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大题仿真卷01（A 组+B 组+C 组）
（模式：5 题 满分：77 分 限时：70 分钟）
一、解答题
1．（2025·海南海口·模拟预测）已知
，其内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
．
(1)求
；
(2)若
，
，
为
边上的中点，求
的长．
2．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有极小值，且极小值大于
，求
的取值范围．
3．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形
中，
，
，
，
分别为
的中点，且
，将梯形
沿
翻折至梯形
，使得平面
平面
，
得到如图2 的多面体
.
(1)证明：
四点共面；
(2)在
上取一点
，使得平面
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值.
4．（2025·四川成都·模拟预测）已知点
，
，P 是直线AB 外的一个动点，
，垂足为
Q，且Q 在线段AB 外，
，记点P 的轨迹为曲线C．不过原点的直线l 交C 于M，N 两
点，M 关于x 轴的对称点为T，直线TB 和NB 的斜率之积为6．
(1)求C 的方程；
(2)判断l 是否过定点，若是请求出该定点坐标，若不是请说明理由；
(3)试判断
的形状（锐角、直角或钝角三角形），并给出证明．
5．（2025·江苏南通·模拟预测）某机器人挑战任务规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务
都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个简单任务或复杂任务，分配到简单任务的概率为
，分配到复杂任务的概率为
.已知该机器人成功完成简单任务与复杂任务的概率分别为
，且各阶段
任务完成情况相互独立.
(1)求该机器人在一个阶段中成功完成任务的概率；
(2)记
为该机器人在完成第
个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率.
①求
；
②证明：数列
单调递减.若对系统分配任务进行设置，使得当
时，系统停止分配任务，求该机
器人最多能挑战多少个阶段的任务.
（模式：3 题 满分：45 分 限时：45 分钟）
一、解答题
1．（2025·辽宁·二模）已知数列
的前
项和
满足
，且
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)记
，求数列
的前
项和
.
2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）某公司准备了一个不透明的箱子，该箱子中装有6 个大小一样的小球，其
中2 个为红色，1 个为白色，3 个为蓝色.职工甲、乙两人进行抽球游戏，在每轮比赛中，两人各从箱子中
一次抽出3 个小球.得分规则如下，若抽出的三个小球的颜色相同，得8 分；若抽出的三个小球中有两球的
颜色相同，得4 分；若抽出的三个小球的颜色各不相同，得2 分.若第一轮得分相同，则进行第二轮，直至
出现两人得分不同，得分多者获得公司提前准备的奖励，游戏结束.
(1)记甲第一轮得分为
，求
的概率分布列及数学期望；
(2)求两人共抽
轮小球的概率
.
3．（24-25 高三上·天津·期末）已知函数
（
），
．
(1)求函数
的极值；
(2)若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)求证：
时，
．
（模式：2 题 满分：34 分 限时：30 分钟）
一、解答题
1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线
的渐近线为
，双曲线的左
顶点为
，直线
与双曲线C 相交于A，B（异于点P）两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若
的中点为
，求直线l 的方程；
(3)若以
为直径的圆恒过点P，试判断直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，
请说明理由．
2．（2025·江苏连云港·模拟预测）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，
创造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛、方垛、刍甍多、刍童垛等的公式．我们把公差不
为0 的等差数列
称为“一阶等差数列”，若数列
是“一阶等差数列”，则称数列
是“二阶等差数列”．定义：若数列
是“
阶等差数列”，则称原数列
为“
阶等差
数列”．例如：数列
，它的后项与前项之差组成新数列
，新数列
是公差为的等
差数列，则称数列
为二阶等差数列．
(1)若数列
满足
，
，且
，求证：数列
为二阶等差数列；
(2)若三阶等差数列
的前
项依次为
，求
的前
项和
；
