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专题05 解三角形中的范围与最值问题
题型01 三角形中的边长或周长的最值或范围
1．（2026·河南许昌·模拟预测）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，.已知
，
，若
是
的中点，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【解题思路】利用三角恒等变换先化简，进而得
，再由余弦定理即可求解.
【解析】由
，
所以
，
又
，所以
，
所以
，
所以
，
又
，
，
所以
，所以
，
又
是
的中点，所以
，
由余弦定理有：
，
又
，
所以
，
当
时，
，即
.
2．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角
中，
为边
上一点，
平分
，且
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
长度的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解题思路】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式化简得出
，再结合角的范围得出
，最后
应用等角对等边即可证明；
（2）先应用正弦定理结合角平分线性质计算化简，再换元设
，
，结合正弦函数值域及单调性计算
求解.
【解析】（1）由
与正弦定理可得
展开得
，
所以
，即得
，
由于
为锐角三角形，
和
均在
内， 则
或
，
当
时，因
，则
，即得
，此时题设条件不满足，舍去.
故
，又
平分
，所以
．
故
．
（2）由（1）知
，则
．
因为
为锐角三角形，
所以
解得
已知
，由正弦定理
，得
因
平分
，则
设
，则
，且由（1）知
，
则得
（*）
因
，
则
，
设
，由
，得
，则
．
由
可得
，
又函数
在
上单调递增，
故
，即
.
3．（2026·浙江嘉兴·二模）已知
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，且
.
(1)求角C 及边c 的值；
(2)求
的最大值.
【答案】(1)
，
(2)4
【解析】（1）由
，
根据余弦定理，得
，
因为
，则
.
由
，得
，
根据正弦定理，得
，则
.
（2）由（1）知，
，
则
，即
，
当且仅当
时等号成立，
则
的最大值为4.
4．（25-26 高三上·安徽六安·期末）已知
、
、分别为
三个内角
、
、
的对边，且
.
(1)求角
；
(2)已知
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）利用余弦定理角化边，再利用余弦定理公式可得答案；
（2）利用正弦定理将
转化为
，然后利用三角恒等变换的公式将
表示成三角函数的形式，
通过三角函数的值域的求法求出范围.
【解析】（1）因为
，所以
，
即
，即
，
所以
，
又
，所以
；
（2）由（1）知
，又
，
由正弦定理
，
所以
，
所以
，
又
，所以
，
所以
，
所以
的取值范围是
.
5．（2026·浙江·模拟预测）已知
的外接圆半径为2，∆ABC的内角A，B，C 的对边分别为
，且
.
(1)试判断
的形状；
(2)若
，求∆ABC周长的最大值.
【答案】(1)钝角三角形
(2)
【解题思路】（1）根据余弦定理，可得
，则
，故C 为钝角，可得△ABC 为钝角三角形.或使
用正弦定理对条件进行边化角，由两角和的正弦公式可得
，从而得到△ABC 为钝角三角形；
（2）由正弦定理进行边角互化，可求得
，从而得
.由此可用
表示
，利用正弦定理将
表示成
的函
数，根据正弦函数的最值，可求得
的最大值，再求出，即可得到
周长的最大值.
【解析】（1）因为
，由余弦定理得
，即
.
故
，所以
，故C 为钝角，
所以△ABC 为钝角三角形.
另解：因为
，由正弦定理得
，
因为
，所以
，
即
，即
，
因为
，所以sin B>0，
所以
，故C 为钝角，
所以
为钝角三角形.
（2）
的外接圆半径为
.
由题
，由正弦定理
，
得
，即
.
由（1）知C 为钝角，所以
.
又
.
因为
，所以
，
所以当
，即
时，
取得最大值，
取得最大值
，即
的最大值为4.
又
，
所以
的周长
的最大值为
.
6．（2026·福建漳州·二模）在凸四边形
中，
，
，
，
，则AC 的最大值
为______．
【答案】
【解析】由题意如图所示：
在
中，设
，由
，则
，又
，
根据余弦定理有：
，
即
，解得：
，
所以
，所以
，
设
，则
，
在
中，
，
根据余弦定理有：
，
化简得：
，
在
中，由正弦定理得：
，
在
中，由余弦定理得：
，
当
时，
有最大值
，所以
的最大值为：
.
