文档文本内容
第05 讲 空间向量及其应用
目录
01 常考题型过关练
题型01 空间向量的加减数乘运算
题型02 空间向量基本定理
题型03 空间向量的数量积运算
题型04 共线问题
题型05 共面问题
题型06 平行、垂直的向量证明
题型07 线线角、线面角的向量求法
题型08 面面角的向量求法
题型09 点面、面面距离的向量求法
题型10 点线、线线距离的向量求法
题型11 轨迹问题的向量求法
题型12 探索性问题的向量求法
题型13 夹角最值问题的向量求法
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 空间向量的加减数乘运算
1．点
在平行四边形
所在平面外，
与
交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意点
是
的中点，
所以
.
故选：B.
2．在空间四边形
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题知，
.
故选：A
3．在空间四边形
中，
分别是
的中点，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意易知
是
的中位线，即
，
所以
.
故选：C
02 空间向量基本定理
4．已知正四面体OABC 的棱长为1，点M 在OA 上，且
，点N 为BC 中点，则
用基底
表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为N 为BC 的中点，则
，所以，
，
则
，因此，
．
故选：D
5．如图所示，空间四边形
中，
，
，
，点
在
上，点
在
上，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
，
，
所以
，
因为
，
，所以
，
所以
.
故选：D．
6．在三棱柱
中，
为棱
上点并且
设
，
，
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
在三棱柱
中，
，
故选：B.
7．在四面体
中，
为棱
的中点，
为线段
的中点，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【详解】
在四面体
中，
为棱
的中点，
为线段
的中点，
可得
，
所以
则
.
故选：B.
03 空间向量的数量积运算
8．已知向量
，
，则向量
在向量
上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【详解】已知向量
，
，
则向量
在向量
上的投影向量的坐标为
.
故答案为：
9．已知空间中三点
，
，
，则以
，
为邻边的平行四边形的面积为（
）
A．
B．
C．3
D．
【答案】B
【详解】已知
，
，
，根据向量坐标运算可得
，
.
根据向量数量积坐标运算：可得
.
根据向量模长公式：可得
，
.
根据向量夹角公式可得
.
因为
.
根据平行四边形面积公式
，可得
.
则
邻边的平行四边形的面积为
.
故选：B.
10．（多选）在平行六面体
中，
，
，M
为
的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】对于A，
，故A 正确：
对于B，
，故B
错误，
对于C，
，故C 错误：
对于D，易得
为正三角形，故
，故D 正确.
故选：AD
11．如图所示，四棱锥
，底面
是边长为4 的正方形，棱
底面
，且
分别是
，
的中点，
是线段
上的动点，则
（ ）
A．一定为锐角
B．一定为直角
C．一定为钝角
D．锐角､直角､钝角均有可能
【答案】A
【详解】因为底面
是正方形，所以
，又因为
底面
，所以
两两垂直，
所以，以
为原点，分别以
为
轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，因为
在线段
上，所以
，
所以
，
则
，
所以
，
所以
一定是锐角，
故选：A.
12．如图，已知正三角形
和正方形
的边长均为4，且二面角
的大小为
，则
.
【答案】
【详解】设
分别为
的中点，连接
，
在正三角形
中，
，
，
在正方形
中，
，
，
，
所以
为二面角
的平面角，即
，
所以
.
故答案为：
.
13．在三棱柱
中，
为
的中点，则
.
【答案】
/
【详解】根据题意，取
中点
，连接
,
，
又
，
则
，
所以
.
故答案为：
.
04 共线问题
14．已知向量
，
，若
，则
.
【答案】5
【详解】由
，得
，解得
，
，
所以
故答案为：5
15．在空间四边形
中，
为
中点，
为
的中点，若
，则使
、
、
三点共线的
的值是 .
【答案】
/
【详解】由题意可知，
，
，则
，
，
，
，
三点共线，
，
．
故答案为：
.
16．四棱柱
的六个面都是平行四边形，点
在对角线
上，且
，点
在
对角线
上，且
．
(1)设向量
，
，
，用
、
、表示向量
、
；
(2)若
、
、
三点共线，求实数
的取值．
【答案】(1)
，
；
(2)
.
【详解】（1）依题意
，
.
（2）因为
，
点
在对角线
上，且
，
所以
，
则
，
因为
、
、
三点共线，所以
，
即
，
又
、
、不共面，所以
、
、可以作为空间中的一组基底，
所以
，解得
.
05 共面问题
17．已知
为空间中四点，任意三点不共线，且
，若
四点共面，
则
的值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．0
【答案】C
【详解】由
四点共面，所以
，即
，
故选：C.
18．已知三棱锥
的体积为
是空间中一点，
，则三棱锥
的体积是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【详解】因为
，所以
，
，
令
，则
，
又
，故点
共面，
所以
.
故选：B.
19．已知四棱锥
中，底面
为平行四边形，点
为
的中点，点
满足
，点
满足
，若
、
、
、
四点共面，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如下图所示：
因为
、
、
、
四点共面，且
、
不共线，
则存在
、
，使得
，
即
，
所以
，
因为四边形
为平行四边形，所以
，即
，
所以
，
设
，则
，
因为
、
、
不共面，所以
，解得
，所以
，
又因为
，故
，
故选：C.
20．如图，在平行六面体
中，
为
的中点，
，
交平面
为
， 则
的值为 .
【答案】
【详解】设
，
其中
，
为
的中点，
，
故
,
所以
，
，
因为
四点共面，所以
，解得
故答案为：
21．如图，在正方体
中，
，
分别为
，
的中点，点
在棱
上，且
．
(1)证明：
，
，
，
四点共面．
【答案】(1)证明见解析；
【详解】（1）在正方体
中，以点
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
令
，则
，
则
，
于是
，即向量
共面，
又向量
有公共点
，所以
，
，
，
四点共面.
