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专题05 解三角形中的范围与最值问题
题型01 三角形中的边长或周长的最值或范围
1．（2026·河南许昌·模拟预测）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，.已知
，
，若
是
的中点，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
2．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角
中，
为边
上一点，
平分
，且
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
长度的取值范围．
3．（2026·浙江嘉兴·二模）已知
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，且
.
(1)求角C 及边c 的值；
(2)求
的最大值.
4．（25-26 高三上·安徽六安·期末）已知
、
、分别为
三个内角
、
、
的对边，且
.
(1)求角
；
(2)已知
，求
的取值范围.
5．（2026·浙江·模拟预测）已知
的外接圆半径为2，∆ABC的内角A，B，C 的对边分别为
，且
.
(1)试判断∆ABC的形状；
(2)若
，求∆ABC周长的最大值.
6．（2026·福建漳州·二模）在凸四边形
中，
，
，
，
，则AC 的最大值
为______．
7．（2026·河南南阳·一模）（多选）在锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，．已知
，
，
成等差数列，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
周长取值范围为
D．若
是
外接圆的圆心，则
和
面积之差的取值范围为
题型02 三角形中的面积的最值或范围
8．（2026·广东汕头·模拟预测）在
中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c．
且
．
(1)若D 为AB 边上靠近点A 的三等分点，
，求
面积的最大值；
(2)求
的取值范围．
9．（2026·四川德阳·二模）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
时，求△ABC 面积的最大值．
10．（2026·北京·模拟预测）在
中，角
，
，
所对的边分别
，
，，
．函数
的图象关于点
对称．
(1)当
时，求
的值域；
(2)若
，求
的面积最大值．
11．（2026·山东菏泽·一模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
，则
的面
积的最大值为（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
12．（2026·湖南湘潭·二模）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，．已知
，且
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·山东泰安·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，且满足
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
面积的最大值．
14．（2025·广西·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别为
，已知
.
(1)求内角
的大小；
(2)若
，求
面积的最大值.
题型03 几何图形中的计算
15．（25-26 高三上·贵州遵义·月考）如图，在四边形
中，
．
(1)求
的值；
(2)若
，且
的面积是
面积的4 倍，求
的长．
16．（25-26 高三上·河北·期末）在
中，
为AC 边上的动点，若AC 边足够
长，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2026·四川成都·二模）如图，正方形
的边长为1，P，Q 分别为边
，
上的点．
(1)若
，
，求
；
(2)当
的周长为2 时，求
的大小．
18．（2026·陕西·二模）在
中，内角
所对的边分别为
，
，
为
的角平分
线，且
．
(1)若
，求
的大小；
(2)设
为
中点，连接
，
面积取得最小值时，求线段
的长度.
19．（2026·广东汕头·一模）
中，
，延长
到点
，使
，连接
．若
，则
的大小为_______.
20．（2026·山东·模拟预测）在
中，
，点
在
延长线上，
．
(1)求
；
(2)若
的面积为
，求线段
的长度．
题型04 正余弦定理与三角函数性质的结合应用
21．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数
，其中
.
(1)若函数
在区间
内恰有2 个极值点，求
的取值范围；
(2)当
时，在
中，角
所对的边分别为
，且
，求边
的取值范围.
22．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知
的内角
，
，
所对的边分别是
，
，，若
，
，角
的角平分线交
于点
，则线段
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2025·湖北黄冈·二模）如图，锐角
的内角A ,B , C 的对边分别为
，直线与
的边AB，
AC 分别相交于点D，E，设
，满足
.
(1)求角
的大小；
(2)若
且
，求
的取值范围.
24．（24-25 高三上·云南·月考）在
中，
分别为角
的对边，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，设角
的大小为
，
的周长为
，求
的最大值.
25．（2025·河北秦皇岛·三模）（多选）在平面四边形
中，
，
，
，
，
为
边
的中点，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．若
，
，
，
四点共圆，则
B．当
时，
，
，
，
四点共圆
C．若
，则
的面积为
D．当
变化时，
长度的最大值为
26．（2025·陕西西安·二模）在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知R 是该三角形外接圆的半
径，且
．
(1)求角C；
(2)若
的面积为S，求
的取值范围．
强化训练
1．（2026·河北保定·一模）已知
的内角
所对的边分别为
，
则
的内切圆面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·广东广州·二模）在锐角
中，角
所对的边分别为
且
，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知
的三个内角
所对的边分别为
，
，
的面积为
，角A 的平分线交边
于D，且
，则a 为（ ）
A．
B．
C．
D．1
4．（2026·山东聊城·一模）已知
中，
，D 是边
上一点，
，
，且
，
则边
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·四川资阳·一模）（多选）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，.若
，
，则（ ）
A．
的周长为6
B．
，
，成等差数列
C．角
的最大值为
D．
面积的最大值为
6．（2025·辽宁大连·一模）（多选）在
中， 已知
，下列说法不正确的是（ ）
A．
B．若
， 则
面积最大值为
C．记
的内切圆半径为
， 设
， 则
在
上单调递增
D．若
，若
和的长度一定，则有两个满足条件的不同三角形
7．（2025·广西南宁·模拟预测）（多选）设
内角
的对边分别为
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
的外接圆面积为
D．若M 为
中点，则
8．（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为30 米，40 米，50 米的三角形草坪（记为
），点
，
在
的边上，线段
把草坪分成面积相等的两部分．如果沿
铺设灌溉水管，则水管的最短长度为
______米．
9．（2026·湖北孝感·二模）在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，若
，
为锐角三
角形，则
的取值范围是_______．
10．（2025·湖北武汉·模拟预测）在
中，
，点D 是
上的点，
平分
，
的面积是
的面积的3 倍，当
的面积最大时，
______.
11．（2025·浙江杭州·三模）如图，在三角形
中，若
，
，
，则四边形
的面积的最大值为________.
12．（2025·河北邯郸·一模）在锐角
中，内角
满足
.
(1)求角
；
(2)若
，求
面积的取值范围；
(3)证明：
.
13．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知
的内角
的对边分别为
，且
的周长为
(1)求角
；
(2)若
，求
面积的最大值．
14．（2026·山西临汾·一模）在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求角B；
(2)当
时，
的面积为S，周长为L，求
的取值范围.
15．（2026·湖北襄阳·一模）在
中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，M 为边BC 所在直线上一点．
(1)若
，AM 平分∠BAC，
，
，求
的周长；
(2)若
，且
，求
的最大值和最小值．
16．（2026·山东烟台·一模）已知
的内角
的对边分别为
，
，且
的面积
为
．
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的值．
17．（2026·河北邯郸·一模）
的内角
的对边分别为
，已知
成等差数列，且
．
(1)求
；
(2)记
外接圆的面积为，若
，求
的取值范围．
18．（2026·河北张家口·一模）在
中，内角
的对边分别为
，满足
．
(1)证明：
；
(2)若
，
，点
为边
上一点，
为
的平分线，求
的值；
(3)若
为锐角三角形，求
的取值范围．
19．（2026·四川·模拟预测）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若
，
，求AB 边上中线的长.
