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专题06 平面向量数量积及最值与范围问题
题型01 平面向量模、夹角及最值(范围)
1．（25-26 高一下·安徽阜阳·月考）已知向量
，
满足
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高一下·云南文山·月考）（多选）已知向量
，且
，则实数
的值可以为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
3．（25-26 高三上·贵州黔南·期末）已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．4
4．（25-26 高一下·福建南平·月考）已知向量
，
为单位向量，
，则
，
的夹角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
5．（25-26 高一下·安徽阜阳·月考）已知向量
，
，若
与
的夹角为锐角，则x 的取值范围
为______．
6．（25-26 高一下·陕西榆林·月考）已知
，
与
的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·北京东城·二模）已知单位向量
的夹角为
，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·江西南昌·一模）已知向量
，
，
，若向量满足
，则
的最大值为
________.
9．（北京市东城区2025-2026 学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）设单位向量
，
满足
．若
，则
________；若
与
的夹角为
，且
，则实数
________．
10．（25-26 高三下·湖南长沙·月考）已知
为单位向量，且
，则
的最小值为
（ ）
A．2
B．
C．4
D．6
11．（25-26 高一下·北京平谷·月考）如图，在正方形
中，
是
的中点，
是
边上靠近点
的三等分
点，
与
交于点
，则
___________，
___________．
题型02 平面向量数量积及最值(范围)
12．（24-25 高一下·北京通州·期末）在
中，
，
，点
在线段
上，若
，
则
__________；若
，当
取得最小值时，
___________.
13．（2026·北京房山·一模）已知平面直角坐标系
中，
，
，
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（25-26 高一下·山东济南·月考）如图，在四边形
中，
为等边三角形，
，
则
______．
15．（25-26 高一下·安徽六安·月考）已知
是边长为1 的等边三角形，
为平面
内一点，则
的最小值是___________．
16．（25-26 高一下·安徽阜阳·月考）如图，在
中，P 为线段AB 上一点（包含端点），且
．
(1)若
，求x，y 的值；
(2)若
，
，
，且
与
的夹角为60°，求
的值，
(3)若
，
，
，且
与
的夹角为90°，求
的取值范围．
17．（25-26 高一下·江苏扬州·月考）如图，
分别是菱形
的边
和
上的动点，且
.
(1)若
分别是
的中点，求
；
(2)若
分别是
的中点，
是线段
上的任意一点，求
的最大值；
(3)若
分别为线段
和
上的动点，且
，求
的取值范围.
18．（25-26 高一下·陕西宝鸡·月考）已知菱形
的边长为
，E 为直线
上的一点，
，
则
的值为__________.
题型03 平面向量与几何的最值
19．（25-26 高一下·山东济南·月考）（多选）如图，
是边长为2 的等边三角形，以
的中点
为圆心，1
为半径作一个半圆，点
为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
的最大值为4
D．若
，则
的最大值为
20．（25-26 高一下·北京·月考）如图，矩形
中，
分别为边
上的动点，且
.则
的最小值为（ ）
A．8
B．16
C．
D．
21．（25-26 高一下·江苏镇江·月考）在菱形
中，
，点
在线段
上，则
的最小
值为 ________.
22．（2026·天津红桥·一模）四边形
中，
，则实数
___________；若
是线段
上的动点，且
，则
的最小值为___________．
23．（25-26 高一下·湖南衡阳·月考）（多选）如图，
是边长为
的等边三角形，
是
的外接圆圆
心，延长
与
交于点
是外接圆上一点，则（ ）
A．
的最大值为4
B．
C．
D．当
取最大值时，
三点共线
24．（25-26 高一下·江苏南京·月考）已知点
在以
为圆心，3 为半径的圆上，且
，则
的取值范围__________.
25．（2026·湖北·二模）如图，
是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若
，
，点M 为线段
上的动点，则
的最大值为（ ）
A．
B．21
C．24
D．40
26．（25-26 高三上·河南·月考）已知下图是一个边长为2 的田字格（由4 个边长为1 的小正方形构成），田字格
中有9 个节点（如图加黑的9 个点），
，
，
为这9 个点中均不相同的三个点，则
的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
题型04 平面向量中参数值及最值(范围)
27．（安徽铜陵市2026 届普通高中高三下学期4 月模拟考试数学试题）在
中，点D 为边
的中点，过点
D 的直线与
，
两边（或其延长线）分别交于点E，F，设
，
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（25-26 高一下·山东济南·月考）已知三点
共线，
不共线且
在线段
上（不含
端点），
若
，则
的最小值为（ ）
A．7
B．4
C．9
D．11
29．（25-26 高一下·河北保定·月考）已知平面内A，B，C 三点共线，O 是平面内任一点，且
，
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
30．（25-26 高一下·山东枣庄·月考）在
中，点
为
边上的中点，点
满足
，点
是直线
的交点.过点
作一条直线交线段
于点
，交线段
于点
（其中点
均不与端点重合）设
，则
的最小值为______.
