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第6 讲 破解离心率问题之建立齐次式和几何化
参考答案与试题解析
一．选择题（共9 小题）
1．如图，在平面直角坐标系
中，
是椭圆
的右焦点，直线
与椭圆交于
，
两点，且
，则该椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设右焦点
，
将
代入椭圆方程可得
，
可得
，
，
，
，
由
，可得
，
即有
，
化简为
，
由
，即有
，
由
，可得
，
可得
，
故选：
．
2．如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
为椭圆上一点（在
轴上方），连结
并延长交椭圆于另一点
，且
，
若
垂直于
轴，则椭圆
的离心率为
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：设椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
设
，
，由
垂直于
轴可得
，
由
，可得
，
设
，由
，可得
，
，
解得
，
，
将
，
代入椭圆方程可得
，
即
，即有
，
则
，
故选：
．
3．设
，
分别是双曲线
的左、右焦点．圆
与
双曲线
的右支交于点
，且
，则双曲线离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：可设
为第一象限的点，且
，
，
由题意可得
，①
由双曲线的定义可得
，②
由勾股定理可得
，③
联立①②③消去
，
，可得：
，即
，
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则
，
故选：
．
4．如图，
，
分别是双曲线
的左、右焦点，点
是双曲线与圆
在第二象限的一个交点，点
在双曲线上，且
，则双曲线的离
心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
，
，
由
整理可得：
，
即
，
因为点
是双曲线与圆
在第二象限的一个交点，
所以
，
，
所以点
坐标为
，
设点
，则
，
，
由
可得
，所以
，
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因为点
在双曲线
上，所以
，
整理可得：
，
所以
，即
，
两边同时平方可得：
，
所以
，即
，
，
可得：
或
（舍，所以
，
故选：
．
5 ．设圆锥曲线
的两个焦点分别为
，
．若曲线
上存在点
满足
，则曲线
的离心率等于
A．
或
B．
或
C．2 或
D．
或
【解答】解：由题意可设：
，
，
．
当圆锥曲线
为椭圆时，
，
．
离心率
；
当圆锥曲线
为双曲线时，
，
，
离心率
．
综上可知，圆锥曲线
的离心率为
或
．
故选：
．
6．设
，
分别是椭圆
的左、右焦点，
轴，若
，
，
成等差数列，则椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
成等差数列，
，
由椭圆定义可得，
，
，
，
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，
，
可得
，
所以椭圆的离心率
；
故选：
．
7．如图，
，
分别是双曲线
的左、右焦点，点
是双曲线与圆
在第二象限的一个交点，点
在双曲线上，且
，则双曲线的离
心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
联立
，解得
，
在第二象限，
，
设
，则
，
，
由
，得
，
，
，
，
又
，
，
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化简得：
，即
，
解得：
或
（舍．
可得
．
故选：
．
8．如图，已知双曲线
上有一点
，它关于原点的对称点为
，点
为双曲线的右焦点，且满足
，设
，且
，则该双曲线离心
率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：在
中，
，
，
在直角三角形
中，
，可得
，
，
取左焦点
，连接
，
，可得四边形
为矩形，
，
，
，
，
，
故选：
．
9．已知在菱形
中，
，曲线
是以
，
为焦点，且经过
，
两点
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的椭圆，其离心率为
；曲线
是以
，
为焦点，渐近线分别和
，
平行的双曲
线，其离心率为
，则
A．
B．
C．1
D．
【解答】解：
，
，
设
，则
，
，
椭圆
是以
，
为焦点，且经过
，
两点的椭圆，
，
，得
，
则椭圆的离心率为
，
则双曲线
是以
，
为焦点渐近线分别和
，
平行的双曲线，
则双曲线中
，
的斜率
，即
，
则
，即
，得
，
则
，
则
，
故选：
．
二．多选题（共1 小题）
10．已知椭圆
，双曲线
．若双曲线
的两条渐
近线与椭圆
的四个交点及椭圆
的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结
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论正确的是
A．椭圆的离心率
B．双曲线的离心率
C．椭圆上不存在点
使得
D．双曲线上存在点
使得
【解答】解：椭圆
，双曲线
，
若双曲线
的两条渐近线与椭圆
的四个交点及椭圆
的两个焦点恰为一个正六边形的
顶点，
设椭圆的右焦点坐标
