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2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时三
知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题
典例1、已知椭圆 经过点 和点 ．
（1）求椭圆 的标准方程和离心率；
（2）若 、 为椭圆 上异于点 的两点，且点 在以 为直径的圆上，求证：直线 恒过定点．
随堂练习：已知椭圆 过点 ，且离心率为 ．
（1）求该椭圆的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，过该点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，
使得 为定值？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由.典例2、已知椭圆 经过点 ，其右顶点为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 、 在椭圆 上，且满足直线 与 的斜率之积为 ，证明直线 经过定点．
随堂练习：已知F是椭圆 的左焦点，焦距为4，且C过点 ．
（1）求C的方程；
（2）过点F作两条互相垂直的直线l，l，若l与C交于A，B两点，l与C交于D，E两点，记AB
1 2 1 2
的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，
请说明理由．典例3、已知 为椭圆 上任一点， ， 为椭圆的焦点， ，离心率为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 ： 与椭圆的两交点为A， ，线段 的中点 在直线 上， 为坐
标
原点，当 的面积等于 时，求直线 的方程．
随堂练习：已知椭圆 的对称中心为原点 ，焦点在 轴上，左、右焦点分别为 ， ，且 ，点 在该椭圆上．
（1）求椭圆 的方程； （2）过 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，若 的面积为 ，求
以 为圆心且与直线 相切的圆的方程．
知识点二 根据双曲线的渐近线求标准方程,求双曲线中的弦长,由中点弦坐标或中点弦方程、
斜率求参数,根据韦达定理求参数
典例4、已知双曲线C的两焦点在坐标轴上，且关于原点对称.若双曲线C的实轴长为2，焦距为 ，
且点P（0，-1）到渐近线的距离为 .
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A、B，交双曲线C的两条渐近线于点D、E
（D在y轴左侧）.记 和 的面积分别为 、 ，求 的取值范围.随堂练习：双曲线 的中心在原点 ，焦点在 轴上，且焦点到其渐近线 的距离为2．
（1）求双曲线 的标准方程； （2）过点 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 ， 两
点，与其渐近线分别交于 ， （从左至右）两点． ①证明： ；
②是否存在这样的直线 ，使得 ，若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
典例5、已知两定点 ,满足条件 的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1
与曲线E交于A,B两点,
(1)求k的取值范围;
(2)如果 ,且曲线E上存在点C,使 ,求m的值和 的面积S．典例6、已知双曲线 ： 的一条渐近线方程为 ，焦点到渐近线的距离为
1．
（1）求双曲线 的标准方程与离心率；（2）已知斜率为 的直线 与双曲线 交于 轴上方的A，
两点， 为坐标原点，直线 ， 的斜率之积为 ，求 的面积．随堂练习：在平面直角坐标系中 中，已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，
过焦点垂直于实轴的弦长为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）若直线 与双曲线 交于两点 ，且 ，若 的面积为 ，求直线 的方程.
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时三答案
典例1、答案：（1）椭圆 的标准方程为 ，离心率为 （2）证明见解析
解：（1）将点 、 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，解得 ，则 ，所以，椭圆 的标准方程为 ，离心率为 .
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
，同理可得 ，
由已知 ，则
，
所以， ，即 ，解得 或 .
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过点 ，不合乎题意；
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过定点 ，合乎题意；
②当直线 轴，则点 、 关于 轴对称，所以， ， ，即点 ，
由已知 可得 ， ， ，由已知 ，
则 ，所以， ，因为 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，则直线 过点 . 综上所述，直线 过定点 .随堂练习：答案：（1） （2）存在，
解：（1） ， ，椭圆 ，将 代入可得 ，故 ，
椭圆方程为： ；
（2）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为 ， ， ， ，
联立方程可得： ，
， ， 为常数，
代入韦达定理可知 ，即 为常数，
，故
且 ，直线l过定点
当直线l斜率为0时，可检验 也成立，故存在定点 .
典例2、答案：（1） （2）证明见解析解：（1）由题意可知， ，将点 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，可得 ，
因此，椭圆 的方程为 .
（2）证明：若 轴，则点 、 关于 轴对称，则直线 与 也关于 轴对称，
从而直线 与 的斜率互为相反数，不合乎题意.
设直线 方程为 ，设点 、 ，
联立 ，可得 ， ，可得
，
由韦达定理可得 ， ，因为 ，
整理可得 ，
即 ，化简得 ，
即 ，可得 或 .
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过点 ，不合乎题意；
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过定点 ，合乎题意.
随堂练习：答案：（1） （2） 过定点，定点坐标为
解：（1）依题意 ， 由 解得 ， 所以椭圆 的方程为 .
（2）由题意知，当 其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为 ，此时直线 为 轴；当 的斜率都存在且不为 时，设 ，
设 ，联立 ，整理得 ，
， ，
则 ， 所以 的中点 ，
同理由 ，可得 的中点 ， 则 ，
所以直线 的方程为 ，
化简得 ，
故直线 恒过定点 ． 综上，直线 过定点 .
