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期末重难点真题特训之易错必刷题型（90题30个考点）专练
【精选2023年最新考试题型专训】
易错必刷题一、三角形的边
1．（2023上·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，小贤将一根长度为 的红色小棒分成两段，使它
们可以和另一根绿色小棒首尾相接构成一个三角形．若绿色小棒长为 （ 为正整数），则 的最大值
为（ ）
A．10 B．9 C． D．7
【答案】B
【分析】本题考查了三角形三边关系，设红色小棒分成的两段中的一段为 ，则另一段为
，由三角形三边关系得出 ，由此即可得出答案，熟练掌握三角形的两边之和大于
第三边，两边之差小于第三边是解此题的关键．
【详解】解：设红色小棒分成的两段中的一段为 ，则另一段为 ，
由三角形三边关系可得： ，即 ，
为正整数，
的最大值为 ，
故选：B．
2．（2022上·陕西延安·八年级统考开学考试）若a，b，c是 的三边，请化简
．
【答案】
【分析】本题考查了三角形三边之间的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，化简绝对值，
先根据三角形三边之间的关系得出 ，再根据负数的绝对值是它的相反数，将绝对
值化简，即可解答．
【详解】解：∵a、b、c是 的三边，∴ ．
即 ．
∴
．
故答案为： ．
3．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在四边形 中，M，N分别是AD，BC的中点．若
， 求MN长度的取值范围．
【答案】
【详解】解：如图，连接 ，取 的中点 ，连接PM，PN．
是 的中点， 是 的中位线， ．
同理可得 ．
在 中， ， ．
易错必刷题二、三角形的高、中线与角平分线
1．（2023上·天津静海·八年级校考期中）在 中， ， 分别是 ， 的中点，且 的面积
是4，则 的面积是（ ）A．2 B．1 C．0.5 D．0.25
【答案】B
【分析】本题考查三角形的面积、三角形中线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线的性质．
【详解】解：设 的面积为 ，
是 的中点，
，
，
，
是 的中点，
，
，
，
解得： ，
的面积为3．
故选：B．
2．（2023上·河北沧州·八年级校联考期中）如图，在三角形 中， ， ，垂足为 ，
， ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了运用等积关系求线段的长，根据面积相等可列式 ，代入相关数据即可求解，掌握直角三角形面积的不同求法是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（2024·全国·八年级假期作业）（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．
（经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的
比，如图1， 的边 上有一点 ，请证明： ；
（结论应用）（2）如图2， 的面积为1， ，求 的面积；
（拓展延伸）（3）如图3， 的边 上有一点 ， 为 上任意一点，请利用上述结论，证明：
；
（迁移应用）（4）如图4， 中，M是 的三等分点 ，N是 的中点，若 的面
积是1，请直接写出四边形 的面积： ．
【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析；（4）
【分析】本题主要考查了三角形的面积公式以及三角形的中线的性质的运用：【经验发展】过C作 于H，依据三角形面积计算公式，即可得到结论；
【结论应用】连接 ，依据“如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比”，即可得
到 与 面积之间的关系；
【拓展延伸】依据如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，即可得到 与
面积之间的关系；
【迁移应用】连接 ，设 ,即可得出 , , ,进而得到
．
【详解】（经验发展）如图1，过 作 于 ，
， ，
，
即 ．
（结论应用）如图2，连接 ，
∵ ，
，又∵ ，
，
，
又 的面积为1，
的面积为12．
（拓展延伸）如图3，
∵ 是 上任意一点，
∴ ，
∵ 是 上任意一点，
， ，
∴ ，即 ．
（迁移应用）如图4，连接 ，
∵ 是 的三等分点 ，
∴ ，
∵ 是 的中点，∴ ，
设 ，则 ， ， ，
， ，
．
故答案为 ．
易错必刷题三、三角形的稳定性
1．（2022上·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，某中学的电动伸缩校门利用的数学原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．四边形的不稳定性
【答案】D
【分析】根据电动伸缩门的工作原理，结合四边形的不稳定性即可得到答案．
【详解】解：∵电动伸缩门的整体形状为四边形，且电动伸缩门的长度可以伸长和变短，
∴利用的是四边形的不稳定性，
故选D．
【点睛】本题考查四边形的性质，熟练掌握四边形的相关知识的解本题的关键．
2．（2022上·新疆阿克苏·八年级统考期中）木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条，他
的根据是 ．
【答案】三角形的稳定性
【分析】根据三角形的的稳定性，可以达到保持门框的稳定性．
【详解】解：木工师傅做完房门后，为防止变形钉上两条斜拉的木条这样做的根据是：三角形的稳定性．
故填：三角形的稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．3．（2023上·全国·八年级课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木
条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边
形木架不变形，至少要钉多少根木条？
(1)请完成下表：
多边形木架的边数 4 5 6 … n
至少钉木条的根数 1 …
(2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条；
(3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数．
【答案】(1)2，3，
(2)9
(3)21
【分析】（1）利用三角形具有稳定性即可解答；
（2）根据（1）中的结论代入计算即可求解；
（3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为 ，即可求解．
【详解】（1）解：如下表：
多边形木架的边数 4 5 6 … n
至少钉木条的根数 1 2 3 …
故答案为：2，3， ；
（2）解： （根），
∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条，
故答案为：9；
（3）解： ，
∴这个多边形的边数是21，
故答案为：21．
【点睛】本题考查三角形的稳定性，注意利用图形总结规律是解题的关键．易错必刷题四、三角形的内角
1．（2023上·辽宁盘锦·八年级校考阶段练习）如图，已知D为 边 延长线上一点， 于F
交 于E， ，则 的度数为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和为 是解题关键．由垂直可得 ，
从而可求得 ，由对顶角相等得 ，即可求 的度数．
【详解】
故选：C．
2．（2023上·湖北孝感·八年级统考期中）如图， 的角平分线， 是 边上的高，且 ，
，则 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的角平分线．根据三角形的内角和定理求出 、
度数，再利用角平分线求出 度数，最后利用 求解即可．
【详解】解： ，
，，
，
， ，
，
是 角平分线，
，
．
故答案为： ．
3．（2022上·江西新余·八年级校联考期中）如图①，线段 ， 相交于点 ，连接 ， ，我们把
形如图①的图形称为“ 字形”，试解答下列问题；
(1)在图①中，请直接写出 ， 、 ， 之间的数量关系；
(2)在图②中，若 、 ， 和 的平分线 和 相交于点 ，并且与 ，
分别相交于点 ， ，利用（1）的结论，试求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，
（1）根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（2）根据（1）的结论列出算式，把 、 代入计算即可；
掌握三角形内角和等于 是解题的关键．
【详解】（1）解： ．
理由：∵ ， ， ，
∴ ；
（2）由（1）可知， ， ，
∴ ，
∵ 和 的平分线 和 相交于点 ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
易错必刷题五、三角形的外角
1．（2023上·安徽芜湖·八年级校联考阶段练习）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射
光线与一束经过光心 的光线相交于点 ， 为焦点．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出
