文档文本内容
第04 讲 复数
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 复数的概念...........................................................................................................4
知识点2 复数的运算...........................................................................................................4
知识点3 复数的几何意义...................................................................................................5
知识点4 复数的三角形式...................................................................................................6
题型破译................................................................................................................................................6
题型1 复数的概念...............................................................................................................7
题型2 复数的分类...............................................................................................................8
题型3 共轭复数...................................................................................................................9
题型4 复数的几何意义.......................................................................................................9
题型5 复数的四则运算
..............................................................................................10
题型6 复数的高次方计算.................................................................................................11
题型7 与复数模相关的轨迹（图形)问题
.................................................................11
题型8 复数范围内解方程.................................................................................................12
题型9 复数的三角表示*...................................................................................................13
04
题
真
溯源·考向
知
感
........................................................................................................................13
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................14
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）数系的扩充与复
数的引入
（2）复数代数形式的
四则运算
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，第1
题，5 分；
全国二卷，第2
题，5 分；
北京卷，第2
题，4 分；
天津卷，第10
题，5 分；
新课标I 卷，第2 题，5
分；
新课标II 卷，第1 题，
5 分；
甲卷理科，第1 题，5
分；
上海卷，第9 题，5
分；
天津卷，第10 题，5
分；
新课标I 卷，第2 题，5
分；
新课标II 卷，第1 题，5
分；
甲卷理科，第2 题，5
分；
甲卷理科，第1 题，5
分；
北京卷，第2 题，5 分；
天津卷，第10 题，5 分；
考情分析：
1.复数在高考中是每年必考内容，命题较为稳定，难度较低，主要以选择题形式出现，通常位于前2 题
2.复数的四则运算作为复数部分的核心内容，是考查的重点之一。主要考查学生对复数加、减、乘、除运算法则
的掌握程度。
复习目标：
1.通
方程的解，
复数；
识
过
认
2.理解复数代数表示及其几何意
；
义
3.掌握复数的四
运算，了解加减法的几何意
。
则
义
知识点1 复数的概念
1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是 ，虚部是 ．
2、虚数单位：把平方等于－1 的数用符号i 表示，规定i2＝ ，我们把i 叫作虚数单位．
3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C 表示．
4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0 的复数实际上是一个实数．
（1）
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
5、复数相等：a＋bi 与c＋di 相等的充要条件是a＝c 且b＝d．
6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z 的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝ ．
自主检测下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数的任何偶数次幂都不小于零
B．若实数
，则
是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D．若复数
满足
，则
均为实数
知识点2 复数的运算
1、复数的运算法则
设
，
(a，b，c，d∈R)，则：
（1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
（2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
（3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ ；
（4）除法：
2、复数运算的几个重要结论
（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)； （2）·z＝|z|2＝||2.
（3）若z 为虚数，则|z|2≠z2. （4）(1±i)2＝±2i.
（4）＝i；＝－i.
3、虚数单位i 的乘方
计算复数的乘积要用到虚数的单位i 的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．
4、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：①当∆≥0时，x =-b±
❑√b
2- 4 ac
2a
；②当∆<0时，x =-b±
❑√-(b
2- 4 ac)i
2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x =m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程a x
2+bx +c =0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
自主检测若复数
满足
（i 是虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点3 复数的几何意义
1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x 轴为实轴，y 轴为虚
轴．
2、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z 是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量⃗OZ =(a,b)是一一对应的．
【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所
确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3、复数的模
（1）定义：向量⃗OZ的r 叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．
（2）记法：复数z＝a＋bi 的模记为|z|或|a＋bi|．
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
自主检测（多选）已知复数
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数
对应的点位于复平面第四象限
C．
D．若复数
满足
，则
的最大值是
知识点4 复数的三角形式
1、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成z = 的形式，其中r是复数的模，θ是复数的
辐角．
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连．
2、辐角主值
（1）辐角的定义：设复数z =a+bi的对应向量为⃗OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量⃗OZ所在的射线（射
线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辐角．
（2）辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且
这些值相差2π的整数倍．
规定：其中在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．
【注意】因为复数0 对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0 的辐角是任意的．
3、复数乘、除法的三角表示：已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，
（1）乘法：z1 z1=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，即模数相乘，辐角相加．
（2）除法：z1
z2
= r1(cosθ1+isinθ1)
r2(cosθ2+isinθ2) = r1
r2 [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，即模数相除，辐角相减．
自主检测复数
的三角形式为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型1 复数的概念
例1-1（多选）已知
，
是复数，
是
的共轭复数，下列说法正确的是（ ）.