06 平行、垂直的向量证明
22．如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
，
平面
，
，
分别为棱
，
的中点．
(1)证明：
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）在四棱锥
中，
平面
，
，
则直线
两两垂直，以点
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
从而
，设平面
的法向量
，
则
，取
，得
，
又
，所以
，即
，所以
平面
；
23．三棱台
中，若
平面
，
；
，
，
，
分别
是
，
中点．
(1)求证：
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）以点
为原点，直线
，
，
分别为
，
，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∴
，设平面
的一个法向量为
，
∵
，
，
令
，∴
，∵
，∴
，
又∵
平面
，所以
平面
.
24．在四棱台
中，底面
是边长为2 的菱形，
，
，
，过
的平面
分别交
，
于点
，
，且
平面
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）连接
，
，
因
平面
，
平面
，平面
平面
，所以
，
设
，
，连接
，
由在四棱台
中，平面
平面
A1B1C1D1，
平面
平面
，平面
平面
，
则得
，
又由题意知
，则得四边形
是等腰梯形，
所以
，同理可证
，
因
，
平面
，所以
平面
，
又底面
是菱形，所以
，
则以
为原点，直线
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系，如图，
因为菱形
的边长为
，
，则
，
，
则
，
，则
，
所以
，
，
，
，
，
则
，
，
，
设
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
令
，则
，
，所以
，
所以
，即
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
；
25．在四棱锥
中，底面
是正方形，侧棱
底面
，
与平面
所成角为
，
是
的中点，点
且
．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面
；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）连接
，交
于点
，再连接
．
因为底面
是正方形，所以点
是
的中点．
又
是
的中点，所以
．
而
平面
且
平面
．
因此
平面
．
（2）由
底面
，底面
是正方形且
与平面
所成角为
，又
，可知
是等腰直角三角形，即
．
现以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
设
，则
，
，
，
，
且
．
．
．
，
．
同理
．则
.
又
,
平面
,
平面
；
07 线线角、线面角的向量求法
26．如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
分别为
，
的中
点．
(1)求证：
；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【详解】（1）证明：连接
，
因为三棱柱
为直三棱柱，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，则
，
因为在直三棱柱
中，
，所以四边形
为正方形，
所以
，
因为
，
、
平面
，所以
平面
，
又
平面
，则
．
（2）因为直三棱柱
中，
，
所以
，
，
两两垂直，
所以以
为原点，分别以
，
，
所在的直线为
，
，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
．
设平面
的一个法向量为
，则
，
令
可得
．
设
与平面
所成角为
，
所以
，
即
与平面
成角的正弦值为
，
所以
与平面
成角的余弦值为
．
27．如图，已知三棱柱
中，侧棱与底面垂直，且
，
，M、N、P、
D 分别是
、
、
、
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为P，D 分别是
，
的中点，则
，
在三棱柱
中，则
，可得
，
且
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）由题意知三棱柱
中，侧棱与底面垂直，
且
，
，
故
，∴
，
以点
为坐标原点，
，
，
所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，则
，
，故
，
则
，
，
可得
，
所以直线
平面
夹角的正弦值为
.
28．如图，在棱长为2 的正方体
中，P 为棱
的中点，Q 为棱
所在直线上一点，且
（
）.
(1)若
，求直线
与
所成角的余弦值；
(2)若直线
与平面
所成角为45°，求实数
的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）建立空间直角坐标系并求点的坐标：以
为正交基底，建立空间直角坐标系
.
已知正方体棱长为
，则
，
，
.因为
为棱
的中点，
，
，
所以
点坐标为
；
又因为
，
，所以
点坐标为
.
所以
，
.
根据向量的夹角公式
，
，
，所以
.
因为异面直线所成角的范围是
，所以
与
所成角的余弦值为
.
（2）因为
，
，所以
点坐标为
.
那么
，
，
.
设平面
的法向量为
，有
，即
.
令
，得
，解得
；
把
，
代入
得
，解得
.
所以
.
已知直线
与平面
所成角为
，根据线面角向量关系
（
为线面角），
则
.
等式两边同时平方得
.
化简：
，即
.
展开得
. 移项整理得
，
又因为
，所以
，解得
.
29．如图，四棱锥
的底面为正方形，
平面ABCD，E，F 分别是线段PB，PD
的中点，
是线段PC 上的一点．
(1)求证：平面
平面PAC；
(2)若直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值为
，求CG 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
或
．
【详解】（1）连接BD，因为E，F 分别是线段PB，PD 的中点，所以
．
因为
平面
平面ABCD，所以
，即
，
又ABCD 为正方形，所以
，即
又
平面PAC，所以
平面PAC，
又
平面EFG，所以平面
平面PAC．
（2）如图，以
为原点，分别以AB，AD，AP 所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系
，则
，
设
，则
．
设平面AEF 的一个法向量为
，则
，令
得
．
设直线AG 与平面AEF 所成角为
，则
解得
或
，所以
或
．
08 面面角的向量求法
30．如图，四边形
与四边形
均为等腰梯形，
，
，
，
，
，
，
⊥平面
，
为
上一点，且
⊥
，连接
.
(1)证明:
⊥平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为
⊥平面
，
平面
，
所以
⊥
.又
⊥
，且
，
平面
，
所以
⊥平面
.
因为
，所以
⊥平面
；
（2）作
⊥
，垂足为
.则
，又
，
所以四边形
是平行四边形，又
⊥
，
所以四边形
是矩形，又四边形
为等腰梯形，
且
，
，所以
.
由（1）知
⊥平面
，又
平面
，所以
⊥
.
又
，所以
，在Rt
中，
.
在Rt
中，
.