的度数，由对顶角的性质得到 的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
由平行线的性质求出 ，由对顶角的性质得到 ，由三角形外角的性质即可求出
的度数．
【详解】解： ，
，
，
，
，
．
故选：D．
2．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）如图①②③中， ， ， ，则
．【答案】205
【分析】图①中，根据三角形内角和为 找到 和 中的内角和关系式，再根据题中所给条件
， 可推得 与 的数量关系；
图②中，根据三角形外角的性质：三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得
、 ，结合题中条件即可推得 与 的数量关系；
图③中，综合三角形内角和为 和三角形外角的性质可得 、 ，
综合两式子即可推得 与 的数量关系；
综合三个图推出的对应数量关系可得 与 的关系式，代入 即可求解．
【详解】解：在图①中有，
中， ，
中， ，
，
又 ， ，；
在图②中有，
是 的外角，则有 ，
即 ，
是 的外角，则有 ，
即 ，
又 ， ，
，
又 ，
；
在图③中有，
中， ，
和 是 的外角，则有 ， ，
又 ， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的知识点是三角形内角和、三角形外角的性质，解题关键是利用三角形内角和和三角形
外角性质推断三角形角的关系．
3．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）看图回答问题(1)如图1，在凹四边形 中：
①当 时， ：
②当 时， 。
(2)如图2， 与 角平分线相交于点O，若 ，求 与 的数量关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质
“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键；
（1）连接 延长至F，根据三角形的外角性质可得 ，进而可
得出结论；
（2）利用（1）中得出的结论，可知 ，再根据角平分线的性质可得
，即可求解．
【详解】（1）解：①、连接 延长至E，如图所示：
，
，
即 ，
，
，
当 时，
，故答案为： ；
②、由①可知： ，
当 时，
则 ，
故答案为： ；
（2）解： 由（1）的结论可知：
平分 ， 平分 ，
，
，
即 ．
易错必刷题六、多边形
1．（2023上·陕西延安·八年级统考阶段练习）若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边
形对角线的总数为（ ）
A．14 B．28 C．24 D．20
【答案】A
【分析】根据一个 边形从一个顶点出发有 条对角线，即可求出该多边形的边数．再根据 边形对角
线的总数为 ，即可求解．
【详解】解：根据题意，一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，
可知该多边形的边数为 ，
∴这个多边形对角线的总数为 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题，熟练掌握 边形的相关公式是解题关键．
2．（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边
形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式 ．【答案】500
【分析】若过 边形的一个顶点有7条对角线，则 ； 边形没有对角线，只有三角形没有对角线，
因而 ； 边形有 条对角线，即得到方程 ，解得 ；正 边形的内角和与外角和相等，
内角和与外角和相等的只有四边形，因而 ．代入解析式就可以求出代数式的值．
【详解】解： 边形从一个顶点发出的对角线有 条，
， ， ， ；
则 ．
故答案为：500
【点睛】本题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握 边形从一个顶点发出的对角线有 条，共有对
角线 条．
3．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作___________条对角线，它把四边形分成___________个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作___________条对角线，它把五边形分成__________个三角形；
(3)探索归纳：对于 边形 ，过一个顶点可以作_________条对角线，它把 边形分成_________个三
角形；（用含 的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为__________．
【答案】(1) 1 2
(2) 2 3
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；（3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论；
（4）将100代入（3）的结论中即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1：
经过1个顶点做1条对角线，它把四边形分为2个三角形，
故答案为：1，2．
（2）解：运用（1）的分析方法，可得：
图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形；
故答案为：2，3．
（3）解：对于 边形 ，过一个顶点可以作 条对角线，它把 边形分成 个三角形；
故答案为： ， ．
（4）解： 过多边形的一个顶点可以作100条对角线，
∵
代入（3）中的结论：对于 边形 ，过一个顶点可以作 条对角线，
∴
，
∴ ．
∴故答案为： ．
【点睛】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割，利用题中的条件找出题中的规律是解此题的关键．
易错必刷题七、多边形的内角和
1．（2023上·山东德州·八年级校考期中）如图，六边形 为正六边形，四边形 为正方形，
则图中 的度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查正多边形的内角．分别求出正六边形和正方形的一个内角度数，再求出 的大小，
即可求解．
【详解】解：∵ 为正六边形， 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∵正六边形 的每一个内角是 ，正方形 的每个内角是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
2．（2021上·湖北恩施·八年级统考期中）一个多边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的内角和为
，则原多边形有 条边；
【答案】15或16或17
【分析】本题考查多边形内角和公式，设新多边形有n条边，根据多边形内角和等于 列方程，
求出n的值，再根据截去一个角后边数的变化情况，分别讨论即可．
【详解】解：设新多边形有n条边，
由题意得 ，
解得 ，
分三种情况：
当截去一个角后，多边形的边数加1时，原多边形有15条边；
当截去一个角后，多边形的边数不变时，原多边形有16条边；
当截去一个角后，多边形的边数减1时，原多边形有17条边；
故答案为：15或16或17．
3．（2023上·吉林·八年级统考阶段练习）阅读材料：
我们知道：探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以
用来解决其它求角度的问题，如图，四边形 是凸四边形，探索其内角和的方法是：连接对角线 ，
则四边形 的内角和就转化为 和 的内角和为 ．解决问题：
（1）如图①，四边形 是凹四边形，请探究 与 ， ， 三个角之间
的数量．小明得出的结论是 ．他的证明如下．请你将小明的证明过程补充完整．
证明：连接 并延长 到点 ．
联系拓广：
（2）下面图②的五角星和图③的六角星都是一笔画成的，即从图形的某一顶点出发，找出一条路线，用
笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分化成的．请你根据上述解决问题的思路，解答下列问
题：
①图②中， 的度数为__________；
②图③中， 的度数为__________．
【答案】（1）见解析；（2）① ；②
【分析】本题考查了凹四边形的角的关系，熟知三角形外角定理，应用（1）结论，将图形转化三角形或
四边形内角和知识是解题关键．
（1）先证明 ， ，相加即可；
（2）①利用（1）结论，得到 ，再根据三角形内角和进行等量代换即可求
解；②利用（1）结论，得到 ，再根据四边形内角和进行等量代换即可．
【详解】（1）连接 并延长 到点 ，则 为 的外角， 是 的外角，
， ，
，
，
，
；（2）①如图2，由（1）得： ，
，
，
，
故答案为：
①如图3，由（1）得： ，
，
，
，
故答案为： ．
易错必刷题八、全等三角形
1．（2023上·江苏扬州·八年级校考期中）如图， ，若 ， ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要三角形内角和定理以及全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
由题意得出 ，由 即可得到答案．