7．（2026·河南南阳·一模）（多选）在锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，．已知
，
，
成等差数列，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
周长取值范围为
D．若
是
外接圆的圆心，则
和
面积之差的取值范围为
【答案】ABD
【解题思路】AB 利用正弦定理边角互化即可；C 利用正弦定理将周长用
来表示，求关于
的函数的取值范
围；D 利用正弦定理将面积差用
来表示，求关于
的函数的取值范围.
【解析】由题意得，
，
则由正弦定理得
，
因为
，所以
，则
，则
，故A 正确；
因为
，所以
，
则
，
因为
，所以
，故B 正确；
由
，即
，得
，
所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，得
，
则
，
因为
，所以
，
则
，故
，
故
周长取值范围为
，故C 错误；
设
的外接圆半径为
，
，则
，则
，
故
和
面积之差为
，
因为
，所以
，则
，
故当
时，
；当
时
，当
时
，
故
和
面积之差的取值范围为
，故D 正确.
题型02 三角形中的面积的最值或范围
8．（2026·广东汕头·模拟预测）在
中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c．
且
．
(1)若D 为AB 边上靠近点A 的三等分点，
，求
面积的最大值；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据二倍角公式以及正弦定理可把题中第一个条件转化为
，根据余弦定理可将题中第
二个条件化简为
，根据向量的线性表示以及模长公式，即可余弦定理得
，进而
根据二次方程的判别式求解
，即可根据面积公式求解，
（2）根据（1）结果结合余弦定理可得
，求出
的范围后可求
的取值范围.
【解析】（1）由
可得
，即
,
故
，则
,
由正弦定理可得
，
由
可得
,
由于D 为AB 边上靠近点A 的三等分点，
，故
,
平方可得
,
故
，
由余弦定理可得
，故
，
则
，
将
代入上式可得
，
由于该关于
的一元二次方程有解，故
，故
，
由于
,当且仅当
取到等号.
故三角形面积的最大值为
，
（2）由（1）可得
，故
，
而
，故
，
而
，故
，
故
，故
，故
，
因此
，综上可得
.
9．（2026·四川德阳·二模）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
时，求△ABC 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得.
（2）由（1）中信息，结合基本不等式求出
的最大值即可得解.
【解析】（1）在
中，
，而
，即
，
，由余弦定理得
，
所以
.
（2）由（1）知，
，
，而
，于是
，
即
，当且仅当
时取等号，
因此
的面积
，
所以当
时，
面积取得最大值
.
10．（2026·北京·模拟预测）在
中，角
，
，
所对的边分别
，
，，
．函数
的图象关于点
对称．
(1)当
时，求
的值域；
(2)若
，求
的面积最大值．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）先由
得角A，进而化简
，再由
的范围即可求解；
（2）由余弦定理求出
的最大值即可由
求解.
【解析】（1）由题可得
，
所以
，因为
，所以
，
所以
，
因为
，则
，所以
，
所以
的值域为
；
（2）由（1）得
，又
，所以
，
即
，
当且仅当
时等号成立，
所以
的最大值为
，
所以
，即
的面积最大值为
.
11．（2026·山东菏泽·一模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
，则
的面
积的最大值为（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解题思路】由条件根据余弦定理求
的表达式，利用基本不等式求
的最小值，再由同角关系求
的
最大值，利用三角形面积公式求结论.
【解析】由余弦定理可得
，又
，
，
所以
，
由基本不等式可得
，当且仅当
时等号成立，
所以
，又
，
所以
，
，
所以
的面积
，
所以当
时，
的面积取最大值，最大值为
.
12．（2026·湖南湘潭·二模）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，．已知
，且
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】由余弦定理和均值不等式运算，再通过三角形面积公式计算即可.
【解析】因为
，所以
，
所以
．因为
，所以
，
当且仅当
时，等号成立，
则
的面积
，
则
面积的最大值为
．
故选：A.
