新教材人教版高中物理必修第二册全册各章节知识点考点重点_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中物理

高中物理必修第二册全册知识点汇总
第五章 抛体运动............................................................................................................................- 1 -
5.1 曲线运动...........................................................................................................................- 1 -
5.2 运动的合成与分解............................................................................................................- 6 -
5.3 实验：探究平抛运动的特点..........................................................................................- 16 -
5.4 抛体运动的规律..............................................................................................................- 23 -
专题　抛体运动规律的应用................................................................................................- 32 -
第六章 圆周运动..........................................................................................................................- 36 -
6.1 圆周运动..........................................................................................................................- 36 -
6.2 向心力..............................................................................................................................- 44 -
6.3 向心加速度......................................................................................................................- 51 -
6.4 生活中的圆周运动..........................................................................................................- 56 -
专题课　向心力的应用和计算............................................................................................- 67 -
专题课　生活中的圆周运动................................................................................................- 71 -
第七章 万有引力与宇宙航行......................................................................................................- 75 -
7.1 行星的运动......................................................................................................................- 75 -
7.2 万有引力定律..................................................................................................................- 80 -
7.3 万有引力理论的成就......................................................................................................- 88 -
7.4 宇宙航行..........................................................................................................................- 95 -
7.5 相对论时空观与牛顿力学的局限性............................................................................- 104 -
第八章 机械能守恒定律............................................................................................................- 108 -
8.1 功与功率........................................................................................................................- 108 -
8.2 重力势能........................................................................................................................- 118 -
8.3 动能和动能定理............................................................................................................- 125 -
8.4 机械能守恒定律............................................................................................................- 132 -
8.5 实验：验证机械能守恒定律........................................................................................- 137 -
专题　动能定理和机械能守恒定律的应用......................................................................- 144 -
第五章 抛体运动
5.1 曲线运动
一、曲线运动的速度方向
1．曲线运动
运动轨迹是曲线的运动称为曲线运动。
[特别提示]　数学中的切线不考虑方向，但物理学中的切线具有方向。如图所
示，若质点沿曲线从A 运动到B，则质点在a 点的速度方向(切线方向)为v1 的方向，
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若从B 运动到A，则质点在a 点的速度方向(切线方向)为v2 的方向。
2．速度的方向
质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
3．运动性质
由于曲线运动中速度方向是变化的，所以曲线运动是变速运动。
二、物体做曲线运动的条件
1．当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运
动。
2．当物体加速度的方向与速度的方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
曲线运动的速度方向
 “丢沙包”游戏曾经风靡南北，是一个经典的群体性游戏，极受孩子们欢迎。
讨论：
(1)丢出的沙包在空中做什么运动？
(2)沙包运动的速度在不同时刻有什么特点？曲线运动一定是变速运动吗？
提示：(1)曲线运动。
(2)速度方向时刻发生变化，都沿该时刻曲线的切线方向；曲线运动一定是变
速运动。
1．曲线运动的速度方向：曲线运动中某时刻的速度方向就是该相应位置点的
切线方向。
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[特别提示]　曲线的切线
如图所示，过曲线上的A、B 两点作直线，这条直线叫作曲线的割线。设想B
点逐渐沿曲线向A 点移动，这条割线的位置也就不断变化。当B 点非常非常接近A
点时，这条割线就叫作曲线在A 点的切线。
2．曲线运动是变速运动：由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不
管速度大小是否变化，因为速度是矢量，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动
一定是变速运动，一定有加速度，但加速度不一定变化。
3．曲线运动的分类：
(1)匀变速曲线运动：加速度恒定的曲线运动，即物体在恒力作用下的曲线运
动。
(2)变加速曲线运动：加速度不断变化的曲线运动，即物体在变力作用下的曲
线运动。
[特别提示]　曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。
【例1】　翻滚过山车是大型游乐园里的一种比较刺激的娱乐项目。如图所示，
翻滚过山车(可看成质点)从高处冲下，过M 点时速度方向如图所示，在圆形轨道
内经过A、B、C 三点。下列说法中正确的是(　　)
A．过A 点时的速度方向沿AB 方向
B．过B 点时的速度方向沿水平方向
C．过A、C 两点时的速度方向相同
D．在圆形轨道上与过M 点时速度方向相同的点在AB 段上
[思路点拨]　过山车做曲线运动，在任一位置的速度方向沿轨迹上该点的切线
方向。
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B　[翻滚过山车经过A、B、C 三点的速度方向如图所示，由图可判断出B 正
确，A、C 错误；翻滚过山车在圆形轨道AB 段上的速度方向偏向左上方，不可能
与过M 点时速度方向相同，D 错误。
]
在确定某点的速度方向时，要弄清两点：一是物体沿轨迹的运动方向，二是
轨迹在该点的切线方向。然后两方面结合确定该点的速度方向。
物体做曲线运动的条件
提示：物体所受合外力的方向与它的速度方向不在同一直线上。
如图所示，将圆弧形滑轨放在铺了一层白纸的平滑桌面上，使其底端与桌面
相切，让钢球从圆弧形滑轨滚下获得一定的初速度。为便于观察，在离开滑轨处
沿钢球运动方向用直尺在白纸上画一直线。图甲中将条形磁铁沿直线放置；图乙
中将条形磁铁放在钢球运动路线的旁边。
甲　　　　　　　　乙
(1)图甲中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所
受磁铁吸引力方向有什么关系？
(2)图乙中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所
受磁铁吸引力方向有什么关系？
提示：(1)钢球做加速直线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向相同。
(2)钢球做曲线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向不在同一条直线
上。
1．物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件是合力方向与速度方向不共线。这包含三个层次的内容：①初
速度不为零；②合力不为零；③合力方向与速度方向不共线。
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(2)运动学条件：加速度方向与速度方向不共线。
2．曲线运动的轨迹与速度、合力的关系
做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，夹在速度方向与合力方向之间。
并向合力方向弯曲，也就是合力指向运动轨迹的凹侧。
[特别提示]　速度方向、合力方向及运动轨迹三者的关系
1根据速度和合力的方向，可定性画出物体的运动轨迹，如图甲所示。
2根据物体的运动轨迹，可确定物体在某点的速度方向，也可定性画出受力
方向，如图乙所示。
3．合外力与速率变化的关系
若合力方向与速度方向的夹角为α，则：
甲　　　 　乙　　　　　丙
【例2】　质点沿如图所示的轨迹从A 点运动到B 点，已知其速度逐渐减小，
图中能正确表示质点在C 点处受力的是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
C　[根据曲线运动中合力F 应指向轨迹的“凹侧”，故A、D 错误；在B 项中，
F 的方向与v 的方向成锐角，质点从A 到B 加速，故B 错误；在C 项中，F 的方
向与v 的方向成钝角，质点从A 到B 减速，故C 正确。]
[易错分析]
力和运动轨迹关系的三点提醒
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(1)物体的运动轨迹由初速度、合外力两个因素决定，轨迹在合外力与速度之