A．若
，则
B．若
，则
或
C．若
是纯虚数，则
D．若
，则
例1-2（多选）下列有关复数的结论正确的是（ ）
A．
B．当
时，复数
是纯虚数
C．
是关于x 的方程
的一个根
D．若复数z 满足
，则复数z 对应的点所构成的图形面积为
方法技巧
判断复数
的实部、虚部的关键
（1）看形式：看复数的表示是否是
的形式；
（2）看属性：看
，
是否都是实数；
（3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点.
【变式训练1-1】（多选）已知复数z 满足
（其中i 为虚数单位），则（ ）
A．
B．
C．
为纯虚数
D．复数z 的虚部为i
【变式训练1-2】（多选）已知i 为虚数单位，则下列说法中正确的是（ ）
A．复数
的虚部为
B．
C．
D．若复数z 满足
，则
最小值为
【变式训练1-3】已知复数
，
．
(1)若z 为实数，求x 的值；
(2)若z 为虚数，求x 的取值范围；
(3)若z 为纯虚数，求x 的值．
题型2 复数的分类
例2-1 若复数
，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
例2-2（多选）下列说法正确的是（ ）
A．复数
的共轭复数的虚部为1
B．已知复数
为纯虚数，则
C．若复数
在复平面内对应的点在第四象限，则
D．若
，则
方
法技巧
复数的分类：对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0 时，它是实数；
（2）当且仅当a＝b＝0 时，它是实数0；
（3）当b≠0 时，叫做虚数；
（4）当a＝0 且b≠0 时，叫做纯虚数．
【变式训练2-1】已知
，若复数
是纯虚数，则
．
【变式训练2-2·变考法】已知i 是虚数单位，复数
．
(1)当
时，求z 的共轭复数
；
(2)若z 是纯虚数，求m 的值：
(3)若z 在复平面内对应的点位于第四象限，求m 的取值范围，
【变式训练2-3·变载体】复数z 满足
(1)若复数z 为实数，求m 的值；
(2)若复数z 为纯虚数，求m 的值；
(3)设复数
，若
，求
的取值范围．
题型3 共轭复数
例3-1 复数z 满足
（为虚数单位），则
的虚部为（ ）
A．
B．1
C．
D．
例3-2 已知复数
，
，复数
，则
的共轭复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
例3-3 设
，则在复平面内
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
方
法技巧
实部相等，虚部互为相反数
【变式训练3-1】（多选）已知
为复数，下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式训练3-2】（多选）已知虚数
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
为纯虚数
C．若
，则
或
D．若
，则
题型4 复数的几何意义
例4-1 在复平面内，
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
例4-2 已知复数
.
(1)当
时，求
；
(2)设
，
在复平面
内对应的点分别为
，
，若
，求
的值.
方法技巧
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量⃗OZ =(a,b)是一一对应的．
【变式训练4-1】已知复数z 与
在复平面内对应的点关于虚轴对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2·变载体】已知
，
，则
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
题型5 复数的四则运算
例5-1 已知复数
满足
，则
（ ）
A．3
B．
C．2
D．
例5-2 计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
方
法技巧
1、复数的加减法：实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减分别作为结果的实部与虚部。把i 看作字母，类
比多项式加减法中的合并同类项；
2、复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将
换成
，并将实部、虚部分别合并. 多
项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，常用公式有
，
，
.
