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第7 讲 破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共11 小题）
1．已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，点
在双曲线上，且
轴，若
，则双曲线的离心率等于
A．
B．
C．2
D．3
【解答】解：
，
设
，
，
，
，
即
，
，
，
故选：
．
2．如图，已知
，
为双曲线
的左、右焦点，过点
，
分别
作直线，
交双曲线
于
，
，
，
四点，使得四边形
为平行四边形，且
，则双曲线
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：连接
，设
，
，
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由双曲线的定义可得
，
由题意可得
，
，
由双曲线的定义可得
，
在三角形
中，
，
由余弦定理可得
，
即为
，
化简可得
，
在直角三角形
中，
，
，
，
，
所以
，即为
，
即
．
故选：
．
3 ．点
是双曲线
与圆
的一个交点，且
，其中
、
分别为双曲线
的左右焦点，则双曲线
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
圆
必过双曲线
的两个焦点，
，
，则
，
，
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故双曲线的离心率为
．
故选：
．
4．已知
、
分别为双曲线
的左、右焦点，圆
与
该双曲线相交于点
，若
，则该双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
圆
的半径为
，圆的直径为
，
，
，
，
，
，
，
故选：
．
5．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
在椭圆上，
且
，
，则椭圆的离心率等于
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
△
是直角三角形，
，
，
由椭圆的定义可得，
，
，
．
故选：
．
6．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
．若椭圆
上
存在一点
，使得
，则椭圆
的离心率的取值范围为
A．
B．
C．
D．
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【解答】解：在△
中，由正弦定理知
，
，
，即
，①
又
在椭圆上，
，②
联立①②得
，
即
，
同除以
得，
，得
．
椭圆
的离心率的取值范围为
．
故选：
．
7．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
在椭圆
上，若
，则该椭圆的离心率不可能是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
，因为点
在椭圆
上，所以
，所以
，
因为
，所以
，解得
，
由题意可知
，即
，
由
可得
，即
，显然成立，
由
可得
，则
，又
，所以
，
故选：
．
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8．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
是椭圆上一
点，
，若
，则该椭圆的离心率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
△
是以
为底的等腰三角形，
，
过
作
交
于
，
则有
，
，
，
，
，
即
，解得
．
该椭圆的离心率的取值范围是
，
．
故选：
．
9．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过点
做倾斜角为
的直线与椭圆相交于
，
两点，若
，则椭圆
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由椭圆的方程可得右焦点
，
由题意设直线
的方程为
，
，
，
，
，
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联立
，整理可得：
，
则
①，
若
，则
②，
①②联立
，可得
，
整理可得：
，
解得
，
故选：
．
10．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过点
作倾斜角为
的直线与椭圆相交于
，
两点，若
，则椭圆
的离心率的值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意，由点
，
向右准线作垂线，设垂足分别为
，
，
设
，
，
．
由椭圆的第二定义，可得：
，
．
过点
向直线
作垂线，设垂足为
，则
在
中，
．
即
，
解得
．
故选：
．
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11．已知
，
是椭圆
的左、右焦点，过左焦点
的直线与椭圆
交于
，
两点，且
，
，则椭圆
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
，则
，
，
而由椭圆的定义可知
，
所以
，所以
，则
，
在
中，
，
所以在△
中，
，
即
，
整理可得：
，所以
，
故选：
．
二．填空题（共6 小题）
12．已知双曲线E：
的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直
线与双曲线E 交于A，B 两点，满足|AF2|＝|F1F2|，且
，则双曲线E 的离心率
e 为
．
【解答】解：因为|AF2|＝|F1F2|，由双曲线的定义可得|AF1|＝2c﹣2a，
由
，则|BF1|＝4c﹣4a，所以|BF2|＝|BF1|+2a＝4c﹣2a，
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在△AF1F2 中，由余弦定理可得cos∠AF1F2 ＝
＝
＝
，
在△BF1F2 中，由余弦定理可得cos∠BF1F2 ＝
＝
＝
，
又因为cos∠AF1F2+cos∠BF1F2＝0，即
+
＝0，整理
可得3c2+5a2﹣8ac＝0，
即3e2﹣8e+5＝0，解得：e＝
或e＝1（舍），
故答案为：
．
13．已知椭圆
的左，右焦点为
，
，
为椭圆上一点，若
，
，
成等差数列，则椭圆
的离心率为
．
【解答】解：因为
，
，
成等差数列，所以
，
即
，所以
．
故答案为：
．
14．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
为椭圆上一点，且
满足
为坐标原点）．若
，则椭圆的离心率为
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．
【解答】解：取
的中点
，连接
，
所以可得
，
又因为
，所以
，
即
，而
为
的中点，所以
，
可得
，
因为
，而
，所以可得：
，
，
在
△
中，由勾股定理可得
，
即
，
可得
，
所以
，
故答案为：
．
15 ．点
是双曲线
与圆
的一个交点，且
，其中
，
分别为双曲线
的左右焦点，则双曲线
的离心率为
．
【解答】解：如图所示，
圆
的直径，
是直角；
在
△
中，
，
，
，
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，
，
．
故答案为：
．
16．已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
、
，椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，点
为椭圆
与双曲线
的
第一象限的交点，且
，则
取最大值时
的值为
．
【解答】解：设
，
，
由椭圆的定义得
①，
由双曲线的定义得
②，
①
②得，
，
①
②得，
，
由余弦定理可得
，
所以
③，
设
，
，
所以
，
当
即
时，
最大值为
，
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此时，
．
故答案为：
．
17．已知双曲线
的右焦点为
，过
的直线交双曲线的渐近线于
、
两点，且直线的倾斜角是渐近线
倾斜角的2 倍，若
，则该双曲线的离
心率为
．
【解答】解：双曲线
的渐近线方程为
，
直线的倾斜角是渐近线
倾斜角的2 倍，
，
直线的方程为
，
与
联立，可得
或
，
，
，
．
故答案为：
三．解答题（共1 小题）
18．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，若椭圆上
存在点
使
，求该椭圆的离心率的取值范围．
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【解答】解：因为
，即
，
所以
，
由正弦定理可得
，即
，而
，
所以
，
即
，可得
，解得
，
所以该椭圆的离心率的范围
，
．