以B 为原点，
所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，
建立如图所示空间直角坐标系.
则
，
所以
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
由
，得
，
解得
，令
，则
，故
，
设平面
的法向量为
，
由
，得
，
令
得
，
，
可得
，
因此
.
故平面ABF 与平面DBE 的夹角的余弦值为
.
31．图，四边形
为正方形，平面
平面
，
，点
在线段
上，
．
(1)证明：
平面
．
(2)证明：平面
平面
．
(3)求平面
与平面
的夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）证明：过点
作
，垂足为
．
因为
，所以四边形
是正方形，
所以
，
，
则
是等腰直角三角形，所以
，则
，即
．
因为平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，
所以
平面
.
因为
平面
，所以
．
因为
，所以
平面
．
（2）证明：连接
，记
，连接
．
由（1）得四边形
是正方形，
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
．
又
，所以
．
因为
，所以
，即
，
所以
，所以
平面
．
因为
平面
，所以平面
平面
．
（3）
连接
．在正方形
中，
．
由（2）得
平面
，因为
平面
，所以
．
因为
，所以
平面
.
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
．
由题可知
是平面
的一个法向量，
是平面
的一个法向量．
，
所以平面
与平面
的夹角的正弦值为
．
32．如图1，在平面多边形
中，
为直角三角形，
，
，
．如图2，现将
沿轴
向上翻折到图中的
处，此时
，
．
(1)证明：
；
(2)证明：
平面
；
(3)求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
．
【详解】（1）证明：如图，取
的中点N，连接
，
，
因为
且
，
所以四边形
为菱形，故
，
又因为
，所以四边形
为平行四边形，
故有
，所以
，
因为
，
、
平面
，
，故
平面
，
因为
平面
，所以
．
（2）证明：如图，连接
交
于点O，连接
．
因为
，且
，
所以
，所以O 为
的三等分点，
又因为
，所以M 为
的三等分点，所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
．
（3）由题意知，
，
，
因为
，
平面
，
与
相交，所以
平面
．
以菱形
的对角线交点
为坐标原点，以
为x 轴正方向，以
为y 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设
，由于
，
则
，
，
，
，
，
由
知
．
设平面
的法向量为
，
，
，
所以
，令
，则
，
，
即
，
设平面
的法向量为
，
，
，
所以
，令
，则
，
，
即
，
因为
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
．
33．在四棱锥
中，
平面ABCD，底面ABCD 是菱形，
，点
在线段PD 上，
平面AEC.
(1)证明：
为PD 的中点；
(2)若
，二面角
的余弦值为
，求PA 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于
，连接OE，
因为底面ABCD 是菱形，所以
是BD 中点，
又
平面
，
平面PBD，平面
平面
，所以
，
故
为PD 中点.
（2）取
的中点
，连接
，易知
，则
平面
，
在菱形
中，易知
，由
，
，则
，
，
以
为原点，分别以
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，如下图：
设
，则
，
，
，
，
由
为
的中点，则
，
取
，
，
，
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，
，所以平面
的一个法向量
；
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，
，所以平面
的一个法向量
，
设二面角
的平面角大小为
，则
，
即
，解得
.
09 点面、面面距离的向量求法
34．如图，在直四棱柱
中，底面ABCD 为矩形，E 为棱
的中点．
(1)若
，证明：
．
(2)设
，
，
，
，且点F 到平面
的距离为
，求λ 的值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
或
【详解】（1）连接BD，
，
因为
，底面ABCD 为矩形，
所以底面ABCD 为正方形，所以
，
在直四棱柱
中，
底面ABCD，则
，
因为
，
平面
，所以
平面
．
又
平面
，所以
．
（2）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则
，
，
，
，
，
则
，
，
,
设平面
的法向量为
，
则
令
，得
,
由
，
，
所以
，
所以点F 到平面
的距离
，
解得
或
．
35．如图，在长方体
中，
，
，
，
分别为棱
，
的中点.
(1)求证：
，
，
，
四点共面；
(2)求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接
，
因为
，
分别为棱
，
的中点，所以
，
在长方体
中，
，所以
，
所以
，
，
，
四点共面.
（2）以
为原点，分别以
，
，
的方向为
，
，
轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，令
，得
，
则点
到平面
的距离
.
36．在四棱锥
中，底面
为正方形，平面
平面
，
，
，点E
为线段
的中点，点F 为线段
上的动点（不含端点）.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若平面
与平面
的夹角为
，求点P 到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为
，
，
，所以
.
又因为平面
平面
，且平面
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
；
（2）由（1）知，
平面
，
平面
，所以
，
又因为底面
为正方形，所以
，由
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
又因为
，
，
平面
，所以
平面
，
以A 为原点，
，
，
分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
则
，
，
，
，
设
，则
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，
，故
，
设平面
的法向量
，
，令
，则
，
则平面
的法向量
，
由题意得，
，即
，
整理得，
，解得
或
（舍），则
所以平面
的法向量可取
，
所以点
到平面
的距离
.
37．如图，在四棱锥
中，底面
是边长为
的正方形，
底面
，
，
、
、
分别是
、
、
的中点．求：
(1)直线
与平面
的距离；
(2)平面
与平面
的距离．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为
平面
，四边形
为正方形，
以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
、
、
，
因为
、
分别为
、
的中点，则
，
平面
，
平面
，
平面
，
因为
且
，
、
分别为
、
的中点，则
且
，
所以，四边形
为平行四边形，
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
、
平面
，
平面
平面
，
平面
，
平面
，
设平面
的法向量为
，
，
，
则
，取
，可得
，
，
所以，直线
与平面
的距离为
.
（2）解：因为平面
平面
，则平面
与平面
的距离为
.