31．（25-26 高一下·广东梅州·月考）如图，在
中，点
是
的中点，过点
的直线分别交直线
于
不同的两点
，若
，
，则
的最小值（ ）
A．
B．
C．
D．
32．（25-26 高一下·重庆·月考）如图，设
，线段DE 与BC 交于点
，且
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．
D．
33．（25-26 高三下·宁夏中卫·开学考试）如图，设
，线段
与
交于点
，
且
，通过计算得到：
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．9
C．
D．
34．（25-26 高一下·广东茂名·月考）在
中，点
在线段
上，且满足
，点
为线段
上任
意一点（除端点外），若实数
，
满足
，则
的最小值为________
35．（25-26 高一下·湖南长沙·开学考试）在
中，内角
的对边分别为
，已知
，
的面积为6，P 为线段BC 上的一点，且
(1)求
的值；
(2)求
的最小值.
强化训练
1．（2026·广东广州·二模）在
中，已知
，则向量
在
上的投影向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026 高三下·重庆·专题练习）已知下图是一个边长为3 的九宫格（由9 个边长为1 的小正方形构成），九宫
格中有16 个节点（如图加黑的16 个点），从这16 个点中任选互不相同的三个点A，B，C，则
的最大值
为（ ）
A．12
B．13
C．14
D．15
3．（25-26 高一下·湖北武汉·月考）已知平面向量
，
，
，且
已知向量
与
所成的角为
，且
对任意实数恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．4
4．（25-26 高三下·安徽·月考）已知向量
，
满足
，
，
，则
在
上的投影向量是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知向量
的夹角为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．48
D．75
6．（2026·湖南邵阳·二模）已知
是
内的一点，且
，
.若
，
和
的面积分别为1，
，
，则
的最小值是（ ）
A．
B．9
C．15
D．20
7．（25-26 高一下·江苏淮安·月考）已知线段AB 是
的一条直径，
的半径为R（
），点P 是
上的
一点且
，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．无法确定
8．（25-26 高一下·云南曲靖·月考）（多选）如图，在直角梯形
中，
，
，
，
为
上靠近
的三等分点，
交
于
，
为线段
上的一个动点，设
，则下列说法
正确的是（ ）
A．
和
表示
B．
C．向量
在
方向上的投影向量为
D．
的取值范围为
9．（25-26 高一下·广东梅州·月考）（多选）如图，圆
内接边长为1 的正方形
是弧
（包括端点）上
一点，则下列正确的是（ ）
A．
，则
的最大值为2
B．
的最大值为
C．
的最大值为1
D．点
为正方形ABCD 内一点，则
最小值为
10．（24-25 高二下·江苏苏州·月考）（多选）若双曲线
的左，右焦点分别为
，过
的右支上一
点
作圆
的切线，切点为
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
的面积为
B．若
为圆
上的一动点，则
的最小值为
C．四边形
面积的最小值为
D．
的最小值为
11．（25-26 高一下·河南·月考）（多选）如图，已知直线
，点
是
之间的一个定点，点
到
的距离分
别为1 和2．点
是直线
上一个动点，过点
作
，交直线于点
，则（ ）
A．
B．
面积的最小值是
C．
D．
不存在最小值
12．（25-26 高三上·河南·期末）（多选）某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形
拼成．已知
，则（ ）
A．
B．
C．设
为
内一点（含边界），
的最小值为6
D．设
为等腰梯形
内一点（含边界），若
，则
的取值范围为
13．（25-26 高一下·江苏无锡·月考）如图，在
中，已知
，
，
，
边上的中线为
，
为
边上靠近
的四等分点，连接
交
于点
．则
的余弦值为________．
14．（25-26 高三下·江西·月考）在三角形
中，
边上的中线
，外心为
，重心为
，
则
的取值范围是__________.
15．（25-26 高一下·黑龙江哈尔滨·月考）若正方形
的边长为2，
分别为
的中点，
为线段
上的动点（含端点），则
的最小值为__________.
16．（25-26 高一下·河北石家庄·月考）已知向量
，
满足对任意的
，都有
，若
，则
的最大值是_______.
17．（2026 高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系
中，
，设
，则
的
取值范围为________.
18．（25-26 高一下·江苏盐城·月考）在梯形ABCD 中，
，
，
，AC 与BD 交于点E，且
，点F 在线段AB 上，且
，平面内的动点P 满足
，则
的最大值为_______．
19．（25-26 高一下·天津·月考）梯形
中
平行于
，
，
，
，P 为腰
所在直线
上任意一点，则
的最小值是___________．
20．（25-26 高一下·安徽滁州·月考）已知正八边形
的边长为2，点
为正八边形的中心，点
是正八
边形内一动点（含边界），则
的最大值是______.
21．（2026·山东滨州·一模）已知点
为
所在平面内一点，
，若
，
则
的取值范围为__________．