间且与速度相切。
(2)物体在恒力作用下做曲线运动时，速度的方向将越来越接近力的方向，但
不会与力的方向相同。
(3)合力方向与速度方向成锐角时，物体做加速曲线运动；成钝角时，物体做
减速曲线运动。
5.2 运动的合成与分解
一、一个平面运动的实例
1．蜡块的位置：如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向
右匀速移动的速度设为vx，从蜡块开始运动的时刻开始计时，在某时刻t，蜡块的
位置P 可以用它的x、y 两个坐标表示：x＝vxt，y＝vyt。
注意：蜡块向右上方的运动可看成由沿玻璃管向上的运动和水平向右的运动
共同构成的。
2．蜡块运动的速度：大小v＝
v2x＋v2y，方向满足tan θ＝vy
vx。
3．蜡块运动的轨迹：y＝vy
vxx，是一条过原点的直线。
二、运动的合成与分解
1．合运动与分运动
如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与
的几个运动就是分运动。
2．运动的合成与分解：已知分运动求合运动的过程，叫运动的合成；已知合
运动求分运动的过程，叫运动的分解。
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3．运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成和分解，遵
循矢量运算法则。
一个平面运动的实例(蜡块运动的分析)
一条宽阔的大河上有两个码头A、B 隔河相对。小明驾着小船从这边的码头A
出发，将一批货物运送到对岸的码头B。他驾船时始终保持船头指向与河岸垂直，
但小明惊奇地发现小船行驶的路线并不与河岸垂直，而是朝河的下游方向偏移。
怎样来研究这种运动呢？
提示：小船的实际运动为小船自身的运动与沿河流方向运动的合运动。
1．研究蜡块的运动
2．结论
蜡块向右上方的运动可看成由沿玻璃管向上的运动和水平向右的运动共同构
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成。
[特别提示]　1vx、vy 都是常量，v＝v2x＋v2y也是常量，说明蜡块的速度大小
是一定的；tan θ＝vy
vx也是一常量，说明蜡块的速度方向是一定的。综上可知蜡块做
的是匀速直线运动。
2根据tan α＝y
x
，也能判断蜡块的运动是直线运动，因为tan α＝y
x
＝vy
vx，是定
值，也就是说，位移的方向一直不变，所以蜡块做直线运动。
【例1】　(多选)质量为m＝2 kg 的物体在光滑的水平面上运动，在水平面内
建立xOy 坐标系，t＝0 时物体位于坐标系的原点O。物体在x 轴和y 轴方向的分
速度vx、vy 随时间t 变化的图线如图甲、乙所示。则(　　)
A．t＝0 时，物体速度的大小为3 m/s
B．t＝8 s 时，物体速度的大小为4 m/s
C．t＝8 s 时，物体速度的方向与x 轴正方向的夹角为37°
D．t＝8 s 时，物体的位置坐标为(24 m，16 m)
AD　[由题图可知，t＝0 时刻，vx＝3 m/s，vy＝0，所以t＝0 时刻，物体的速
度大小v0＝3 m/s，A 正确；t＝8 s 时，vx＝3 m/s，vy＝4 m/s，物体的速度大小v＝
v2x＋v2y＝5 m/s，B 错误；t＝8 s 时，设速度方向与x 轴正方向的夹角为α，则tan 
α＝vy
vx＝4
3
，得α＝53°，C 错误；t＝8 s 时，物体的位置坐标x＝vxt＝24 m，y＝1
2
ayt2
＝16 m，所以t＝8 s 时，物体的位置坐标为(24 m，16 m)，D 正确。]
运动的合成与分解
因蜡块随玻璃管沿水平方向匀加速运动，蜡块沿竖直方向上匀速运动，蜡块
所受合外力与合速度有夹角，故其轨迹不是直线。
如图所示，跳伞运动员打开降落伞后正从高空下落。
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(1)跳伞员在无风时竖直匀速下落，有风时运动员的实际运动轨迹还竖直向下
吗？竖直方向的运动是跳伞员的合运动还是分运动？
(2)已知跳伞员的两个分运动速度，怎样求跳伞员的合速度？
提示：(1)有风时跳伞员不沿竖直方向向下运动。无风时跳伞员竖直匀速下落，
有风时，跳伞员一方面竖直匀速下落，一方面在风力作用下水平运动。因此，竖
直匀速下落的运动是跳伞员的分运动。
(2)应用矢量运算法则求合速度。
1．合运动与分运动
(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参
与的几个运动就是分运动。
(2)物体实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，
而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。
2．合运动与分运动的四个特性
等时性
各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同
等效性
各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性
各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性
各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
3．运动的合成与分解
(1)运动的合成与分解：已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求
分运动，叫运动的分解。
(2)运动合成与分解的法则：合成和分解的对象是位移、速度、加速度，这些
量都是矢量，遵循的是平行四边形定则。
[特别提示]　合运动与分运动有等时、独立、等效、同体四个特性，最重要的
是等时性，时间像桥梁一样联系着分运动和合运动。
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4．确定合运动性质的方法
分析两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，确定合运
动的合初速度v0 和合加速度a，然后进行判断：
(1)判断是否做匀变速运动：若a 恒定，物体做匀变速运动；若a 变化，物体
做变加速运动。
(2)判断轨迹曲直：若a 与v0 共线，则做直线运动；若a 与v0 不共线，则做曲
线运动。
(3)互成角度的两个直线运动的合运动性质和轨迹的判断
分运动
合运动
矢量图
条件
两个匀速直线运动
匀速直线运动
a＝0
一个匀速直线运动和
一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
a 与v 成
α 角
两个初速度为零的匀
加速直线运动
初速度为零的匀加
速直线运动
v0＝0
匀变速直线运动
a 与v 方
向相同
两个初速度不为零的
匀加速直线运动
匀变速曲线运动
a 与v 成
α 角
【例2】　竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个蜡块能在水中
以0.1 m/s 的速度匀速上浮。在蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水
平向右匀速运动，测得蜡块实际运动方向与水平方向成30°角，如图所示。若玻璃
管的长度为1.0 m，在蜡块从底端上升到顶端的过程中，下列关于玻璃管水平方向
的移动速度和水平运动的距离计算结果正确的是(　　)
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公众号：一枚试卷君
A．0.1 m/s，1.73 m　　
B．0.173 m/s，1.0 m
C．0.173 m/s，1.73 m
D．0.1 m/s，1.0 m
C　[由题图知竖直位移与水平位移之间的关系为tan 30°＝y
x
由分运动具有独立性和等时性得：y＝vyt、x＝vxt
联立解得：x＝1.73 m，vx＝0.173 m/s。故C 项正确。]
　
上例中，若将玻璃管水平向右匀速运动改为从静止开始匀加速运动；将蜡块
实际运动方向与水平方向成30°角改为蜡块最终位移方向与水平方向成45°角，其
他条件不变，则玻璃管水平方向的加速度多大？
提示：由tan 45°＝y
x
，则x＝1.0 m，由x＝1
2
at2，y＝vyt 得t＝10 s，a＝0.02 
m/s2。
“三步走”求解合运动或分运动
(1)根据题意确定物体的合运动与分运动。
(2)根据平行四边形定则作出矢量合成或分解的平行四边形。
(3)根据所画图形求解合运动或分运动的参量，求解时可以用勾股定理、三角
函数、三角形相似等数学知识。
　运动的合成与分解的应用
生活中常遇到这样两种实际问题：
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公众号：一枚试卷君
甲
1．如图所示，小船渡河问题中，小船渡河参与了哪两个运动？怎样过河时间
最短？怎样过河位移最短？
提示：小船渡河参与了相对于静水的运动和随河水漂流的运动；船头垂直河
岸渡河时时间最短，合位移垂直河岸时位移最短。
2．如图乙所示，绳联物体问题中，如何判断合速度和分速度？速度怎样分解？
乙
提示：物体的实际运动是合运动；将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿
绳(杆)的两个分量。
1．运动的合成与分解的应用解题思路
(1)确定物体的合运动(实际发生的运动)与分运动。
(2)画出矢量(速度、位移或加速度)合成或分解的平行四边形。
(3)应用运动学公式分析同一运动(合运动或某一分运动)中的位移、速度、加速
度等物理量之间的关系，应用几何知识分析合矢量与分矢量之间的关系。
2．两种常见物理模型
(1)“小船渡河”模型
①模型特点
小船参与的两个分运动：小船在河流中实际的运动(站在岸上的观察者看到的
运动)可视为船同时参与了这样两个分运动：
(ⅰ)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船身的指向相同。
(ⅱ)船随水漂流的运动(即速度等于水的流速)，它的方向与河岸平行。船在流
水中实际的运动(合运动)是上述两个分运动的合成。
②两类最值问题
(ⅰ)渡河时间最短问题：若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，
不能提供指向河对岸的分速度。因此，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可
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知，t 短＝d
v船，此时船渡河的位移x＝d
sin θ
，位移方向满足tan θ＝v船
v水。
(ⅱ)渡河位移最短问题
情况一：v 水＜v 船
最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝
d
v船sin θ
，船头与上游河岸夹角θ
满足v 船cos θ＝v 水，如图甲所示。
甲
情况二：v 水＞v 船
如图乙所示，以v 水矢量的末端为圆心，以v 船的大小为半径作圆，当合速度
的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。由
图可知sin α＝v船
v水，最短航程为x＝d
sin α
＝v水
v船d。此时船头指向应与上游河岸成θ′角，
且cos θ′＝v船
v水。
乙
【例3】　一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度为v1＝2.5 m/s。船在静水
中的速度为v2＝5 m/s，求：
(1)小船渡河的最短时间为多少？此时位移多大？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？
[解析]　(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河
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岸时，如图甲所示，
甲
合速度为倾斜方向，垂直分速度为
v2＝5 m/s。
t＝
d
v ⊥＝d
v2＝180
5
 s＝36 s
v 合＝
v21＋v2＝5
2
5 m/s
x＝v 合t＝90
5 m。
(2)欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直河岸。船头应朝上游与河
岸成某一角度β。
如图乙所示，由v2sin α＝v1 得α＝30°。所以当船头朝上游与河岸成一定角度β
＝60°时航程最短。
乙
x＝d＝180 m
t＝
d
v′ ⊥＝
d
v2cos 30°
＝180
5
2
3
 s＝24
3 s。
[答案]　(1)36 s　90
5 m
(2)偏向上游与河岸成60°角　24
3 s
[解题误区]
1．小船渡河时间最短与位移最短是两种不同的运动情境，时间最短时，位移
不是最短。
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2．求渡河的最小位移时，要先弄清v 船与v 水的大小关系，不要盲目地认为最
小渡河位移一定等于河的宽度。
3．渡河时间与船随水漂流速度的大小无关，只要船头指向与河岸垂直，渡河
时间即为最短。
(2)“关联速度”模型
①“关联”速度
关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起，或直接挤压在一起
的物体，它们的运动简称为关联运动。一般情况下，在运动过程中，相互关联的
两个物体不是都沿绳或杆运动的，即二者的速度通常不同，但却有某种联系，我
们称二者的速度为“关联”速度。
②“关联”速度分解的步骤
(ⅰ)确定合运动的方向：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的
方向。
(ⅱ)确定合运动的两个效果。
用轻绳或可自由转动的
轻杆连接的物体的问题―→Error!
相互接触的物体的问题―→Error!