10 点线、线线距离的向量求法
38．在空间直角坐标系中，点
，
，
，则
到直线
的距离为
【答案】
【详解】设直线
的单位方向向量为
，
点
，
，
，
，
，
，
，
，
，
到直线
的距离为
.
故答案为：
.
39．如图，在三棱柱
中，底面
是边长为
的正三角形，
，顶点
在底面的
射影为底面正三角形的中心，P，Q 分别是异面直线
上的动点，则P，Q 两点间距离的最小值是
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【详解】如图，
是底面正
的中心，
平面
，
平面
，则
，
，则
，又
，
，
，直线
交
于点
，
，
以直线
为
轴，
为
轴，过
平行于
的直线为
轴建立空间直角坐标系，如图，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
设
与
和
都垂直，
则
，取
，则
，
，
P，Q 两点间距离的最小值即为异面直线
与
间的距离等于
．
故选：D．
40．如图，在三棱柱
中，
平面
，
，
，
，点
，
分
别在棱
和棱
上，且
，
，
为棱
的中点．
(1)求证：
；
(2)求二面角
的余弦值；
(3)求点
到直线
的距离．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)
；
(3)
【详解】（1）证明：由题知，
平面ABC，
所以
、
、
两两垂直
故以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
因为
，
，
，则
，
，
，
，
，
，
所以
，
故
所以
（2）由（1）分析知，
，
，
又
，即
所以
，
设平面
的法向量为
则
，即
令
，则
由题知，
是平面
的一个法向量
设二面角
的平面角为
，则
所以二面角
的余弦值为
.
（3）由（2）知，
，且
在
上的投影向量的模长
.
计算
.
根据点到直线距离公式
，
即点
到直线
的距离为
.
41．如图①菱形
，
．沿着
将
折起到
，使得
，如
图②所示．
(1)求异面直线
与
所成的角的余弦值；
(2)求异面直线
与
之间的距离．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）图①菱形
，
，由余弦定理得
，所以
，
所以
，即
，又
，所以
，
在图②中，
，即
，又
平面
所以
平面
，即
平面
，
又
平面
，所以
，如图，以
为原点，
分别为
轴建立空间直角坐标
系，
则
，
所以
，故
，
则异面直线
与
所成的角的余弦值为
；
（2）由（1）得
，设
是异面直线
与
公垂线的方向向量，
所以
，令
，则
所以异面直线
与
之间的距离为
.
11 轨迹问题的向量求法
42．如图，在棱长为2 的正方体
中，M 为棱
的中点，点Q 在底面正方形
内运动，
满足
，则点Q 的轨迹长度为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
设
，则
，
由
，得
，整理得
，
所以点Q 的轨迹是以点
为圆心，1 为半径的圆，此圆在正方形
内部，
所以点Q 的轨迹长度为
.
故选：C.
43．已知球
的半径为，
是球
表面上的定点，是球
表面上的动点，且满足
，
则线段
轨迹的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图，以球
的球心为坐标原点，
所在的直线为
轴，建立空间直角坐标系，
因为球
的半径为，则
，设
，
则
，
，所以
，
又
，
，则
，得到
，
如图，在线段
取点
，使
，所以线段
轨迹为圆锥
的侧面，
又
，则
，所以圆锥
的侧面积为
，
所以线段
轨迹的面积为
，
故选：C.
44．如图，已知圆柱的轴截面是矩形
，点
为
上不同于
的一点，点
在
上，且
，动点
满足
，动点
在上底面上，满足
．
(1)证明：
平面
；
(2)①求动点
的轨迹长度；
②当点
为
的中点时，若平面
与平面
的夹角的余弦值为
，求
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①
；②
【详解】（1）在
上取点
，使得
，连接
，
因为
，所以
，
所以
，且
，
又
，所以
，又
，
所以
，且
，则四边形
为平行四边形，所以
，
因为
平面
平面
，故
平面
；
（2）分别取
的中点
，连接
，则
底面圆
，连接
，
因为点
为
的中点，所以
，易得
，
以
为原点，以
，
所在直线分别为
轴建立如图所示空间直角坐标系
，
则
，
，
①因为
，所以
，所以
，
则动点
的轨迹是半径为
的圆，其轨迹长度为
；
②设平面
的法向量为
，
由
得
取
，则
，
因为
，都在平面
内，所以
平面
，
所以
是平面
的一个法向量，记为
，
所以
，
由题意可知，
，整理得
，解得
，
故
的值为
．
12 探索性问题的向量求法
45．（多选）在棱长为2 的正方体
中，
是线段
上的动点，则（ ）
A．存在点
，使
B．存在点
，使点
到直线
的距离为
C．存在点
，使直线
与
所成角的余弦值为
D．存在点
，使点
，
到平面
的距离之和为3
【答案】AB
【详解】连接
，则
，故A 正确；
点
到直线
的距离
，故B 正确；
以
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，设
，
，则
，
，
假设存在点
，使直线
与
所成角的余弦值为
，
则
，
整理得
，解得
，故C 错误；
在平面
A1B1C1D1中，过
，
分别作
，
，垂足为
，
，
则点
，
到平面
的距离之和为
．
设
，则
，
当点
与
重合时，点
，
到平面
的距离之和最大，
所以不存在点
，使点
，
到平面
的距离之和为3，故D 错误．
故选：AB
46．如图所示，正四棱锥
中，
为侧棱
上的点，
且
．
(1)记平面
平面
，证明：
；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)点
为侧棱
上一点，猜想：当
为何值时，有
平面
，并证明你的猜想．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)在侧棱
上存在一点
，使
平面
，满足
【详解】（1）在正四棱锥
中，
，
平面
，
平面
，
则
平面
，而
平面
，平面
平面
，
所以
.