【详解】解： ，
，
， ，
，
，，
故选：D．
2．（2023上·山东德州·八年级校考期中）如图，在正方形 中， ，E是 上一点且 ，
连接 ，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿 向终点A运动，设点M的运动
时间为1秒，当 和 全等时，t的值是 ．
【答案】3.5或6.5
【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性
质．分两种情况进行讨论，根据“全等三角形的对应边相等”并结合题意得出 和
，即可求得答案．
【详解】解：如下图，
①当点 在 上时，
∵ 和 全等，
∴ ，
由题意可得 ，
所以 （秒）；
②当点 在 上时，
∵ 和 全等，
∴ ，
由题意得： ，解得 （秒）．
所以，当 的值为3.5秒或6.5秒时． 和 全等．
故答案为： 或 ．
3．（2023上·福建龙岩·八年级统考期中）如图， 中， ， ， ，直线l
经过点C且与边 相交．动点P从点A出发沿 路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿
路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为 和 ，两点同时出发并开始计时，当
点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作 于点E， 于点F．设运动时间为
t秒，解答下列问题：
(1)用含t的式子表示 ______ ， ______ ；
(2)探究t取何值时， 与 全等？
【答案】(1) ，
(2)当 秒或 秒或12秒时， 与 全等
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质，解答的关键是运用分类讨论思想解答；
（1）根据题意的运动方式，列代数式即可；
（2）分为 ， ， 三种情况分别解答即可
【详解】（1）当动点P在 上时；当动点Q在 上时， ， ，
当动点P在 上时；当动点Q在 上时， ， ，
综上， ， ；
（2）①如图1，Q在 上，点P在 上时，作 ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
则 ，
即 ，
解得： ；
②如图2，当点P与点Q重合时，
当 ，
则 ，
∴ ．
解得： ；
③如图3，当点Q与A重合时，
，
∴ ，当 ，
则 ，
即 ，
解得： ；
当综上所述：当 秒或 秒或12秒时， 与 全等．
易错必刷题九、全等三角形的判定
1．（2024下·全国·七年级假期作业）如图， 是 的中线， 分别是 和 延长线上的点，且
，连接 ．有下列说法：① ；② ；③ ；④ ．
其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
2．（2023上·山东聊城·八年级校联考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，
，点E是AB边的中点．P点从点B出发以 的速度沿BC方向
运动，同时点Q从点C出发沿CD方向运动，若能够在某一时刻使 与 全等，则点Q的运动速
度为 ．【答案】2或 m/s/2或 m/s/ 或 m/s/ 或 m/s
【分析】本题考查三角形全等动点问题，解题的关键是掌握全等三角形的性质，进行分类讨论．根据三角
形全等性质分 ， 或 ， 两类讨论求解即可得到答案．
【详解】解：∵ m，E是AB的中点；
∴ m；
∵ ，且 与 全等；
∴ ， 或 ， ；
当 ， 时；
m， m设运动时间为t；
则 ，解得 ；
；
此时点Q的运动速度为： m/s；
当 ， 时；
；
解得： ；
此时 ，点Q的运动速度为： m/s；
故答案为：2或 m/s．
3（2023上·吉林松原·八年级统考期末）【探究与发现】（1）如图1， 是 的中线，延长 至点
E，使 ，连接 ，写出图中全等的两个三角形 ．
【理解与应用】（2）填空：如图2， 是 的中线，若 ， ，设 ，则x的取值范
围是 ．（3）已知：如图3， 是 的中线， ，点Q在 的延长线上， ，求证：
．
【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析
【分析】（1）本题考查三角形全等的判定与性质，根据中线得到 ，结合 ，
即可得到答案；
（2）本题考查三角形全等的判定与性质及三边关系，延长 至点Q，使 ，连接 ，证明
结合三边关系求解即可得到答案；
（3）本题考查三角形全等的判定与性质，延长 到M，使 ，连接 ，先证 ，
再证 即可得到答案；
【详解】解：（1）∵ 是 的中线，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ；
（2）：如图2，延长 至点Q，使 ，连接 ，在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
∴x的取值范围是 ；
（3）证明：如图3，延长 到M，使 ，连接 ，
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∵ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ．
易错必刷题十、角的平分线的性质
1．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第八十一中学校考阶段练习）如图，在 和 中，
，连接 交于点 ，连接 ．下列结论：①
；② ；③ 平分 ；④ 平分 ；⑤ 平分 ．其中正确的个
数为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形
全等是解题的关键．根据题意逐个证明即可，①只要证明 ，即可证明 ，②利
用三角形的外角性质即可证明;；④作 于 ， 于 ，再证明 即可
证明 平分 ，③和⑤由 ，得出当 时， 才平分 ，假设
，得 ，由 平分 ，得 ，证得
，可知 ，由 ，易知 ，然而与 矛盾，故
③⑤错误，即可得出结论．【详解】解：∵ ，
∴ ，即： ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，故①正确；
由三角形的外角性质得： ，
∴ ，故②正确；
作 于 ， 于 ，如图所示
则 ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，故④正确；
∵ ，
∴当 时， 才平分 ，
假设 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，与 矛盾，故③⑤错误；
则：正确的个数有3个；
故选：B．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在 中， 平分 于
点 ．若 的周长是 ，则 ．
【答案】15
3．（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）如图，四边形 中，
，连接 ， ．
(1)如图（1），若 ，证明： ．
(2)如图（2）， 平分 ，证明： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理．添加恰当辅助线构造全等三角形是
解题的关键．
（1）证明 ，则 ，进而结论得证；
（2）如图（2），作 于F，则 ，证明 ，则 ，
，证明 ，则 ，进而结论得证．【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图（2），作 于F，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
易错必刷题十一、轴对称1．（2023上·山东聊城·八年级统考期中）如图，直线 ， 相交于点 ， 为这两条直线外一点，连
接 ．点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ， ．若 ，则点 ， 之间的距离可能是
（ ）
A．0 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形的三边关系，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．连接
，先根据轴对称的性质可得 ，再根据三角形的三边关系定理求解
即可得．
【详解】解：如图，连接 ，
∵点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ， ，且 ，
，
在 中， ，
，
故选：B．
2．（2023上·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考阶段练习）如图， 点P是 内一点， 点P关于 的对称点为C， 点P关于 的对称点为D， 连接 交 于点M和点 ， 连接
．若 ， 则 的大小为 度．
【答案】40
【分析】本题主要考查了轴对称的性质及三角形内角和定理，连接 根据轴对称的性质得出
， ，
结合图形及三角形内角和定理求解即可．掌握轴对称的性质，找准各角之间的关系是关键．
【详解】解：连接 ，
∵点P关于 的对称点为C，点P关于 的对称点为D，
∴
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：40．3．（2023上·广东江门·七年级校联考阶段练习）如图，长方形纸片 ，点E为 边上的点，将纸片
先沿直线 对折，对折后的点A的对应点为 ，再沿直线 对折，对折后点D的对应点为 ，并且
