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2027 年高考一轮复习检测卷（全国通用）
（范围：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式~第六章 数列）
数学·参考答案
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D A B A C D B D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ACD AD AC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．【详解】（1） 的最小值为 ，所以 ，...............................................................................2分
的最小正周期 ，得 ，又 ，所以 ，.........................................4分
结合图象可知 ，即 ，
，
，；..................................................................................................................................6分
（2）
，................................................................................9分
∴令 ，即 ，又 ，
，...................................................................................................................................11分
∴当 或 或 时， ，
分别对应 ， ， ，故方程 在 上的解的个数为3........................................13分
16．【详解】（1）由题可得 ，.......................2分
所以 ，
令 ，解得： ，
令 ，解得： ，..............................................................................................................................4分
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；....................................................................5分
(2)因为 是 的极小值点，
则 ，
即 ，即 ，
所以 ........................................................................................................8分
由于 ， ，由于 在 上单调递增，.......................................10分
所以 ，
令 ，所以 在 上单调递减，................................................................................12分
则 ，
即 ...............................................................................................................................15分17．【详解】（1） 且 ，所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数
列，......................................................................................................................................................................2分
， ......................................................................................................3分
当 时， ..........................................................................................5分
也适合上式，所以， .......................................................................................................6分
，即 ，且 ，
所以，数列 是正项等比数列，..................................................................................................................8分
设其公比为 ，则 .
由题意可得 ，解得 ，.....................................................10分
因此， ；........................................................................................................11分
（2）数列 的前 项和为 ，
数列 的前 项和为 ，...................................................................................13分
设新数列为 ，其前 项和为 ，
则 .......15分
18．【详解】（1）由正弦定理得 ，代入 得：
，............................................................................................................2分
，
，
则 ，....................................................................................................................................3分
，即 ，故 ，............................................................................................................5分
，
．..............................................................................................................................................................6分
（2）（i）已知 ，由余弦定理：
，代入数值得：
，即 ，....................................................................................................8分
解方程得 或 （舍去），
，
；.................................................................................................10分
（ii） ，
则 ，
由正弦定理 得， ，....................................................................12分
，
，
，........................................................................................................14分
，
，
．......................................17分
19．【详解】（1）因为 ，
所以 ，...........................................................................................................................................1分
当 时， ， 在 上单调递增；.....................................................................2分当 时，令 ，得 ，
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；.......................................................................4分
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增； 在 上单调递减；..............................................5分
（2）因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以切线 的方程为 ，............................................................................................................................7分
设直线 ： 与函数 相切于点 ，
因为 ，
所以 且 ，
解得 ，
所以 ；.........................................................................................................................................................9分
(3)证明：当 时， ，
要证明对任意的 ， 恒成立，
即证明 ，即 ，..................................................................11分
令 ，则 ，
令 ，得 ，
所以当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；
所以 ，...................................................................................................................................13分
所以 ，即 ，
令 ，
则有 ，...................................................................................................................................15分
又因为 ，
所以 ，所以对任意的 ， 恒成立．.......................................................................................17分
