文档文本内容
第04 讲平面向量的概念与线性运算
（知识清单+3 典例精讲+方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
向量基本概念、线性加减运算、向量共线定理、几何图形向量表示
单选、多选、
填空题
5 分/6 分/5 分
向量线性分解、基底运用、三点共线问题、向量化简求值
单选、填空题
5 分
图形中向量线性运算、共线求参数、向量模简单计算
单选、多选、
填空
5 分/6 分/5 分
【知识点01】向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量
平面向量是自由向量
长度(模)
向量的大小
记作|a|或|⃗AB|
零向量
长度为0，其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1 个单位长度的向量
与非零向量a 共线的单位向量为± a
|a|
平行向量
(共线向量)
方向相同或相反的非零向量
0 与任意向量平行(或共线)
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0 的相反向量为0
【例1】下列关于向量的说法正确的是（ ）
A .若| a
→
|=|b
→
|，则a
→
= b
→
B.若a
→
= b
→
，则|a
→
|=|b
→
| 且a
→
与b
→
方向相同
C .向量AB
→
与CD
→
是共线向量，则A 、B、C 、D四点共线
D .零向量的模为0，方向确定
解析：结合向量的核心定义逐一分析：
A .错误，| a
→
|=|b
→
|仅表示向量模相等，方向不一定相同，故a
→
不一定等于b
→
；
B. 正确，向量相等的定义是模相等且方向相同，若a
→
= b
→
，则满足这两个条件；
C .错误，共线向量（平行向量）只需方向相同或相反，与起点、终点是否共线无关；
D .错误，零向量的模为0，方向是任意的，并非确定方向。
答案：B
【知识点02】向量的线性运算
向量
运算
法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：
a＋b＝b ＋
a ；
结合律：
(a＋b)＋c
＝a ＋
( b ＋
c )
减法
a－b＝a＋(－b)
数乘
|λa|＝| λ || a | ，当λ>0 时，λa 的方
向与a 的方向相同；
当λ<0 时，λa 的方向与a 的方向
相反；
当λ＝0 时，λa＝0
设λ，μ 为实数，则
λ(μa)＝( λμ
) a ；
(λ＋μ)a＝λ a ＋
μ a ；
λ(a＋b)＝λ a ＋
λ b
【例2】在▱ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，若⃗AF = x⃗AB+ y⃗AD，求x、y 的值。
解析：利用平行四边形性质及向量线性运算规则推导：
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC
→
= AD
→
∵E 为BC 中点，∴BE
→
= 1
2 BC
→
= 1
2 AD
→
∴AE
→
= AB
→
+ BE
→
= AB
→
+ 1
2 AD
→
∵F 为AE中点，∴AF
→
= 1
2 AE
→
= 1
2 AB
→
+ 1
4 AD
→
对比⃗AF = x⃗AB+ y⃗AD，可得：x = 1
2 ，y = 1
4
答案：x = 1
2 ，y = 1
4
【知识点03】向量共线定理
向量a(a≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝
λ a .
【例3】已知向量
不共线，且
，则实数
（ ）
A．3
B．
C．
D．
解析：因为向量
不共线，且
设
，即
所以
，解得
故选：D
【题型一】向量的有关概念辨析
【例1】（2026·山东枣庄·三模）已知向量
与
均为非零向量，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分、必要条件中的推出关系判断，结合共线向量定理求解即可，要注意定理中
的条件是
为非
零向量.
【详解】若
，因为向量
与
均为非零向量，则存在非零实数
，使得
，
所以
，
因为
与
均为非零向量
的倍数，
所以
与
共线，即
，充分性成立.
若
，当
时，
，所以
；
当
时，存在实数
，使得
，所以
，
假设
，则
，
，与
为非零向量矛盾，所以假设不成立，
，
所以
，因为
为非零向量，所以
共线，即
，所以必要性成立.
综上，“
”是“
”的充要条件.
【例2】（2025·河南·三模）若点A 在点O 的正北方向，点B 在点O 的南偏西
方向，且
，则向量
表示（ ）
A．从点O 出发，朝北偏西
方向移动
B．从点O 出发，朝北偏西
方向移动
C．从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km
D．从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km
【答案】C
【分析】以O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，标出题中所
给信息，再利用向量加法的平行四边形法则求出
即可.