(ⅲ)画出合运动与分运动的平行四边形，确定它们的大小关系。
③常见的速度分解模型
甲　　　　　　　　乙
丙　　　　　　　　丁
【例4】　如图所示，以速度v 沿竖直杆匀速下滑的物体A 用轻绳通过定滑轮
拉物体B，当绳与水平面夹角为θ 时，物体B 的速度为(　　)
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A．v　　B．v
sin θ
 　　C．vcos θ 　　D．vsin θ
D　[将A 的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图所示，根据平行
四边形定则得，vB＝vsin θ，故D 正确。
]
　
上例中，若物体B 以速度v 向左匀速运动，则物体A 做什么运动？
提示：vA′＝v
sin θ
由于θ 变小，故vA′变大，故物体A 向上做加速运动。
5.3 实验：探究平抛运动的特点
一、平抛运动
1．抛体运动：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物
体只受重力的作用，这时的运动叫作抛体运动。
2．平抛运动
(1)概念：如果抛体运动的初速度是沿水平方向的，物体所做的运动叫作平抛
运动。
(2)条件：物体具有水平方向的初速度且运动过程中只受到重力的作用。
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二、探究平抛运动的特点
1．实验思路
(1)提出问题
平抛运动是曲线运动，速度和位移的大小和方向时刻在发生变化。这个复杂
的曲线运动有什么规律呢？能否分解为两个简单的直线运动？
(2)科学猜想
由于物体是沿水平方向抛出的，在运动过程中只受重力作用。因此平抛运动
可能是水平方向和竖直方向分运动的合成。那么只要研究出这两个分运动的特点，
平抛运动的规律就清楚了。
2．进行实验
方案一：利用频闪照相法探究平抛运动的特点
(1)实验目的
①探究平抛运动的轨迹是一条什么曲线。
②探究平抛运动水平方向和竖直方向是什么运动。
(2)实验原理
数码相机每秒拍下小球做平抛运动时的十几帧或几十帧照片，将照片上不同
时刻的小球的位置连成平滑曲线，便得到小球的运动轨迹，如图所示，由于相邻
两帧照片间的时间间隔相等，只要测出相邻两帧照片上小球位置间的水平距离和
竖直距离，就很容易判断平抛运动在水平方向和竖直方向的运动特点。
(3)数据处理
①建立以抛出点为坐标原点，以小球水平抛出时的初速度方向为x 轴正方向，
以竖直向下为y 轴正方向的直角坐标系。
②测出相邻两帧照片中小球移动的水平距离和竖直距离。
③根据水平位移和竖直位移随时间变化的具体数据分析小球水平方向分运动
和竖直方向分运动的特点。
(4)结果分析
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水平方向的分运动是匀速直线运动，竖直方向的分运动是匀加速直线运动。
方案二：利用描迹法探究平抛运动的特点
(1)实验设计
实验装置如图所示。小钢球从斜槽上滚下，从水平槽飞出后做平抛运动。每
次都使小钢球在斜槽上同一位置滚下，小钢球在空中做平抛运动的轨迹就是一定
的，设法用铅笔描出小钢球经过的位置。通过多次实验，在竖直坐标纸上记录小
钢球所经过的多个位置，用平滑的曲线连起来就得到小钢球做平抛运动的轨迹。
(2)实验器材和步骤
①实验器材
小钢球、斜槽轨道、木板及竖直固定支架、坐标纸、图钉、重垂线、铅笔、
三角板、刻度尺等。
②实验步骤
a．安装、调整斜槽
将斜槽固定在实验桌上，使其末端伸出桌面，斜槽末端的切线水平，如图所
示。
b．调整木板并确定坐标原点
用图钉将坐标纸固定在木板的左上角，把木板调整到竖直位置，使板面与小
钢球运动轨迹所在的平面平行且靠近。把小钢球放在槽口(斜槽末端)处，用铅笔记
下小钢球在槽口时球心在坐标纸上的水平投影点O，O 点即坐标原点。利用重垂
线画出过坐标原点的竖直线作为y 轴，在水平方向建立x 轴。
c．描点
使小钢球从斜槽上某一位置由静止滚下，小钢球从斜槽末端飞出，先用眼睛
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粗略确定做平抛运动的小钢球在某一x 值处的y 值，然后让小钢球从斜槽上同一位
置由静止滚下，移动笔尖在坐标纸上的位置，当小球恰好与笔尖正碰时，用铅笔
在坐标纸上描出代表小钢球通过位置的点。重复几次实验，在坐标纸上描出一系
列代表小钢球通过位置的点。
d．描绘出平抛运动的轨迹
取下坐标纸，将坐标纸上记下的一系列点用平滑曲线连接起来，即可得到小
钢球做平抛运动的轨迹。
[特别提示]　斜槽的粗糙程度对该实验没有影响，因为每次钢球从同一高度滚
下，所受摩擦力相同，到达槽口的速度相同，因此轨迹依然重合，不影响实验结
果。
(3)注意事项
①应保持斜槽末端的切线水平，钉有坐标纸的木板竖直，并使小钢球的运动
靠近坐标纸但不接触。
②小钢球每次必须从斜槽上同一位置无初速度滚下，在斜槽上释放小钢球的
高度应适当，使小钢球以合适的水平初速度抛出，其轨迹在坐标纸的左上角到右
下角间分布，从而减小测量误差。
③坐标原点(小钢球做平抛运动的起点)不是槽口的端点，应是小钢球在槽口时
球心在坐标纸上的水平投影点。
实验原理及操作
【例1】　用如图1 所示装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定
在竖直的硬板上。钢球沿斜槽轨道PQ 滑下后从Q 点飞出，落在水平挡板MN 上。
由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一
个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。
图1
(1)下列实验条件必须满足的有________。
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A．斜槽轨道光滑
B．斜槽轨道末段水平
C．挡板高度等间距变化
D．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球
(2)为定量研究，建立以水平方向为x 轴、竖直方向为y 轴的坐标系。
a．取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于Q 点，钢球的________(选
填“最上端”“最下端”或“球心”)对应白纸上的位置即为原点；在确定y 轴时
________(选填“需要”或“不需要”)y 轴与重垂线平行。
b．若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：如图2 所示，
在轨迹上取A、B、C 三点，AB 和BC 的水平间距相等且均为x，测得AB 和BC 的
竖直间距分别是y1 和y2，则y1
y2____1
3
(选填“大于”“等于”或“小于”)。可求得
钢球平抛的初速度v0 大小为________(已知当地重力加速度为g，结果用上述字母
表示)。
图2
(3)为了得到平抛物体的运动轨迹，同学们还提出了以下三种方案，其中可行
的是________。
A．从细管水平喷出稳定的细水柱，拍摄照片，即可得到平抛运动轨迹
B．用频闪照相法在同一底片上记录平抛钢球在不同时刻的位置，平滑连接各
位置，即可得到平抛运动轨迹
C．将铅笔垂直于竖直的白纸板放置，笔尖紧靠白纸板，铅笔以一定初速度水
平抛出，将会在白纸上留下笔尖的平抛运动轨迹
[解析]　根据平抛运动的规律：水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落
体运动解答。
(1)本实验中要保证钢球飞出斜槽末端时的速度水平，即钢球做平抛运动，且
每次飞出时的速度应相同，所以只要每次将钢球从斜槽上同一位置由静止释放即
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可，故B、D 正确。
(2)a.平抛运动的起始点应为钢球静置于Q 点时，钢球的球心对应纸上的位置，
由于平抛运动在竖直方向做自由落体运动，所以在确定y 轴时需要y 轴与重垂线平
行；
b．由初速度为零的匀加速直线运动规律即在相等时间间隔内所通过的位移之
比为1∶3∶5∶7∶…可知，由于A 点不是抛出点，所以y1
y2＞1
3
；设AB、BC 间所用
的时间为T，竖直方向有：y2－y1＝gT2，水平方向有：x＝v0T，联立解得：v0＝x
g
y2－y1。
(3)平抛运动的特性：初速度为v0，加速度为g，细管水平喷出水柱满足要求，
A 正确；用频闪照相法在同一底片上记录钢球不同时刻的位置即平抛运动的轨迹
上的点，平滑连接在一起即为平抛运动轨迹，所以此方案可行，B 正确；将铅笔垂
直于竖直的白板放置，以一定初速度水平抛出，笔尖与白纸间有摩擦阻力，所以
铅笔做的不是平抛运动，故此方案不可行，C 错误。
【答案】　(1)BD　(2)a.球心　需要　b．大于　x
g
y2－y1　(3)AB
数据处理
【例2】　(1)在“研究平抛物体的运动”的实验中，为减小空气阻力对小球的
影响，选择小球时，应选择下列的________。
A．实心小铁球　　　
B．空心铁球
C．实心小木球  
D．以上三种球都可以
(2)在研究平抛运动的实验中，斜槽末端要________，且要求小球要从
________________释放，现用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格边长L＝2.5 
cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图所示，小球由A 到B 位置的时间间隔
为________s，小球平抛的初速度大小为________m/s。小球在B 点的速度为
________m/s。
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[解析]　(1)为了减小空气阻力对小球的影响，要选择体积较小质量较大的小球，
故选实心小铁球，故A 正确，B、C、D 错误；(2)在研究平抛运动的实验中，为保
证小球做平抛运动，斜槽末端要水平，为保证每次运动轨迹相同，要求小球从同
一位置无初速度释放，小球竖直方向做自由落体运动，
有：Δh＝gT2，即为：L＝gT2，
得：T＝
L
g
＝
2.5 × 10－2
10
s＝0.05 s。
小球初速度为：
v0＝x
T
＝2 × 2.5 × 10－2
0.05
 m/s＝1 m/s；
B 位置竖直方向速度为：
vy＝3L
2T
＝3 × 2.5 × 10－2
2 × 0.05
m/s＝0.75 m/s；
则B 点的速度为：
vB＝
v20＋v2y＝
12＋0.752 m/s＝1.25 m/s。
[答案]　(1)A　(2)切线水平　同一位置无初速度　0.05　1　1.25
实验拓展与创新
【例3】　某同学设计了一个研究平抛运动的实验，实验装置示意图如图甲所
示。A 是一块水平木板，在其上等间隔地开凿出一组平行的插槽(甲图中的P0P0′、
P1P1′…)，槽间距离均为d。把覆盖复写纸的白纸铺贴在硬板B 上，实验时依次将B
插入A 板的各插槽中，每次让小球从斜轨的同一位置由静止释放。每打完一点后，
把B 板插入后一槽中并同时向纸面内侧平移距离d。实验得到小球在白纸上打下的
若干痕迹点，如图乙所示。
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甲　　　　　　　　　　乙
(1)实验前应对实验装置反复调节，直到______________为止。每次让小球从
同一位置由静止释放，是为了________________。
(2)每次将B 板向纸面内侧平移距离d，是为了_________。
(3)在图乙中绘出小球做平抛运动的轨迹。
[思路点拨]　本题是利用留迹法描绘平抛运动的轨迹，解题的关键是明确每次
将B 板向纸面内侧平移距离d 的目的。
[解析]　(1)小球每次离开斜轨后，应做轨迹相同的平抛运动，所以实验前要反
复调节实验装置，使斜轨末端水平。每次从同一位置由静止释放小球，是为了使
小球每次运动的初速度相同。
(2)每次B 板插入后一槽中会使小球的水平位移增加d，所以每次将B 板向纸
面内侧平移d，就可以对应水平位移的变化，使B 板上的x 坐标能表示水平位置的
变化。
(3)用平滑曲线连接各点，可得轨迹如图所示。
【答案】　(1)斜轨末端水平　保证小球每次射出时初速度相同　(2)使板上的
x 坐标能表示小球的水平位移　(3)如解析图所示
5.4 抛体运动的规律
一、平抛运动的速度
将物体以初速度v0 水平抛出，由于物体只受重力作用，t 时刻的速度为：
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1．水平方向：vx＝v0。
2．竖直方向：vy＝gt。
3．合速度Error!