（2）由题意可知点
到平面
的距离即为点
到平面
的距离，
因为四棱锥
是正四棱锥，所以在底面的射影为正方形
的中心，
即
的中点，由题意可得
，所以
，
又
，
设点
到平面
的距离为
，由
，所以
，
所以
，所以点
到平面
的距离为
；
（3）在侧棱
上存在一点
，使
平面
，满足
.
理由如下：连接
交
于
，连接
，则
是
的中点，
取
中点
，又
，则
，
过
作
的平行线交
于
，连接
，在
中，有
，
由
平面
，
平面
，得
平面
，而
，则
，
又
，
平面
，
平面
，则
平面
，
又
，
平面
，因此平面
平面
，
又
平面
，得
平面
，所以存在，且
.
47．如图，在四棱锥
中，底面
是边长为
的正方形，侧棱
，E 是
的中点，
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面
；
(3)侧棱
上是否存在一点F，使得
平面
，若存在，则求
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
【详解】（1）
如图，连接
交
于点
，连接
，由正方形
可得：
因
是
的中点， 则
，
又因
平面
，
平面
，
故
平面
.
（2）因
则
,
故有
,因
平面
，故
平面
.
（3）
由题意和（2）的结论，如图，可以点
为原点，
分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，
则
，因E 是
的中点，则
，
设
，解得
，则得
,
,
设平面
的法向量为
，则
故可取
.由
平面
可得
，
即
，解得
，即存在点
时，满足
平面
，
此时，
.
48．如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
，
.
(1)求证：
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)棱
上是否存在点
，它与点
到平面
的距离相等，若存在，求线段
的长；若不存在，说明理
由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，且
【详解】（1）证明：因为平面
平面
，且平面
平面
，
因为
，且
平面
，所以
平面
.
因为
平面
，所以
.
（2）解：在
中，因为
，
，
，
所以
，所以
.
又因为
平面
，以点
为坐标原点，
、
、
的方向分别为
、
、
的正方向建立如下图
所示的空间直角坐标系
，
所以，
、
、
、
、
，
则
，
，
易知平面
的一个法向量为
.
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，则
.
则
，
即平面
与平面
夹角的余弦值为
.
（3）解：因为
、
到平面
的距离相等，且
、
在平面
的同侧，
则有
平面
.
因为点
在棱
，所以
，其中
，
因为
，则
，所以
.
又因为
平面
，
为平面
的一个法向量，
所以
，即
，所以
.
所以
，所以
.
49．如图1，在
中，
，
，
分别为边
，
的中点，且
，将
沿
折起到
的位置，使
，如图2，连接
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)若
为
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)线段
上一动点
满足
，判断是否存在
，使二面角
的正弦值为
，若
存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【详解】（1）因为
，
分别为
，
的中点，所以
.
因为
，所以
，所以
.
又
，
，
平面
，
所以
平面
.
（2）因为
，
，
，所以
，
，
两两垂直.
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系
，
依题意有
，
，
，
，
，
，
则
，
，
，
.
设平面
的法向量
，
则有
令
，得
，
，所以
是平面
的一个法向量.
因为
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
（3）假设存在
，使二面角
的正弦值为
，
即使二面角
的余弦值为
.
由（2）得，
，
所以
，
，
.
易得平面
的一个法向量为
.
设平面
的法向量
，
，
解得
，令
，得
，
则
是平面
的一个法向量.
由图形可以看出二面角
的夹角为锐角，且正弦值为
，
故二面角
的余弦值为
，
则有
，
即
，解得
，
.
又因为
，所以
.
故存在
，使二面角
的正弦值为
13 夹角最值问题的向量求法
50．
中，
，
，
，D 是
的中点，E 是
的中点，F 是
的中点．如图，
将
和
分别沿
、
向平面
的同侧翻折至
和
的位置，且使得
．
(1)证明：
；
(2)若
，求三棱锥
的体积；
(3)求平面
与平面
的夹角的余弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）
D 是
的中点，
翻折前
，翻折后
.
是
的中点，
翻折前
，翻折后
翻折后
，又
，
且
方向相同，
.
又
E 是
的中点，F 是
的中点，
翻折前、后
，
，
且
方向相同，
，
翻折后，在
中，
；
（2）
过点
在平面
内作
，垂足为
，取
的中点
，连接
，
在
中，
，
，D 是
的中点，
可知翻折前，
；翻折后，
，
又
，
平面
，
又
平面
，
，
又
，
平面
，
就是三棱锥
的高.
在
中，
，
，
，
由余弦定理可知
.
，
.
在
中，
，
，
，
，D 是
的中点，E 是
的中点，
，
，
.
（3）在平面
中，过点
作
，交
于点
，
平面
，
，
以点
为坐标原点，
、
、
的方向分别为
轴的正方向
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
，
设
，则
，
，
，
，
设平面
的一个法向量
，
则
，
令
，则
，
，
，
设平面
的一个法问量
，
则
，
令
，则
，
，
，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
，
，则
，
当且仅当
，即
时，即
时，等号成立.
平面
与平面
的夹角的余弦值的最大值为
.