刚好落在 边上．
(1)若 ，则 _______ ， _______ ；
(2)若 ，猜想： _______ ，请你说明理由．
【答案】(1) ，
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查了折叠的性质．熟练掌握折叠的性质求角度是解题的关键．
（1）由折叠的性质可知， ，根据 ，计算求解即
可；
（2）由折叠的性质可知， ， ，根据
， ，计算求解即可．
【详解】（1）解：由折叠的性质可知， ，
，
故答案为： ， ；
（2）解： ，理由如下；
由折叠的性质可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
易错必刷题十二、线段的垂直平分线的性质
1．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）如图， 中， 边的垂直平分线分别交 ， 于点D，
E， ， 的周长为18 ，则 的周长为（ ）A．8 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出 ，由 的周长
为18 求出 ，最后根据 的周长为 即可求解．
【详解】∵ 边的垂直平分线分别交 ， 于点D，E，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的周长为18 ，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
故选：C．
2．（2023上·山西大同·八年级大同一中校考阶段练习）如图，在 中， 边的垂直平分线 与
的平分线 交于点 ． 交 的延长线于点 ， 交 于点 ． ，
．则 的长是 ．
【答案】7
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形全等的判定与性质，连接 ，
由线段垂直平分线的性质得出 ，由角平分线的性质得出 ，证明 得出 ，证明 得出 ，再计算出 ，由此即可得解，熟练掌握线
段垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形全等的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，
，
垂直平分 ，
，
平分 ， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
， ，
，
，故答案为： ．
3．（2023上·河南开封·八年级开封市第十四中学校考期中）如图，在 中， ， 平分
， 垂直平分 ， 交 的延长线于点 ， 于点 ，求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
根据线段垂直平分线求出 ，根据角平分线性质求出 ，证出 ．
【详解】证明：连接 和 ，
是 的垂直平分线，
，
平分 ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
．
易错必刷题十三、画轴对称图形
1．（2023上·山东日照·八年级校考阶段练习）如图，直线 与直线 相交， ，点 在 内（不在 、 上）．小明用下面的方法作 的对称点：先以 为对称轴作点 关于 的对称点 ，再以 为对称
轴作 关于 的对称点 ，然后再以 为对称轴作 关于 的对称点 ，以 为对称轴作 关于 的对称点
，……如此继续，得到一系列 、 、 …… 与P重合，则 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称，根据题意画出图形进而得出每对称 次回到 点，进而得出符合题意的答案．
根据题意得出点的变化规律是解题关键．
【详解】解：如图所示： 、 、 …… ，每对称 次回到 点，
又∵ 与P重合，则 能被 整除，
A． ，故此选项符合题意；
B． ，故此选项不符合题意；
C． ，故此选项不符合题意；
D． ，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（2023上·天津津南·八年级校联考期中）如图，在四边形 中， ， ，点E，
F分别是线段 、 上的动点．（1） ；
（2）当 的周长最小时， 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，四边形内角和为 ，三角形外角的性质．
（1）利用四边形内角和为 ，即可作答；
（2）首先作点 关于 ， 的对称点 ， ，延长 到点 ，根据轴对称的性质可得 ，
， ， ，由“两点之间线段最短”可知当 ， ， ， 四点共线时，
的周长最小，由四边形内角和为 可得 ，再由三角形的外角等于不相邻的两个内角
之和，进行角的和差计算，即可得到答案．
【详解】（1）∵四边形内角和为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）如图，作点 关于 ， 的对称点 ， ，延长 到点 ，
则 ， ， ， ，
的周长 ，
当 ， ， ， 四点共线时， 的周长最小，
， ，
，，
，
， ，
．
故答案为： ．
3．（2023上·山东聊城·八年级校联考阶段练习） 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)请直接写出 关于x轴对称的 三个顶点的坐标（其中 ， ， 分别是A，B，C的对应
点）；
(2)请直接写出 关于y轴对称的 三个顶点的坐标（其中 ， ， 分别是A，B，C的对应
点）；
(3)在直线l上找到一点P，使得 最小．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．也考查了轴对称最短路径问题．（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出答案；
（2）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置即可．
【详解】（1）∵ 与 关于x轴对称， ，
∴ ；
（2）∵ 与 关于y轴对称， ，
∴ ；
（3）如图所示，作点A关于直线l的对称点 ，连接 交直线l于点P，则由轴对称的性质可知点P即
为所求．
易错必刷题十四、等腰三角形
1．（2023上·河北石家庄·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 于点D，
平分 ，且 于点E， 与 相交于点F， ，H是 边的中点，连接 与
相交于点G，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据角
平分线的定义和三角形内角和定理判断A选项；证明 ，判断B选项；证明
是等腰直角三角形，判断C选项；证明 不平行于 ，判断D选项．
【详解】解：∵ ， 于点D，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；故A选项正确；
∵ 于点D， 于点E，
∴ ， ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，故B选项正确；
∵ 是等腰直角三角形，H是 边的中点，
∴ ，故C选项正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 不平行于 ，
∵ ，
∴ ；
∴ ，故D选项错误．
故选D．2．（2024下·全国·七年级假期作业）在 中， 是边 上一点（不与点 重
合），过点 作 ，交射线 于点 ，连接 ．如果 是等腰三角形，则 的度数为
．
【答案】 或 或
3．（2023上·辽宁盘锦·八年级校考阶段练习）在 中， ， ， 于点 ．
(1)如图1，点 ， 分别在 ， 上，且 ，求证： ；
(2)如图2，点 在 的延长线上，点 在 上，且 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质；
（1）先判断出 ，进而得出 ，再判断出 ，根据等腰三角形
的性质得出 ， ，进而判断出 ，即可得出结论；
（2）先判断出 ，进而判断出 ，判断出 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明： ， ，
，
∵
∴ ， ，
即 ，
在 和 中，
，
，
，（2）过点 作 交 的延长线于 ，
， ，
∴ 为等腰直角三角形，
，
， ，
，
在 和 中，
，
．
易错必刷题十五、等边三角形
1．（2023·全国·八年级专题练习）已知，如图，C为线段 上一动点（不与A，E重合），在 同侧分
别作等边三角形 和等边三角形 ， 与 交于点O， 与 交于点P， 与 交于点Q，
连接 ，以下四个结论：① ；② 是等边三角形；③ ；④ 平分 ．
其中正确的结论是（ ）
A．①、② B．③、④ C．①、②、③ D．①、②、④【答案】D
【分析】根据“等边三角形的三边都相等，三个角都是 ”可以证明 与 全等，根据全等三
角形对应边相等可得 ，可判断①；对应角相等可得 ，然后证明 与
全等，根据全等三角形对应角相等可得 ，从而得到 是等边三角形，可判断②；再根据等腰
三角形的性质可以找出相等的角，可求出 ，根据三角形的内角和定理求出 不是 ，即
可判断③；根据三角形面积公式求出 ，根据角平分线性质即可判断④．
【详解】解：∵ 和 均是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，故②正确；
如图：过C作 于M， 于N，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ 平分 ，故④正确；