[特别提示]　由tan θ＝gt
v0知，速度与水平方向的夹角随时间t 的增大而增大，
但一定不会达到90°，因为水平方向上的分运动是匀速直线运动，水平分速度不变，
合速度也就不可能沿竖直方向。
二、平抛运动的位移与轨迹
将物体以初速度v0 水平抛出，经时间t，物体的位移为：
1．水平方向：x＝v0t。
2．竖直方向：y＝1
2
gt2。
3．合位移Error!
4．轨迹：由水平方向x＝v0t 解出t＝x
v0，代入y＝1
2
gt2 得y＝g
2v20x2，平抛运动
的轨迹是一条抛物线。
[特别提示]　y＝g
2v20x2 中，g、v0 都是与t 无关的常量，所以g
2v20是与x，y 无关
的常量。y＝g
2v20x2 与数学中的二次函数方程y＝ax2 形式相似，二次函数的图像是一
条抛物线，“抛物线”的名称就是由抛体运动得来的。
三、一般的抛体运动
物体抛出的速度v0 沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0 与水平方向夹
角为θ)，如图所示。
1．水平方向：物体做匀速直线运动，初速度vx＝v0cos θ。
2．竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vy＝v0sin θ。
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平抛运动的研究方法及规律
如图所示，一人正练习投掷飞镖，如果不计空气阻力，
(1)飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样的？
(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？运动轨迹如何？
(3)为了研究问题方便，我们可以将平抛运动转化为哪两个方向的直线运动？
提示：(1)因忽略空气阻力，飞镖投出后，只受重力作用，其加速度大小为g，
方向竖直向下。
(2)飞镖运动过程中，加速度是不变的，所以飞镖的运动是匀变速曲线运动，
轨迹是抛物线。
(3)可将平抛运动转化为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
1．平抛运动的特点
项目
物理特性
理想化
特点
物理上提出的平抛运动是一种理想化的模型，即把物体看成质点，
抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力
速度
平抛运动的速度大小和方向都不断改变，故它是变速运动
加速度
平抛运动的加速度为自由落体加速度，恒定不变，故它是匀变速
曲线运动
速度变
化
做平抛运动的物体任意相等时间内速度变化量相等，均为Δv＝
gΔt，方向竖直向下
2．(1)平抛运动的规律及处理方法
速度
位移
水平分运动
水平速度vx＝v0
水平位移x＝v0t
竖直分运动
竖直速度vy＝gt
竖直位移y＝1
2
gt2
合运动
大小：v＝
v20＋gt2
方向：与水平方向夹角为θ，
大小：s＝
x2＋y2
方向：与水平方向夹角为α，
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tan θ＝vy
vx＝gt
v0
tan α＝y
x
＝gt
2v0
图示
(2)平抛运动的研究方法：研究平抛运动通常采用“化曲为直”的方法，即将
平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动。
3．方法
(1)利用水平位移或竖直位移求解时间：根据水平方向x＝v0t 或竖直方向y＝
1
2
gt2 可求解时间。
(2)利用竖直分速度可求解时间：先求出竖直分速度，再根据vy＝gt 可求解时
间。
(3)利用匀变速直线运动的推论Δy＝gT2 可求解时间。
4．平抛运动的两个推论
(1)平抛运动中的某一时刻，速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为
α，则tan θ＝2tan α。
证明：因为tan θ＝vy
v0＝gt
v0，tan α＝y
x
＝gt
2v0，所以tan θ＝2tan α。
(2)做平抛运动的物体，任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位
移的中点。
证明：如图所示，P 点速度的反向延长线交OB 于A 点。
则OB＝v0t，AB＝PB
tan θ
＝1
2
gt2·v0
gt
＝1
2
v0t。
可见AB＝1
2OB。
【例1】　如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t 到达地面时，速
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度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A．小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
B．小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ
2
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ 减小
思路点拨：①通过对落地点的速度分解，分析A、D 两个选项。
②通过该过程中位移的分解，分析B、C 两个选项。
D　[如图所示，小球竖直方向的速度为vy＝gt，则初速度为v0
＝gt
tan θ
，选项A 错误；平抛运动的时间t＝
2y
g
，由高度决定，与
初速度无关，选项C 错误；位移方向与水平方向的夹角为α，tan α＝y
x
＝
1
2gt2
v0t
＝gt
2v0，
tan θ＝vy
v0＝gt
v0，则tan θ＝2tan α，但α≠θ
2
，选项B 错误；由于tan θ＝gt
v0，若小球的
初速度增大，则θ 减小，选项D 正确。]
　
(1)上例中，小球在水平方向的位移是多少？
[解析]　小球在竖直方向的速度vy＝gt
①
则v0＝gt
tan θ
②
x＝v0t＝gt2
tan θ
。
(2)在上例中，小球落地时的速度是多大？
[解析]　小球在竖直方向的速度vy＝gt
①
则v＝vy
sin θ
＝gt
sin θ
。
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(1)平抛运动中，速度偏向角是指过该点轨迹的切线与水平方向的夹角；位移
偏向角是指该点与起点的连线与水平方向的夹角，不要将两者混淆。
(2)平抛运动中，某时刻速度、位移与初速度方向的夹角θ、α 的关系为tan θ＝
2tan α，而不要误记为θ＝2α。
与斜面相关的平抛运动
两个小球A 和B 以不同的水平初速度抛出后落到斜面上同一位置，
(1)两小球在落点的速度方向是否相同？
(2)小球在运动过程中，距斜面最远时的条件？
提示：(1)两个小球在落点的速度方向相同。
(2)当小球的合速度方向与斜面平行时，小球距斜面最远。
1．常见的两类问题
(1)物体从斜面上某一点抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合
位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。
(2)做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度方向与斜面垂直。
     
　
位移与水平方向的夹角为α　　速度与竖直方向的夹角为θ
2．基本求解思路
题干信息
实例
处理方法或思路
速度方向
垂直打在斜面上
的平抛运动
(1)会速度分解图，确定速度与竖直方向的夹角
(2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析vx、
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vy
(3)根据tan θ＝vx
vy列方程求解
位移方向
从斜面上水平抛
出后又落在斜面
上的平抛运动
(1)确定位移与水平方向的夹角α，画位移分解
图
(2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析x、
y
(3)根据tan α＝y
x
列方程求解
【例2】　如图所示，小球以v0 正对倾角为θ 的斜面水平抛出，若小球到达
斜面的位移最小，则以下说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
A．小球空中运动时间为
v0
g tan θ
B．小球的水平位移大小为2v20
g tan θ
C．由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解
D．小球的竖直位移大小为
v20
g tan θ
[思路点拨]　“小球到达斜面的位移最小”隐含的条件是小球的位移与斜面垂
直，利用数学知识得出水平位移x 与竖直位移y 之间的关系，就能求解。
B　[如图所示，过抛出点作斜面的垂线；当小球落在斜面上的B 点时，位移
最小，设运动的时间为t，则水平方向：x＝v0t；竖直方向：y＝1
2
gt2。
根据几何关系有x
y
＝tan θ；联立解得t＝2v0
g tan θ
；小球的水平位移大小为x＝v0t
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＝2v20
g tan θ
；竖直位移大小为y＝1
2
gt2＝2v20
g tan2θ
，由水平位移和竖直位移可求解位移的
大小；故A、C、D 错误，B 正确。]
[解题技巧]　解决与斜面结合的平抛运动问题的“三类突破口”
1若水平位移、水平速度已知，可应用x＝v0t 列式，作为求解问题的突破口。
2若竖直高度或竖直分速度已知，可应用y＝1
2
gt2 或vy＝gt 列式，作为求解问
题的突破口。
3若物体的末速度的方向或位移的方向已知，可应用tan θ＝gt
v0θ 是物体速度
与水平方向的夹角或tan α＝gt
2v0α 是物体的位移与水平方向的夹角列式作为求解
问题的突破口。
一般的抛体运动
体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等(如图所示)，都可以看作是斜上
抛运动。
以抛出的铅球为例：
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何特点？
(2)铅球在最高点的速度是零吗？
提示：(1)不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，
加速度为g，其初速度不为零，初速度方向斜向上方。
(2)不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水
平方向的分速度。
1．斜抛运动的规律：
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斜抛物体的轨迹
(1)速度规律
水平速度：vx＝v0x＝v0cos θ。
竖直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt。
t 时刻的速度大小为v＝
v2x＋v2y。
(2)位移规律
水平位移：x＝v0xt＝v0tcos θ。
竖直位移：y＝v0tsin θ－1
2
gt2。
t 时间内的位移大小为s＝
x2＋y2，与水平方向成α 角，且tan α＝y
x
。
2．射高和射程：
(1)斜抛运动的飞行时间：t＝2v0y
g
＝2v0sin θ
g
。
(2)射高：h＝v 20y
2g
＝v20sin2θ
2g
。
(3)射程：s＝v0cos θ·t＝2v20sin θcos θ
g
＝v20sin 2θ
g
，
对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝v20
g
。
3．一般抛体运动问题的分析思路：一般抛体运动问题的处理方法和平抛运动
的处理方法相同，都是将运动分解为两个方向的简单的直线运动，分别为水平方
向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
【例3】　(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地
面上的M、N 点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则(　　)
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A．B 的加速度比A 的大
B．B 的飞行时间比A 的长
C．B 在最高点的速度比A 在最高点的大
D．B 在落地时的速度比A 在落地时的大
CD　[A、B 两球都做斜上抛运动，只受重力作用，加速度即为重力加速度，A
项错误；在竖直方向上做竖直上抛运动，由于上升的竖直高度相同，竖直分速度
相等，所以两小球在空中飞行的时间相等，B 项错误；由于B 球的水平射程比A
球的大，故B 球的水平速度及落地时的速度均比A 球的大，C、D 项正确。]
[解题技巧]　
斜上抛运动问题的分析技巧
(1)斜上抛运动问题可用运动的合成与分解进行分析，即水平方向的匀速直线
运动和竖直方向的竖直上抛运动。
(2)运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由水平分速度和抛射角决定。
(3)由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。
