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§4.9 解三角形中的最值与范围问题
重点解读 解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面
积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角
函数、正余弦定理、三角形面积公式、均值不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的
关键是建立起角与边的数量关系．
题型一 利用均值不等式求最值(范围)
例1 (2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值．
解 (1)因为＝，
所以＝，
所以＝，
所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，
所以cos(A＋B)＝sin B，
所以sin B＝－cos C＝－cos ＝.
因为B∈，所以B＝.
(2)由(1)得cos(A＋B)＝sin B，
所以sin＝sin B，且0b，
由三角形三边关系可得
代入化简可得b0，即00，
由余弦定理的推论，得cos C＝，
所以＝＝tan C
＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－·
＝－(tan A＋tan B)，
又tan A＋tan B≥2＝，
当且仅当tan A＝tan B＝时等号成立，
所以的最大值是－×＝－.
二、多项选择题
5．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A－sin B)＝csin C－bsin
B，则下列说法正确的是( )
A．C＝
B．若△ABC的面积为，则c的最小值为2
C．若c＝2，则△ABC的周长的最大值为6
D．若b＝3，c＝2，则满足条件的△ABC有且仅有一个
答案 BC
解析 ∵a(sin A－sin B)＝csin C－bsin B，
∴由正弦定理可得a(a－b)＝c2－b2，
即a2＋b2－c2＝ab，对于A选项，由余弦定理的推论，可得
cos C＝＝，
∵02，∴43，D错误．
三、填空题
7．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝a(a＋b)，则sin A的取
值范围是________．
答案
解析 由c2＝a(a＋b)，得c2＝a2＋ab，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴a2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，即b＝a＋2acos C，
由正弦定理得sin A＋2sin Acos C＝sin B，
∵B＝π－(A＋C)，
∴sin A＋2sin Acos C＝sin B＝sin Acos C＋cos Asin C，即sin A＝sin(C－A)．
∵c2＝a2＋ab，∴c>a，∴C－A>0，
又△ABC为锐角三角形，
∴00)，则CD＝2k.
根据题意作出大致图形，如图．
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k·＝k2＋2k＋
4.
在△ACD中，由余弦定理得
AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·＝4k2－4k＋4，
则＝
＝
＝4－＝4－
＝4－.
∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝，
即k＝－1时等号成立)，
∴≥4－＝4－2＝(－1)2，
∴当取得最小值－1时，BD＝k＝－1.
四、解答题
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsin＝a＋c.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且b＝2，求其周长的取值范围．
解 (1)因为2bsin＝a＋c，
由正弦定理可得
2sin Bsin＝sin A＋sin C，
即2sin B＝sin A＋sin(A＋B)，
整理得sin Bsin A＝sin A＋cos Bsin A，
又A∈(0，π)，所以sin A≠0，
所以sin B－cos B＝1，即sin＝，又B∈(0，π)，所以B－∈，
所以B－＝，即B＝.
(2)由(1)知B＝，又b＝2，
由正弦定理，得＝＝＝，
所以a＝sin A，c＝sin C，
所以a＋c＝(sin A＋sin C)
＝
＝＝4sin，
在锐角△ABC中，
，所以∈(0，)，
所以a2＋b2＝1＋＋
＝2＋∈(1,7)．