【详解】以O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
依题意可得
，
设
，因为
，所以四边形OACB 为菱形，
则
，则
为正三角形，所以
，
故向量
表示从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km.
故选：C
【例3】（2026·江苏·二模）已知向量
与
均为非零向量，则“
”是“
”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】若
，则存在非零实数
，使得
，利用向量的线性运算即可证明充分性，若
，则
存在实数
，使得：
，结合向量的运算即可证明必要性，从而判断选项.
【详解】若
，则存在非零实数
，使得
，
此时：
，
因为
是非零向量，所以
与
是共线的，即：
，所以充分性成立，
若
，当
时，
；
当
时，存在实数
，使得：
整理得：
，
所以，若
，则
，即
；
若
，则
，与
为非零向量矛盾，
因此，
必要性成立;
综上“
”是“
”的充要条件.
【变式1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知
均为单位向量，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知条件求出
的值，再利用模长公式即可求出.
【详解】
，
，
又
均为单位向量，
，即
，
，
.
故选：C.
【变式2】（2026·山东·一模）下列说法正确的是（ ）
A．长度一样的两个向量相等
B．平行的两个向量为共线向量
C．零向量的大小为0 且没有方向
D．方向相反的两个向量互为相反向量
【答案】B
【分析】根据相等向量、共线向量（平行向量）、零向量、相反向量的定义逐项分析判断即可.
【详解】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A 错误；
选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量.
零向量与任一向量共线，故B 正确；
选项C：长度为0 的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C 错误；
选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D 错误.
故选：B.
【变式3】（多选）（2024·湖北·一模）下列关于向量与复数的说法正确的有（ ）
A．若复数
满足
，则
B．若复数
满足
，则
C．若
，则
或
D．若
，则
或
【答案】BD
【分析】取
可判断A；计算可得
，进而求模判断B；对于C，取两个单位向量，它们的方向可任意，
判断C；由已知可得
，计算可判断D.
【详解】对于A，
，满足
，但
，显然
，故A 错误；
对于B，因为
，所以
，
所以
，故B 正确；
对于C，若
是两个单位向量，有
，但两个单位向量的方向可以任意，即可不共线，故C 错误；
对于D，因为
，所以
，所以
，所以
，
所以
或
，故D 正确.
故选：BD.
【题型二】向量的加减运算及化简
【例4】（2026·陕西榆林·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．
B．
是单位向量，则
C．若
，则
或
D．对于任意向量
，有
【答案】C
【分析】由相反向量的概念可判断A，由单位向量的概念可判断B，由
时，
可判断C，分类讨论向量的
方向，根据三角形法则即可判断D.
【详解】选项A：
和
是相反向量，方向相反但模长相等，因此
，A 正确，
选项B：单位向量的定义是模长为1 的向量，即
，B 正确，
选项C：当
时，除了
或
的情况，当
（两个非零向量垂直）时，数量积也为0，C 错误，
选项D，若
方向相同，则
，
若
方向相反，则
，
若
不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知
.
综上可知对于任意向量
，必有
，故D 正确；
【例5】（多选）（2026·海南海口·模拟预测）在等边三角形
中，点D 是边
的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】A：在等边三角形
中，因为点D 是边
的中点，所以
，正确.
B：因为两向量方向不同，所以错误.
C：因为点D 是边
的中点，所以
，正确.
D：由
为等边三角形，且点D 是边
的中点，所以
，所以
，正确.
【例6】（2025·四川巴中·三模）非零向量
，
满足：
，
，则
与
夹角的余弦值为
______.
【答案】
/
【分析】根据向量的减法几何意义将
转化为
，再利用已知条件
和
判断三角形
的形
状，最后根据三角形形状求出
与
的夹角.
【详解】根据题意，设
，
，则
，
若
，
，即
，且
，
则
为等腰直角三角形，
则
与
的夹角为
，余弦值为
.
故答案为：
.
【变式1】（2024·江西·模拟预测）在
中，角B，C 所对的边分别为b，c，D 为边BC 上的点.已知
：
，
：
平分
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量的线性以及三角形面积公式，分别从命题的充分性和必要性两方面来判断，
【详解】充分性：因为
，
所以
，
可得
，
所以
.
假设点D 到边AB 与边AC 的距离分别为
，
，
则
，所以
，所以AD 平分
.
必要性：因为AD 平分
，则
，
所以
，
所以
，从而
，
.
所以
是
的充要条件.
