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专题 22 圆锥曲线的几何性质
一、单选题
1．（2024届湖南省天壹名校联盟高三上学期联考）已知双曲线 的一条渐近线方程为
，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】由题设知， ，解得 .故选A.
2．（2024届福建省福州第八中学高三上学期质检卷）已知 的顶点在抛物线 上，若抛物线的
焦点 恰好是 的重心，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】设 ，抛物线 ，则 ，焦点 恰好是 的重心，
则 ，故 ．故选A．
3．（2024届广东省七校联合体高三上学期联考）已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点
总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据椭圆的对称性，不妨设焦点在横轴上的椭圆标准方程为： ，
设 ，设 ，
，点 在椭圆内部，有 ，
要想该不等式恒成立，只需 ，
而 ，故选B
4．（2024届湖南省永州市高三一模）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，点 是
椭圆 上位于第一象限的一点，且 与 轴平行，直线 与 的另一个交点为 ，若 ，则
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 令 ，得 ，
由于 与 轴平行，且 在第一象限，所以 .由于 ，
所以 ，
即 ，将 点坐标代入椭圆 的方程得 ，
， ，
所以离心率 .故选B5．（2024届贵州省贵阳市六校高三上学期联合考试）椭圆 ： 的左、右焦点分别为
， ，现已知 与抛物线 的焦点重合，椭圆 与过点 的幂函数 的图象交于点
，且幂函数在点 处的切线过点 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，抛物线 的焦点坐标为 ，则 ， .又因为幂函数
过点 ，故 ，解得 ，故 .设点 的坐标为 ， ，
则过 的切线为 ，且幂函数在点 处的切线过点 ，
故 ，解得 ，故 ，而 在椭圆上，则 ，而 ，
可得 ， ，则椭圆的离心率为 .故选C.
6．（2024届天津市第四十五中学高三上学期月考）已知抛物线 的焦点为F，点 ，若点A
为抛物线任意一点，当 取最小值时，点A的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点A在准线上的射影为D，如图，
则根据抛物线的定义可知 ，求 的最小值，即求 的最小值，显然当D，B，
A三点共线时 最小，此时 点的横坐标为1，代入抛物线方程可知 .故选B.
7．（2024届天津市第四十五中学高三上学期月考）已知 分别是双曲线 的左、
右焦点，P为双曲线右支上一点，若 ， ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】∵ 分别是双曲线 的左、右焦点，
为双曲线右支上一点，∴ ， ，又∵在 中， ，∵ ，∴ ，则 ，
又 ，
∴ ，即 ，故 ，解得： ，
∵ ，∴ .故选A
8．（2024届江西省万安中学高三上学期开学考试）如图， 设直线 与抛物线 (
为常数) 交于不同的两点 ， 且当 时， 抛物线 的焦点 到直线 的距离为 . 过点
的直线交抛物线于另一点 ， 且直线 过点 ， 则直线 过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线 ，即 ，依题意， 到直线 的距离为
，所以抛物线方程为 ，直线 ，由 消去 并化简得
， ，且 ，设 ，则 .由 ，直线 的方程为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
所以 ，所以 ，
直线 的方程为 ，即 ，
则 ，故 ，
所以 ，也即直线 过定点 .故选A.
9．（2023届四川省成都市四七九名校高全真模拟）已知直线 与双曲线
相交于A，B两点，点 在第一象限，经过点 且与直线 垂直的直线与双曲线 的
另外一个交点为 ，点 在 轴上， ，点 为坐标原点，且 ，则双曲线 的渐
近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，画出示意图，如图所示．
因为 ，所以B、N、M三点共线．设线段BM的中点为 ，连接OQ，
根据题意，显然可得点 为线段AB的中点，所以 ，设 ， ， ， ．
因为点B，M都在双曲线 上，则 两式相减，得 ，
即 ．而 ， ，
所以 ，即 ．
又因为 ，则 ，即 ，所以 ，即 ，
所以 ．又 ，则 ，
即 ，故 ，所以 ．
而 ，故 ，即 ，
则双曲线 的渐近线方程为： ．故选C
10．（2024届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试）如图抛物线 的顶点为 ，焦点为 ，准线
为 ，焦准距为4；抛物线 的顶点为 ，焦点也为 ，准线为 ，焦准距为6． 和 交于 两点，
分别过 作直线与两准线垂直，垂足分别为 ，过 的直线与封闭曲线 交于
两点，则下列说法正确的是（ ）① ②四边形 的面积为100
③ ④ 的取值范围为
A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①③
【答案】B
