文档文本内容
第04 讲 数列的通项公式
目录
0
1 考情解码・命题预警...............................................................................................................................1
02 体系构建·思维可视............................................................................................................................................2
03 核心突破·靶向攻坚............................................................................................................................................3
知能解码................................................................................................................................................3
知识点1 利用
与
的关系求通项 .....................................................................................3
知识点2 累加法 ........................................................................................................................4
知识点3 累乘法 ........................................................................................................................4
知识点4 构造法 ........................................................................................................................5
知识点5 倒数法 ........................................................................................................................6
知识点6 递推关系式法 ............................................................................................................6
题型破译................................................................................................................................................7
题型1
法
............................................................................................................................7
题型2 累加法
........................................................................................................................7
【方法技巧】累加法求解模型
题型3 累乘法
........................................................................................................................8
【方法技巧】累乘法求解模型
题型4 形如
.......................................................................................................9
【方法技巧】常考构造法模型
题型5 形如
.............................................................................................................9
题型6 形如
............................................................................................10
题型7 倒数法............................................................................................................................10
题型8 形如
..............................................................................................11
题型9 利用前n 项积求通项...................................................................................................12
04 真题溯源·考向感知.........................................................................................................................................12
05 课本典例·高考素材.........................................................................................................................................13
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）熟练掌握
与
的关系求通项公式
（2）累加法；累乘法
（3）能灵活应用构造
法
单选题
多选题
填空题
解答题
/
全国甲卷（理）T18
（1），（5 分）
全国甲卷（文）T17
（1），（5 分）
全国甲卷（理）T17
（1），（5 分）
全国I 卷T21（2），（5
分）
考情分析：高考对数列通项的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列通项问题以解答题
的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查.
复习目标：掌握数列通项的几种常见方法．
知识点1 利用
与
的关系求通项
对于数列
，前
项和记为
；
①
；②
①-②：
法归类
角度1：已知
与
的关
系；或
与
的关系
用
，得到
例子：已知
，求
角度2：已知
与
的
关
系
；
或
与
的关系
替换题目中
的
例子：已知
；
已知
角度3：已知等式中左侧含
有：
作差法（类似
）
例子：已知
求
自主检测已知数列{an)满足a1+2a2+⋯+2
n−1an=n⋅2
n，则数列{an)的通项公式为 .
知识点2 累加法
若数列{an}满足an+1−an=f (n)(n∈N
¿)，则称数列{an}为“变差数列”，求变差数列{an}的通项时，利
用恒等式an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+¿⋅¿+(an−an−1)=a1+f (1)+f (2)+f (3)+¿⋅¿+f (n−1)(n≥2)求
通项公式的方法称为累加法。
自主检测若数列{an)满足an=an−1+
1
n
2+n（n≥2且n∈N+），a1= 1
2，则a2025=（ ）
A．2022
2023
B．2023
2024
C．2024
2025
D．2025
2026
知识点3 累乘法
若数列{an}满足
an+1
an
=f (n) (n∈N ¿)，则称数列{an}为“变比数列”，求变比数列{an}的通项时，利用
an=a1⋅a2
a1
⋅a3
a2
⋅a4
a3
⋅¿⋅¿ an
an−1
=a1⋅f (1)⋅f (2)⋅f (3)⋅¿⋅¿ f (n−1)(n≥2)求通项公式的方法称为累乘法。
自主检测已知数列{an)满足a1=1,(n−1)an=n⋅2
nan−1(n∈N
∗,n≥2)，则数列{an)的通项公式为
．
知识点4 构造法
（一）形如
（其中
均为常数且
）型的递推式：
（1）若
时，数列{
}为等差数列；
（2）若
时，数列{
}为等比数列；
（3）若
且
时，数列{
}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方
法有如下两种：
法一：设
，展开移项整理得
，与题设
比较系数
（待定系数法）得
，即
构成以
为首项，以
为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理可得
法二：由
得
两式相减并整理得
即
构成以
为首项，以
为公比的等比数列．求出
的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如
型的递推式：
（1）当
为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设
，通过待定系数法确定
的值，转化成以
为
首项，以
为公比的等比数列
，再利用等比数列的通项公式求出
的
通项整理可得
（2）当
为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设
，通过待定系数法确定
的值，转化成以
为首项，
以
为公比的等比数列
，再利用等比数列的通项公式求出
的通项整
理可得
法二：递推公式为
（其中p，q 均为常数）或
（其中p，q， r 均为常
数）时，要先在原递推公式两边同时除以
，得：
，引入辅助数列
（其中
），得：
再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
自主检测数列{an)中，a1=1，an+1=3an−1，则通项an= ．
知识点5 倒数法
类型1：形如an+1=
qa n
pa n+q （p,q为常数，pq≠0）的数列，通过两边取“倒”，变形为
1
an+1
= 1
an
+ p
q ，即：1
an+1
−1
an
= p
q ，从而构造出新的等差数列{
1
an}，先求出{
1
an}的通项，即可求得an
.
