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⾼三冲刺笔记-导数（⼀）
考点归纳：单变量恒成⽴
🌶🌶
📍
题型训练：“参变分离”解恒成⽴
-
⼀单变量的恒成⽴问题
结论:
1 .
对txc-Ia.bg {
和"
a
恒成⽴
,
⼈
> fmmin
>, a
f N)
《
a
恒成之⼈
, fnmaxaa
⽅诀:
1
、
分类过这法
-
2
、
参变分离法:
3
.
端点值代⼊
i 洛必达法则
?
这⼩⻔
, 和1 满⾜
:
1 1)
当
x
> a 时, limfnr.hn和⼼
" 了
" 型
(2 ) 在U (a) 内, fix) 和物都存在
, 且9的⽜
。}
> 则当x
> a 时
(3) 当
X
) 9时
lim 抋
㸪
= A
( 或⼠⼼)
1峙贤:
lim坠品
= A
.
2
.
解:
" ax -1ns
711
必》
恒成⽴
, 则a>,
'必
""
必》
恒成⽴
。
⼈
会hxi 㸠"
灬)
, 则hixr-hntx2t.hn
⽗灿们
即版们> ,
> 得x > i
⽗
灿170
即bn
< o
得
⼀
i
""
知
i.in
在
(o , i)
"
在E.to 了
,
i.ihanmaxihcii2.ia.hn/max=2.
解:
y
ltlnx
✗
》
焱
恒成⽴
cxn
,
即
⼼) ( ltlnx)
x
71 k
.
令㸪
=
(州华
们
, gixr.tl nx
✗
2
h 凶
⽗hM-x-lnx.in/i,hix1=l-i7io.ihM 在II.tn ) ^
i
i hN m n = h1 1 1
= 1 7 0
7 9的
>o.iq ix) 在
II.to/fifMmin=gln=2..iKE2
,
🌶
3
解iifxr.lt/ncxti)xMo)ifM
, 总
,
Hln 灬1
x
> 焱
即
Hlncxtn
✗
⼀从1 1
7 K
,
令9 1×1
= HMYH.cm )
,则物=
X
- 1
- h 灬)
X 2
g的
⽗hcxkx-I.in 灬
则hixr-1-H.ixn.i.li
>
o
i
i
i
g的在co.to/figi2j=l-ln34xo.Gi3)=2h4
加3
q
7 0
"
在( 2
.
3 )
上存在
x,
使乐的) =
0
. 即hlxioslncx.tl)
= x。-1
当xc.co
, 加7时
私⻔"
㸪↳
ltlnlx.tn
当XECX.to1时gixingma.it IX)
》9 的)
=
x,
ilx.tl/=Xotli2Xo23i3.
之州
之⽃,
i 天整数kmax = 3
、
解
fcxkx.W-ax-2.tl
恒成⽴
,
即xè -1 》lnxtax , 在1 0 , ⼀⼼上恒成
⽴即
aeex.fi
在co.tn) 恒成⽴.lt/nx-hlx)
⽗和仁⼼
如
为
, 则物⼆⽐迦
= x2.hn
⽗hlxriètlnx
, 则
hix-2xeti.it#7o.fiii.ihx1
在lo.tn 0
⽇hcnie.no
㤈1
: Ǘ
-1<0
故存在xoc.ci , i) 使
hcx.ro
即
xiettlnx.io
即壮"
=i.hn/nii
,
"
同构
"
当
xc.co , x。)
h N)
⼈0
乐的
< o
) 和) 在(0.x》↳
当XECX.to/hcx)n9M7o
> 秘在cxo.to) t
… 当X-xo.AM 有极⼩值
,
lnxo.xiign.in:9
灬
= e"
-
x,
令IM-xex.XECO.to )
, I
'
(x) :
(州⼼
> o
.
" 拟在co.tnJ-ixmlnxji.MX。
"
9Mm.in
dni.xoxo-xj.ie
I.
🌶
📍
题型训练：“分类讨论”解恒成⽴
🌶
解: iflxr.hn/taxtiifix):itacxno)
1
当ano 时
fixm.fm 在lo.to⼼
⼀: 扣
= a+ 1
7 0
与杊
的⽭盾
,
ia.no不符
2
当以0时
⽎和⼒
, 则
0 ⼈从我
; 令如
⼼
, 则x
>
- ǎ
i 拟在
(o , i)
0
, 在l-i.tn ↳
ifxlmaxifl.ci/nci1xo=ln1i-ci
即以1
解
1
若a.o.it 的
-_-itdnaxo
i. 不满⾜题意
2 若970
, 由fixkl.fi f
知
, 当XECO.cn 时抓了⼼;
当xc-ca.to) 抓,
i fN) 在1 0 , a) ↳
在catnjf.ix.at 极⼩值点
if.io
,
ial.fi#不
解
fixkeX.cl
,
是拟:)
得Hna
i.
当xalna
fixko
fnn
↳
lna
当xslnafixinfM.li
当xlna 时
有fmmirifllnaka.cha
-
: 对txERf.mil
恒成⽴
。
当⽇仅当aalna
>,
1
1
个
,
⽗秈
= t-tlnt.gitr.int
.
_
当
o< t <
1时
轭1
70
.
9 (t) ⼭; 当t > 1
, gitko.gl七) ↳
- 上1时
9(f) max :
9 1 11
= 1
.
i .
