文档文本内容
第05 讲 对数与对数函数
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 对数与对数运算...................................................................................................4
知识点2 对数函数及其性质...............................................................................................5
题型破译.........................................................................................................................................6
题型1 指数与对数的互化及对数运算...............................................................................6
【方法技巧】底数不变
题型2 换底公式...................................................................................................................6
【方法技巧】底数不相同时换相同底后再计算
题型3 定义域和解析式.......................................................................................................7
题型4 指对运算的应用.......................................................................................................8
题型5 对数函数的概念与图象
....................................................................................9
题型6 比较对数式的大小
..........................................................................................10
题型7 解对数方程和不等式.............................................................................................10
题型8 对数复合函数的单调性
...................................................................................11
题型9 对数函数性质的综合应用
...............................................................................11
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................12
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................13
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）判断对数函数的单调性
（2）由对数函数的单调性解
不等式
（3）对数的运算性质的应用
（4）比较对数式的大小
（5）对数的运算
（6）对数函数单调性
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，第
8 题，5 分
新课标I 卷，第6 题，5
分
新课标Ⅱ卷，第8 题，5
分
全国甲卷理，第15 题，
5 分
新课标I 卷，第10 题，5
分
北京卷，第4 题，4 分
考情分析：
1.本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备考复习
2.本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5-6 分
复习目标：
1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数
2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点
3.熟练掌握对数函数y=loga x(a>0 且a≠1)与指数函数y=ax(a>0 且a≠1)的图象关系
知识点1 对数与对数运算
1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果
，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数，记作
其中a 叫做对数的 ，N 叫做 .
（2）对数式与指数式的互化：
.
（3）两个重要对数：常用对数，以10 为底的对数 ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对
数 .
2．对数的性质
（1）1 的对数等于0，即
；
（2）底数的对数等于1，即
；
（3）对数恒等式
.
3．对数的运算性质
如果
，那么：（1）
；
（2）
； （3）
.
4．对数的换底公式
对数的换底公式：
.
换底公式的变形及推广：
（1）
；（2）
；
自主检测（多选）下列关系表示正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若设
，且
，则
D．若
，则
知识点2 对数函数的图象及其性质
1．对数函数的概念
一般地，我们把函数
叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是
.
2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数
的图象与性质如下表所示：
图象
定义域
值域
性质
过定点 ，即
时，
在
上是
.
在
上是
.
当x＞1 时，y＜0；
当0＜x＜1 时，y＞0
当x＞1 时，y＞0；
当0＜x＜1 时，y＜0
在直线
的右侧，当
时，底数越大，图象越靠近x 轴；
当
时，底数越小，图象越 轴，即“底大图低”．
3．对数函数与指数函数的关系
指数函数
且
）与对数函数
且
）互为反函数，其图象关于直线
对称.
自主检测（多选）已知
的定义域为
，值域为
，则（ ）
A．若
，则
B．对任意
，使得
C．对任意
的图象恒过一定点
D．若
在
上单调递减，则
的取值范围是
题型1 对数与对数运算
例1-1 下列说法正确的是（ ）
①对数式
与指数式
且
是同一关系式的两种不同表示方法；
②若
且
，则
一定成立；
③对数的底数为任意正实数；
④
，对于一切
且
恒成立．
A．①②③④
B．①②④
C．①③④
D．②③④
例1-2 已知
，则
的值为（ ）
A．15
B．
C．
D．
方法技巧 对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，
＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
【变式训练1-1·变考法】方程
的解集为 .
【变式训练1-2】计算
的值为 ．
题型2 换底公式
例2-1 已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-2 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧
对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
【变式训练2-1·变考法】已知：
，求证：
．
【变式训练2-2】已知
.
(1)求
的值；
(2)设
，求证：
.
题型3 定义域和解析式
例3-1（多选）下列说法正确的是（ ）
A．命题“
，都有
”的否定为“
，使得
”
B．函数
的定义域是
C．函数
且
的图象经过定点
D．已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时
，则当
时
例3-2 若某对数函数的图象过点
，则该对数函数的解析式为 ．
方法技巧
定义域：
1.真数
，即解不等式
（若对数函数为
）．
2.若存在复合函数（如根号、分式等），需结合其他函数定义域规则综合求解．
值域：
1.先确定内层函数
的取值范围（
）．
2.根据对数函数的单调性，由t 的范围推导
的值域
【变式训练3-1·变载体】已知函数
，若图象过点
，则
的值为（ ）
A．－2
B．2
C．
D．
【变式训练3-2】函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-3】已知
，
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 指对运算的应用
例4-1 数学中的同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的
式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等
式或不等式问题.如
与
（将
化为
）可以同构为
.若已知关于a 的方程
和关于b 的方程
可化为同构方程，则
，
.
