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2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时六
知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题
典例1、已知椭圆 的长轴长为 ，且经过点 .
（1）求C的方程；（2）过点 斜率互为相反数的两条直线 ， 分别交椭圆C于A，B两点（A，
B在x轴同一侧）.求证：直线 过定点，并求定点的坐标.
随堂练习：已知椭圆 ： 过点 ，过右焦点 作 轴的垂线交椭圆于 ， 两
点，且 .
（1）求椭圆 的标准方程； （2）点 ， 在椭圆 上，且 .证明：直线 恒过定点.典例2、已知椭圆 经过点 和点 ．
（1）求椭圆 的标准方程和离心率；
（2）若 、 为椭圆 上异于点 的两点，且点 在以 为直径的圆上，求证：直线 恒过定点．
随堂练习：已知椭圆 过点 ，且离心率为 ．
（1）求该椭圆的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，过该点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，
使得 为定值？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由.典例3、如图，已知椭圆 ： 经过点 ，离心率为 .点 ，以 为
直径作圆 ，过点M作相互垂直的两条直线，分别交椭圆 与圆 于点A，B和点N.
（1）求椭圆 的标准方程； （2）当 的面积最大时，求直线 的方程.
随堂练习：已知椭圆C的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，过点 且与x轴垂直的直线与椭圆C
在第一象限交于点P，且 的面积为 ．（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点 的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E， 轴，过点S的另一直线与
曲线C交于M，N两点，若 ，求 所在的直线方程．
知识点二 求抛物线的切线方程,由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数,根据焦点或准线写出抛
物线的标准方程
典例4、如图，设 为 轴的正半轴上的任意一点， 为坐标原点.过点 作抛物线
的两条弦 和 ， ､ 在 轴的同侧.
（1）若 为抛物线 的焦点， ，直线 的斜率为 ，且直线 和 的倾斜角互补，
求 的值；
（2）若直线 ､ ､ ､ 分别与 轴相交于点 ､ ､ ､ ，求证： .随堂练习：已知抛物线 ，点 为其焦点， 为 上的动点， 为 在动直线
上的投影.当 为等边三角形时，其面积为 .
（1）求抛物线 的方程；（2）过 轴上一动点 作互相垂直的两条直线，与抛物线 分别
相交于点A，B和C，D，点H，K分别为 ， 的中点，求 面积的最小值.
典例5、已知抛物线 ，过其焦点F的直线与C相交于A，B两点，分别以A，B为切点作C的
切线，相交于点P．
（1）求点P的轨迹方程；（2）若PA，PB与x轴分别交于Q，R两点，令 的面积为 ，四边形
PRFQ面积为 ，求 的最小值．随堂练习：已知抛物线 的焦点为F，且F与圆 上点的距离的最大值为5.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求 面积的最大值.
典例6、已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，交y轴于P
点，点N位于点M和点P之间.
（1）若 ，求直线l的斜率；（2）若 ，证明： 为定值.随堂练习：已知抛物线 的焦点为 ．
（1）如图所示，线段 为过点 且与 轴垂直的弦，动点 在线段 上，过点 且斜率为1的直线
与抛物线交于 两点，请问 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明
理由；
（2）过焦点 作直线 与 交于 两点，分别过 作抛物线 的切线，已知两切线交于点
，求证：直线 ､ 、 的斜率成等差数列．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时六答案
典例1、答案：（1） ；（2）证明见解析， .
解:（1）由题意得 ，得 ，所以椭圆方程为： ，将 代入椭圆方程得： ，解得 ， 故椭圆C的方程为
（2）证明：由题意可知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立 ，得 .
设A，B的坐标分别为 ， 则 ，
且 ， 因为直线 ， 斜率互为相反数，即 ，
所以 ，则 ， 即 ，
即 ， 所以 ，化简得 ，
所以直线 的方程为 ， 故直线 过定点
随堂练习：答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由已知得当 时， ， 又因为椭圆过点 ，则 ，
联立解得 ，故椭圆 的标准方程为 ；
（2）证明设点 ， ， 因为 ，即 ，
即 .* 当直线 的斜率存在时，设直线方程为 .
代入椭圆方程消去 得 ， ， ， ，
根据 ， .代入*整理， 得 ，结合根与系数的关系可得， .
即 ， 当 时，
直线方程为 .过点 ，不符合条件.
当 时，直线方程为 ， 故直线 恒过定点 .
当直线 的斜率不存在时，令点 ， 此时 ，
又 .可得 （舍去）或 . 当 时，与点 重合，与已知条件不符，
∴直线 的斜率一定存在，故直线 恒过定点 .
典例2、答案：（1）椭圆 的标准方程为 ，离心率为 （2）证明见解析
解：（1）将点 、 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，解得 ，则 ，
所以，椭圆 的标准方程为 ，离心率为 .
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
，同理可得 ，
由已知 ，则，
所以， ，即 ，解得 或 .
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过点 ，不合乎题意；
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过定点 ，合乎题意；
②当直线 轴，则点 、 关于 轴对称，所以， ， ，即点 ，
由已知 可得 ， ， ，由已知 ，
则 ，所以， ，因为 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，则直线 过点 . 综上所述，直线 过定点 .