13．（2025·山东泰安·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，且满足
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）结合正弦定理求出三边之间的关系，再结合余弦定理求出角
的大小；
（2）利用正弦定理推出a、b 和
、
之间的关系，再结合三角形面积公式将面积表示为三角函数，最后结
合三角恒等变换求出最大值即可．
【解析】（1）由正弦定理，因为
，
所以
，化简整理得
，
由余弦定理，
，
，
．
（2）由（1）知
，
，由正弦定理可得
，
面积
，
又
，
，
又
，其中
，
当
，即
时，面积有最大值，为
．
14．（2025·广西·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别为
，已知
.
(1)求内角
的大小；
(2)若
，求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据正弦定理边化角，再利用辅助角公式化简，结合特殊角即可求出角A；
（2）法一：结合余弦定理以及基本不等式即可求出最值；法二：根据正弦定理边化角，利用三角函数求最值，注
意定义域.
【解析】（1）由正弦定理有
，
因为
，所以
，
故
，即
，即
，
因为
，所以
，
所以
，即
.
（2）法一：因为
，即
，
因为
，
所以
，即
（当且仅当
时取等），
故
（当且仅当
时取等），
所以当
时，△ABC 面积S 有最大值，最大值为
.
法二：由正弦定理有
，
即
，
，
因为
，所以
，
当
，即
时，
有最大值，最大值为1，
.
题型03 几何图形中的计算
15．（25-26 高三上·贵州遵义·月考）如图，在四边形
中，
．
(1)求
的值；
(2)若
，且
的面积是
面积的4 倍，求
的长．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）在
中，结合
以及
，运用正弦定理以及差角的正弦公式，再
运用同角三角函数的基本关系，即可得解；
（2）根据（1）中结论，结合
，运用正弦定理可求得
，再根据二倍角公式求出
，最后利用三角形面积公式列出方程
，即可解得
.
【解析】（1）设
，则
，
由正弦定理可知，
，即
，
整理得
，又因为
，
，
可解得
，即
.
（2）由（1）可知，
，
.
由正弦定理可知，
，解得
，
又
，
.
，
.
，
，
，
，
解得
.
16．（25-26 高三上·河北·期末）在
中，
为AC 边上的动点，若AC 边足够
长，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】先由题设结合余弦定理求出
，接着将所求进行转化得到
，再构造
，过
作
，垂足为
，过
作
，垂足为
，数形结合即可分析求解.
【解析】因为
，所以
，
则
，
由余弦定理，
，
又
，所以
，
则
.
如图，设
，过
作
，垂足为
，则
，
过
作
，垂足为
，
则
.
故选：C
17．（2026·四川成都·二模）如图，正方形
的边长为1，P，Q 分别为边
，
上的点．
(1)若
，
，求
；
(2)当
的周长为2 时，求
的大小．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）分别求出
的值，进而得到
的值，再利用勾股定理即可求出
；
（2）设
，
，
，
，利用
的周长为2 求出
的值，再结合
的范围求出
的值，即可得解.
【解析】（1）由题意知
，则
，
所以
；
（2）
设
，
，
，
，则
，
．
由
的周长为2 可得
，即
，
两边同时平方可得
，化简得
．
所以
．
又因为
，所以
．
所以
．
18．（2026·陕西·二模）在
中，内角
所对的边分别为
，
，
为
的角平分
线，且
．
(1)若
，求
的大小；
(2)设
为
中点，连接
，
面积取得最小值时，求线段
的长度.
【答案】(1)
；
(2)2
【解题思路】（1）由正弦定理得到
，根据
，结合三角形面积公式建立关于
的方程，
再结合余弦定理求解
；
（2）同（1）建立关于
的方程，再结合基本不等式求解
最值，进而根据等腰三角形性质求解即可.
【解析】（1）因为
，由正弦定理得
.
因为
的角平分线交
于点
，所以
，
由
，得
，
则
，
即
，所以
.
在
中，由余弦定理得
，
即
；
（2）由
，得
，
得
，
化简得
，即
，
所以
，即
，
当且仅当
时等号成立，
取得最小值，
面积取得最小值，
此时
为等腰三角形，
为
中点，则
既是中线也是角平分线.