故选：B.
【变式2】（多选）（2024·浙江宁波·二模）若平面向量
满足
且
，则（ ）
A．
的最小值为2
B．
的最大值为5
C．
的最小值为2
D．
的最大值为
【答案】BD
【分析】由向量
方向间的关系，判断
的最大值和最小值；由
，通过
的最值，计算
的最值.
【详解】当向量
方向相同，与方向相反时，满足
，
此时
有最小值
，A 选项错误；
当向量
方向相同时，满足
，
此时
有最大值
，B 选项正确；
，有
，即
，则
，
向量
方向相同时，
的最小值为0，
的最小值为3，C 选项错误；
向量
方向相反时，
的最大值为2，
的最大值为
，D 选项正确.
故选：BD
【变式3】（2024·江苏南通·模拟预测）复数
与
分别表示向量
与
，记表示向量
的复数为
，则
______．
【答案】25
【分析】根据题意，由向量的减法可得
，再由复数的乘法运算，代入计算，即可求解.
【详解】由题意可知，
，
则
，所以
.
故答案为：25
【题型三】向量线性运算的几何应用
【例7】（2026·江苏·二模）在平行四边形
中，
为
的中点，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】在平行四边形
中，
为
中点，
则
，
因为
，所以
，
若
，则
，所以
.
【例8】（多选）（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学
的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方
形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由图可得各向量关系与其模长间等量关系，即可得答案.
【详解】A 选项，由题知
，故
，而
，故A 正确；
B 选项，由题知
，
，故B 错误；
C 选项，
，故C 正确；
D 选项，因为
，
，
，
故
，故D 正确.
故选：ACD．
【例9】（2025·甘肃·模拟预测）
的内角
的对边分别为
的面积为
，且
，则
边上的中线长为__________．
【答案】
/
【分析】根据三角形面积公式得到
，由向量法即可求得答案．
【详解】由
，解得
，
设
的中点为D，则
，
则
，
则
，
即
边上的中线长为
．
故答案为：
．
【变式1】（2026·山东东营·二模）“
，使得
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合共线向量的定义、充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】当
时，
，满足
；
当
时，因为
，使得
，所以
共线，即
；
综上，由
，使得
，可得
，即充分性满足；
当
时，若
，则不存在
，使得
，故必要性不满足；
所以“
，使得
”是“
”的充分不必要条件.
【变式2】（2026·浙江宁波·二模）已知点
，
，
在圆
上运动，且
，若点
的坐标为
，
则
的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先确定
是圆的直径，再结合向量的运算，以及向量模的三角形不等式，以及向量的位置关系，求最值.
【详解】由圆的性质可知，
时，
是圆的直径，
所以
，
而
，
右边等号成立的条件是
和
同向，且此时
最大，此时
，
左边等号成立的条件是
和
反向，且此时
最小，此时
，
所以
的取值范围是
.
【变式3】（2025·湖南郴州·三模）在
中，内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换计算可得
；
（2）利用余弦定理计算可得
，再由向量定比分点以及余弦定理计算可得
的长.
【详解】（1）依题意可得
，
得
.
因为
，所以
，
则
，
因为
，所以
，所以
（2）由题意得
，
解得
（负根已舍去）.
因为
，所以
，
所以由余弦定理可得
.
【题型四】已知向量共线(平行)求参数
【例10】（2026·河南许昌·模拟预测）已知
、
是两个不共线的向量，若向量
与
共线，则
（ ）
A．9
B．6
C．
D．
【答案】D
【详解】若向量
与
共线，
则存在实数
使得
，即
，
又
、
是两个不共线的向量，所以
，解得
.
【例11】（2026·安徽·三模）已知向量
，则“
”是“
与
的夹角为锐角”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用向量夹角公式及向量夹角的范围，求出
与
的夹角为锐角的充要条件，再结合条件，即可求解.
【详解】因为
，
则
，
由
与
的夹角为锐角，可得
，解得
且
，
则“
”是“
与
的夹角为锐角”的必要不充分条件．
【例12】（2023·海南·模拟预测）已知向量
，
，
，若点
，
，
三点
共线，则实数
_________．
【答案】
/0.5
【分析】根据向量共线定理可知
，根据向量坐标计算即可.
【详解】
，
，
因为点
，
，
三点共线，所以
，解得
.
故答案为：
.