专题　抛体运动规律的应用
平抛运动与曲面的结合问题
两种常见类型
(1)抛出点和落点都在圆面上。如图所示，一小球从与圆心等高的半圆形轨道
的A 点以v0 水平向右抛出，落在圆形轨道上的C 点。
(2)抛出点在圆面外，落点在圆面上。如图所示，一小球从一半圆轨道左端A
点正上方某处开始做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点。
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【例1】　(多选)如图所示，一个半径R＝0.75 m 的半圆柱体放在水平地面上，
一小球从圆柱体左端A 点正上方的B 点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱
体的C 点掠过。已知O 为半圆柱体圆心，OC 与水平方向夹角为53°，重力加速度
为g＝10 m/s2，则(　　)
A．小球从B 点运动到C 点所用时间为0.3 s
B．小球从B 点运动到C 点所用时间为0.5 s
C．小球做平抛运动的初速度为4 m/s
D．小球做平抛运动的初速度为6 m/s
[思路点拨]　将小球在C 点的速度和经过的位移沿水平方向和竖直方向分解，
然后利用圆的几何特点结合平抛运动规律进行求解，注意速度方向与水平方向夹
角的正切值等于位移方向与水平方向夹角正切值的2 倍。
AC　[小球做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于C 点，根据几何关
系可知小球在C 点时速度方向与水平方向的夹角为37°，设位移方向与水平方向的
夹角为θ，则有tan θ＝tan 37°
2
＝3
8
，又水平位移x＝1.6R，tan θ＝y
x
＝y
1.6R
，R＝0.75 
m，解得y＝9
20
 m，根据y＝1
2
gt2 得t＝0.3 s，根据水平位移x＝1.6R＝v0t，得v0＝4 
m/s。选项A、C 正确。]
解决平抛运动与曲面结合问题的方法
(1)充分利用几何关系找出小球到达圆面时水平位移x 和竖直位移y 的关系。
(2)找出小球到达圆面时，速度方向与水平方向之间的夹角。
(3)通过位移或速度关系求解飞行时间及相关物理量。
平抛运动的相遇问题
平抛运动的相遇问题是指两个或两个以上物体在同一竖直平面内做平抛运动
时所涉及的问题。
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三类常见的平抛运动的相遇问题
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)水平抛出，则两物体每个时刻都在同一
高度，二者间距只取决于两物体抛出速度的大小关系。
(2)若两物体同时从不同高度水平抛出，则两物体之间的高度差始终与抛出点
之间的高度差相同，二者间距由两物体的抛出速度和高度差共同决定。
(3)若两物体从同一点先后水平抛出，两物体之间的高度差随时间均匀增大，
二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
【例2】　(多选)如图所示，a、b 两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛
出，它们做平抛运动的轨迹的交点为P，则以下说法正确的是(　　)
A．a、b 两球同时落地
B．b 球先落地
C．a、b 两球在P 点相遇
D．无论两球初速度大小为多大，两球总不能相遇
BD　[由h＝1
2
gt2 可得t＝
2h
g
，因ha＞hb，且a、b 两球同时抛出，故b 球先
落地，A 错误，B 正确；两球的运动轨迹相交于P 点，因为P、a 之间的高度大于
P、b 之间的高度，同时抛出两球，所以b 球先通过P 点，两球不会同时到达P 点，
故无论两球初速度大小为多大，两球总不能相遇，C 错误，D 正确。]
类平抛运动的分析与求解
1．类平抛运动
类平抛运动是一种匀变速曲线运动。在初速度方向上不受力，初速度保持不
变；在与初速度垂直的方向上存在一恒力，区别于平抛运动中的重力。
[特别提示]　类比法是一种重要的物理思维方法。充分运用类比法，可加深对
物理规律和概念的理解，提高分析解决问题的能力，从而达到触类旁通、以点带
面、事半功倍的学习效果。
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2．类平抛运动的特点及处理方法
受力特点
物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
运动特点
在初速度v0 方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀
加速直线运动，加速度a＝F合
m
。
常规
分解
将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速
度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两个分运动彼此独立、
互不影响，且与合运动具有等时性。
处理
方法
特殊
分解
对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分
解为ax、ay，初速度v0 分解为vx、vy，然后分别在x、y 轴方向列
方程求解。
【例3】　如图所示，光滑斜面长L＝10 m，倾角为30°，一小球从斜面的顶
端以v0＝10 m/s 的初速度水平射入，求：(g 取10 m/s2)
(1)小球沿斜面运动到底端时的水平位移x；
(2)小球到达斜面底端时的速度大小。
[思路点拨]　小球的运动过程与平抛运动的过程类似，以一定的初速度抛出后，
在与初速度方向垂直的恒力作用下运动。可以将小球的运动分解为沿合外力方向
的初速度为零的匀加速直线运动和沿初速度方向的匀速直线运动。
[解析]　(1)小球在斜面上沿v0 方向做匀速直线运动，沿垂直于v0 方向做初速
度为零、加速度为a 的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有mgsin 30°＝ma，又
L＝1
2
at2
解得t＝
2L
gsin 30°
所以x＝v0t＝v0
2L
gsin 30°
＝20 m。
(2)小球运动到斜面底端时的速度大小用v 表示，则有
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vx＝v0＝10 m/s
vy＝
2aL＝
2gsin 30°·L＝
gL＝10  m/s
故v＝
v2x＋v2y＝10
2 m/s。
[答案]　(1)20 m　(2)10
2 m/s
[解题技巧]　类平抛运动问题的求解思路
1分析物体的初速度与受力情况，确定物体做类平抛运动的加速度，并明确
两个分运动的方向。
2利用两个分运动的规律求解分运动的速度与位移。
3根据题目的已知条件与未知条件，充分利用运动的等时性、独立性、等效
性。
第六章 圆周运动
6.1 圆周运动
一、圆周运动及线速度
1．圆周运动的概念
运动轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动，称为圆周运动。圆周运动为曲线运
动，故一定是变速运动。
2．线速度
(1)定义：做圆周运动的物体，通过的弧长与所用时间的比值叫作线速度的大
小。用v 表示。
(2)表达式：v＝Δs
Δt
，单位为米/秒，符号是m/s。
(3)方向：线速度是矢量，物体经过圆周上某点时的线速度方向就是圆周上该
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点的切线方向。
(4)物理意义：线速度是描述物体做圆周运动快慢的物理量，当Δt 很小时，其
物理意义与瞬时速度相同。
(5)匀速圆周运动：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这
种运动叫作匀速圆周运动。
[注意]　匀速圆周运动是线速度大小不变的曲线运动，它的线速度方向时刻在
变化，因而匀速圆周运动不是匀速运动，严格地说，应该将其称为匀速率圆周运
动。
二、角速度
1．定义：如图所示，物体在Δt 时间内由A 运动到B。半径OA 在这段时间内
转过的角Δθ 与所用时间Δt 之比叫作角速度，用符号ω 表示。
2．表达式：ω＝Δθ
Δt
。
3．国际单位：弧度每秒，符号rad/s。
在国际单位制中角的度量单位为“弧度”，在利用公式ω＝Δθ
Δt
计算角速度时，
Δθ 的单位是“弧度”。360°＝2π 弧度。
4．物理意义：角速度是描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
5．匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
三、周期
1．周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫作周期，用T 表示，
单位为秒(s)。
2．转速：物体转动的圈数与所用时间之比，叫作转速。通常用符号n 表示，
单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。
3．物理意义：描述物体做圆周运动的快慢。
四、线速度与角速度的关系
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1．两者关系：在圆周运动中，线速度大小等于角速度的大小与半径的乘积。
2．表达式：v＝ωr。
描述圆周运动的物理量
如图所示是一个玩具陀螺，a、b、c 是陀螺上的三个点；当陀螺绕垂直于地面
的轴线以角速度ω 稳定旋转时：
(1)陀螺绕垂直于地面的轴线稳定旋转时，a、b、c 三点角速度和周期各有什么
关系？
(2)a、b、c 三点做圆周运动的线速度有什么关系？
提示：(1)ωa＝ωb＝ωc，Ta＝Tb＝Tc。
(2)va＝vc>vb。
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系
2．描述圆周运动的各物理量之间关系的分析技巧
(1)角速度、周期、转速之间关系的分析：物体做匀速圆周运动时，由ω＝2π
T
＝
2πn 知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个
物理量也唯一确定了。
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(2)线速度与角速度之间关系的分析：由v＝ω·r 知，r 一定时，v∝ω；v 一定
时，ω∝1
r
；ω 一定时，v∝r。
[特别提示]　在讨论v、ω、r 三者的关系时，应采用控制变量法，先保持其中
一个量不变，再讨论另外两个量之间的关系。ω、T 和n 三个物理量可相互换算，
只要其中一个量确定，其余两个量也就确定了。
【例1】　某品牌电动自行车的铭牌如下：
车型：20 寸(车轮直径：508 mm)
电池规格：36 V，12 A·h(蓄电量)
整车质量：40 kg
额定转速：210 r/min
外形尺寸：L1 800 mm×
W650 mm×H1 100 mm
充电时间：2～8 h
电机：后轮驱动、直流永磁式电机
额定工作电压/电流：36 V/5 A
根据此铭牌中的有关数据，可知该车的额定时速约为(　　)
A．15 km/h　　　　
B．18 km/h
C．20 km/h    
D．25 km/h
[思路点拨]　车的速度与车轮边缘的线速度大小相等，再根据ω＝2πn
60
和v＝
ωr 可求得车速。
C　[由题目所给信息可知额定转速n＝210 r/min，则车轮转动的角速度ω＝
2πn
60
，由于车轮直径d＝508 mm，则车轮半径r＝d
2
＝0.254 m，则车轮转动的线速
度v＝ωr＝2πn
60
·r＝2π × 210 × 0.254
60
 m/s＝5.6 m/s＝20 km/h。]
求解圆周运动中各物理量间的关系问题时，首先必须明确线速度、角速度、
周期、频率即转速等，都是从不同角度描述圆周运动的物理量，通过分析题给条
件，弄清问题中哪些物理量不变，然后根据v＝rω，ω＝2π
T
，T＝1
f
等关系式求解。
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三种传动方式
跷跷板的支点位于板的中点，两个小朋友坐在两端。
讨论：(1)在撬动跷跷板的某一时刻，两个小朋友的线速度的大小关系及角速
度的大小关系如何？
(2)如果跷跷板的支点不在板的中点，线速度和角速度的关系如何？
提示：(1)线速度和角速度都相同。
(2)角速度相同，线速度不同。
1．三种传动装置
同轴传动
皮带传动
齿轮传动
装置
A、B 两点在同轴的
一个圆盘上
两个轮子用皮带连
接，A、B 两点分别
是两个轮子边缘的
点
两个齿轮轮齿啮合，A、B
两点分别是两个齿轮边
缘上的点(两齿轮的齿数
分别为n1、n2)
特点
角速度、周期相同
线速度大小相同
线速度大小相同
转动
方向
相同
相同
相反
规律
线速度与半径成正
比：vA
vB＝r
R
角速度与半径成反
比：
ωA
ωB＝r
R
周期与半径成正比：
角速度与半径成反比：
ωA
ωB＝r2
r1＝n1
n2
周期与半径成正比：TA
TB＝
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TA
TB＝R
r
r1
r2
2.求解传动问题的思路
(1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小
相等；若属于同轴传动，则轮上各点的角速度相等。
(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径