即
重合，故
.
19．（2026·广东汕头·一模）
中，
，延长
到点
，使
，连接
．若
，则
的大小为_______.
【答案】
/
【解题思路】
，利用等腰三角形的性质和正弦定理可得
，结合
三角变换公式可得
，构建新函数
，其中
，根
据该函数单调性可求
.
【解析】
不妨设
，因为
，故
，所以
，
故
，设
，则
，
在
中，由正弦定理有
，
所以
，
所以
即
，
设
，其中
，
因为
，
，
故
在
上为减函数，
而
在
上为减函数，故
在
上为减函数，
而
，
故
有唯一解
，故
20．（2026·山东·模拟预测）在
中，
，点
在
延长线上，
．
(1)求
；
(2)若
的面积为
，求线段
的长度．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据三角形边长关系利用勾股定理可得三角形各内角度数，设
，则利用
可得
；
（2）方法一：根据面积为
可求得
，再利用余弦定理计算可得
；
方法二：根据面积为
可求得
，可知
，再由勾股定理计算可得
；
【解析】（1）因为
，如下图：
设
，则
，可得
，
所以
，.
设
，则
，
在
中，由正弦定理得，
，则
，
因为
，所以
，
所以
.
（2）方法一：
由（1）知，
，则
，所以
.
在
中，由余弦定理得，
，
所以
．
方法二：
由（1）知，
，则
，所以
，.
所以
，在
中，由勾股定理得
．
题型04 正余弦定理与三角函数性质的结合应用
21．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数
，其中
.
(1)若函数
在区间
内恰有2 个极值点，求
的取值范围；
(2)当
时，在
中，角
所对的边分别为
，且
，求边
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）先化简得到
，由
在
上恰有2 个极值点，结合三角函数的性
质，列出不等式，即可求解；
（2）由
，得到
，求得
，且
，再由正弦定理，求得
，结合
和三角函数的性质，即可求得实数
的取值范围.
【解析】（1）解：由
，
因为
，可得
又因为
在
上恰有2 个极值点，则满足
，
解得
，所以
的取值范围为
.
（2）解：当
时，可得
由
，可得
，即
，
因为
，可得
，所以
，
解得
，所以
，
又由正弦定理
，可得
，
所以
，
又因为
，可得
，所以
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
所以实数
的取值范围为
.
22．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知
的内角
，
，
所对的边分别是
，
，，若
，
，角
的角平分线交
于点
，则线段
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】先利用三角形内角和与三角恒等变换，将已知条件
转化，求出
,后通过面积
法建立角平分线
与边
的关系，得到
，再结合余弦定理和基本不等式求出
的最大值为
.
【解析】由
,
即
，
,又
,
,
,
因为
为角
的角平分线,
所以
,
而
,
则
，又
，
则
,所以
化简得：
即
,
，当且仅当
时取等号.
故选：C
23．（2025·湖北黄冈·二模）如图，锐角
的内角A ,B , C 的对边分别为
，直线与
的边AB，
AC 分别相交于点D，E，设
，满足
.
(1)求角
的大小；
(2)若
且
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到
，进而得到
，即可求解；
（2）由正弦定理，得到
，化简
，根据锐角三角形
，求得
，结合三角函数的性质，即可求解.
【解析】（1）解：因为
，
可得
，
可得
，
所以
，可得
，
又因为
，可得
，
所以
，因为
，所以
.
（2）解：因为
，可得
且
，
由正弦定理得
，可得
，
则
，
在锐角三角形
中，可得
，可得
，可得
，
所以
，所以
，所以
，
所以
的取值范围为
.
24．（24-25 高三上·云南·月考）在
中，
分别为角
的对边，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，设角
的大小为
，
的周长为
，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到
，进而得到
，求得
，即可求得
的大小；
（2）根据题意，由正弦定理得到
，结合三角恒等变换的公式，化简得到
的周长
，再由
，利用三角函数的性质，即可求得
周长的最大值.
【解析】（1）解：在
中，因为
，
由正弦定理可得
，
即
，
可得
,
因为
，所以
，可得
，
所以
，
又因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
.
