）直线 与曲线C交于A，B两点，G为线段AB上任意一点（不与端点重合），斜率为k的直线 经过点G，与曲线C交于E，F两点．若 的值与G的位置无关，求k的值．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十二答案
典例1、答案： （1） （2）过定点 ；证明过程见详解
解：（1）设点 ，其中 ，则 ，
因为椭圆 过点 ，则 ，
将点 的坐标代入椭圆 的方程得 ， 所以 ，解得 ，
因此椭圆 的标准方程为 ；
（2）设点 ， 则 ，所以直线 的垂线的斜率为 ，
由题可知 ，故直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，所以直线 的方程为 ，
即 ，
因为 ，所以 ， 所以 ，
所以 ， 所以直线 过定点 ．
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）圆 的圆心为 ，半径为 ，
依题意得 ， 则动点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
其中 ， ， ， 所以动点 的轨迹 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ， ， ，
则由 得 ，由根与系数的关系得 ①，
由题意 ， 两点不在 轴上，所以 ， ， ，
又点 ， ， 所以 ， ，由 得 ，
从而由已知 得 ，即 ②，
又 ， ③，
将③代入②得 ，
将①代入上式并整理得： ．
，
整理得 ， ，直线 的方程为 ， 故直线 恒过定点 .
典例2、答案： （1） （2）证明见解析，定值为
解：（1）由已知设椭圆 方程为： ，
代入 ，得 ， 故椭圆 方程为 .
（2）设直线 ，
由得： ， ，
又 ，
故
，
由 ，得 ，
故 或 ，
①当 时，直线 ，过定点 ，与已知不符，舍去；
②当 时，直线 ，过定点 ，即直线 过左焦点，
此时 ，符合题意.
所以 的周长为定值 .
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析，定值为
解：（1）由题意， ， ，故过 且斜率为 的直线的方程为 ，
令 ，得 ，由题意可得 ，解得 ， ．求椭圆 的方程为 ；
（2）证明：由题意知，直线 的斜率存在，设直线 ，
， ， ， ， 联立 ，得 ．
， ， 由 ，得 ，
，
，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
则 ， ，同理可得 ， ，
典例3、答案：（1） ；（2）最小值是 .
解:（1）由题意 ，解得 ，因此，椭圆 的标准方程为 ；
（2）设点 、 ，设直线 的方程为 ，由 得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
直线 的方程为 ，令 得 ，
同理 ， 所以 ，
令 ，则 ，
当且仅当 时，即当 时， 取最小值 .
典例 4、答案： （1） ； （2） 面积的最大值为 ，直线的方程为：
或 ； （3）
解：（1）由题知，其长轴长为短轴长的 倍，且两焦点距离为2
则 ， ，又 解得： ，
椭圆的方程为：
（2）由椭圆的方程知，当过点P的直线斜率不存在时，直线与椭圆无交点，
所以直线的斜率存在，设过点P的直线的斜率为
则直线的方程为： ， ，由（1）可得椭圆的方程为：
联立直线方程与椭圆方程： 得：
解得： ，即 ，
设点 到直线的距离为 ，则
令 且 得： ，当且仅当 ，即 时取等号 此时， ，即
所以 面积的最大值为
直线的方程为： 或
（3）设 ， ，由题意知，直线 的斜率不为 ，
则直线 的方程为：
由（1）知椭圆方程为
联立直线 与椭圆的方程： ， 得
所以 即
所以 同理可得： ，设 ，则 即
化简得： 即 所以直线l的斜率为
随堂练习：答案： （1） ； （2） 或
解：（1）因为椭圆 过点 ，且离心率为 ，
所以 ，解得 ， 所以椭圆 的方程为 ；
（2）显然，直线 的斜率 存在，
①当 时，可设直线 的方程为 由 可设 ，
则 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时直线 的方程为 ；
②当 时，可设直线 的方程为 即 ， ，
联立 ，消去 整理得 ，由 ，得 （*），则有 ，
于是可得 的中点为 即 ，
因为 ，所以 ，化简得 ，
结合（*）可得 解得 ，
又 到直线 的距离为
所以 ， 即 ，
所以，当 时， 取最大值，
此时由 可得 ，直线 的方程为 ，
综上所述，直线 的方程为 或 .