当 时， 平分 ，则 ，此时 ，则 ，故③不
正确；
综上，正确的有①、②、④．
故选：D．
2．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图， 在 的同侧，点 为线段 中点，
，若 ，则 的最大值是 ．
【答案】14
【分析】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添
加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
如图，作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连接 、 、 、 、 ，证
明 为等边三角形，即可解决问题．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连接 、 、 、
、 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∵ ，
∴ 的最大值为14，
故答案为：14．3、（2023上·山东聊城·八年级校联考阶段练习）如图1，已知在等边 中，当点D在 边上，点E
在 边上，且 ，连接 ，交于点F．（等边三角形3条边相等，每个角都是 ）
(1)求证： ；
(2)如图2，当点D在 的延长线上，点E在 的延长线上，而其它条件不变时， 与 又有
怎样的数量关系？请说明理由；
(3)如图3，当点D在 的延长线上，点E在 的延长线上，而其它条件不变时， 与 又有
怎样的数量关系？请直接写出关系，不必证明．
【答案】(1)见解析
(2) ．见解析
(3) ．
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及三角形内角和定理和外角的性质．
（1）通过证明 得到 ，再利用三角形外角的性质即可求解；
（2）通过证明 得到 ，再利用三角形内角和定理和外角的性质即可求解；
（3）同（2）通过证明 得到 ， ，再利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）证明：在等边 中， ， ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
又∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ，即 ；
（2）解： ．
证明：在等边 中， ， ，而 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（3）解： ．
证明：在等边 中， ， ，而 ，
∴ ；
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ．易错必刷题十六、最短路径问题
1．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， 的面积是16， 的
垂直平分线 分别交 ， 边于E，F点，若点D为 边的中点，点M为线段 上一动点，则
周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，将军饮马问题，理解将军饮马问题，正
确添加辅助线是解题关键．连接 ， ，先证明 ，根据三角形面积公式求出 ，根据线
段垂直平分线的性质得到点C关于直线 的对称点为点A，根据 ，即可求出 的周
长最小值为10．
【详解】解：连接 ， ．
∵ ，点D是 边的中点，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ 是线段 的垂直平分线，
∴点C关于直线 的对称点为点A，
∴ ，
∵ ，
∴ 的长为 的最小值，
∴ 的周长最小值为 ．故选：C
2．（2023上·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 平分 ，交 于
点D，点M、N分别为 、 上的动点，若 ， 的面积为6，则 的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了等腰三角形的轴对称性和将军饮马模型．
根据等腰三角形的轴对称性可知，C点与A点关于 对称，由此可得 ，又由“两点之
间线段最短”和“垂线段最短”可得当 三点共线且 时 最短，根据三角形的面
积公式可求出 的长，即 的最小值．
熟练掌握将军饮马模型和“垂线段最短”是解题的关键．
【详解】
如图，连接 ，
∵在 中， ， 平分 ，
，且 ，
是等腰三角形 的对称轴，且C点与A点关于 对称，
，
．
如图，当 三点共线且 时， ，
此时 最小，即 的值最小．，
，
解得 ，
的最小值为3．
故答案为：3．
3．（2023上·八年级课时练习）如图，在 中， ， ，试解决下列问题：
(1)在 边上找一点P， 边上找一点Q，使 最小；
(2)已知 ，求 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）寻找点A关于 的对称点 ，过点 作 的垂线段即可；
（2）利用等腰三角形和角平分线的性质说明 的最小值等于 的长即可．
【详解】（1）解：如图，延长 到点 ，使 ，过点 作 于点Q， 交 于点P，
连接 ，则点P，Q即为所求的点．
根据作图可知， 垂直平分 ，
∴ ，∴ ，
∴当 最小时， 最小，
∵垂线段最短，
∴当 、P、Q在同一直线上，且 时， 最小，即 最小．
（2）解：由（1）中作图易知 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故 的最小值为2．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，
解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等腰三角形的判定和性质．
易错必刷题十七、同底数幂的乘法1．（2023上·河南安阳·八年级校考期末）已知 ， ， ，则 的值为（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，将 与同底数幂的乘法法则建立联系是解答本题的
关键，同底数幂的乘法的逆运算是指 ,将 ， ， ，三式相乘,即可得到答案．
【详解】解： ， ， ，
，
，
故选：A．
2．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）定义一种新运算 ，若 ，则
，例 ， ．若 ，则 ；若 ，则 的值为
．
【答案】 64 77
【分析】设 ，根据题意和同底数幂乘法的逆用即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ；
设 ，
由题意得： ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：64，77
【点睛】本题考查新定义下的运算，同底数幂乘法的逆用,理解题意，掌握新定义下的运算法则是解题关键．
3．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）阅读探究，理解应用．根据乘方的意义
填空，并思考：① ；
② ；
③ (m，n是正整数)；
④一般地，对于任意底数 a 与任意正整数m，n，则有： ，根据你发现的规律，完成下列问题：
计算：
（1） ；
；
；
（2）已知 ， ，求 的值．
【答案】① ；② ；③ ；④ ；（1） ； ； ；（2） 的值为625．
【分析】①利用乘方的意义，即可解答；
②利用乘方的意义，即可解答；
③利用乘方的意义，即可解答；
④从数字找规律，即可解答；
（1）利用发现的规律，进行计算即可解答；
（2）利用发现的规律，进行计算即可解答．
【详解】解：① ；
② ；
③ （m，n是正整数）；
④一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，则有： ；
故答案为：① ；② ；③ ；④ ；（1） ； ； ；
故答案为： ； ； ；
（2） ， ，
，
，
的值为625．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，同底数幂的乘法法则逆用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
易错必刷题十八、幂的乘方
1．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A．3 B．2 C．6 D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】∵
∴ ，
∴
，
故选C．
2．（2023上·福建莆田·八年级校考期中）如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所以
．根据上述规定，若记 ， ， ．则a、b、c的数量关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查新定义运算，同底数幂的乘法和幂的乘方，根据新定义可知 ， ， ，
根据同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式，可知 ，即可知道 、 、 的数量关系，解题的关键是掌握同底数幂公式和幂的乘方公式．
【详解】解：如果 ，那么 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
则 ，
即 ，
故答案为： ．
3．（2022上·广东东莞·八年级东莞市虎门第四中学校考期中）观察等式：