随堂练习：答案：（1） （2）存在，
解：（1） ， ，椭圆 ，将 代入可得 ，故 ，
椭圆方程为： ；
（2）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为 ， ， ， ，联立方程可得： ，
， ， 为常数，
代入韦达定理可知 ，即 为常数，
，故
且 ，直线l过定点
当直线l斜率为0时，可检验 也成立，故存在定点 .
典例3、答案：（1） （2）
解：（1）将点 代入 得， ， 又 ， ，得 ，
所以 ， ，即 .
（2）因为 ，设直线 的方程为 ，设 ， ，
联立 ，得 ， 且 ，则 ， ，
则 ，且 ， 直线 的方程为 ，即 ，
则圆心 到直线 的距离为 ， ∴ ，∴ 面积 ，
当且仅当 时，取到等号，此时 ， 所以直线 的方程为 .
随堂练习：答案： （1） （2） 或 .
解：（1）由题意知 ， ， 又 ，∴ ， ，
∴椭圆标准方程为 .
（2）∵ 轴，∴ ， 设 ，则 ，∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
设 ， ，则 ， ， ∴ .
①当直线 的斜率不存在时， 的方程为 ，此时∴ 不符合条件.
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立 得 .
得 ， ∴ ，即 ，解得 .
故直线 的方程为 或 .典例4、答案：（1） （2）证明见解析.
解：（1）根据题意， 为抛物线 的焦点，则 ，
由于直线 的斜率为 ，故直线 的方程为 ，
所以联立方程 得 ， 设 ，则 ，
因为直线 和 的倾斜角互补，所以 ， 因为 ，所以 ，
所以 ，解得 . 所以 .
（2）设 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为
设 ， 直线 与抛物线联立得 ，
所以 ， ，同理，直线 与抛物线联立得 ，
所以 ， ， 对于直线 ，由于 ，
所以 ，所以直线 方程为 ，
故令 得 ，即
同理得 ， ， ， 所以 ，
， 所以随堂练习：答案：（1） ； （2）16.
解：（1）抛物线 的焦点 ，准线 ，
为等边三角形，则有 ，而 为 在动直线 上的投影，则 ，
由 ，解得 ，设 ，则点 ，
于是由 得： ，解得 ，
所以抛物线 的方程为： .
（2）显然直线AB，CD都不与坐标轴垂直，设直线AB方程为： ，则直线CD方程为：
，
由 消去x并整理得： ，设 ，则 ，
于是得弦AB中点 ， ，同理得 ，
因此，直角 面积
，当且仅当 ，即 时取“=”，
所以 面积的最小值为16.
典例5、答案：（1） （2）2
解：（1）抛物线 的焦点 .由 得 ，∴ .设 ， ， ，由导数的几何意义可得： ， ，
∴ ，即 ，同理 ．
又P在PA，PB上，则 ，所以 ．
∵直线AB过焦点F，∴ ．所以点P的轨迹方程是 ．
（2）由（1）知 ， ，代入 得 ， 则 ，
则 ，
P到AB的距离 ，所以 ，
∵ ，当 时，得 ，
∴ ，∴ ，同理 ， ．
由 得 ，∴四边形PRFQ为矩形，
∵ ，∴ ，
∴ ，当且仅当 时取等号．∴ 的最小值为2．
随堂练习：答案： （1） （2）32
解：（1）由题意知， ，设圆 上的点 ，则 .所以 . 从而有 .
因为 ，所以当 时， .
又 ，解之得 ，因此 . 抛物线C的方程为： .
（2）切点弦方程 韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线C的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ，
设点 、 、 ，
直线 的方程为 ，即 ，即
同理可知，直线PB的方程为 ，
由于点P为这两条直线的公共点，则 ，
所以，点A、B的坐标满足方程 ， 所以，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ， 由韦达定理可得 ，
所以， 点P到直线AB的距离为 ，
所以， ，
∵ ，
由已知可得 ，所以，当 时， 的面积取最大值 .典例6、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）设 ，
因为过点 的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率存在，且不为0，
设直线l为 ， 联立 与 得： ，
则 ， ， 因为 ，所以 ，
故 ，解得： ，
当 时， ，此时 ，解得： ，
直线l的斜率为 ，满足点N位于点M和点P之间，
当 时， ，此时 ，解得： ，
直线l的斜率为 ，满足点N位于点M和点P之间，
综上：直线l的斜率为 ；
（2）设 ，
因为过点 的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率不为0，
设直线l为 ，令 得： ，故 ，
联立 与 得： ， 则 ， ，因为 ， 所以 ， ，
解得： ， ， 所以 ，
故 为定值-1.
随堂练习：答案： （1） 是定值;定值为4. （2）证明见解析.
解：（1）依题意知 ，将 代入 可得 ，
设 ，所以直线l的方程为 ，
联立方程 ，得： ,当 不满足题意舍去，
则 是定值.
（2）证明：依题意设直线 的方程为； ，设点 ,
联立方程 得： ， ， ，
又 ,点F坐标为 ,∴ ,
， ，
，
所以直线 ､ 、 的斜率成等差数列．