（2）解：由题意知：
，
，且
，则
，
根据正弦定理得
，可得
，
所以
的周长
，
因为
，所以当
，即
时，
取得最大值，
此时
，即
周长的最大值为
.
25．（2025·河北秦皇岛·三模）（多选）在平面四边形
中，
，
，
，
，
为
边
的中点，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．若
，
，
，
四点共圆，则
B．当
时，
，
，
，
四点共圆
C．若
，则
的面积为
D．当
变化时，
长度的最大值为
【答案】AC
【解题思路】对于选项A，若四点共圆且
，用勾股定理得
. 又因
且
，由
，求出
. 对于选项B，四点共圆时
，即
. 用余弦定理列出关于
的等式求解，再代入求
判断对错. 对于选项C，在
中，根据三边和角度，用余弦定理求
长度. 由等腰直角三角形性质，
为AC 中点，得出
与
关
系，进而求
面积. 对于选项D，因
，
是中点，得
与
关系及角度关系.用余弦、正弦定理求相关
量，在
中求
并化简. 对式子变形，求
最大值.
【解析】对于选项A，四点共圆性质与勾股定理应用：若
，
，
，
四点共圆，
当
时，根据勾股定理可得
.已知
，
，则
，即
.
又因为
且
，所以
，那么
，解得
，故A 正
确.
对于选项B，若
，
，
，
四点共圆，则
，所以
.
在
中，根据余弦定理
；在
中，
.
已知
，
，
，代入可得
，解方程可得
.
再将
代入
，故B 错误.
对于选项C，如图，取
中点N，在
中，
，
，连接
.
根据余弦定理
，则
.
因为
，
，
为
的中点，所以
，
.那么
的面积为
，故C 正确.
对于选项D，设
，
，因为
，
分别为边
的中点，
所以
，
，
.
在
中，由余弦定理得
；
由正弦定理
，可得
.
在
中，
，
由余弦定理得
.
令
，因为
，所以
，则
.
那么
，令
，
在
上单调递增，
当
时，
的最大值
，所以
长度的最大值为
，故D 错
误.
故选：AC.
26．（2025·陕西西安·二模）在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知R 是该三角形外接圆的半
径，且
．
(1)求角C；
(2)若
的面积为S，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得
.
（2）将
转化为角的形式，由此求得取值范围.
【解析】（1）依题意，
，
，
由正弦定理得
，
所以
，
，
所以
，所以
为锐角，且
.
（2）
，
由于三角形
是锐角三角形，所以
，
所以
，所以
，
所以
的取值范围是
.
强化训练
1．（2026·河北保定·一模）已知
的内角
所对的边分别为
，
则
的内切圆面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】设
的内切圆半径为，利用
，把表示成关于
的函数，
利用基本不等式求出的最大值可得答案.
【解析】由
，
，
得
，
由余弦定理得
，
整理得
.
设
的内切圆半径为，则
，
所以
，
由余弦定理得：
，
得
，所以
，
由基本不等式得：
，所以
，
当且仅当
时等号成立，所以
，
故
，所以
的内切圆面积的最大值为
.
2．（2026·广东广州·二模）在锐角
中，角
所对的边分别为
且
，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】根据二倍角公式可得
，根据一元二次方程有解，可由判别式，结合三角
函数的性质可得
，
，即可根据正弦定理求解.
【解析】由
可得
，
因此
，
由于
，
故
，即
，又
，故
，
结合
为锐角，则
，故
,且
，此时
，
因此
且
，故
，
又
，则
，
故
，
由于
，则
，
，
故
.
3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知
的三个内角
所对的边分别为
，
，
的面积为
，角A 的平分线交边
于D，且
，则a 为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解题思路】由面积公式及角平分线的性质推导出
，再由面积公式求出
和
，最后由余弦定理计算
a.
【解析】因为
，且角A 的平分线交边BC 于D，且
，
所以
，即
，
又
，所以
，所以
，
，
由余弦定理得
，
所以
，即
，
故选：A．
4．（2026·山东聊城·一模）已知
中，
，D 是边
上一点，
，
，且
，
则边
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】由
求出
，由
的值和
求出
，利用诱导公式求出
和
，由
，利用两角差的正弦公式求出
的值，利用正弦定理求出
的值，由
得到
，计算出
的值，由
是边
上一点得到
，代入数值得
解.