典例3、答案：（1） （2） 或
解：（1）由椭圆定义得 ， ，所以 ，故 ， 所以椭圆的方程为 ．
（2）设 代入方程 ， 得
所以 ， ， 所以 ，解得 ，
则 式变为 则 ，
底边 上的高 ，所以 的面积 ．令 ，解得 ， 把 ， 代入 式，经检验，均满足 ，
此时直线 的方程为 或 ．
随堂练习：答案：（1） ； （2） .
解：（1）由题意知 ，所以 ， ， 所以，由椭圆定义知：
，
则 ， ， 故椭圆 的方程为 ．
（2）①当直线 轴时，令 ，可得 ，解得 ，
可取 ， ，此时 的面积 ，与题设矛盾，舍去．
②当直线 与 轴不垂直时，
设直线 的方程为 ，代入椭圆方程得 ，
成立，
设 ， ，则 ， ，
可得 ． 又圆 的半径 ，
∴ 的面积为 ， 化简得 ，解得 ，
∴ ， ∴圆 的方程为 ．
典例4、答案： （1） ；（2） .
解:（1）由 ， 知 ， ， ，故双曲线C的方程为 或 .
由点 到渐近线的距离为 ，知双曲线方程为 .
（2）设l： ， ， .
由 可得 ；由 可得 .
由 得 ，∴ ， .
∴ .
由 和 的高相等，可 ， 由 得 ，
所以 ， .
随堂练习：答案： （1） ；（2）①见详解；② .
详解:（1）因为双曲线C的渐近线为y＝±2x， 由双曲线的焦点在x轴上时，则双曲线 ，
渐近线的方程为 ，焦点F（±c，0）， 所以 解得a＝1，b＝2，
所以双曲线的方程为 ；
（2）①由（1）知双曲线的方程为 ， 其渐近线的方程为y＝±2x，设直线l：y＝kx+2，
因为直线l交C双曲线的左右两支分别于A，B，所以﹣2＜k＜2，联立 ，得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8＝0，
设A（x，y），B（x，y）， 所以x+x＝ ，xx＝ ，
1 1 2 2 1 2 1 2
联立 ，解得x＝ ，y＝ ，则M（ ， ），
联立 ，解得x＝ ，y＝ ，则N（ ， ），
所以|AM|＝ ，|BM|＝ ，
所以|AM|2﹣|BN|2＝（1+k2）[（x﹣ ）2﹣（x+ ）2]
1 2
＝（1+k2）[（ ﹣x﹣ ）2﹣（x+ ）2]＝（1+k2）[（﹣ ﹣x）2﹣（x+ ）
2 2 2 2
2]
＝（1+k2）[（ +x）2﹣（x+ ）2]＝0， 所以|AM|＝|BN|．
2 2
②由 共线，可得 ，
由①可得 ，
解得 ，所以 符合题意， 所以直线 的方程为 .
典例5、答案：（1） ；（2） ，面积为 .
解：（1）由双曲线的定义可知，曲线 是以 为焦点的双曲线的左支，
且 ，得 ， 故曲线 的方程为 ；
设 ，由题意建立方程组 ，
消去 ，得 ，又直线与双曲线左支交于两点 ，有 ，解得 ，
（2） ，
依题意得 ，整理后得 ，
∴ 或 ，但 ∴ ， 故直线 的方程为 ，
设 ，由已知 ，得 ，
∴ ，
又 ， ∴点 ，
将点 的坐标代入曲线 的方程，得 得 ，
但当 时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，
∴ ，点的坐标为 ， 到 的距离为 ，
∴ 的面积 .
典例6、答案： （1） ，离心率为 （2）
解：（1）由题意知焦点 到渐近线 的距离为 ， 则
因为一条渐近线方程为 ，所以 ， 又 ，解得 ， ，所以双曲线 的标准方程为 ， 离心率为 ．
（2）设直线 ： ， ， ， 联立
则 ， 所以 ，
由
解得 或 （舍去）， 所以 ，
： ，令 ，得 ，
所以 的面积为
随堂练习：答案： （1） （2） 或
解：（1）过C的焦点垂直于实轴的弦长为6，将 代入双曲线，得 ，则 ①，
又C的一条渐近线方程为 ，则 ②， 由①②解得 ， ，
所以双曲线C的方程为 ．
（2）显然，当直线OA斜率为0或不存在时均不符合题意．
当直线OA斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则方程为 ．
联立 ，整理得 ，于是得则 ，同理可得 ，
因为 整理得 ，解得 ．
即 或 （满足 ）．
考虑到 ，只需分以下两种情形：
①当OA、OB的斜率为 、 时，
结合 得 或 ，
同理可得 或 ，
于是由点 、 ，据直线的两点式方程并化简可得AB方程 ，
同理可得AB的方程为 或 或 ．
②同理，当OA、OB的斜率为 、 时，
直线AB的方程为 ，或 或 或
综上，直线AB的方程为 或