例4-2 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化
中，指数衰减的学习率模型为
（
为常数），其中
表示每一轮优化时使用的学习率，
表示
初始学习率，
表示衰减系数，
表示训练迭代轮数，
表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型
中
，当
时，学习率为0.25；当
时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05 以下所需的
训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：
）
A．33
B．34
C．35
D．36
方法技巧
logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，
＝logab(a>0，且a≠1，b>0)
【变式训练4-1】石墨烯纳米材料的制备过程中，需通过激光散射技术监测纳米颗粒的团聚程度.在团聚指
数增长阶段，散射光强度达到检测阈值时，颗粒团聚体数量
与超声处理时间（单位：分钟）满足
，其中
为初始颗粒数量，
为团聚速率常数.已知某样品经超声处理6 分钟后，团聚
体数量变为初始的100 倍，则团聚速率常数
约为（ ）（参考数据：
，
）
A．56.2%
B．77.8%
C．115.4%
D．118.4%
【变式训练4-2】香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信
噪比及信道带宽的关系，即
其中
是信道容量，单位bps；
为信道带宽，单位Hz；
代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千
次频率将信道带宽由5MHz 扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由
17.3Mbps 提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：
，
）
A．5
B．6
C．7
D．8
题型5 对数函数的概念与图象
例5-1 函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-2（多选）下列函数是对数函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最
低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【变式训练5-1·变考法】（多选）如图，这是函数
和
的大致图象，其中
，
图象中在点
处形成了4 条曲线，从左至右分别记为
，则（ ）
A．
是函数
的图象
B．
是函数
的图象
C．
是函数
的图象
D．
是函数
的图象
【变式训练5-2·变考法】定义在R 上的奇函数
，当
时，
，则
【变式训练5-3】已知
，
，
，比较a，b，c 的大小关系： ．
题型6 比较对数的大小
例6-1 设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2 比较下列各组数的大小．
(1)
与
；
(2)
与
；
(3)
，
与
．
方法技巧
若底数a 不确定，需分
和
两种情况讨论．
比较大小时，若底数或真数不同，可引入中间值（如
、
）辅助判断．
【变式训练6-1·变考法】设
，
，
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-2】设
，
，
，列出
三个数从大到小的排列顺序.
题型7 解对数方程和不等式
例7-1 不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
例7-2 解不等式：
(1)
；
(2)
（
且
）．
方法技巧
1.若对数底数a 确定，直接利用单调性去掉对数符号，注意真数大于0，如：
当
时，
；
当
时，
．
2.若底数a 不确定，需分
和
两种情况讨论．
【变式训练7-1】若集合
，则
．
【变式训练7-2】若
，求实数a 的取值范围．
【变式训练7-3】已知
（
，且
），求x 的取值范围．
题型8 对数复合函数的单调性
例8-1 已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例8-2 已知函数
，函数
在
上单调递减，则
的取值范围 ．
【变式训练8-1】（多选）设函数
，则下列命题为真命题的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数是增函数
C．函数的图象关于直线
对称
D．函数的值域是
【变式训练8-2】已知函数
对任意的
，都满足
，
则实数a 的取值范围是 ．
题型9 对数函数性质的综合应用
例9-1 已知定义在
上的奇函数
满足：
，且当
时，
（
为常数），则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
例9-2 已知函数
方程
有四个不相等的实数根
，求
的取值范围．
方法技巧
1.奇偶性：判断
与
的关系，注意定义域需关于原点对称．
若
，则
非奇非偶（定义域
不关于原点对称）．
复合函数如
，需先求定义域，再验证
（奇函数）．
2.对称性：
若
，则图象关于直线
对称；
若
，则图象关于点
对称．
【变式训练9-1】
，若存在
使得
成等差数列，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-2】已知函数
，若方程
有四个不同的实根
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-3】已知函数
，若
存在最小值，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z 满足
，则x，y，z 的大小关
系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的时间
（单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间
增加（ ）
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
3．（2024·北京·高考真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数
是河流水质的一个评价指标，其中
分别表示河
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
没有变化，生物个体总数由
变为
，生物丰富度指数由
提高到
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·天津·高考真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知
且
，则
．
1．已知函数
是定义在
上的偶函数，且在区间
上单调递减.若实数a 满足
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
与
互为相反数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．某工厂2016 年产值为200 万元，计划从2017 年开始，每年的产值比上一年增长20%．问至少从哪年开
始，该厂的年产值可超过1200 万元？
4．设
，若复数
在复平面内的对应点在第三象限，求
的取值范围．
5．已知放射性物质镭经过
年后，其剩余的质量为原来的
，求经过多少年后其剩余的质量为原
来的
．（参考数据
，
）
6．对数函数
，
，
（
，
，
，且a，b，c 均不为1）的图象如图，
试比较a，b，c 的大小．
7．求下列函数的定义域：
(1)
；
(2)
．
8．比较下列各题中两个值的大小：
(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
，
.