【解析】以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，
抛物线 的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ，焦准距为4；可得 ，抛物线的标准方程为： ．
抛物线 的顶点为 ，焦点也为 ，准线为 ，焦准距为6．可得 ，所以 ，所以①正
确；抛物线 的方程为： ． 和 交于 、 两点， ，可得 、 两点的横
坐标为：3，两点的纵坐标： ，分别过 、 作直线与两准线垂直，垂足分别为 、 、 、 ，
可得 ， ， ， ， ， ，四边形 的面积为： ．所以
②不正确；又 ，则 ， ，可得 ，所以③正确；根据抛物线的对
称性不妨设点 在封闭曲线 的上部分，设 在直线 上的射影分别为 ，
当点 在抛物线 ，点 在抛物线 上时， ，当 与 重合时， 最小，最小值为 ，当 与 重合，点 在抛物线 上时，因为 ，
直线 ，与抛物线 的方程为 联立，可得 ，
设 ，则 ， ，
所以 ；当点 在抛物线 ，点 在抛物线 上时，设 ，
与抛物线 的方程为 联立，可得 ，
设 ，则 ， ，
当 ，即 时取等号，故此时 ；
当点 在抛物线 ，点 在抛物线 上时，根据抛物线的对称性可知， ；
综上， ，所以④正确.故选B．
11．（2024届江西省丰城拖船中学高三上学期开学测试）已知椭圆 .过点 作圆
的切线 交椭圆 于 两点.将 表示为 的函数，则 的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意知， ，当 时，切线 的方程为 ，点 ， 的坐标分别为 ， ，
此时 ；当 时，同理可得 ；当 时，设切线方程为 ，
由 得 ，设 ， 两点两点坐标分别为 ， ，则， ，又由 于圆 相切，得 ，即 ，
∴ ，
由于当 时， ，∴ ， ，∵ ，当
且仅当 时， ，∴ 的最大值为2．故选B.
12．（2024届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试）定义：若直线 将多边形分为两部分，且使得
多边形在 两侧的点到直线 的距离之和相等，则称 为多边形的一条“等线”．已知双曲线
（a，b为常数）和其左右焦点 ，P为C上的一动点，过P作C的切线分别交两条渐近线于点A，B，
已知四边形 与三角形 有相同的“等线” ．则对于下列四个结论：
① ；
②等线 必过多边形的重心；
③ 始终与 相切；
④ 的斜率为定值且与a，b有关．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①②③
【答案】D
【解析】①：设 ，当 时，设 ，则由 ，得 ，
所以 ，所以切线的斜率为 ，所以切线方程为 ，
因为点 在双曲线上，所以 ，得 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
同理可求出当 时的切线方程为 ，
当 时，双曲线的切线方程为 ，满足 ，
所以过P点切线方程为 ，渐近线方程为
联立两直线方程得 ，
故有 ，故
②：设多边形顶点坐标为 ，其中
设“等线”方程为 ，则 到等线的距离为：
又因为等线将顶点分为上下两部分，则有
， ，
从而 ，整理得 即等线 必过该多边形重心．
③④：考察 重心，设 ，则重心 ．对于四边形 ，其重心H必在 与重心连线上，也必在 与 重心连线上，则 即为直线GH．
设 与 重心分别为 ，则 ，所以 ∥ ，
因为 为 的重心，所以 ，所以 ∥ ，所以 三点共线，
因为 在 上，所以 ∥ ，过 ，
因为直线 为 ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，整理得 ，
所以直线 方程 ，
由①的求解过程可知该方程为 切线方程，所以③正确，④错误，
故①②③正确．故选D
二、多选题
13．（2024届河南省南阳市第一中学校2高三上学期开学考试）下列关于双曲线 的结论中，正
确的是（ ）
A．离心率为 B．焦距为
C．两条渐近线互相垂直 D．焦点到渐近线的距离为1
【答案】ACD【解析】双曲线 ，可得 ， ， ，则双曲线 的离线率为 ，故A
正确；焦距 ，故B错误；渐近线为 与 ，且斜率之积为-1，即两条渐近线互相垂直，故
C正确；焦点到渐近线的距离为 ，故D正确；故选ACD.
14．（2024届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考）已知抛物线 的焦点为 ，
准线为 ，经过点 且斜率为 的直线与抛物线 交于 ， 两点（点 在第一象限），若 ，
，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若 为 上的动点，其在 上的射影为 ，则
D．过点 且与 有且仅有一个公共点的直线有3条
【答案】BCD
【解析】
对于A，因为 ，直线的斜率为 ，则设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，解得： ， ，由 ，得 ，故A错误；
对于B，由于 ，则 ，故B正确；
对于C，如图所示，抛物线 的焦点为 ， ，
当且仅当 ， ， 三点共线时取等号，故C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为 ，与抛物线只有一个公共点；
当直线斜率存在时，设直线方程为 ，联立 ，消 得 ，
当 时，方程的解为 ，此时直线与抛物线只有一个交点；
当 时，则 ，解得 ，综上所述，过点 与 有且仅有一个公共点的直线有 条，故
D正确；故选BCD.