51．如图，已知菱形
和等边三角形
有公共边
，点B 在线段
上，
与
交于点O，将
沿着
翻折成
，得到四棱锥
，
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
(3)求直线
与平面
夹角正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：连接BD，由菱形
和等边三角形
有公共边
，可知
，
且
，
，即
，
则四边形
为菱形，
所以
，故翻折后
，
因为
，且都在平面
内，
所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
．
（2）由（1）知
平面
，
平面
，
则平面
平面
，
如图，在平面
中过点
作
，
又平面
平面
，
所以
平面
，故
两两垂直，
以
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
因为
，所以
为等边三角形，
，
则
，
，
，
，
设平面
与平面
夹角为
，
法向量分别为
，
，
则
，取
得
；
，取
得
，
所以
，
即平面
与平面
夹角的余弦值为
．
（3）由（2）知
在平面
上且
，
可设
，
则
，
，
，
设平面
法向量为
，
则
，
取
得
，
设
与平面
夹角为
，
则
，
令
，则
，
当且仅当
，即
时成立，
所以直线
与平面
夹角正弦值的最大值为
．
52．如图，已知圆台
的上、下底面半径分别为3 和6，母线与下底面所成的角为
．
(1)求圆台
的体积；
(2)设
，
分别是圆台
的两条母线．
（ⅰ）求证：
；
（ⅱ）若
，P 是圆
上的动点，求直线
与平面
所成角正弦值的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）因为圆台
的上、下底面半径分别为3 和6，母线与下底面所成的角为
，
所以圆台的高为
，
所以圆台的体积为
．
（2）（ⅰ）由圆台定义知，母线
，
的延长线相交于一点M，
所以A，
，
，B 四点共面．
又因为圆面
圆面O，
平面
圆面
，
平面
圆面
，
所以
．
（ⅱ）在圆面O 内作
，垂足为O．
以
为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
则
，
，
，
，
．
设平面
的一个法向量
，
因为
，
，
由
即
解得
，
，
取
，则
，
，得
．
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
当且仅当
，即
，
时，取“
”，
所以直线
与平面
所成角正弦值的最大值为
53．在四棱锥
中，平面
平面
，平面
平面
，底面
为正方形.
(1)求证：
平面
；
(2)设
的中点为
且
，
.若
为平面
上的一点，且
，求
与平面
所成角正弦值的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）∵底面
是正方形，∴
，
∵平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
∴
平面
．∵
平面
，∴
．
同理可得
，
∵
，
，
平面
，∴
平面
．
（2）由（1）知
平面
，
，∴
平面
，
又∵
面
，
∴
．∵
，
，
，∴
平面
，
又
平面
，∴
．
∵
为
中点，∴
．
如图，设
，以
为原点，
，
所在直线分别为x，y 轴，z 轴
，建立空间直角坐标系．
则
，
，则
，又
．
由题意可知，点
的轨迹是以
，
为焦点的椭圆，设椭圆方程为
，
又∵
，所以该椭圆
，
，则
，
所以
在平面
内椭圆轨迹方程为：
．
设
，
， ∴
．
又
是平面
的法向量，
记
与面
所成角为
，则
，
又由Q 的轨迹方程得
．
记
，
．
该二次函数的对称轴为
，∴
，
所以
与平面
所成角正弦值的最小值为
1．（多选）已知棱长为1 的正方体
的所有顶点都在以
为球心的球面上，点
是棱
的中点，点
是棱
上的动点.则下列说法正确的有（ ）
A．若
是棱
的中点，则
平面
B．点
到直线
的距离的最小值为
C．棱
上存在点
，使得
D．若
是棱
的三等分点，则过
的平面截球
所得的截面面积最小为
【答案】ACD
【详解】如图，设
的中点为
，连接
，
是
中点，
，且
，
对于A，若
是
中点，
，且
，
，且
，所以四边形
为平行四边形，
，又
平面
，
平面
，
平面
，故A 正确；
根据题意，以
为原点，以直线
所在方向分别为
轴建立空间直角坐标系，
设
，
，
，
，
所以点
到直线
的距离
，
即点
到直线
的距离的最小值为
，故B 错误；
对于C，
，所以
，
则
，当
时，
，即
，
所以棱
上存在点
，使得
，故C 正确；
对于D，当
是棱
的三等分点时，点
或
，球心
，
所以
，又正方体外接球半径
，
所以截面所得圆的最小半径
，其面积为
，故D 正确.
故选：ACD.
2．如图，在以
为顶点的五面体中，四边形
与四边形
均为等腰祶形，
，
为
的中点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设点
是
内一动点，
，当线段
的长最小时，求直线
与直线
所成角的余
弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取
的中点为
，连接
，
由
是边长为2 的等边三角形，
是以
的等腰三角形，
所以
，
，
，
所以
，
，所以
，
所以
平面
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以平面
平面
；
（2）以
为坐标原点，分别以
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
所以
，
当点
是
内一动点，且
，则点
在以
为直径的圆上，
当线段
的长最小时，点
在
与圆的交点处，所以
，
所以
，
设直线
与直线
所成角为
，
所以
，
所以直线
与直线
所成角的余弦值为
.
3．
如图，四棱锥
中，
为正三角形，
，
，
为线段
的中点．
(1)在平面
内，过点
作平面
的平行线
，并证明；
(2)若
，证明：平面
平面
；
(3)若
四点在以
为半径的球面上，求四棱锥
的体积．
【答案】(1)作图及证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
.
【详解】（1）如图，连接
，直线
即为直线
，
取
的中点
，连接
，则
，
而
，则
，
四边形
为平行四边形，因此
，又
平面
平面
，
所以
平面
.
（2）由
，且
，得
，
又
为正三角形，则
，
又
，则
，
，
而
，于是
，又
平面
，
则直线
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
.
（3）延长
至
，使得
，即
，连接
，
又
，则四边形
为正方形，连接
，
过点
作
平面
，以
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
由
四点在以
为半径的球面上，由球的性质知球心
在
轴上，设点
，
于是
，解得
，即
，
又
为正三角形，连接
，则
，
又
平面
，
于是
平面
，点
在坐标平面
内，设点
，又
，
则
，
解得
，因此四棱锥
的高
，
直角梯形
的面积
，
所以四棱锥
的体积
．
4．（ 2025·甘肃白银·二模）
如图，已知正方形
的边长为
分别为
的中点，
以
为棱将正方形
折成如图所示，使得二面角
的大小为
，点
在线段
上且不与
点
重合.