，
，
，
请解答下列问题：
(1) _____；
(2) ______；
(3) ， ， ，…， ， ，若设 ，用含 的式子表示这组数据的和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了等式中的变化规律，观察等式中数字的变化规律是解决本题的关键；
（1）根据题目中的等式找到规律，再代入即可；
（2）根据（1）中的规律，找到
即可求解；
（3）根据（1）中的规律，找到
，再根据幂的乘
方运算即可求解．【详解】（1） ，
，
，
，
∴ ，
故答案为： ；
（2）
，
故答案为： ；
（3）
，
∵ ，
∴ ．
易错必刷题十九、积的乘方
1．（2023上·河南郑州·七年级统考期中）若代数式 的值与x的取值无关，
则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的混合运算，先化简整式，根据代数式的值与x无关，求出m、n得值，再逆用
积的乘方法则和同底数幂公式求出代数式的值．
【详解】解：原式．
代数式 的值与x的取值无关，
， ．
， ．
．
故选：C．
2．（2023上·云南昆明·八年级校考期中）若 ， ，则 ．
【答案】 / 或 / 或
【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方的逆运算，利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可，解
题的关键是熟练掌握对相应的运算法则．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
，
，
∴ ，
故答案为： ．3．（2023上·河北石家庄·八年级统考阶段练习）（1）已知 ， 求 的值；
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1）8；（2）1025
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算和积的乘方计算，熟知相关计算法则
是解题的关键．
（1）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到 ，据此代值计算即可；
（2）先根据积的乘方将所求式子变形为 ，再根据幂的乘方的逆运算法则进一步变形为
，据此代值计算即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴
．
易错必刷题二十、整式的乘法
1．（2023上·浙江金华·七年级统考阶段练习）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为96，我们发现
第一次输出的结果为48，第二次输出的结果为24，…，则第2023次输出的结果为（ ）A．6 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了代数式求值，数字型规律，把x的值代入程序中计算，以此类推得到一般性规律，即
可得到第2023次输出结果．
【详解】解： 第一次输出结果为 ，
第二次输出结果为 ，
第三次输出结果为 ，
第四次输出结果为 ，
第五次输出结果为 ，
第六次输出结果为 ，
第七次输出结果为 ，
…….
以此类推可知，从第四次开始，偶数次输出结果为6，奇数次输出结果为3，
因此第2023次输出的结果为3，
故选B．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）若 , ，则 的值是 ．
【答案】
3．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知关于x的多项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为 ，得： ，则 ，
∴ ，解得： ， ．
∴另一个因式为 ，m的值为－21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：(1)二次三项式 有一个因式是 ，求p的值；
(2)已知关于x的多项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值；
(3)已知关于x的多项式 有一个因式为 ，求b的值．
【答案】(1)p的值为6
(2)另一个因式是 ，
(3)
【分析】本题主要考查了整式的乘法；
（1）设另一个因式为 ，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可；
（2）设另一个因式为 ，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可；
（3）设另一个因式为 ，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即
可．
【详解】（1）解：设二次三项式 的另一个因式为 ，
则 ，
即 ，
∴ ，
解得 ，
答：p的值为6；
（2）设关于x的多项式 的另一个因式是 ，
则 ，即 ，
∴ ，
解得 ，
∴关于x的多项式 的另一个因式是 ， ；
（3）设关于x的多项式 的另一个因式为 ，
则 ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
易错必刷题二十一、平方差公式
1．（2020下·江苏常州·七年级统考期中） 的计算结果的个位数字是
（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式的应用，数字的规律探究．熟练掌握平方差公式是解题的关键．由题意知
，根据 ， ，， ， ，可推导一般性规律为，每4个计算结果的个位数字为1个循环，然后求解即可．
【详解】解：
，
∵ ， ， ， ， ，……
∴可推导一般性规律为，每4个计算结果的个位数字为1个循环，
∴ ，
∴ 的个位数字为6，
故选：B．
2．（2023上·天津和平·八年级天津市第二南开中学校考开学考试）如图，在边长为a的正方形上裁去边长
为b的正方形．
（1）图1，阴影面积是 ；
（2）图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ；
（3）运用得到的公式，计算：
【答案】
【分析】本题考查平方差公式的证明和应用．理解平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
（1）利用大正方形的面积减小正方形的面积即可求得；
（2）根据图1阴影面积和图2面积相等即可直接填空；
（3）根据平方差公式计算即可．
【详解】解：（1）阴影面积是： ，故答案为： ；
（2）根据梯形的面积公式可知图2中阴影部分的面积为：
，
∴可以得到的乘法公式为 ，
故答案为： ；
（3）
．
故答案为： ．
3．（2024下·全国·七年级假期作业）计算： ．
【答案】
【详解】解：原式．
易错必刷题二十二、完全平方公式
1．（2023上·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）用若干个形状，大小完全相同的长方形纸片围成正方形，
4个长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为 ；8个长方形纸片围成如图2所示的正
方形，其阴影部分的面积为 ； 个长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．36 C．49 D．64
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，表示阴影部分的面积是解决问题的前提，设
长方形的长为 ，宽为 ， 由图 图 得出 的值，再根据图 ，求出 的值， 即求出
的值即可，将公式进行适当的变形，是得出答案的关键．
【详解】解：设长方形的长为 ，宽为 ， 由图 得，
即：
由图 得， 即：
解得：
由图 得，
即阴影部分的面积为 ，
故选： ．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）已知 ，则代数式 的值为．
【答案】
【详解】
．
当 时，原式 ．
3．（2024下·全国·七年级假期作业）阅读下面材料：
若 满足 ，求 的值．
解：设 ， ，则 ， ，
所以
请仿照上面的方法求解下列问题：
(1)若 满足 ，求 的值；
(2) ，求 ；
(3)已知正方形ABCD的边长为 ， ， 分别是AD，DC边上的点，且 ， ．若长方形EMFD
的面积是15，分别以MF，DF为边长作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)【详解】解：（1）设 ， ，则 ， ，
所以 ．
（2）设 ， ，
则 ， ，
所以 ．
（3）由题意，得长方形EMFD的长 ，宽 ，
因此有 ，即 ，解得 ， （舍去）．
当 时，阴影部分的面积为 ．
易错必刷题二十三、提公因式法
1．（2023下·陕西宝鸡·七年级校联考期末）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、 ，故该选项符合题意；
B、 ，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符
合题意；
C、 ，没把一个多项式转化成几个整式积的形式（含有分式），不是因式分解，故此选项
不符合题意；