【变式1】（2025·四川内江·一模）已知向量
，若
与
共线，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解.
【详解】
，
，
由
与
共线，可得
，
解得
，
故选：A
【变式2】（2024·陕西安康·一模）已知O 是
内一点，
，若
与
的面积之比
为
，则实数m 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
确定
点的位置，再利用
与
的面积之比列方程来求得
的值.
【详解】由
得
，
设
，则
.
由于
，所以A，B，D 三点共线，如图所示，
∵
与
反向共线，
，∴
，∴
，
∴
.
故选：D
【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在
中，
，P 是线段AD 上的动点（与端点不重合），
设
，则
的最小值是______.
【答案】
【分析】由
，得到
，从而有
，再根据
三点共线，得到
，然后利
用基本不等式求解.
【详解】解：因为在
中，
，
所以
，
又因为
，则
，
因为
三点共线，则
，结合题意知
，
所以
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故答案为：
【题型五】平面向量共线定理的推论
【例13】（2026·江苏扬州·模拟预测）设实数
，在
中，
为
上一点，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．
D．2
【答案】B
【详解】在
中，由
为
上一点，
，得
，
因此
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为4．
【例14】（2026·河南洛阳·模拟预测）在
中，
是
的中点，过点
的直线分别交直线
，
于点
，
，设
，
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
【答案】B
【分析】结合图形，利用
三点共线，推出
，再根据基本不等式求解即可.
【详解】如图，由点O 是BC 的中点，得
，
由
三点共线，得
，
，
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，所以
取得最小值2.
故选：B
【例15】（2023·陕西西安·模拟预测）在
中，
是
边上一点，且
，
是
的中点，过点
的
直线与
两边分别交于
两点（点
与点
不重合），设
，
，则
的最小值为
__________.
【答案】
/
【分析】由
，得
，再由
是
的中点，结合已知条件可得
，从而由
三点共线，得
，则
，化简后利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为
，所以
，得
.
又
是
的中点，
，
，
所以
.
因为
三点共线，所以
，即
，且
，
所以
，
当且仅当
,即
时，等号成立.
故答案为：
【变式1】（2026·安徽铜陵·模拟预测）在
中，点D 为边
的中点，过点D 的直线与
，
两边（或其
延长线）分别交于点E，F，设
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用三点共线的向量表示求得
的等量关系式，再利用基本不等式求得
的最小值.
【详解】因为
是
的中点，所以
，
由于
三点共线，所以
，其中
，
，
当且仅当
，即
时等号成立.
所以
的最小值为
.
【变式2】（2024·福建·模拟预测）在
中，点
是边
上一点，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．7
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求得
，
，
.，再利用基本不等式“1”的妙用求出
最小值.
【详解】在
中，点
是边
上一点，
，则
，
，
.
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
.
故选：B
【变式3】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知
中，角
所对的边分别为
，
，
，
，若
，则
的最小值为_________________．
【答案】
【分析】取
和
，转化为
，得到
三点共线，得到
的最小值，
即为
中边
上的高，在
中，结合余弦定理和面积相等，列出方程，即可求解.
