文档文本内容
猜押 向量与复数
猜押考点
3 年真题
考情分析
押题依据
平面向量
与复数
2024 全国新高考I 卷1、3
2024 全国新高考Ⅱ卷2、3
2023 全国新高考I 卷2、3
2023 全国新高考Ⅱ卷1、13
2022 全国新高考I 卷2、3
2022 全国新高考Ⅱ卷2、4
1.平面向量的线性运算一般
考查基础的三角形法则，
属于简单题目。对于此类
题目可以转化成坐标运算
2.平面向量数量积运算是高
考数学高频考点，一般考
查向量的平行垂直以及夹
角问题，容易与充要条件
相结合，考查比较简单，
但是属于易错点。
3.以考查复数的运算为主，
间或涉及复数的概念、复
数的几何意义、复数模的
计算，除共轭复数的概
念，对于复数相等也应予
重视.
关于平面向量相关知识点的考查比
较广泛，主要有：
1.平面向量的概念；
2.以几何图形为载体，考查向量的
线性运算；
3.考查向量数量积及其应用，与向
量的模、夹角相结合，考查数量积
的运算；
4.考查向量的平行、垂直，一是判
断，二是求参数；
5.关注数量积、模、角的函数值及
参（系）数的最值、范围问题6.注
意向量的“工具性”作用的发挥，
在三角函数、解三角形及解析几何
问题中的应用..
题型一 向量的线性运算
1．（24-25 高一下·河南·阶段练习）在
中，
是
边上靠近
的三等分点，
是
的中点．
(1)以
为基底表示
，
；
(2)设
与
相交于点
，若
，求实数
与
的值．
【答案】(1)
，
；
(2)
.
【分析】（1）根据平面向量的线性运算，即可求解；
（2）由题意，得
，
共线，
，
共线，结合平面向量的线性运算，列方程组即可求解.
【详解】（1）由题可知
，
，
所以
，
．
（2）由题可得
，
共线，
，
共线，如图：
设
，由（1）知，
，
则
，
又
，由
，
共线，得
，使得
，
即
，
又
，
不共线，
所以
，解得
，
所以
，
，
又
，所以
．
2．（24-25 高一下·江苏南通·阶段练习）在
中，
为
上一点，且
，
则实数
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用
，将
用
表示，替换
，再结合
三点共线，即可求
出
的值.
【详解】
，
因此
，
因为
三点共线，所以
，
，
故选：B.
3．（21-22 高一下·重庆巫山·期末）设
是两个不共线的向量，已知
．
(1)求证：
三点共线；
(2)若
且
，求实数
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【分析】（1）根据
，即可得证；
（2）利用共线向量定理即可求解.
【详解】（1）由已知，得
，
因为
，
所以
，又
与
有公共点
，
所以
三点共线．
（2）由（1），知
，若
，且
，
可设
，
所以
，
即
．
又
是两个不共线的向量，所以
，
解得
．
4．（2025·全国·模拟预测）在
中，点
为
边的中点，点
为
的中点.记
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】法一：由平面向量的线性运算结合三角形法则求解即可；法二，特殊化三角形为直角三角形，借
助向量坐标运算求解.
【详解】如图，由点
为
边的中点，得
，由点
为
的中点，得
，
所以
.
故选：B
法二：将
特殊化，假设
为以角
为直角的等腰直角三角形，
如图，以点
为原点，
所在直线分别为
轴建立平面直角坐标系，
则
，
，则
，
，
根据题意，得
，
，
所以
.
故选：B.
5．（24-25 高一下·天津静海·阶段练习）如图，在
中，点
是
的中点，过点
的直线分别交直线
，
于不同的两点
，若
，
，
，则
的最小值（ ）
A．2
B．8
C．9
D．18
【答案】C
【分析】由向量加法及数乘的几何意义得
，再由向量共线的结论有
，最后应
用“1”的代换及基本不等式求最小值.
【详解】由题意，
，又
共线，则
，
且
，所以
，
当且仅当
时取等号，即
的最小值为9.
故选：C
题型二 向量的数量积与范围
1．（24-25 高一下·安徽合肥·阶段练习）在
中，
，D 为
所在平面内的动
点，且
，则
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得则
，进一步可得
，即
，由直线外一点垂
线段最短可知当
垂直于
时，
取得最小值，利用余弦定理算出
，解
即可得
的最小
值.
【详解】因为
，
，则
，故
，
故
，所以
，所以当
垂直于
时，
取得最小值.
在
中，由余弦定理得
，
在
中，
，
由直线外一点垂线段最短可知当
垂直于
时，
取得最小值，
此时
，即
的最小值为
.
故选：A.
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知向量
满足
，
，
，若向量c 满足
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】通过已知条件先求出
的值，再利用绝对值不等式
来确定
的取值范围，
进而得到
的取值范围.