D、 是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：A．【点睛】本题考查因式分解，这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
2．（2023上·重庆北碚·八年级江北中学校考期中）已知实数a，b，x，y满足 ， ，
则 .
【答案】20
【分析】本题考查因式分解的应用、整式的乘法、代数式求值，解答的关键利用整体思想求解．先求得
，再将所求代数式因式分解，转化为求 的值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
故答案为：20．
3．（2023下·全国·八年级专题练习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：(1)上述分解因式的方法是 ，共用了 次．
(2)若分解 ，则结果是 ．
(3)依照上述方法分解因式： （n为正整数）．
【答案】(1)提公因式法，2；
(2)
(3)
【分析】本题考查了因式分解—提公因式法；
（1）根据提公因式法分解因式的过程可得答案；
（2）根据因式分解 的结果可直接得出答案；
（3）仿照已知的计算过程进行因式分解即可．
【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次，
故答案为：提公因式法，2；
（2）由所给因式分解的过程可知，分解 的结果是 ，
故答案为： ；
（3）
…
．
易错必刷题二十四、公式法1．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）多项式 与多项式 的公因式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了公因式，提公因式法、公式法进行因式分解．熟练掌握提公因式法、公式法进行因式
分解是解题的关键．
利用提公因式法、公式法进行因式分解，然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知， ， ，
∴公因式为 ，
故选：A．
2．（2023上·河北唐山·八年级校考阶段练习）因式分解 时，甲看错了 的值，分解的结果是
，乙看错了 的值，分解的结果为 ，那么 分解因式正确的结果为
．
【答案】 #
【分析】本题考查了因式分解，先确定m，n的值，后分解因式即可．
【详解】∵甲看错了 的值，分解的结果是 ，
∴ ．
∵乙看错了 的值，分解的结果为 ，
∴ ．
∴ ，
故答案为： # ．
3．（2023上·江西赣州·八年级校考阶段练习）阅读下列材料，回答问题．（1）形如 型
的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1：②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个
因数之和．
把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解：．
因此，可以得 ．
利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式；
(1) ________；
(2) ________；
(3)分解因式：
(4)分解因式： ；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键．
（1）仿照题意根据 ，进行分解因式即可；
（2）仿照题意根据 ，进行分解因式即可；
（3）仿照题意根据 ，进行分解因式即可；
（4）把 看做一个整体，仿照题意根据 ，进行分解因式即可．
【详解】（1）解：，
故答案为： ；
（2）解：
，
故答案为： ；
（3）解：
；
（4）解：．
易错必刷题二十五、从分数到分式
1．（2023下·全国·八年级假期作业）若 取整数，则使分式 的值为整数的 值有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
2．（2023上·浙江宁波·七年级校考期中）若 ，则 ．
【答案】1
【分析】由题意知， ， ，解得， ， ，然后代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
解得， ， ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，分式有意义的条件，平方根，有理数的乘方，代数式求值．熟练掌
握绝对值的非负性，分式有意义的条件是解题的关键．
3．（2024下·全国·七年级假期作业）当x取什么值时，分式 的值：
(1)不存在？
(2)等于0？
【答案】(1) 时，分式 的值不存在
(2) 时，分母 ，分式 的值等于0【详解】（1）当分母 ，即 时，分式 的值不存在．
（2）当分子 ，即 时，分母 ，分式 的值等于0．
易错必刷题二十六、分式的基本性质
1．（2023上·内蒙古通辽·八年级校考期中）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式的恒等变形，涉及分式性质、添括号等知识，熟记分式性质，逐项验证是解决问题
的关键．
【详解】解：A、若 ，则 ，该选项错误，不符合题意；
B、 ，该选项正确，符合题意；
C、 ，该选项错误，不符合题意；
D、 ，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
2．（2023上·上海青浦·七年级校考期中）约分： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的约分、因式分解，熟练掌握分式的运算法则和利用十字相乘法分解因式是解题
关键．先分解因式，再进行约分即可得．【详解】解：原式
，
故答案为： ．
3．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常
常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，
从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若 ，求代数式 的值．
解：
即
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“ ”，将连等式变成几个值为 的等式，这样就
可以通过适当变形解决问题．
例：若 ，且 ，求 的值．
解：令
则 ，
．
根据材料回答问题：
(1)已知 ，求 的值．(2)已知 ，求 的值
(3)已知 为实数， ，求分式 的值．
【答案】(1)23
(2)
(3)
【分析】本题主要考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是
解题的关键；
（1）由题意易得 ，即 ，进而根据完全平方公式可进行求解；
（2）由题意可设 ，然后代入求解即可；
（3）利用倒数法、分式的约分法则计算求出 ，把原式变形代入计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由 可设 ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
易错必刷题二十七、分式的乘除
1．（2023上·山东威海·八年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）下列计算不正确的题是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案．
【详解】解：A、 ，原计算正确，本选项不符合题
意；
B、 ，原计算正确，本选项不符合题意；
C、 ，原计算错误，本选项符合题意；
D、 ，原计算正确，本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
2．（2023上·湖南株洲·八年级校联考期中）计算： ．
【答案】
【分析】利用分式乘法和除法法则变形约会即可得到结果．
【详解】解：原式 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式的计算，熟练掌握分式的乘除法的运算法则是解题的关键．
3．（2023上·山东聊城·八年级统考期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了分式的乘除混合运算．
（1）直接约分即可求解；（2）对分子、分母因式分解，再约分即可求解；
（3）先乘方，再约分即可求解；
（4）对分子、分母因式分解，除法运算转化成乘法运算，再约分即可求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
易错必刷题二十八、分式的加减
1．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）设x为实数，已知实数x满足 ．则
的值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查分式化简求值，根据已知式子得出 ， ，进而利用完全平方公式求出
的值，即可求解．
【详解】解： ，
， ，
，
，
，
，
故选B．
2．（2023上·贵州铜仁·八年级校考期中）已知 ，则分式 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值．熟练掌握分式的基本性质对分式进行化简是解题的关键．由题意知， ，根据 ，代值求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（2023上·北京海淀·八年级校考阶段练习）已知 ， ， .