2、复数的除法法则在实际操作中不方便适用，一般将除法写成分式形式，采用分母实数化的方法，即将
“
”
分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．
【变式训练5-1】“
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练5-2】若
，则
.
题型6 复数的高次方计算
例6-1 若复数
，则
.
例6-2 已知复数
满足
，则
的最小值是 .
方
法技巧
计算复数的乘积要用到虚数的单位i 的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．．
【变式训练6-1】（多选）设复数
在复平面内对应的点为
，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
或
B．若
，则点
的集合所构成的图形的面积为π
C．
D．若
是实系数方程
的一个根，则
【变式训练6-2】若复数
，则
的虚部为 .
题型7 与复数模相关的轨迹（图形)问题
例7-1（多选）已知
为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．
C．若
，则
为纯虚数
D．若
，则
的最小值为1
例7-2 若复数z 满足
（为虚数单位），则
的最大值为 ．
方
法技巧
1、求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的
最简等式或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状．
2、复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z = x + yi，则|z -(a+bi)|表示复平面内点( x , y)
与点(a,b)之间的距离，则|z -(a+bi)|=r表示以(a,b)为圆心，以r 为半径的圆上的点．
【变式训练7-1】（多选）已知复数
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
在复平面内对应的点可能是
B．
C．
的实部与虚部之积小于等于3
D．复数
，则
的最大值为
【变式训练7-2】（多选）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．若
，则复平面内
对应的点位于第二象限
C．复数
，
D．若复数
满足
，则
的最大值为6
题型8 复数范围内解方程
例8-1 已知复数
是关于
的方程
的根，则
.
例8-2 已知
是关于
的方程
的一个根，其中
，.
(1)求
、
的值；
(2)在复数范围内，求该方程的另一根.
方
法技巧
在复数范围内，实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：
①当∆≥0时，x =-b±
❑√b
2- 4 ac
2a
；②当∆<0时，x =-b±
❑√-(b
2- 4 ac)i
2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x =m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程a x
2+bx +c =0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
【变式训练8-1】若
为
的复数根，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练8-2·变考法】方程
的复数根为
，则
，使得
为纯虚数的实数
的值为 .
题型9 复数的三角表示
例9-1 已知复数
（为虚数单位），则
等于（ ）
A．1
B．
C．
D．
例9-2（多选）任何一个复数
都可以表示为
，且可以表示为三角形式
代表复数
的
模，
是以
轴的非负半轴为始边，以
所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，
发现
，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数
满
足
，则
可能的取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-1】欧拉公式：
是虚数单位，
是由瑞士著名数学家欧拉发现
的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数
，复数
满足
，则
的最大值为（ ）.
A．0
B．
C．1
D．2
【变式训练9-2】殴拉（1707-1783）是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式
，从而建立了三角函数和指数函数之间的关系，请你根据欧拉公式将复数
表示成
（
，i 为虚数单位）的形式 ．
1．（2025·全国一卷·高考真题）
的虚部为（ ）
A．
B．0
C．1
D．6
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
3．（2024·北京·高考真题）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．（2025·天津·高考真题）已知i 是虚数单位，则
．
5．（2024·上海·高考真题）已知虚数
，其实部为1，且
，则实数
为 ．
6．（2025·上海·高考真题）已知复数z 满足
，则
的最小值是 ．
1.在复数范围内解下列方程
(1)
(2)
2.计算
的5 次方根．
3.在复平面内，将与复数
对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转60°，求与所得的向量对应的复数，
写出你的思考过程．
4.如图，向量
与复数
对应，把
绕原点O 按逆时针方向旋转
得到
，求
对应的复数
（用代数形式表示），写出你的思考过程．
5.判断下列复数是不是复数的三角形式，并说明理由.
(1)
；
(2)
．
6.设复数
，若复数
的虚部减去其实部的差等于
，求复数
．