【详解】在
中，因为
，
如图所示，取
的中点
，可得
，
再延长
到点
，使得
，可得
，
因为
，
因为
，所以
三点共线，
所以
的最小值，即为
中边
上的高
，
在
中，由余弦定理得
，所以
，
又由
，
可得
，即
，解得
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
【解题大招01】向量概念辨析技巧
核心抓“两个核心属性”：大小（模）和方向，牢记3 个易错关键点：
① 相等向量：方向相同+模相等（二者缺一不可，与起点无关）；
② 平行向量（共线向量）：方向相同或相反，零向量与任意向量平行（零向量是唯一方向任意的向量）；
③ 零向量：模为0，模为0 的向量必为零向量，注意零向量在共线、数乘运算中的特殊性。
【例1】下列说法正确的是（ ）
① 若向量a
→与b
→方向相同，且| a
→
|=|b
→
|，则a
→
= b
→；
② 若a
→
= b
→，则| a
→
|=|b
→
|且a
→与b
→方向相同；
③ 若| a
→
|=|b
→
|，则a
→与b
→为相等向量或相反向量；
④ 零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的；
⑤ 若a
→
∥b
→，b
→
∥c
→，则a
→
∥c
→。
A. ①②③ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ②③④
解析：结合概念辨析技巧与易错点规避：① 符合相等向量定义，正确；② 相等向量的核心性质，正确；③ 模
相等但方向不一定共线，违反技巧4，错误；④ 零向量的特殊性质，正确；⑤ 当b
→
= 0
→时不成立，违反技巧1，
错误。故选B。
【解题大招02】向量线性运算技巧（加减、数乘）
遵循“代数运算+几何意义”双重思路，兼顾简洁性与直观性：
① 代数运算：类比“合并同类项”，数乘时系数乘向量整体，去括号注意符号变化，最终整理为k a
→
+m b
→最简形式；
② 几何运算：优先用三角形法则（首尾相接）、平行四边形法则（共起点），中点、三等分点等特殊点可借助
“向量拆分”转化（如中点：AD
→
= 1
2 ( AB
→
+ AC
→
)）。
【例2】已知向量a
→
，b
→
，求下列各式的值：
（1）3 a
→
+2b
→
-(2a
→
-3 b
→
)；
（2）1
2 (4 a
→
-6 b
→
)+3(a
→
+ 1
3 b
→
)。
解析：遵循代数运算技巧，去括号、合并同类项：
（1）原式=3 a
→
+2b
→
-2 a
→
+3 b
→
=(3 a
→
-2 a
→
)+(2b
→
+3 b
→
)= a
→
+5 b
→；
（2）原式=2 a
→
-3 b
→
+3 a
→
+ b
→
=(2 a
→
+3 a
→
)+(-3 b
→
+ b
→
)=5 a
→
-2b
→。
【解题大招03】向量共线判定与应用技巧
高考高频考点，两种核心判定方法（优先选代数形式，简洁高效）：
① 代数形式（坐标表示）：若m
→
=( x1, y1)，n
→
=( x2, y2)，则m
→
∥n
→
⇔x1 y2- x2 y1=0；
② 向量形式：若m
→
∥n
→（n
→
≠0
→），则存在唯一实数λ，使得m
→
= λ n
→（注意n
→
≠0
→的限制）。
【例3】已知向量a
→
=(2,1)，b
→
=(1,k )，且a
→
+2b
→
与2 a
→
- b
→
共线，求实数k 的值。
解析：优先用代数形式判定共线，应用技巧3：
① 计算向量坐标：a
→
+2b
→
=(4,1+2k )，2 a
→
- b
→
=(3,2-k )；
② 由共线充要条件x1 y2- x2 y1=0，得4(2-k )-3(1+2k )=0；
③ 解方程得：8- 4 k -3-6k =0⇒k = 1
2。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2025·河南安阳·一模）已知平行四边形
的对角线的交点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用平面向量线性运算计算得解.
【详解】在
中，
.
故选：C
2．（2025·江苏南通·三模）已知
，
为平面内一组基底，
，
，
，若A，B，
D 三点共线，则a 的值为（ ）
A．2
B．
C．0
D．1
【答案】A
【分析】根据向量的减法运算求出
，再由共线向量定理求解即可.
【详解】
，
，
因为
与
共线，
，
故选：A．
3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在
中，点D 为边
上一点，且
，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由平面向量的线性运算进行计算可得结果.
【详解】因为
，所以
，
则
．
故选：B．
二、多选题
4．（2022·海南·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．向量可以用有向线段表示
B．非零向量
与非零向量
共线，则
与
的方向相同或相反
C．向量
与向量
共线，则
，
，
，
四点在一条直线上
D．如果
，那么
【答案】CD
【分析】由向量的表示、共线向量的概念以及向量的模的定义逐一判断各个选项即可求解.
【详解】对于A，可以用有向线段表示向量，故A 不符合题意；
对于B，非零向量
与非零向量
共线即平行，则
与
的方向相同或相反，故B 不符合题意；
对于C，例如在平行四边形
中，向量
与向量
共线，
但
，
，
，
四点不在一条直线上，故C 符合题意；
对于D，如果
，那么
，但
，故D 符合题意.
故选：CD.
5．（2025·安徽·模拟预测）已知平面直角坐标系中，坐标原点为
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
不可能为单位向量
D．若
，则
【答案】AD
【分析】利用向量共线的坐标形式判断A，利用向量垂直的坐标形式判断B，由特例判断C，由向量模的坐标公式计
算后判断D.