(1)若 ，求C的值；
(2)在（1）的条件下，若 为正整数，则整数m的值为______．
【答案】(1)
(2)3或2
【分析】本题考查了分式的化简求值，根据完全平方公式和平方差公式将分式化简是解题的关键．
（1）根据题意，将A和B代入 ，求出 ，根据完全平方公式即可求解；
（2）根据题意，将B和C代入 ，结合 为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为正整数，
即 或 ，
∴ 或 ；
故答案为：3或2．
易错必刷题二十九、整数指数幂
1．（2023上·甘肃武威·八年级校联考阶段练习）下面是某同学在作业中的计算摘录：① ，②
，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦
，其中计算正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③⑤⑦ C．②③④⑥ D．②④⑤⑦
【答案】D
【分析】根据零指数幂的运算法则判断①，根据同底数幂的乘法运算法则判断②，根据负整数指数幂的运
算法则判断③，根据幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的运算法则判断④，根据合并同类项的运算法
则判断⑤，根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断⑥，根据积的乘方，同底数幂的除法运算法则判断⑦．
【详解】解：① ，原计算错误；
② ，原计算正确；
③ ，原计算错误；
④ ，原计算正确；⑤ ，原计算正确；
⑥ ，原计算错误；
⑦ ，原计算正确；
其中计算正确的是：②④⑤⑦．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了单项式除以单项式，同底数幂的除法，代数式求值．熟练掌握同底数幂的除法是解题
的关键．
由题意知， ，即 ，计算求解 的值，然后代值求解
即可．
【详解】解：由题意知， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（2023上·吉林松原·八年级统考期末）在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
例题：若 ，求m和n的值；
解：由题意得： ，
∴ ∴ ，解得 ．
请解决以下问题：
(1)若 ，求 的值；
(2)若a，b，c是 的边长，满足 ，c是 的最长边，且c为奇数，则c可能取
何值？
【答案】(1)(2) 或9
【分析】（1）本题考查完全平方的非负性的应用，根据非负式子和为0，它们分别等于0求解即可得到答
案；
（2）本题考查完全平方的非负性的应用及三角形三边关系，根据非负式子和为0，它们分别等于0求出字
母值，再结合三边关系求解即可得到答案
【详解】（1）解：由题意得： ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
（2）解：由题意得： ，
∴ ，
∴ ，解得：
又∵a，b，c是 的边长，
∴ ，
又∵c为奇数，且c为最长边，
∴ 或9．
易错必刷题三十、分式方程
1．（2023上·河北唐山·八年级校考阶段练习）若关于 的分式方程 的解为正数，则 的取
值范围（ ）
A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． ，且
【答案】C【分析】先化分式方程为整式方程得到 ，求得方程的解 ，根据解的属性，方程的
增根两个角度去求解即可．本题考查了分式方程的解，增根，探求字母的取值范围，熟练根据解的属性，
增根的意义建立不等式是解题的关键．
【详解】∵ ，
去分母，得 ，
解得 ．
∵分式方程 的解为正数，且方程的增根为 ，
∴ ，且 ，
解得 ，且 ，
故选C．
2．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）已知关于x的分式方程 .
（1）若 ，分式方程的解为 ；
（2）若分式方程无解，则m的值为 ．
【答案】 3
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程无解．熟练掌握解分式方程，分式方程无解的情况是解题的关
键．
（1）由题意知， ，去分母化成整式方程，求解，然后检验即可；
（2）根据分式方程无解：分①分式方程转化为整式方程，整式方程无解；②分式方程转化为整式方程，
整式方程有解，但分式方程的最简公分母为0，两种情况求解即可．
【详解】（1）解：由题意知， ，
，
解得， ，
检验，将 代入 ，
∴ 是原分式方程的解，故答案为： ；
（2）解： ，
，
解得， ，
∵分式方程无解，
将 代入得， ，
解得， ，
故答案为：3．
3．（2023上·黑龙江绥化·八年级统考期中）若数 使关于 的分式方程 的解为非负数，且
使关于 的不等式组 的解集为 ，则符合条件的所有整数 的和．
【答案】
【分析】此题考查已知分式方程的解的情况求参数，解一元一次不等式组，正确掌握分式方程的解法及一
元一次不等式组的解法是解题的关键．先解分式方程，根据方程的解的情况得到 且 ，再解一元
一次不等式组，求出a的取值范围，由此得到所有整数解及解的和．
【详解】解：
解得 且 ，
∵解为非负数，
∴ 且 ，
解得 且 ．，
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
因为关于y的不等式组的解集为 ，
所以 ，
所以 且 ，
因为 为整数，
所以 为1、2、4、5，
所以符合条件的所有整数的和为 ．