(1)直线
与由
三点所确定的平面相交，交点为
，若
，求
的长度，并求此时点
到
平面
的距离；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，
，
平面
，
所以
平面
，同理可得
平面
，
因为二面角
为
，所以
，
所以
与
均是全等的正三角形，取
中点
，则
，
由
平面
平面
得
，
又
，
平面
，因此
平面
，即
，
因为
，
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
设
，所以
，
，所以
即
，
所以
的长为
.
过
作
于
，因为
平面
，
平面
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
即
为点
到平面
的距离，因为
，所以
，
所以
，所以点
到平面
的距离为
.
（2）因为
，所以
，
又
平面
平面
，所以
即为二面角
的平面角，
所以
.
取
中点
，连接
，如图，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，又
平面
，
所以
平面
，因为
，平面
，所以
，
则以
为坐标原点，
方向为
轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，
则
，
则
，
设平面
的法向量
，则
令
，则
，所以
.
设平面
的法向量
，又
，
所以
，
令
，则
，所以
.
所以
.
设平面
与平面
夹角为
，
所以
，
故平面
与平面
夹角的正弦值为
.
5．如图，在三棱台
中，平面
平面
，
，
，
．
(1)证明：
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在三棱台
中，取AC 的中点O，连接BO，
，
，
由
，得
，
由平面
平面
，平面
平面
，
平面
，得
平面
，
而
平面
，则
，
又
，
，则四边形
是菱形，故
，
而
，
，
平面
，因此
平面
，
又
平面
，所以
．
（2）取
中点
，则
，
由平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
则
平面
，直线
两两垂直，
以点O 原点，直线OB，OC，OM 分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
设
，
则
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，得
，
设直线
与平面
所成的角为
，
，
当且仅当
时等号成立．
故直线
与平面
所成角的正弦值的最大值为
.
6．（ 2025·北京海淀·三模）如图，在直角
中，
，点
、
分别在线段
、
上，
且
，将
沿
折起到
的位置，使得二面角
的大小为
．
(1)设平面
与平面
的交线为
，请直接写出
与直线
的位置关系．
(2)若点
为线段
的靠近
点的三等分点
（ⅰ）求证：
平面
；
（ⅱ）求
与平面
所成角
的正弦值．
【答案】(1)相交
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）相交
（证明一（寻找交线）：如图，在平面
中，因为
为梯形，所以延长
，交
于点
．连接
，
因为
，
，所以
平面
，
平面
，所以
即为交线
，
与
相交于
点
．
证明二（反证法）：假设直线
和直线
不相交，由于两直线都在平面
内，所以
．
又
平面
，
平面
，所以
平面
．
又
平面
，平面
平面
，所以
，矛盾！
故直线
和直线
相交,
（2）（ⅰ）证明：在
中，
，又
，
所以
．
所以翻折后
，
．
因为
平面
，
平面
，平面
平面
．
所以
是二面角
的平面角，
．
又
，
，所以由余弦定理得
，
所以
，因此
．
因为
，
，又
，
平面
．
所以
面
，
又因为
面
，所以
．
因为
，
，
，
平面
，
所以
平面
．
（ⅱ）因为
，所以
，
．
又由（ⅰ）知，
，所以
两两垂直．
如图，以
为原点，
分别为
轴正方向
建立空间直角坐标系
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量
由
，得
令
，得
，
，
所以
为平面
的一个法向量，
所以
．
故
与平面
所成角
的正弦值为
.
7．如图所示，六面体
的底面
是菱形，
，且
平面
，平面
与平面
的交线
为.
(1)证明：直线
平面
；
(2)已知
，三棱锥
的体积
，若
与平面
所成角为
，求
的取值范
围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接
，
，即
.
四边形
为平行四边形，则
.
平面
平面
平面
，
平面
平面
，又
平面
，
，
四边形
是菱形，
，
又
平面
平面
，则
，
又
，
平面
，
平面
，又
平面
.
（2）连接
交
于
点，
，则
.
平面
，
平面
，因为
平面
，
则
.
，四边形
是菱形，则
，
，
以
为
轴，
轴，
轴建立如图的空间直角坐标系，
设
，则
.
.
，即
，
，则
，
，又
是平面
的一个法向量，
，
设
，则
.
8．（ 2025·甘肃白银·模拟预测）
如图，在梯形
中，
，
，
，
，
，
分别为线段
，
上异于端点的一点，
，将梯形
沿
翻折至与
梯形
垂直的位置，得到多面体
．
(1)若
，证明：
．
(2)若
平面
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
(3)求四面体
的外接球的半径的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）平面
平面
，交线为
，
，
平面
，则
平面
，
平面
，则
，又
，
，
平面
，所以
平面
，
平面
，则
，因为
，所以
，
所以
，可知
．
在梯形
中，由
，
，知
，
．
设
，
得
，
，由
，得
，
解得
，
．
（2）
，
，
平面
平面
，
平面
，
则
平面
，又
平面
，平面
平面
，
则
，
，
所以
，则直线
，
，
交于一点，
可得
．设
，得
，解得
．
如图，以
为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
．
设平面
的法向量为
，
即
令
，则
，
设直线
与平面
所成的角为
，
．
（3）坐标系如（2）中所示，设
，
，
，
，
，
设
的中点为
，球心
，
的外心为
，则
平面
，即
，
，由
，即
，得
，
，
当
时，
取得最小值，最小值为
，
即四面体
的外接球的半径的最小值为
．
1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】法一：
连结
交于
，连结
，则
为
的中点，如图，
因为底面
为正方形，
，所以
，则
，
又
，
，所以
，则
，
又
，
，所以
，则
，
在
中，
，
则由余弦定理可得
，
故
，则
，
故在
中，
，
所以
，
又
，所以
，
所以
的面积为
.