【解析】
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是边
上一点，
.
5．（2025·四川资阳·一模）（多选）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，.若
，
，则（ ）
A．
的周长为6
B．
，
，成等差数列
C．角
的最大值为
D．
面积的最大值为
【答案】ABD
【解题思路】利用正弦定理结合等差数列的性质判断B，结合题意判断A，利用余弦定理结合基本不等式判断C，
利用三角形面积公式判断D 即可.
【解析】对于B，因为
，所以
，
则
，
，成等差数列，故B 正确，
对于A，因为
，所以
，可得
的周长为6，故A 正确，
对于C，由余弦定理得
，
由基本不等式得
，当且仅当
时取等，
可得
，由余弦函数性质得
在
上单调递减，
而
，得到
，即角
的最大值为
，故C 错误，
对于D，由三角形面积公式得
，
可得
面积的最大值为
，故D 正确.
故选：ABD
6．（2025·辽宁大连·一模）（多选）在
中， 已知
，下列说法不正确的是（ ）
A．
B．若
， 则
面积最大值为
C．记
的内切圆半径为
， 设
， 则
在
上单调递增
D．若
，若
和的长度一定，则有两个满足条件的不同三角形
【答案】ACD
【解题思路】选项A，利用正弦定理、余弦定理以及两角和正弦展开式即可判断；选项B，利用余弦定理以及基本
不等式即可判断；选项C，取特例可知；选项D，利用正弦定理结合相关的性质判断即可.
【解析】选项A：由余弦定理得：
，
又
，
所以
，
由正弦定理得：
，
因为
，所以
，
所以
，
即
，
即
，
因为
，所以
，
所以
，又
，
所以
，故A 选项不正确；
选项B：因为
，
所以由余弦定理
得：
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，即
，
所以
，
所以B 选项正确；
选项C：由
的内切圆半径为
，
则
，
即
，
当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
.
因为
，所以
.
所以
在
上的不单调递增，故C 选项错误；
选项D：由正弦定理
得：
，
由
即
，
所以
，又
，
所以
，又
，
所以
且
，即
，
又
和的长度一定，此时满足条件的角
只有一个值，
所以只有一个满足条件的三角形，
故D 选项不正确；
故选：ACD.
7．（2025·广西南宁·模拟预测）（多选）设
内角
的对边分别为
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
的外接圆面积为
D．若M 为
中点，则
【答案】AC
【解题思路】由余弦定理判断A，B；利用正弦定理求出
的外接圆的半径，即可判断C；利用向量判断D.
【解析】对于A，由余弦定理可得
，
所以
，故A 正确；
对于B，由余弦定理可得
，
所以
，故B 错误；
对于C，由正弦定理可得
，
所以
，
所以
的外接圆面积为
，故C 正确；
对于D，因为M 为
中点，
所以
，
所以
，
所以
，故D 错误.
故选：AC.
8．（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为30 米，40 米，50 米的三角形草坪（记为
），点
，
在
的边上，线段
把草坪分成面积相等的两部分．如果沿
铺设灌溉水管，则水管的最短长度为
______米．
【答案】20
【解题思路】分别讨论
在各个边的情况，结合三角形面积公式与基本不等式即可求得水管的最短长度.
【解析】由
，可得
是直角三角形，其面积
，
不妨设
，
①若
在
上，如图：
设
，
则有
，解得
，
，即
，
当且仅当
时等号成立；
②若
在
上，如图：
设
，
则有
，解得
，
，即
，
当且仅当
时等号成立；
③若
在
上，如图：
设
，
则有
，解得
，
，即
，
当且仅当
时等号成立；
因为
，所以
的最小值为20，即水管的最短长度为20 米.