关系。
(3)择式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝1
r
分析，若角速度大小相等，则
根据v∝r 分析。
【例2】　如图所示的传动装置中，B、C 两轮固定在一起同轴转动，A、B 两
轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB。若皮带不打滑，求A、B、C 三
轮边缘上a、b、c 三点的角速度之比和线速度之比。
[解析]　A、B 两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B 两轮边缘的线速度大
小相等，即va＝vb 或va∶vb＝1∶1
①
由v＝ωr 得ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
②
B、C 两轮固定在一起同轴转动，则B、C 两轮的角速度相等，即ωb＝ωc 或
ωb∶ωc＝1∶1
③
由v＝ωr 得vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
④
由②③得ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
由①④得va∶vb∶vc＝1∶1∶2。
[答案]　1∶2∶2　1∶1∶2
　
上例中，若C 轮的转速为n r/s，其他条件不变，则A 轮边缘的线速度和角速
度各为多大？
提示：由ω＝2πn，vb＝ωrB
得va＝vb＝2πn·rB
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ωa＝va
rA＝2πnrB
rA ＝πn。
传动装置的特点
在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是确定其相同的量。
(1)同轴传动的物体上各点的角速度、转速和周期相等，但在同一轮上半径不
同的各点线速度不同。
(2)皮带传动(皮带不打滑)中与皮带接触的两轮边缘上各点(或咬合的齿轮边缘
的各点)的线速度大小相同，角速度与半径有关。
　圆周运动的周期性和多解问题
如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪45 次，风扇转轴O 上
装有3 个扇叶，它们互成120°角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动。
讨论：(1)扇叶上的每一点都在做什么运动？
(2)观察者感觉扇叶不动，为什么？此时扇叶的转速为多少？
提示：(1)扇叶上每一点都在绕风扇转轴做圆周运动。
(2)每经过特定的时间扇叶上每一点就会回到初始位置，所以观察者感觉扇叶
不动。
T＝1
45
s，在一个周期T 内，扇叶转动的角度应为120°的整数倍，则转动的角
速度
ω＝θ
T
＝30nπ rad/s(n＝1，2，3…)，
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转速n＝ω
2π
＝30nπ
2π
×60 r/min＝900 n(r/min)(n＝1，2，3…)
1．问题特点
(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。
(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平
抛运动，匀速直线运动等)。
(3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求
物理量。
2．分析技巧
(1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。
(2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多
个周期时的规律。
【例3】　如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆
盘L，且对准圆盘上边缘的A 点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘
绕垂直圆盘过盘心O 的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A 点，则
下列关系式正确的是(　　)
A．dvv20＝L2g
B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0，1，2，3…)
C．v0＝ωd
2
D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0，1，2，3，…)
[思路点拨]　圆周运动是一种周期性运动，每经过一个周期物体都会回到原来
的位置，本题中飞镖恰好击中A 点说明在飞镖做平抛运动的这段时间内圆盘应转
过的弧度为(2n＋1)π(n＝0，1，2，3，…)。飞镖的水平位移为L，竖直位移为d，
根据圆周运动和平抛运动的相关知识求解。
B　[依题意，飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A 点做匀速圆周运动，恰好击
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中A 点，说明A 正好在最低点被击中，则A 点转动的时间t＝2n＋1π
ω
，平抛的时
间t＝L
v0，则有L
v0＝2n＋1π
ω
(n＝0，1，2，3，…)，B 正确，C 错误；平抛的竖直位
移为d，则d＝1
2
gt2，联立有dω2＝1
2
gπ2(2n＋1)2(n＝0，1，2，3，…)，dvv20＝1
2
L2g，
A、D 错误。]
解决圆周运动多解问题的方法
(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题；两个物体参与的两个运动虽
然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联
系点是解题关键。
(2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表
示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ 上再加上2nπ，具体
n 的取值应视情况而定。
6.2 向心力
一、向心力
1．定义
做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心
力。
2．方向
向心力的方向始终沿半径指向圆心。
1向心力的方向时刻在变，向心力是变力。
2向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
3．公式：Fn＝mω2r 或者Fn＝mv2
r
。
4．效果力
向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供
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的物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力。
二、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1．变速圆周运动的合力
变速圆周运动所受合外力并不严格指向运动轨迹的圆心。合外力一般产生两
个方面的效果：
(1)合外力F 跟圆周相切的分力Ft，此分力与物体运动的速度在一条直线上，
改变线速度的大小。
(2)合外力F 指向圆心的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的向心力，
改变物体速度的方向。
2．一般曲线运动
(1)曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线
运动，如图所示。
(2)处理方法：将曲线分割成为许多很短的小段，这样，质点在每一小段的运
动都可以看作圆周运动的一部分。
一般的曲线运动通过以上方法进行处理后，就可以采用圆周运动的分析方法
进行处理了。
　对匀速圆周运动向心力的理解
飞机在空中水平面内做匀速圆周运动；在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周
运动。
(1)飞机和小球在运动过程中受到哪些力的作用？
(2)这些力的合力方向及作用效果是什么？
提示：(1)重力和支持力。
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(2)这些力的合力指向圆心，充当向心力，改变速度的方向。
1．匀速圆周运动中向心力的方向：
方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。
2．向心力的特点：由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力是
变力。其作用不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。
3．向心力的来源：匀速圆周运动中，向心力等于物体的合外力，常等效为三
种情况：合力充当向心力，某一个力充当向心力，某个力的分力充当向心力。
向心力来源的实例分析
向心力来源
实例分析
重力提供向
心力
如图所示，用细绳拴住小球，使小球在竖
直面内转动，当它经过最高点时，若细绳
的拉力恰好为零，则此时向心力由小球所
受的重力提供
弹力提供向
心力
如图所示，绳子的一端系在光滑水平桌面
上的O 点，另一端系一小球，使小球在桌
面上做匀速圆周运动，则小球做匀速圆周
运动的向心力由绳子的拉力(弹力)提供
摩擦力提供
向心力
如图所示，木块随圆盘一起做匀速圆周运
动，其所需的向心力由静摩擦力提供。木
块相对圆盘的运动趋势的方向沿半径背
离圆心，静摩擦力的方向与相对运动趋势
的方向相反。但是，当圆盘光滑(无摩擦力)
时，木块将沿切线方向飞出，说明木块相
对于地面的运动趋势的方向沿切线方向，
而相对于圆盘的运动趋势的方向沿半径
向外
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合力提供向
心力
如图所示，细线拉住小球在竖直面内做匀
速圆周运动，当小球经过最低点时，向心
力由细线的拉力和小球重力的合力提供
分力提供向
心力
如图所示，小球在细线作用下，在水平面
内做圆周运动时，向心力由细线的拉力在
水平方向的分力提供
【例1】　如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰
受力的说法正确的是(　　)
A．老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B．老鹰受重力和空气对它的作用力
C．老鹰受重力和向心力的作用
D．老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
[思路点拨]　①分析受哪些力，②分析向心力是什么。
B　[老鹰在空中做匀速圆周运动，受重力和空气对它的作用力两个力的作用，
两个力的合力充当它做圆周运动的向心力，不能说老鹰受重力、空气对它的作用
力和向心力三个力的作用。选项B 正确。]
分析向心力来源的思路
(1)明确研究对象。
(2)确定圆周运动所在平面，明确圆周运动的轨迹、半径及圆心位置。
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(3)进行受力分析，指向圆心方向的合力即为向心力。
实验：探究向心力大小的表达式
1.实验装置：向心力演示仪(介绍向心力演示仪的构造和使用方法)
[特别提示]　向心力演示器原理及实验操作简介
1如图所示，转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动，槽内的
小球就做匀速圆周运动。
2小球做圆周运动的向心力由横臂挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作
用力通过横臂的杠杆使弹簧测力筒下降，露出的标尺上的红白相间的等分格可显
示出两个球所受向心力的比值。
3传动皮带分别套在塔轮上的不同圆盘上，可改变两个塔轮的转速比，即改
变角速度；球放在长槽上的不同位置，可改变半径；使用不同质量的球可改变质
量。
2．实验方法：控制变量法
3．实验过程
(1)保持两个小球质量m 和角速度ω 相同，使两球运动半径r 不同进行实验，
比较向心力Fn 与运动半径r 之间的关系。
(2)保持两个小球质量m 和运动半径r 相同，使两球的角速度ω 不同进行实验，
比较向心力Fn 与角速度ω 之间的关系。
(3)保持运动半径r 和角速度ω 相同，用质量m 不同的钢球和铝球进行实验，
比较向心力Fn 与质量m 的关系。
4．实验结论
两球相同的物理量
不同的物理量
实验结论
1
m、ω
r
r 越大，Fn 越大，Fn∝r
2
m、r
ω
ω 越大，Fn 越大，Fn∝ω2
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3
 r、ω
 m
m 越大，Fn 越大，Fn∝m
精确的实验表明向心力的大小可以表示为
Fn＝mω2r 或Fn＝m v2
r
或Fn＝m(2π
T
)2r。
【例2】　用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力
的大小与哪些因素有关。
(1)本实验采用的科学方法是________。