法二：
连结
交于
，连结
，则
为
的中点，如图，
因为底面
为正方形，
，所以
，
在
中，
，
则由余弦定理可得
，故
，
所以
，则
，
不妨记
，
因为
，所以
，
即
，
则
，整理得
①，
又在
中，
，即
，则
②，
两式相加得
，故
，
故在
中，
，
所以
，
又
，所以
，
所以
的面积为
.
故选：C.
2．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）在正三棱柱
中，D 为BC 中点，则（ ）
A．
B．
平面
C．
D．
平面
【答案】BD
【详解】法一：对于A，在正三棱柱
中，
平面
，
又
平面
，则
，则
，
因为
是正三角形，
为
中点，则
，则
又
，
所以
，
则
不成立，故A 错误；
对于B，因为在正三棱柱
中，
平面
，
又
平面
，则
，
因为
是正三角形，
为
中点，则
，
又
平面
，
所以
平面
，故B 正确；
对于D，因为在正三棱柱
中，
又
平面
平面
，所以
平面
，故D 正确；
对于C，因为在正三棱柱
中，
，
假设
，则
，这与
矛盾，
所以
不成立，故C 错误；
故选：BD.
法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为
，高为，
则
，
对于A，
，
则
，
则
不成立，故A 错误；
对于BD，
，
设平面
的法向量为
，
则
，得
，令
，则
，
所以
，
，
则
平面
，
平面
，故BD 正确；
对于C，
，
则
，显然
不成立，故C 错误；
故选：BD.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边
形ADEF 均为等腰梯形，
，
，
，
为
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见详解；
(2)
【详解】（1）因为
为
的中点，所以
，
四边形
为平行四边形，所以
，又因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
（2）如图所示，作
交
于
，连接
，
因为四边形
为等腰梯形，
，所以
，
结合（1）
为平行四边形，可得
，又
，
所以
为等边三角形，
为
中点，所以
，
又因为四边形
为等腰梯形，
为
中点，所以
，
四边形
为平行四边形，
，
所以
为等腰三角形，
与
底边上中点
重合，
，
，
因为
，所以
，所以
互相垂直，
以
方向为
轴，
方向为
轴，
方向为
轴，建立
空间直角坐标系，
，
，
，
，设平面
的法向量为
，
平面
的法向量为
，
则
，即
，令
，得
，即
，
则
，即
，令
，得
，
即
，
，则
，
故二面角
的正弦值为
.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，
的中点分别为
，点
在
上，
．
(1)求证：
//平面
；
(2)若
，求三棱锥
的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接
，设
，则
，
，
，
则
，
解得
，则
为
的中点，由
分别为
的中点，
于是
，即
，
则四边形
为平行四边形，
，又
平面
平面
，
所以
平面
.
（2）过
作
垂直
的延长线交于点
，
因为
是
中点，所以
，
在
中，
，
所以
，
因为
，
所以
，又
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
，又
，
平面
，
所以
平面
，
即三棱锥
的高为
，
因为
，所以
，
所以
，
又
，
所以
.
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱
中，
．点
分别在棱
,
上，
．
(1)证明：
；
(2)点
在棱
上，当二面角
为
时，求
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1
【详解】（1）以
为坐标原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，如图，
则
，
，
，
又
不在同一条直线上，
.
（2）设
，
则
，
设平面
的法向量
，
则
，
令
，得
，
，
设平面
的法向量
，
则
，
令
，得
，
，
，
化简可得，
，
解得
或
，
或
，
.
6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥
中，
，
，
，E 为BC 的中点．
(1)证明：
；
(2)点F 满足
，求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
．
【详解】（1）连接
，因为E 为BC 中点，
，所以
①，
因为
，
，所以
与
均为等边三角形，
，从而
②，由①②，
，
平面
，
所以，
平面
，而
平面
，所以
．
（2）不妨设
，
，
．
，
，又
，
平面
平面
．
以点
为原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设
，
设平面
与平面
的一个法向量分别为
，
二面角
平面角为
,而
，
因为
，所以
，即有
，
，取
，所以
；
，取
，所以
，
所以，
，从而
．
所以二面角
的正弦值为
．
7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，
是三棱锥
的高，
，
，E 是
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，
，
，求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接
并延长交
于点
，连接
、
，
因为
是三棱锥
的高，所以
平面
，
平面
，
所以
、
，
又
，所以
，即
，所以
，
又
，即
，所以
，
，
所以
所以
，即
，所以
为
的中点，又
为
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
（2）解：过点
作
，如图建立空间直角坐标系，
因为
，
，所以
，
又
，所以
，则
，
，
所以
，所以
，
，
，
，
所以
，
则
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，令
，则
，
，所以
；
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，
，所以
；
所以
.
设二面角
的大小为
，则
，
所以
，即二面角
的正弦值为
.
8．（2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体
中，
，E 为
的
中点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，点F 在
上，当
的面积最小时，求
与平面
所成的角的正
弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
与平面
所成的角的正弦值为
【详解】（1）因为
，E 为
的中点，所以
；
在
和
中，因为
，
所以
，所以
，又因为E 为
的中点，所以
；
又因为
平面
，
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）连接
，由（1）知，
平面
，因为
平面
，
所以
，所以
，
当
时，
最小，即
的面积最小.
因为
，所以
，
又因为
，所以
是等边三角形，
因为E 为
的中点，所以
，
，
因为
，所以
,
在
中，
，所以
.
以
为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，所以
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，则
，
又因为
，所以
，
所以
，
设
与平面
所成的角为
，
所以
，
所以
与平面
所成的角的正弦值为
.