9．（2026·湖北孝感·二模）在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，若
，
为锐角三
角形，则
的取值范围是_______．
【答案】
【解题思路】由已知条件结合余弦定理可得
，方法一：设
，则可得
，继而可
求出
关于t 的表达式，利用
为锐角三角形，确定的取值范围，即可构造函数，利用导数求解
的取值范
围；方法二，利用正弦定理与和角公式推得
，
，再由正弦定理与二倍角公式将
化成关于角
的
三角函数式
，借助于函数的单调性即可求得其范围.
【解析】在
中，由余弦定理，
，结合
，
可得
，即
（*），
方法一：由（*）得
，设
，则
，
为锐角三角形，则
，
即
，
而
，
代入
中，
得
恒成立，
同理可得
，
需满足
，即
，解得
，
结合
，可得
；
由
，
，
可得
，
即
，故
，
令
，则
，
即
在
上单调递增，则
，
故
的取值范围是
.
方法二：由（*）和正弦定理，可得
，
因
，
代入整理得，
，即
，
因
，则
或
（舍去），
即
，则
，则
，
则
，
于是，由正弦定理，
，
因
为锐角三角形，则有
，解得
，
设
，则
，且
，因该函数在
上单调递增，
故可得
，即
，
故
的取值范围是
.
10．（2025·湖北武汉·模拟预测）在
中，
，点D 是
上的点，
平分
，
的面积是
的面积的3 倍，当
的面积最大时，
______.
【答案】
/
【解题思路】建立平面直角坐标系，利用到角公式求出点
的轨迹为以
为圆心，半径为3 的圆，数形结合，
得到当
在点
处时，
的面积最大，结合余弦定理和同角的平方关系计算即可求解.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则
，
由
，得
，又
，则
，
，
设
，由角平分线定理得
，
当
时，
，得
，此时
；
当
时，直线
的斜率分别为
，
则
，又
，
由到角公式得
，即
，
得
，
整理得
，即
，点
的轨迹为以
为圆心，半径为3 的圆，
因此当
在点
处时，
的面积最大，此时
，
在
中，由余弦定理得
.
故答案为：
11．（2025·浙江杭州·三模）如图，在三角形
中，若
，
，
，则四边形
的面积的最大值为________.
【答案】
【解题思路】首先由条件等式，结合正弦定理，余弦定理，基本不等式，以及三角函数的有界性，确定
的
形状，再以
为自变量表示四边形
的面积，根据三角函数的性质，即可求解.
【解析】由正弦定理可知
可化为
，
由余弦定理
（当且仅当
时等号成立）得
，
所以
，即
，
即
（当且仅当
时等号成立）
，
整理为
，即
，又
，
所以
，又
，
所以
，即
，
同理，条件等式也可化简为
和
，可得
，
所以
是等边三角形，
设
，
，在
中，
，
，
，
，
当
时，四边形
的面积取得最大值
.
故答案为：
12．（2025·河北邯郸·一模）在锐角
中，内角
满足
.
(1)求角
；
(2)若
，求
面积的取值范围；
(3)证明：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解题思路】（1）结合三角恒等变换公式化简求解即可；
（2）由正弦定理可得
，由锐角
可得
，再表示出
，进而求解即可；
（3）结合分析法利用三角恒等变换公式求证即可.
【解析】（1）因为
，所以
，
所以
，
即
，所以
，
因为
，所以
，即
.
（2）由正弦定理
，
所以
，
因为
，则
，
又
为锐角三角形，则
，即
，
所以
，
因为
，所以
，则
，
所以
面积的取值范围是
.
（3）证明：由（1）可知，
，
要证
，
即证
，
而
，
即证
，
即证
，
即证
，
而
，显然满足上式，原式得证.
13．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知
的内角
的对边分别为
，且
的周长为
(1)求角
；
(2)若
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）将
的周长为
利用正弦定理及余弦定理变形化简，求出
，再结合角
的范围，即可求出角
；
（2）利用余弦定理及基本不等式先求出
，再根据三角形面积公式
即可求出
面积的最
大值.
【解析】（1）由正弦定理可得
，
因为
的周长为
，
所以
，即
，化简可得
，
故由余弦定理可得
，
因为
，所以
；
（2）因为
，
，所以由余弦定理
可得
，解得
，当且仅当
时取等号，
所以
面积
，
即当
时，
面积取最大值
.