【详解】若
，则
，解得
，A 正确；
若
，则
，解得
，B 错误；
由题设
，当
时，
是单位向量，C 错误；
若
，则
，D 正确，
故选：AD.
三、填空题
6．（2025·贵州·二模）若
，
均为单位向量，且
，则
______．
【答案】
/
【分析】作出图形，利用向量加法的几何意义求得答案.
【详解】作
，以线段
为一组邻边作平行四边形
，如图，
则
，而
，
均为单位向量，则
，
因此
为菱形，
.
故答案为：
7．（2024·江西·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别为
，
是
的中点，
，则
______．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合正弦定理边化角即可得解.
【详解】在
中，
是
的中点，
，
则
，即
，因此
，
所以
.
故答案为：
四、解答题
8．（2025·湖南长沙·一模）记
的内角
的对边分别为
．已知
，D
为边
上的靠近点C 的三等分点．
(1)求角
；
(2)求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，再由
代入化简即可求解；
（2）由平面向量的线性运算得
，再根据平面向量数量积的运算律即可求解．
【详解】（1）由正弦定理有
，
因为
，
代入化简，得
，
因为
，故
，所以
，
故
．
（2）由题可知
，
故
，
故
．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，有两个正六边形，
为
的中点．若
，则
（ ）
A．-2
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】大正六边形的边长为2，则小正六边形的边长为1，连接
,结合正六边形的性质及向量的线性运算，
可得
,可得
的值，即可得答案.
【详解】连接
,如图所示：
设大正六边形的边长为2，则小正六边形的边长为1，
则
为边长为1 的正三角形，
所以
,
,
由正六边形的性质可知
三点共线，
所以
,
则
,
又因为
，
所以
，
所以
.
2．（2025·广东·模拟预测）若平面向量
，
，满足
，则
的最大值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】
求解即可.
【详解】
，
当
与
同向时取等号，
故选：B
二、多选题
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知
是坐标原点，对任意
，函数
的图象上总存在不同两点
，使得
，则下列选项中满足条件的
有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】利用数形结合来研究各选项，把交点存在问题转化为方程有解问题，通过解方程可判断AD，对于B 通过举
反例找到矛盾可判断，对于C，则再次利用数形结合来研究方程是否有解，从而可判断C.
【详解】
由图可知：过原点一定存在过原点的直线交曲线
于
两点，
设
，则由
，可得
，
即
，消元得：
，
对任意的
，必存在
，
，故A 正确；
又由图可知：过原点一定存在过原点的直线交曲线
于
两点，
同上述方法可得：由
，消元得：
，
不妨令
，则上式变为
，
此时因为
，所以此时不存在两点
，也就是不能对任意的
，都有
，故B 错误；
又由图可知：过原点一定存在过原点的直线交曲线
于
两点，
同上述方法可得：由
，消元得：
，
通过构造两个函数
和
，当
时作图分析：
由于
，函数
图像是把正弦函数
的横坐标压缩到原来的
倍，纵坐标不变，
而函数
图像是把正弦函数
的纵坐标伸长到原来的
倍，横坐标不变，此时两图象必有无数个交点，
所以方程
必有解，即对任意的
，必有
，故C 正确；
由图可知：过原点一定存在过原点的直线交曲线
于
两点，
同上述方法可得：由
，消元得：
，
整理得：
，
即
或
，
对任意的
，显然存在
和
或
和
的解，则必有
，故D 正
确；
故选：ACD.
4．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知
，
，
分别为
的边
，
，
的中点，且
，
，
交于点
，
令
，
，表示相应图形的面积，则（ ）
A．
B．
C．
D．
，
，
可作为一个三角形的三边长
【答案】BCD
【分析】由平面向量的线性运算判断AB 选项，由题意得
为
的重心，得到
为
三等分点以及
分别为
中点得到三角形的面积关系，判断C 选项；由重心的性质得到
，从而得到
结果，
判断D 选项.
【详解】由题意可知
为
的重心，
∵
分别为
中点，则
，A 选项错误；
，B 选项正确；
，C 选项正确；
∵
，∴
，即
，
∴
可作为三角形三边，D 选项正确.
故选：BCD.
三、填空题
5．（2026·福建泉州·二模）已知
，则实数
的值为___________．
【答案】
【分析】利用向量线性运算转化为
，根据系数相等可得.
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
，得
.
故答案为：
四、解答题
6．（2025·全国·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别为
，且满足
.