典例5、答案：（1） （2）横坐标的取值范围为 ， 的最大值为2
解：（1）由题意，可得 ， ，得 ，解得： ．
椭圆C的标准方程为 ．
（2）解法1：设点P的坐标为 ，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为 ．
∴ ，直线PA的方程为 ，同理：直线PB的方程为 ．
直线PA与直线 的交点为 ；
直线PB与直线 的交点为 ．
∵线段MN的中点坐标为 ， ∴圆的方程为 ．
令 ，则 ．
∵ ，∴ ， ∴ ．
∵这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解， ∴ ，解得 ．
设交点坐标分别为 ， ，则 ．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法2：设点P的坐标为 ，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为 ．
∴ ，直线PA的方程为 ，
同理：直线PB的方程为 ．
直线PA与直线 的交点为 ；
直线PB与直线 的交点为 ．若以MN为直径的圆与x轴相交，则 ，
即 ，即 ．
∵ ， ∴ ，代入得到 ，解得 ．
该圆的直径为 ；
圆心到x轴的距离为 ；
该圆在x轴上截得的弦长为 ．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法3：设点P的坐标为 ，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为 ．
∴ ，直线PA的方程为 同理：直线PB的方程为 ．
直线PA与直线 的交点为 ；
直线PB与直线 的交点为 ．
∴ ．
圆心到x轴的距离为 ．若该圆与x轴相交，则 ，即 ．
∵ ，∴ ，∴ ，解得 ．
该圆在x轴上截得的弦长为 ．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法4：记点D的坐标为（2，0），点H的坐标为（4，0），设点P的坐标为 ，
点M的坐标为 ，点N的坐标为 ．
由已知可得点A的坐标为（0，1），点B的坐标为 ．
∴AP的直线方程为 ，BP的直线方程为 ．
令 ，分别可得 ， ．
∴点M的坐标为 ，点N的坐标为 ．
若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，
∵ ， ∴ ．
．
∵ ， ∴ ，代入得到 ，
∴ ． ∴ ．∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法5：设直线OP与 交于点T．
∵ 轴， ∴有 ， ．
∴ ， ，即T是MN的中点．
又设点P的坐标为 ，则直线OP方程为 ．
令 ，得 ，∴点T的坐标为 ．
而 ，若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，
则 ，即 ．
∵ ，∴ ， ∴ ，解得 或 ．
∵ ，∴ ， ∴ ．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
随堂练习：答案：（1） ；（2） ；（3） ．
解:（1）设椭圆 （ ）的离心率为 ，
可知 ，又因为 ，所以 ．由定点 在椭圆上可得 ，故 ， ．
所以椭圆 的方程为 ．
（2）当直线 与 轴垂直时，设 （ ），则 ．
由题意得： ，即 ．所以直线 的方程为 ．
当直线 不与 轴垂直时，可设直线 为 ， ， ，
将 代入 得 ．
所以 ， ．
由直线 与 的斜率之和为1可得 ①，
将 和 代入①，
并整理得 ②，
将 ， 代入②， 并整理得 ，
分解因式可得 ，
因为直线 ： 不经过点 ，所以 ，故 ．
所以直线 的方程为 ，经过定点 ． 综上所述，直线 经过定点 ．（3）由（2）可得： ， ．
因为坐标原点 到直线 的距离为 ，
所以 的面积 （ ）．
令 ，则 ，且 ，
当且仅当 ，即 时， 的面积 取得最大值 ．
典例6、答案： （1） ；（2） 或 .
解:（1）椭圆C的半焦距c， ，即 ，
则椭圆方程为 ，即 ，设 ，
则 ，
当 时， 有最大值 ，即 ，解得 ， ，
故椭圆方程是 ；
（2）设 ， ， ，直线AB的方程为 ，由 ，整理得 ，
则 ，解得 ， ， ，
因 且 ，则 ，
于是有 ，化简，得 ，
则 ，即 ， 所以 ，
由 得 ，则 ，
，
而点P在椭圆上，即 ，化简得 ，
从而有 ，而 ，
于是得 ，解得 或 ，
故实数t的取值范围为 或 .
随堂练习：答案： （1） （2）解：（1）设 ， ，则 ．
设 ，则 ， ．
由题意，得 解得
所以 ，化简得 ，
即曲线C的方程为 ．
（2）由题意并结合（1）易知（不妨设点A在第一象限内）， ， ．
设点 ，其中 ，则 ， ，
所以 ．
因为斜率为k的直线 经过点G，所以直线 的方程为 ．
将直线 的方程代入曲线C的方程化简、整理，
得： ．
设 ， ，则 ， ，
所以
，所以 ．
因为 的值与m的值无关，
所以 ，解得 ．