A．控制变量法　　
B．累积法
C．微元法
D．放大法
(2)图示情景正在探究的是________。
A．向心力的大小与半径的关系
B．向心力的大小与线速度大小的关系
C．向心力的大小与角速度大小的关系
D．向心力的大小与物体质量的关系
(3)通过本实验可以得到的结果是________。
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比
[解析]　(1)这个装置中，控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力
与质量之间的关系，故采用控制变量法，A 正确。
(2)控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，
所以选项D 正确。
(3)通过控制变量法，得到的结果为在半径和角速度一定的情况下，向心力的
大小与质量成正比，所以选项C 正确。
[答案]　(1)A　(2)D　(3)C
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变速圆周运动与一般曲线运动
教材第29 页“思考与讨论”答案提示：
线速度减小时，物体所受合力的方向与速度方向的夹角大于90°。
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，如图所示是荡秋千的情景。
(1)当秋千向下荡时，小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式Fn＝mv2
r
＝mω2r
还适用吗？
提示：(1)小朋友做的是变速圆周运动。
(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，
合力不指向悬挂点。公式Fn＝mv2
r
＝mω2r 仍然适用。
1．变速圆周运动合力的作用效果
(1)跟圆周相切的分力Ft：产生切向加速度，此加速度改变线速度的大小。
(2)指向圆心的分力Fn：产生向心加速度，此加速度改变线速度的方向。
2．匀速圆周运动与变速圆周运动的比较
匀速圆周运动
变速圆周运动
线速度
特点
线速度的方向不断改变、大小不
变
线速度的大小、方向都不断改变
受力
特点
合力方向一定指向圆心，充当向
心力
合力可分解为与圆周相切的分力和
指向圆心的分力，指向圆心的分力
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充当向心力
周期性
有
不一定有
性质
均是非匀变速曲线运动
公式
Fn＝mv2
r
＝mω2r，an＝v2
r
＝ω2r 都适用
3.一般曲线运动
(1)运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。
(2)处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，质点
在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。
[特别提示]　(1)变速圆周运动中，某一点的向心力均可用Fn＝mv2
r
、Fn＝mrω2
公式求解，这些公式虽然是从匀速圆周运动中得出的，但在变速圆周运动中它们
仍然适用，只不过应用时要注意Fn、ω、v 必须是同一时刻的瞬时值。
(2)曲线运动中，质点在某一点的速度方向是曲线上这一点的切线方向，此点
的曲率半径表示曲线在此处的弯曲程度。
【例3】　一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的
一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，曲线上
的A 点的曲率圆定义：通过A 点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一圆，在极限情
况下，这个圆就叫作A 点的曲率圆，其半径ρ 叫作A 点的曲率半径。现将一物体
沿与水平面成α 角的方向以速度v0 抛出，如图乙所示。则在其轨迹最高点P 处的
曲率半径是(　　)
甲　　　　　　　　　乙
A．v20
g
  B．v20sin2α
g
  C．v20cos2α
g
  D．v20cos2α
gsin α
[思路点拨]　物体在轨迹最高点以某一曲率半径做圆周运动的向心力由重力
提供，列出重力等于向心力的表达式进行求解。
C　[斜抛出去的物体同时参与两个方向的运动：水平方向以速度vx＝v0cos α
做匀速直线运动，竖直方向以初速度vy＝v0sin α 做匀减速直线运动。到最高点时，
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竖直方向速度为零，其速度为vP＝v0cos α，且为水平方向。这时重力提供其做圆
周运动的向心力，由mg＝m v0cos α2
ρ′
得ρ′＝v20cos2α
g
，所以C 正确，A、B、D 错
误。]
6.3 向心加速度
匀速圆周运动的加速度方向和大小
1．向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它
叫作向心加速度。
2．向心加速度方向：总沿半径指向圆心，并且与线速度方向垂直。
3．向心加速度的物理意义：描述线速度方向改变快慢的物理量。
4．向心加速度的大小：
(1)基本公式an＝v2
r
＝ω2r。
(2)拓展公式an＝4π2
T2 ·r＝ωv。
匀速圆周运动的向心加速度方向
甲　　　　　　　　　　乙
问题1：图甲中的小球与图乙中的运动员正在做匀速圆周运动，是否具有加速
度？
问题2：做匀速圆周运动的物体的加速度方向如何确定？你的依据是什么？
问题3：除了用牛顿第二定律确定向心加速度的方向外，你还有什么方法可确
定向心加速度的方向？
提示：(1)具有加速度。
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(2)从动力学角度，由牛顿第二定律确定；加速度的方向与合外力方向一致。
(3)从运动学角度，利用加速度的方向与速度变化量的方向一致确定加速度方
向。
对向心加速度的理解
方向
向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心与该点的线速度方向垂直。向
心加速度的方向时刻在改变。
作用
只改变速度的方向，不改变速度的大小。
意义
向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，线速度方向变化的快
慢体现了向心加速度的大小。
[特别提醒]　向心加速度方向的推导
如图甲所示，一物体沿着圆周运动，在A、B 两点的速度分别为vA、vB，可以
分四步确定物体运动的加速度方向。
甲　　　乙　　　　丙　　　　丁
第一步，根据曲线运动的速度方向沿着切线方向，画出物体经过A、B 两点时
的速度方向，分别用vA、vB 表示，如图甲所示。
第二步，平移vA 至B 点，如图乙所示。
第三步，根据矢量运算法则，作出物体由A 点到B 点的速度变化量Δv，其方
向由vA 的箭头位置指向vB 的箭头位置，如图丙所示。由于物体做匀速圆周运动，
vA、vB 的大小相等，所以Δv 与vA、vB 构成等腰三角形。
第四步，假设由A 点到B 点的时间极短，在匀速圆周运动的速度大小一定的
情况下，A 点到B 点的距离将非常小，作出此时的Δv，如图丁所示。
仔细观察图丁，可以发现，此时，Δv 与vA、vB 都几乎垂直，因此Δv 的方向
几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度a 与Δv 的方向是一致的，所以从运
动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。
【例1】　下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是(　　)
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A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度表示角速度变化的快慢
C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D．匀速圆周运动的向心加速度不变
C　[匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然A 项错
误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B 项错误；匀速圆周运动中速度的变
化只表现为速度方向的变化，加速度作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速
度只描述速度方向变化的快慢，所以C 项正确；向心加速度的方向是变化的，所
以D 项错误。]
匀速圆周运动的向心加速度大小
教材第32 页“思考与讨论”答案提示：B、C 两点的向心加速度与半径成正
比，因为B、C 两点同轴转动，角速度ω 相同，由an＝ω2r 知，an 与r 成正比；A、
B 两点的向心加速度与半径成反比，因为A、B 两点线速度v 大小一样，由an＝v2
r
知，an 与r 成反比。
如图所示，两个啮合的齿轮，其中A 点为小齿轮边缘上的点，B 点为大齿轮
边缘上的点，C 点为大齿轮中间的点。
讨论：A 和B、B 和C 两个点的向心加速度与半径有什么关系？
提示：(1)A、B 两个点的线速度相同，由an＝v2
r
知向心加速度与半径成反比。
(2)B、C 两个点的角速度相同，由an＝ω2r 知向心加速度与半径成正比。
1．向心加速度的大小
根据牛顿第二定律F＝ma 和向心力表达式Fn＝mv2
r
，可得向心加速度的大小
an＝v2
r
或an＝ω2r。
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[特别提示]　1.表达式an＝v2
r
、an＝ω2r 中各物理量是同一时刻的量，即它们是
瞬时对应关系。
2．表达式an＝v2
r
、an＝ω2r 不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运
动。
2．对向心加速度表达式的理解
(1)向心加速度的几种表达式
(2)向心加速度的大小与半径的关系
①当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的
平方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。
②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。
③当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。
④an 与r 的关系图像：如图所示，由an­r 图像可以看出，an 与r 成正比还是反
比，要看ω 恒定还是v 恒定。
【例2】　如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相
对滑动，大轮的半径是小轮半径的2 倍，大轮上的一点S 离转动轴的距离是大轮
半径的1
3
。当大轮边缘上的P 点的向心加速度是12 m/s2 时，大轮上的S 点和小轮
边缘上的Q 点的向心加速度各为多少？
[思路点拨]　①P 和S 在同一轮上，角速度相同，选用an＝ω2r 计算向心加速
度。
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②P 和Q 为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度相等，选用an＝v2
r
计算向
心加速度。
[解析]　同一轮子上的S 点和P 点的角速度相同，
即ωS＝ωP
由向心加速度公式an＝ω2r，得aS
aP＝rS
rP
故aS＝rS
rPaP＝1
3
×12 m/s2＝4 m/s2
又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP
＝vQ
由向心加速度公式an＝v2
r
得aP
aQ＝rQ
rP
故aQ＝rP
rQaP＝2×12 m/s2＝24 m/s2。
[答案]　4 m/s2　24 m/s2
向心加速度公式的应用技巧
6.4 生活中的圆周运动
一、火车转弯
1．火车在弯道上的运动特点
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火车在弯道上运动时实际上在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质
量巨大，需要很大的向心力。
2．火车转弯时向心力的来源分析
(1)若转弯时内外轨一样高，火车转弯时，外侧车轮的轮缘挤压外轨，火车的
向心力由外轨对车轮轮缘的弹力提供(如图所示)，由于火车的质量很大，转弯所需
的向心力很大，铁轨和车轮极易受损。
(2)若转弯时外轨略高于内轨，根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度，适
当调整内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力，由重力mg 和支持力FN 的合力
提供，从而减轻外轨与轮缘的挤压，如图所示。
二、汽车过拱形桥
汽车过拱形桥
汽车过凹形桥
受力分析
向心力
Fn＝mg－FN＝mv2
r
Fn＝FN－mg＝mv2
r
对桥的压
力
FN′＝mg－mv2
r
FN′＝mg＋mv2
r
结论