(1)求
；
(2)若
是边
上一点，且满足
，
，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角及两角和的正弦公式可得
，根据辅助角公式结合角
的范围可得
结果.
（2）根据条件可得
，两边同时平方结合基本不等式可得结果.
【详解】（1）∵
，∴
，
∵
，
∴
，
∴
.
∵
，∴
，
∴
，即
，故
.
∵
，∴
，
∴
，故
.
（2）
∵
，∴
，
∴
，即
.
∵
，
，
∴
，即
.
∴
，即
，
∴
，当且仅当
时取等号，
∴
的最大值为
.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2025·湖北·模拟预测）已知
，
，是同一个平面内的三个向量，则“
”是“
”的
（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】取特例可判断充分性，利用共线向量的性质及向量数量积的运算可判断必要性.
【详解】当
时，
，可以是任意向量，因此是不充分条件；
当
时，若
，显然
成立；
当
，因为
，所以
，
因此
，
，
因此
成立.
故“
”是“
”的必要条件.
故选：C
2．（2026·河南郑州·二模）已知平面上不共线的四点
，满足
，则
在
上的投影向
量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件求得
，进一步得到
，再结合投影向量定义即可求解.
【详解】由
，得
，即
，
所以
，所以
与
共线且同向，且
，所以
在
上的投影向量为
,
因为
与
共线且同向，所以
，所以
在
上的投影向量为
.
二、多选题
3．（2025·四川绵阳·模拟预测）圆
为三角形ABC 的外接圆，
则（ ）
A．
B．
C．三角形
的面积为
D．三角形
的周长为
【答案】BCD
【分析】对于A，采用反证法思路，经推理得出矛盾排除此项；对于B，利用三角形外心的性质和向量数量积的定义
式计算即得；对于C，由向量等式构造数量积，求得
即可计算面积判断；对于D，利用余弦定理求出
，
即可判断.
【详解】对于A，因点
是
的外心，则点
在
的中垂线上，
若点
符合
，则点
也应在
的中垂线上，则
，这与题设条件矛盾，故A 错误；
对于B，因为
是
的外心，则
在
的中垂线上，
于是，
，故B 正确；
对于C，由
可得
，
即
，解得
，解得
则
，故
的面积为
，故C 正确；
对于D，由余弦定理，
，
解得
，故三角形
的周长为
，故D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
4．（2025·湖北·模拟预测）平面向量
满足
，则
的最小值为__________.
【答案】
【分析】根据向量不共线时，借助平行四边形，可得
，进而利用余弦定理以及基本不等式即可求解最值.
【详解】如图：当
不共线时，取
,则
,
故
，故
,
在
中，
,
故
，
故
，
由于
，故
，故
，当且仅当
时取等号，
则
，由于
，故
的最大值为
，
由于
的夹角为
,即为
,
由于
与
互补，故
的最小值为
，
当
共线时，不妨设
则
，可得
，
当
时，此时
的夹角为
,即为
,
时，此时
的夹角为
,即为
,
综上可知：
的夹角的最小值为
故答案为：
四、解答题
5．（2024·江西新余·模拟预测）在等腰直角三角形
中，
为直角顶点，
为线段
上一点，
为射线
上一
点，
.
(1)若
，
的面积为
，求
使
.
(2)
为线段
上一点，
且
，求
面积的最小值.
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）根据所给条件计算
和
，利用正切和角公式计算
，得到
的长，即可计算
出
的值.
（2）作辅助线，利用相似、正弦定理及余弦定理确定
中有一角及其临边为定值，得到
时，
有最
小值，计算等腰直角三角形面积即可.
【详解】（1）
∵等腰直角三角形
中，
为直角顶点，
,
∴
,
在
中，
，
∵
，
∴
.
法一：由题意得，
，
∴
.
在
中，
，
∴
,
∴
.
法二：
如图，过
作
，则
，
∵
，
∴
在
中，
，
∵
为锐角，
∴
，
∴
，
∴
.
（2）法一：如图，延长
到
使
，连接
，
设
，则
，
∵
且
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
与
相似，
∴
，
∴
.
在
中,
，
，
∴
.
在
中，由正弦定理得，
，
∴
.
∵
，
∴当
时，
，
∴
面积的最小值为
.
法二：
设
，则
.
在
中，
，
∴
，
，
在
中，
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴当
时，
，
∴
面积的最小值为
.