当且仅当⼼
,
①式成⽴
。
i
a 的集合为{ 1 1
.
解
当⽐1时
fixkzx2-xtsinxfixr-x.lt cosx
⽗4 (X)
= x
- 1 tcosx
则4
'
(X)
=
1
- sinx
》。
恒成⽴
,
4M
- i 4 (州在
⼝,
-1 0 1 0
j
- 4 (X)
> 4 1 0 )
= o
即抓170 恒成⽴
- ifn 在
co.tn) 0
- I fn
> fm
=
了
。
📍
题型训练：“端点值代⼊型”解恒成⽴
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🌶
🌶
解
⽗AM-cxtiJ.hn/tD-ax
,
则私1) = h(州) + 1
- a
n
h㖄+ 1
- a
g 必
⽗乐问: 0
,
即⼩e
"
-
1
+
o
j
i
当以1 时
,
对所有的们
, 都有私⼼
,
.iq IX) 在
IO.to/fRi9lo)=O.i
当⼼。时
, 有9 刚》和1
, 即当⽐
1 时都有flxmax.ia.cl 成之
⼈
2
当
971 时
,
对于
O < x <
e "
- 1
时㸪< o
j
。"
。
i
e
"
- 1
0
i 9 内在
(o ,
e
"
- 1 ) 上
⼈,
⼜" 9 (o ) : 。
秘
⼈对于
0 < x <
e"
- 1
时
, 有和1
⼈和)
, 即拟<ax
- : 当a > 1时fmnax 不⼀定成⽴
。
综上
:
ac.co ,
⻔
解: fixrdte-X.net é
"
》2 0
. e"
=2
ifix132
令glxkflx-ax.gixite-x.cn
了2
1
惹⽐2
,
当X 7 0 时
, 秈)
= d t e"
- a
>
2 - a >/ o
… 9 刚在co.tn t.ipio.glㄨ)
》f (o)
, 即
flxmax.at à-4
2
当a> 2
⽅程
⽗
乐问: 0
即elte-X-an-oxi.hn
2
此时若x E (0.x , 1时
物< 和ko.gg
7
"
令⼼t.tt Èto
郑和< ax ,
与题⽭盾
,
?
a
> t.at t
l
= ,
X
9 必
> t.at
a
2
- 4
纟宗上i
dE (
- 0.
2]
; ⽤
X
.
2
7 * h T T
(取正根)
"
解
时刚得fixidte"
-2
》2 0 0
- 2
= o
i f们在
Rtfglxkfn-4b.fm
: e"
⼀ē"
_ ztbcde" ) t (8541x
79问: 2死" té"
- 2万(04 0)
-1 14万
-2 1 ]
= 2[ ⼼4 e)
2
- 2万(⽐⼼) t ( 4万- 4) ]
tg.io
→giy 2 ⼼4 ⼼
-2 )(exte"
- 25+2)
,
"
2 (t - 2)( t
- 2b -1 2 )
ziznliexte-xyz.ie?te''t27i4i
当
2万⼆4
即b < 2
私⼼。
且当ㄨ= o 时取等
,
.it们在R 上⼭
且9 COKO-ixn.AM?o.
符合题意
Ji.Y.li/n(b-lt5-2b
2
当b>2时
若
2 < ète
" < 25-2 即o < x < lnlb.it b
2
-23 ) 时
乐的<o
⼜由和⼼知
当
O < xslnlb.lt
5-2b
) 时
乐⼼的
不符合题意
, i 综上
b: 2
,
📍
题型训练：“洛必达法则”解恒成⽴
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🌶
lnxti.xzo.tt ,
恒成⽴
,
解:
由题
照
+ i
>
x-i-zxlnxtl.no
, 灿恒成⽴
,
-ik.JP
⼀必"
+ 1
=
i
- 1
2 1 X到,
令Hcxr-2XMX.in
, 则州1 =
2 (灿川"
⼗点
⼆cni.chx_x"
⼊到
⼋⼋112
灿)
x
2
- 1
⼗
410
4✗
(ii)
2
是4NHnx.pt 1
, 则㸪= i
-
1×
2+ 1 1
:
xcx411270
i.
i. 4 们在1 0 , ⼼) 。
"
4 ( 1 )
= o
版)
"
当X E ( 0 .
1 )
4 (XKOHIXKO.AM ↳
j
i
> "
。
"
型
当XEcl.to/4M7oHIx17oHMf
,
" lim 㵘
= o
ㄨ
2
- 1
1
-.lt/im-
211唎
当x
> 1 时
,
liml
-2刈"
+ 1 )
= H
hm ( ""
zxiltakox2.li
K 的
解:
ex.i-x.cn六,
在IO.to) 上⼩宝成⽴,
1
当
⽔0时
,
fx) 》。
成⽴
、郑QER
。
(x
-2)
txt2
2
当x > 0时.ae 以"
令
Hcxr ※
"
州⼆
x
3
X
2
⽗4 (X)
= ()(
- 2 ) e' t 歼2
)
4ix) =
(x- 1 1
+1
>
4
" 凶= Xdo
4的
…
4的在1 0
,
⼗四⼭
且4问: 0
0
ecxi.ie
ix) 70
i.
4们在co.tn) 0
⽇4 ( 0 1 = o
j
i
H ix)
7 0
. !
HM 在lo.to) 1
0HMim.in
- x →0时
、
仙" xi
= 1啖
⼆
lim 叟之
学
"型
iasi