【详解】由
，
，
，得
，
又
，即
,.即
，
即
故答案为：
.
3．（24-25 高一下·山东淄博·阶段练习）已知
为坐标原点，向量
，
，
（点
，
，
不重
合）满足
，
，若平面内一点
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】依题意可得
、
、
三点在以
为圆心，1 为半径的圆上，且
是圆
的直径，所以
，设
、
的夹角为
，根据数量积的运算律及定义得到
，再根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】解：因为
，
所以
、
、
三点在以
为圆心，1 为半径的圆上，
又
，
所以
，所以
，
所以
是圆
的直径，
所以
，
所以
，
设
、
的夹角为
，
则
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
即
的取值范围是
.
故选：B.
4．（24-25 高一下·江苏徐州·阶段练习）已知正方形
的边长为
，若
，其
中
为实数，则
；设
是线段
上的动点，
为线段
的中点，则
的最小值
为 .
【答案】
/
；
.
【分析】以
为原点，
所在直线分别为
轴建立平面直角坐标系，根据向量相等求出
可得空
一；设
，用
表示出
，利用二次函数性质求解可得空二.
【详解】如图，以
为原点，
所在直线分别为
轴建立平面直角坐标系，
因为
，所以
，
得
，
因为
，所以
，
得
，所以
，
设
，则
，
所以
，
所以
由二次函数性质可知，当
时，
取得最小值
.
故答案为：
；
.
5．（24-25 高一下·浙江杭州·阶段练习）已知
为单位向量，设向量
，向量
的
夹角为
，若
，求
的取值范围 .
【答案】
【分析】根据已知及数量积的运算律求得
，
，
，再
应用数量积的夹角公式求
的范围.
【详解】由
，
所以
，故
，
又
，
，
所以
，而
，所以
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据已知得到
为关键.
6．（2025 高一·全国·专题练习）如图，正方形
的边长为
分别为
边上的动点，若
为
的中点，且满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法和基本不等式求得
的最小值.
【详解】如图，以
为坐标原点，
的方向为
轴的正方向，
的方向为
轴的正方向建立平面直角坐
标系，则
，
设
，其中
，则
，
因为
，所以
，即
，
因为
，
当且仅当
时等号成立.
所以
.
又
，
所以
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
题型三 向量的垂直与向量的数量积
1．（2025·广东湛江·一模）已知向量
，
，若
，则
（ ）．
A．
B．2
C．
D．5
【答案】C
【分析】根据垂直向量的数量积以及其坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案.
【详解】因为
，所以
，所以
，所以
．
故选：C．
2．（2025·河北保定·一模）已知向量
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知条件得出两个向量的坐标，再利用向量垂直的性质列出方程，进而求解的值.
【详解】由题得
.因为
，所以
，解得
.
故选：C.
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知向量
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示列式计算得解.
【详解】由
，
，得
，
，
由
，得
，
因此
，整理得
，
所以
.
故选：C
4．（24-25 高三上·安徽阜阳·期末）已知向量
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】我们先根据向量垂直求出
的值，再根据向量模的计算公式求出
.
【详解】已知
，
，则
.
因为
，即
.
即
,解得
.
由
，则
.所以
.
故选：C.
5．（24-25 高三上·安徽安庆·阶段练习）已知
，向量
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由条件结合向量垂直关系可得
，再利用基本不等式求结论.
【详解】根据题意，向量
，
，
则
，即
，
变形可得
，
则
又由
，则
，
当且仅当
时等号成立，
则
，
则
的最小值为
故选：B.
6．（23-24 高一下·陕西榆林·阶段练习）已知向量
，
.
(1)若
，求
；
(2)设
，若
，当
取最小值时，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量共线坐标运算得
，结合
，代入向量模的坐标运算公
式求解即可.
（2）根据垂直的坐标运算得
，结合
，代入向量模的坐标运算公式求得
，然后利用数量积模的运算律求得
，利用二次函数性质求解最值即可.
【详解】（1）若
，则
，即
，
又
，解得
，
，
所以
；
（2）若
，则
，
又
，所以
，
，
所以
.
又
，所以
，
所以
，
所以当
时，
取得最小值.
题型四 复数的概念与运算
1．（2025 高三·全国·专题练习）（多选）已知
都是复数，下列选项中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BD
【分析】取特殊复数计算判断A，C，设复数结合复数乘法及复数模长计算判断B，根据已知复数运算律得
出模长判断D.
【详解】对于选项A，取
，
，则
，
，满足
，但
，则A 不正确；
对于选项B，设
，
，
因为
，所以
不同时为0，
，
则B 正确；
对于选项C，取
，
，满足
，则C 不正确；
对于选项D，因为
，所以
，所以
或
，则
，则D 正确．
故选：BD．
2．（2025·河南郑州·二模）（多选）已知复数
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABC
【分析】设
，得到其在复平面的点坐标，设
，证明
，从
而得到点
的轨迹为椭圆，然后得到椭圆方程.结合椭圆中线段分别计算各个选择中的结果即可.