14．（2026·山西临汾·一模）在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求角B；
(2)当
时，
的面积为S，周长为L，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）利用切化弦和两角和的正弦公式化简即可求出；
（2）利用余弦定理将目标转化为
，再结合正弦定理边角互化即可，再结合三角函数的值域求出；
或直接利用正弦定理边角互化，结合三角函数的值域求出.
【解析】（1）由题可得
，
即
因为
，
，所以
，即
，
因为
，所以
.
（2）解法一：
，
，
由余弦定理可得：
，即
.
所以
，即
.
，
由正弦定理可得，
，
，
则
因为
，
，所以
所以
，所以
解法二：由正弦定理可得，
，
，
则
因为
，
，所以
，
所以
，
所以
.
15．（2026·湖北襄阳·一模）在
中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，M 为边BC 所在直线上一点．
(1)若
，AM 平分∠BAC，
，
，求
的周长；
(2)若
，且
，求
的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值
；最小值4
【解题思路】（1）根据三角形面积公式及余弦定理化简计算求解；
（2）根据三角形面积公式可得
，根据余弦定理化简可得
，
再利用三角恒等变换结合正弦型函数性质可得最大值，利用基本不等式可得最小值.
【解析】（1）由题意得
所以
①
又
②
由①②解得
，所以
的周长为
；
（2）∵
，
又
，∴
∴
当且仅当
，即
时取“
”，
又
，当且仅当
时取“
”，
所以
的最大值
，最小值4．
16．（2026·山东烟台·一模）已知
的内角
的对边分别为
，
，且
的面积
为
．
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）由余弦定理及三角形的面积公式求解．
（2）由（1）知，
，而
，
，得
为等边三角形，即可求解．
【解析】（1）由余弦定理得
，
因为
，所以
.
由三角形面积公式得
，
又因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
.
（2）由（1）知，
，得
，
而
，得
，又
，
得
为等边三角形，得
，
故
.
17．（2026·河北邯郸·一模）
的内角
的对边分别为
，已知
成等差数列，且
．
(1)求
；
(2)记
外接圆的面积为，若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）应用等差中项的性质及正弦边角关系有
、
，再应用余弦定理求
；
（2）由（1）及正弦定理求出
外接圆的半径，结合
求边长的范围.
【解析】（1）因为
成等差数列，所以
，又
，所以
．
设
，则
，则
．
（2）由（1）得
，
则
外接圆的半径
，
则
，则
，
，
则
的取值范围为
．
18．（2026·河北张家口·一模）在
中，内角
的对边分别为
，满足
．
(1)证明：
；
(2)若
，
，点
为边
上一点，
为
的平分线，求
的值；
(3)若
为锐角三角形，求
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解题思路】（1）利用三角恒等变换即可得证；
（2）先计算
，利用二倍角余弦公式得
，再由
结合二倍角正弦公式即可求解；
（3）由（1）有
，得
，又由正弦定理得
，利用锐角三角形求出
的范围，
进而求解.
【解析】（1）由
，利用正弦定理得：
，
又
，
所以
，
所以
，
所以
或
，
所以
或
（舍去）
所以
；
（2）由
，所以
，
又
，所以
，
又
，所以
，
又由
为
的平分线，
所以
，
所以
，
所以
，
又由余弦定理得：
，
所以
，所以
；
（3）由（1）有
，又
，所以
，
又由正弦定理得：
，
又
为锐角三角形，所以
，
所以
，所以
，所以
.
19．（2026·四川·模拟预测）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若
，
，求AB 边上中线的长.
【答案】(1)
(2)5
【解题思路】（1）将已知三角等式通过内角和与二倍角公式转化为关于
的二次方程，求解角
；
（2）先利用正弦定理求出三角形各边长度，再通过余弦定理计算
边上的中线长.
【解析】（1）在
中，
，故
.
由
，得
，
即
，
即
，
(舍去，因
).
由
，
，得
.
（2）由
，
，得
.
.
由正弦定理得
，
同理，
.
设
的中点为
，则
.
在
中，
，
故
，即
边上的中线长为.