类型2：形如
（
p,q
为常数，
，
，
）的数列，通过两边取“倒”，变形
为
，可通过换元：
，化简为：
（此类型符构造法类型1： 用“待
定系数法”构造等比数列：形如an+1=ka n+ p （k , p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数法”将
原等式变形为an+1+m=k(an+m)（其中：m=
p
k−1 ），由此构造出新的等比数列{an+m}，先求出{an+m}
的通项，从而求出数列{an}的通项公式.）
自主检测已知数列|{an)中，a1= 2
5，an+1= 2an
an+1，则满足an> 2024
2025的n 的最小值为 .
知识点6 递推关系式法
形如
型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列
的形式求解．方法为：设
，比较系
数得
，可解得
，于是
是公比为的等比数列，这样就化归为
型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用
归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
自主检测已知数列{an)满足a1=1,a2=3，且an+2=3an+1−2an(n∈N
∗)，求an ．
题型1
法
例1-1 已知数列{an)的各项均为正，Sn为数列{an)的前n项和，an
2+2an= 4 Sn+3.
(1)求{an)的通项公式；
例1-2 已知数列{an)满足1
a1
+ 1
2a2
+ 1
3a3
+⋯+ 1
nan
= n(n+3)
4
，则{an)的通项公式为 .
【变式训练1-1·变考法】数列{an)满足
a1
2
n + a2
2
n−1 +⋅⋅⋅+ an
2 =n，则an= ；
【变式训练1-2】已知数列{an)的首项为1，其前n项和为Sn，且满足3nan+1−6 Sn=n(n+1)(n+2).
(1)求数列{an)的通项公式.
【变式训练1-3】数列{an)是递增数列，其前n项和为Sn，且Sn= 1
4 an
2+n,n∈N
∗．
(1)求an,Sn；
题型2 累加法
例2-1 已知数列{an)的前n项和为Sn，且a1=1，an+1−an=2
n，则Sn= .
例2-2 已知数列{an)满足a1=18，an+1−an=3n，则an
n 的最小值为
方法技巧 累加法求解模型
若数列{an}满足an+1−an=f (n)(n∈N
¿)，则称数列{an}为“变差数列”，求变差数列{an}的通项时，利
用恒等式an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+¿⋅¿+(an−an−1)=a1+f (1)+f (2)+f (3)+¿⋅¿+f (n−1)(n≥2)求
通项公式的方法称为累加法。
【变式训练2-1】在数列{an)中，a1=3，且an=an−1+lg
n
n−1
(n≥2)，则a100= .
【变式训练2-2】数列{an)满足a1=3，an+1−an=2n−8(n∈N∗)，则a8= ．
【变式训练2-3】已知数列{an)满足：a1=1，an+1−an=n+1(n∈N
*)，数列{
1
an)的前n项和为Sn，则满
足Sn≥7
4 的n的最小取值为 .