15．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线 与 交于 ， 两点，
若 ，则（ ）
A． B． 的面积等于
C．直线 的斜率为 D． 的离心率等于
【答案】ABD
【解析】由 可知，
不妨设 ，又 ，可得 ；
利用椭圆定义可知 ，所以可得 ；
即 ，所以点 即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：由 ， 可知满足 ，所以 ；即A正确；
所以 为等腰直角三角形，且 ，
因此 的面积为 ，即B正确；
此时可得直线 的斜率 ，所以C错误；
在等腰直角三角形 中，易知 ，即可得离心率 ，即D正确；故选ABD
16．（2024届浙江省浙南名校联盟高三上学期联考）已知 是椭圆 上不同的三点，记
的面积分别为 （ 为坐标原点）.若 ，则（ ）
A． B．
C． D． 为定值
【答案】BC
【解析】先证明：设 ， 不共线，则 ．
若 ，则 ，
若 ，当 中有一个为0时，例如 ，则易得 ，
当 都不为0时，设直线 与 轴交点为 ，直线 方程为 ，令 是 ，
当 时， ，
当 时， ，
综上， ，
由已知设 ， ， ，
则 ，同理 ， ，
由 得 ，
，
，
，
，
，
由题意 中任意两点都与原点 不共线，即 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，从而 或
,
所以 ， ，故选BC．
17．（2024届江西省吉安市第三中学高三上学期开学考试）已知双曲线 ： ，点 为双曲线右
支上的一个动点，过点 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为 ， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．存在点 ，使得四边形 为正方形
C．直线 ， 的斜率之积为2D．存在点 ，使得
【答案】AB
【解析】对于A，由双曲线 ： ，得 ，
故 ，A正确；
对于B，双曲线 ： 的渐近线为 ，
则四边形 为矩形，
又双曲线右顶点为 ， 到直线 的距离均为 ，
故矩形 为正方形，
即存在点 ，即M为双曲线右顶点时，使得四边形 为正方形，B正确；
对于C，设 ，不妨设A在第一象限，B在第四象限，
由于 ，故可得 的方程为 ，
联立 ，可得 ，则 ，
同理 ，可得 的方程为 ，
联立 ，可得 ，则 ，
故 ，而 ，故 ，C错误；
对于D，由以上分析可知 ，
同理 ,
故 ，
根据双曲线的对称性，不妨假设M在第一象限，则 ，
故 ，令 ，
将 代入 ，即有 ，显然不可能，
即双曲线上不存在点 ，使得 ，D错误，故选AB
三、填空题
18．（2024届上海市松江二中高三上学期阶段测试）已知椭圆C： 的离心率为 ，
则椭圆的短轴长为 .
【答案】
【解析】根据题意可得离心率 ，解得 ，所以椭圆的短轴长为 .
19．（2023届四川省绵阳南山中学高三仿真）双曲线 的离心率为2，则右焦点 到其渐
近线的距离为 ．
【答案】
【解析】双曲线 的离心率为2，由 得 ，则 ，
右焦点 ，渐近线方程为 ， 到渐近线的距离为 .20．（2023届湖北省武汉市华中师大第一附属中学高三5月适应性考试）设双曲线 (
)的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若 (O为坐标原点)，
则双曲线C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由双曲线的几何性质可得， ， ， ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，所以离心率 ．
21．（2024届广东省阳江市高三上学期第一次阶段调研）已知点 在抛物线
上， 为抛物线 的焦点，圆 与直线 相交于 两点，与线段 相交于
点 ，且 ．若 是线段 上靠近 的四等分点，则抛物线 的方程为 ．
【答案】
【解析】由 可知 ，
设 ，则 ，
则 ，故 ，即 ①；
又点 在抛物线 上，故 ②，且 ，即 ③，
②联立得 ，得 或 ，
由于 ，故 ，结合 ③，
解得 ，故抛物线方程为
22．（2023届四川省遂宁市射洪市高三5月模拟）已知椭圆C： ，过 的右焦点 的直线 交
于 ， 两点（ ， 在 轴右侧），则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】
由题意 ， ， ，设点 ， ，则 ， ， ，
因 ，可设直线 方程为 ，联立 ，得 ，
由韦达定理得 ， ，
由 ，得 ，直线 过椭圆上顶点 和焦点 ，点 在椭圆上，则， ，则直线 的方程为 ，即 ，联立 ，得 ，
故 ， ， ， ，
由椭圆的对称性知， ， 故 ，
设 ， ，则 ， ，
，当 时， ，函数 在区间 上单调递减，
当 时， ，函数 在区间 上单调递增，
， ， ，故