【详解】设
，则复数
在复平面内对应点
，设
，
则
，同理
，
∴
，即点
的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴
，焦半径
，
∴短半轴
，∴点
的轨迹方程为：
，
A 选项：
，A 选项正确；
B 选项：
，B 选项正确；
C 选项：若
，即
，令
，则
，∴
，C 选项正确；
D 选项：
，若
，则
或
，当
时，
，此时
；当
时，
，此时
，D 选项错误.
故选：ABC.
3．（24-25 高三下·上海·阶段练习）已知复数z 的虚部为1，且
为实数，则
．
【答案】
【分析】令
，由复数的四则运算即可求解；
【详解】令
，则
因为
为实数，
所以
，解得：
，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
故答案为：
4．（24-25 高三下·广东广州·期末）已知公式
，其中是虚数单位，根据此公式计算
的虚部是 .
【答案】
/
【分析】根据题意可得
，由此计算可得结果.
【详解】由题意得，
，
∴
，
∴
的虚部是
.
故答案为：
.
5．（2025 高三·全国·专题练习）若复数
满足
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】由复数的乘法运算及虚部概念即可求解；
【详解】由
，解得
，
所以
．
所以
的虚部为1．
故选：C．
6．（2025 高三·全国·专题练习）若
是纯虚数，则实数
为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】利用复数的除法公式化简复数，在根据复数的特征，即可求解.
【详解】因为
是纯虚数，所以
，
解得
．
故选：D．
7．（24-25 高三下·江苏盐城·阶段练习）（多选）若复数z 满足
，则（ ）
A．
B．z 的虚部为
C．
D．
【答案】AD
【分析】利用已知条件进行化简求出复数
即可.
【详解】
得
，
则z 的虚部为，
，
，
故AD 正确，BC 错误.
故选：AD.
题型五 复数的几何意义
1．（24-25 高一下·福建福州·阶段练习）复数
在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的四则运算化简，利用复数的几何意义即可得解.
【详解】
，则复数对应点为
，在第四象限.
故选：D.
2．（2025·全国·模拟预测）（多选）已知复数
，则（ ）
A．
的虚部为
B．
在复平面内对应的点位于第一象限
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据复数的除法和乘法计算化简得出虚部判断A，根据复数对应点判断B，应用模长计算判断C，
计算化简求和判断D.
【详解】对于A，
，故
，其虚部为
，故A 错误；
对于B，由A 选项可知，
，在复平面内对应的点为
，位于第一象限，故B 正确；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 正确.
故选:BCD.
3．（24-25 高一下·天津武清·阶段练习）已知复数
，且
为纯虚数（
是z 的共轭复
数）．
(1)求实数m 的值；
(2)设复数
，求
；
(3)复数
在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用复数的乘法法则化简复数
，根据该复数为纯虚数可求得
的值；
（2）利用复数的除法法则化简复数
，利用复数的模长公式可求得
的模；
（3）利用复数的除法化简复数
，利用复数的几何意义可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的
取值范围．
【详解】（1）因为
，则
，
所以
，又
为纯虚数，
所以
，解得
；
（2）
，
所以
；
（3）因为
，
所以
，
因为复数
在复平面内对应的点在第一象限，则
，
解得
，所以实数a 的取值范围为
．
4．（24-25 高一下·浙江台州·阶段练习）（多选）设复数
在复平面内对应的点为
，原点为
，为虚数
单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
或
B．若点
的坐标为
，则
对应的点在第三象限
C．若
.则
的模为7
D．若
，则点
的集合所构成的图形的面积为
【答案】BD
【分析】由复数的模判断AC；由复数的基本概念和几何意义运算判断BD．
【详解】对于A，设
，由
，则
，故A 错误；
对于B，由点
的坐标为
，则
，
，
所以复数
对应的点为
，对应的点在第三象限，故B 正确；
对于C，由
，则
，故C 错误；
对于D，设
，由
，则
，
所以点
的集合所构成的图形的面积为
，故D 正确.
故选：BD.
5．（2025·青海海南·模拟预测）（多选）定义复数运算：
．若
，且
（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
的虚部为
B．
的模为
C．
D．
在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】BCD
【分析】根据题设新定义，利用共轭复数的定义、复数的运算及复数相等，得到
，再对各个选项
逐一分析判断，即可求解.
【详解】设
，由题意知
，
即
，则
，解得
，所以
，
对于选项A，因为
的虚部为1，所以A 错误；
对于选项B，因为
，所以B 正确；
对于选项C，因为
，故C 正确，
对于选项D，因数
在复平面内对应的点
在第二象限，所以D 正确，
故选：BCD.