题型3 累乘法
例3-1 在数列{an)中，首项a1=1，n>1时，(n−1)an=(n+1)an−1，则数列{
1
an)的前100项和为
.
例3-2 已知数列{an)满足a1=2，an+1= 2(n+2)
n+1
an，则{an)的通项公式为 ．
方法技巧 累乘法求解模型
若数列{an}满足
an+1
an
=f (n) (n∈N ¿)，则称数列{an}为“变比数列”，求变比数列{an}的通项时，利用
an=a1⋅a2
a1
⋅a3
a2
⋅a4
a3
⋅¿⋅¿ an
an−1
=a1⋅f (1)⋅f (2)⋅f (3)⋅¿⋅¿ f (n−1)(n≥2)求通项公式的方法称为累乘法。
【变式训练3-1·变考法】在数列{an)中，a1= ❑√3, an+1
an
= ❑√
n+3
n+2，则a34= .
【变式训练3-2】已知{an}中，a1=1，nan+1=(n+1)an，则数列{an}的通项公式是 ．
【变式训练3-3】已知数列{an)满足：a1=2，且an+1+an=2n(an+1−an)(n∈N
∗)，则a2021= .
题型4 形如
例4-1 在数列{an}中，a1= 7
8，an+1= 1
2 an+ 1
3，n∈N
∗，则该数列的通项公式an= ．
例4-2 数列{an} 满足a1=1，an+1=2an+3(n∈N
∗)，则a4= ．
方法技巧 构造法常考模型
形如
（其中
均为常数且
）型的递推式：
设
，展开移项整理得
，与题设
比较系数（待定系
数法）得
，即
构成以
为首项，以
为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理可得
【变式训练4-1】已知数列{an)满足an+1=2an+2，a1=1，则an= ．
【变式训练4-2】数列{an)满足an= 4 an−1+3，且a1=0，则a5= ．
【变式训练4-3】已知数列{an)满足an+1= 2
3 an+ 4，且a1=1，则{an)的通项公式为 .
题型5 形如
例5-1 已知数列{an)满足a1=2，an+1=3an+2
n−1，n∈N
∗，则数列{an)的通项公式为 ．
例5-2 已知数列{an)满足a1=1，且an= 1
3 an−1+(
1
3)
n
(n≥2)，则数列{an)的通项公式an= ．
【变式训练5-1】数列{an}满足an+1=5an+3×5
n+1，a1=6，则数列{an}的通项公式为 .
【变式训练5-2】各项均正的数列{an)满足a1= 4 ,an+1=2an+2
n+1，则an等于
【变式训练5-3】已知数列{an)满足an+1=3an+3
n(n∈N
*)，且a1=1，则数列{an)的通项公式为 ．
题型6 形如
例6-1 在数列{an)中，已知a1=2，且an+1= 4 an−3n+ 1(n∈N
∗)，则该数列的通项公式为 .
例6-2 已知数列{an)满足an+2−4 an=−3n+2，且a1=3，a2=6，则数列{an)的通项公式为an= .
【变式训练6-1】在数列{an)中，a1=3，且an+1=3an+ 4 n−6(n∈N
∗)，则{an)的通项公式为
．
【变式训练6-2】设数列{an)满足a1= 4，an=3an−1+2n−1(n≥2)，则数列{an)的通项公式为
.
题型7 倒数法
例7-1 已知数列{an)满足a1=1，an+1=
an
4 an+1，(n∈N
∗)，则an= .
例7-2 已知数列{an)满足a1= 1
2，an+1=
an
2−an
，若bn= 1
an
−1，则数列{bn)的通项公式为bn=
．
【变式训练7-1】数列{an}中，an+1= 2an
2+an
对所有正整数n都成立且a1=2，则an= .