，则正六边形的一个顶点
，
对于
．将
代入椭圆方程，得：
，
结合
，可得
，因为
，解得
，故
正确；
对于
．把
代入双曲线的渐近线方程
不妨设
，
，得
，所以
，
则双曲线的离心率
，故
正确；
对于
．当
点是短轴的端点时，
最大，
由
，得
，又
，从而可得
，
，
所以
，则
，即
，所以
．
，故
错误；
对于
．当
点在实轴的端点时，向量
与向量
夹角为
，此时，
．
，
故
正确；
故选：
．
三．填空题（共9 小题）
11．已知椭圆
，双曲线
．若双曲线
的两条渐近线
与椭圆
的四个交点及椭圆
的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆
与双曲线
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的离心率之积为
．
【解答】解：不妨设
，
，可设椭圆的焦点坐标
，
，
正六边形的一个顶点
，
，
由
，即
，
解得椭圆的
；
双曲线的渐近线的斜率为
，即
，
可得双曲线的离心率为
．
即有椭圆
与双曲线
的离心率之积为
．
故答案为：
．
12．如图，在平面直角坐标系
中，
，
，
，
为椭圆
的四
个顶点，
为其右焦点，直线
与直线
相交于点
，线段
与椭圆的交点为
，
且
则该椭圆的离心率为
．
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【解答】解：直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立方程组
，解得
，
．
，
，
，
把
代入椭圆方程得：
，
即
，
化简得：
，
，
解得
或
（舍去）．
故答案为：
．
13 ．如图，在平面直角坐标系
中，已知
，
，
分别为椭圆
的右、下、上顶点，
是椭圆
的右焦点．若
，则
椭圆
的离心率是
．
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【解答】解：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
化为：
，
．
解得
，
故答案为：
．
14．如图，在平面直角坐标系
中，
为椭圆
的右焦点，
，
分
别为椭圆的上、下顶点，直线
与椭圆的另一个交点为
，且直线
的斜率为
，
则该椭圆的离心率为
．
【解答】解：由题意可得
，
，
，
由直线
的方程
代入椭圆方程
，
消去
，可得
，
，
即为
，
，
直线
的斜率为
，可得
，
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即有
，由
，可得
，
即
．
故答案为：
．
15．如图，在平面直角坐标系
中，点
位椭圆
的左顶点，点
、
在椭圆上，若四边形
为平行四边形，且
，则椭圆
的离心率等
于
．
【解答】解：
是与
轴重合的，且四边形
为平行四边形，
，
则
、
两点的纵坐标相等，
、
的横坐标互为相反数，
、
两点是关于
轴对称的．
由题知：
四边形
为平行四边形，则
，
可设
，
，
，
代入椭圆方程解得：
，
设
为椭圆的右顶点，由于
，四边形
为平行四边形，
则
，
对
点：
，解得
，
根据
得
，即有
，
，即
．
故答案为：
．
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16．已知
，
分别是双曲线
的左、右焦点，过
的直线与圆
相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点
，
，若
，则
该双曲线
的离心率为
．
【解答】解：法1（代数法）：因为与
相切，
所以直线斜率
，
由对称性不妨考虑
情形．
又双曲线
的渐近线方程为
，则垂直其中一条渐近线，
故与一渐近线的交点
，即为该渐近线与
在第二象限的交点，
可得
，如图，
设
中点为
，由
，
即
，则有
，又
，
故
，且
为
的中点，
所以
为
的中点，则
，
三等分
，
由
，得
，
由
在另一渐近线
上，
即有
，则
，
故离心率
．
法2（几何法）：设
，则
，
由题意易知
，
，
在
中，
，又
，
则有
，即
，
故离心率
．
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法3（参数方程法）：直线的参数方程为
为参数），
代入
，可得
对应的参数
又
对应的参数
，由
及与
相切，
可知
，即
，
则
，则有
，故离心率
．
故答案为：
．
17．已知
，
分别是双曲线
的左、右焦点，
是双曲线
的半
焦距，点
是圆
上一点，线段
交双曲线
的右支于点
，且有
，
，则双曲线
的离心率是
．
【解答】解：由
，
，可得
，
，
由双曲线的定义可得
，
在直角三角形
中，
，
在直角三角形
中，
，
即为
，
则
．
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故答案为：
．
18 ．设圆锥曲线
的两个焦点分别为
，
，若曲线
上存在点
满足
，则曲线
的离心率等于
或
．
【解答】解：
，
，
①若圆锥曲线
是椭圆，则
，
；
②若圆锥曲线
是双曲线，
则
．
故答案为：
或
．
19．已知双曲线
右支上有一点
，它关于原点的对称点为
，双曲
线的右焦点为
，满足
，且
，则双曲线的离心率
的值是
．
【解答】解：
，可得
，
在
中，
，
，
在直角三角形
中，
，可得
，
，取左
焦点
，连接
，
，可得四边形
为矩形，
，
．
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故答案为：
．