【变式训练7-2·变考法】已知数列{an)满足a1=1,an+1=
an
an+2，则数列{
1
an)的前8 项和S8= ．
【变式训练7-3】已知数列{an)的前n项和为Sn，若Sn+1=
4 Sn
3 Sn+2，且a1=1，则Sn= ．
题型8 形如
例8-1 已知数列{an)满足：a1=1，a2=5，an+2= 4 an+1−4 an.
(1)求数列{an)的通项公式；
例8-2 已知数列{an)满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1−2an(n∈N
*).
(1)证明：数列{an+1−an)是等比数列，并指出其首项及公比；
(2)求数列{an)的通项公式an．
【变式训练8-1】已知数列{an)满足an+1=3an−2an−1(n≥2，且n∈N
∗)，a1=1，a2=3，则数列{an)的前
10 项和为 .
【变式训练8-2】2．已知数列{an)中a1=1，a2= 3
4 ，且满足4 an+1= 4 an−an−1(n∈N ,n≥2)，则an=
．
题型9 利用前n 项积求通项
例9-1 若数列{an)的前n项积bn=1−2
7 n，则an的最大值与最小值之和为（ ）
A．−1
3
B．5
7
C．2
D．7
3
例9-2 记bn为数列{an)的前n项积，已知a1=3，1
an
+ 2
bn
=1，求数列{bn)的通项公式
【变式训练9-1】已知数列{an)的前n项积T n=6
n
2+n
2 ，则a3a6=（ ）
A．6
7
B．6
8
C．6
9
D．6
10
【变式训练9-2】记T n为正项数列{an)的前n项积，且a1=2，a2= 4，T nT n+2=2T n+1
2
.
(1)求数列{an)的通项公式；
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列{an)的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1−3.
(1)求{an)的通项公式；
2．（2024·全国甲卷·高考真题）记Sn为数列{an)的前n项和，已知4 Sn=3an+ 4．
(1)求{an)的通项公式；
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设Sn为数列{an)的前n 项和，已知a2=1,2Sn=nan．
(1)求{an)的通项公式；
4．（2022·全国甲卷·高考真题）记Sn为数列{an)的前n 项和．已知2Sn
n +n=2an+1．
(1)证明：{an)是等差数列；
5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记Sn为数列{an)的前n 项和，已知a1=1,{
Sn
an)是公差为1
3的等差数
列．
(1)求{an)的通项公式；
1．（人教A 版选择性必修第二册P42习题4.3 第7 题）人教A 版选择性必修第二册P42习题4.3 第7 题）已
知数列{an)的首项为a1=1，且满足an+1+an=3⋅2
n(n∈N
*)；
(1)求证{an−2
n)是等比数列，并求数列{an)的通项；
(2)记数列{n⋅an)的前n项和为Sn，求S2n.
2．（人教A 版选择性必修第二册P42习题4.3 第8 题）若数列{an)的首项a1=1，且满足an+1=2an+1，求
数列{an)的通项公式及前10 项的和．
3（人教A 版选择性必修第二册P42习题4.3 第11 题）已知数列{an)的首项a1= 3
5，且满足an+1=
3an
2an+1．
(1)已知数列{
1
an
−1)是等比数列，求公比q；
(2)若∑
i=1
n
1
ai
<100，求满足条件的最大整数n．
4．（人教A 版选择性必修第二册P42习题4.3 第11 题改编）已知数列{an)的首项a1= 3
5，且满足
an+1=
3an
2an+1.
(1)设bn= 1
an
−1，求证：数列{bn)为等比数列；
(2)设数列{bn)前n 项和为Sn，求Sn；
(3)若1
a1
+ 1
a2
+ 1
a3
+…+ 1
an
<2025，求满足条件的最大整数n.
5．（人教A 版选择性必修第二册P42习题4.3 第12 题）已知数列{an)为等差数列，其中a1=1，
a3=2❑√2+1，前n 项和为Sn，数列{bn)满足bn= Sn
n ，
(1)求数列{bn)的通项公式；
(2)求证：数列{an)中的任意三项均不能构成等比数列.