汽车对桥的压力小于汽车的重
力，而且汽车速度越大，对桥的
压力越小
汽车对桥的压力大于汽车的重
力，而且汽车速度越大，对桥的
压力越大
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三、航天器中的失重现象
1．向心力分析：宇航员受到的地球引力与飞船座舱对他的支持力的合力为他
提供向心力。mg－FN＝mv2
R
。
2．失重状态：当v＝
gR时，座舱对宇航员的支持力为零，宇航员处于完全
失重状态。
四、离心运动
1．定义：物体沿切线方向飞出或做逐渐远离圆心的运动。
2．原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需向心力。
火车转弯
教材第36 页“思考与讨论”答案提示：
利用支持力FN 与重力G 的合力提供向心力，减轻轮胎与地面的径向摩擦力以
防止侧滑。
火车在铁轨上转弯可以看成是匀速圆周运动，如图所示，请思考下列问题：
重力G 与支持力FN 的合力F 是使火车转弯的向心力
1火车转弯处的铁轨有什么特点？火车受力如何？运动特点如何？
2火车以规定的速度转弯时，什么力提供向心力？
3火车转弯时速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力？
提示：1火车转弯处，外轨高于内轨；由于外轨高于内轨，火车所受支持力
的方向斜向上，火车所受支持力与重力的合力可以提供向心力；火车转弯处虽然
外轨高于内轨，但火车在行驶的过程中，中心的高度不变，即在同一水平面内做
匀速圆周运动，即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
2火车以规定的速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力。
3火车转弯时速度过大会对轨道外侧有压力，速度过小会对轨道内侧有压力。
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1．转弯轨道特点
(1)火车转弯时重心高度不变，轨道是圆弧，轨道圆面在水平面内。
(2)转弯轨道外高内低，这样设计是使火车受到的支持力向内侧发生倾斜，以
提供做圆周运动的向心力。
2．转弯轨道受力与火车速度的关系
(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力充当向心力，则mgtan θ＝mv20
R
，
如图所示，则v0＝
gRtan θ，其中R 为弯道半径，θ 为轨道平面与水平面的夹角(tan 
θ≈h
L
)，v0 为转弯处的规定速度。
此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用。
(2)若火车行驶速度v0＞
gRtan θ，外轨对轮缘有侧压力。
(3)若火车行驶速度v0＜
gRtan θ，内轨对轮缘有侧压力。
[特别提醒]　
1．转弯轨道受力与火车速度的关系
2．其他弯道特点
高速公路、赛车的弯道处设计成外高内低，使重力和支持力的合力能提供车
辆转弯时的向心力，减少由于转弯产生的摩擦力对行驶车辆的影响，目的是在安
全许可的范围内提高车辆的运行速度。
【例1】　有一列重为100 t 的火车，以72 km/h 的速率匀速通过一个内外轨
一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g 取10 m/s2)
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(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适
当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ 的正切值。
[思路点拨]：①(1)问中，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力。
②(2)问中，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力。
[解析]　(1)v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的
向心力，所以有：
FN＝mv2
r
＝105 × 202
400
 N＝1×105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N。
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所
示，则mgtan θ＝mv2
r
由此可得tan θ＝v2
rg
＝0.1。
[答案]　(1)1×105 N　(2)0.1
　
上例中，要提高火车的速度为108 km/h，则火车要想安全通过弯道需要如何
改进铁轨？
提示：速率变为原来的3
2
倍，则由mgtan θ＝mv2
R
，可知：
若只改变轨道半径，则R′变为900 m，
若只改变路基倾角，则tan θ′＝0.225。
火车转弯问题的两点注意
(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不
是沿轨道斜面向下。因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的
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向心力即合外力应沿水平面指向圆心。
(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火
车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、
支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力
及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。
汽车过拱形桥
教材第37 页“思考与讨论”答案提示：
地球可看作一个巨大的拱形桥，由重力与支持力的合力提供向心力，即Fn＝mg
－FN＝mv2
R
，当速度v 增大时，汽车对地面的压力减小，当速度增大到v＝
gR时，
地面对车的支持力等于0，驾驶员与座椅间的压力为0，驾驶员躯体的各部分之间
的压力也为0，他有失重的感觉。
如图甲、乙为汽车在拱形桥、凹形路面上行驶的示意图，汽车行驶时可以看
作圆周运动。
　　　　　　　　 甲　　　　　　　乙
问题1：当你坐汽车经过如图甲所示的桥面时，你有什么感觉？汽车在最高点
时对桥的压力会有什么特点？
问题2：若质量为m 的汽车在拱形桥上以速度v 行驶，桥面的圆弧半径为R。
则汽车对桥的压力多大？如果汽车速度不断变大，会出现什么情况？
问题3：当你坐汽车经过如图乙所示因下陷形成的凹形路面时，你有什么感
觉？汽车在最低点时对路面的压力会有什么特点？
问题4：若质量为m 的汽车在凹形路面上以速度v 行驶，路面的圆弧半径为R。
则汽车对凹形路面最低点的压力多大？
问题5：汽车对拱形桥的压力小于汽车的重力与汽车对凹形路面的压力大于
汽车的重力的原因是什么？与电梯中的超、失重现象背后的原因是否相同？
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提示：(1)失重的感觉，压力小于重力。
(2)由牛顿第二定律知：mg－FN＝mv2
R
FN＝mg－mv2
R
当v 增大时，FN 减小。
(3)超重感觉，压力大于重力。
(4)由牛顿第二定律知：FN－mg＝mv2
R
FN＝mg＋mv2
R
。
(5)汽车在拱形桥的最高点，在凹形路面的最低点，压力大于重力与压力小于
重力的原因由加速度的方向决定，这种情况与电梯中超、失重现象的原因相同。
1．汽车过拱形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车
支持力的合力提供向心力。如图甲所示。
由牛顿第二定律得：G－FN＝mv2
r
，则FN＝G－mv2
r
。
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即F′N＝FN＝G－m
v2
r
，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小。
(1)当0≤v<
gr时，0<FN≤G。
(2)当v＝
gr时，FN＝0.
(3)当v>
gr时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险。
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甲　　　　　　　　　乙
2．汽车过凹形桥
如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的
支持力，两个力的合力提供向心力，则FN－G＝mv2
r
，故FN＝G＋mv2
r
。由牛顿第
三定律得：汽车对凹形桥面的压力F′N＝G＋mv2
r
，大于汽车的重力。
【例2】　如图所示，质量m＝2.0×104 kg 的汽车以不变的速率先后驶过凹形
桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m。如果桥面承受的压力不得超过
3.0×105 N(g 取10 m/s2)，则：
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
[解析]　(1)汽车在凹形桥面的底部时，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的最
大支持力FN1＝3.0×105 N，根据牛顿第二定律得FN1－mg＝mv2
r
即v＝(
FN1
m －g)r＝(
3.0 × 105
2.0 × 104－10) × 60 m/s＝
10
3 m/s＜
gr＝10
6 m/s
故汽车在凸形桥最高点上不会脱离桥面，所以最大速率为10
3 m/s。
(2)汽车在凸形桥面的最高点时，由牛顿第二定律得
mg－FN2＝mv2
r
则FN2＝m(g－
v2
r)＝2.0×104×(10－
300
60 ) N＝1.0×105 N
由牛顿第三定律得，在凸形桥面最高点汽车对桥面的压力为1.0×105 N。
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[答案]　(1)10
3 m/s　(2)1.0×105 N
对于汽车过桥问题，具体的解题步骤如下：
(1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径；
(2)正确分析研究对象的受力情况，明确向心力是按作用效果命名的力，在受
力分析时不能列出，明确向心力的来源；
(3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。
　航天器中的失重现象
　　　    
　甲　　　　　乙　　　　　　丙
问题1：如图甲、乙所示，太空中的小球与陀螺相对于太空航处于静止状态，
没有下落。它们受到地球对它的引力吗？为什么？
问题2：如图丙所示，如果把地球看作一个巨大的拱形桥，汽车速度多大时，
支持力会变成0？此时汽车是否就成了环绕地球飞行的物体？
问题3：王亚萍相对地球做什么运动？半径近似为多少？受什么力作用？向
心加速度的方向指向哪？
问题4：你所列的方程是怎样的？所得到的答案是什么？
提示：(1)受地球的引力。正因为受地球引力，这个引力提供向心力，使得小
球与陀螺才能相对太空舱静止，围绕地球做匀速圆周运动。
(2)当v＝
gR时，FN＝0，此时汽车就成了环绕地球飞行的物体。
(3)做圆周运动，半径近似认为等于地球半径，受地球的吸引力，向心加速度
始终指向地心。
(4)mg＝mv2
R
　v＝
gR。
人造卫星、宇宙飞船、航天飞机等航天器进入轨道后可近似认为绕地球做匀
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速圆周运动，此时地球引力提供了卫星做圆周运动的向心力。航天器中的人和物
随航天器一起做圆周运动，其向心力由地球引力和支持力的合力提供。若地球引
力全部用来提供向心力，不对其他物体产生压力，则里面的人和物处于完全失重
状态。
此时，mg＝mv2
R
，所以v＝
Rg(式中g 为航天器所在处的重力加速度，R 为航
天器做匀速圆周运动的半径)。
[特别提醒]　1.航天器内的任何物体都处于完全失重状态，但并不是物体不受
地球引力。反而是因为受到地球引力作用才使航天器连同其中的宇航员能环绕地
球转动。
2．物体对支持物的压力或对悬挂物的拉力消失。
3．物体的速度不断变化，具有加速度，处于非平衡状态。
【例3】　“神 舟 十 号”飞船绕地球的运动可视为匀速圆周运动，“神 舟
十 号”航天员在“天 宫 一 号”中展示了失重环境下的物理实验或现象，下列
四幅图中的行为可以在“天 宫 一 号”舱内完成的有(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
A．用台秤称量重物的质量
B．用水杯喝水
C．用沉淀法将水与沙子分离
D．给小球一个很小的初速度，小球就能在竖直面内做圆周运动
D　[重物处于完全失重状态，对台秤的压力为零，无法通过台秤称量重物的
质量，故A 错误；水杯中的水处于完全失重状态，不会因重力而流入嘴中，故B
错误；沙子处于完全失重状态，不能通过沉淀法与水分离，故C 错误；小球处于
完全失重状态，给小球一个很小的初速度，小球能在拉力作用下在竖直面内做圆
周运动，故D 正确。]
[解题误区]　航天器的失重不能理解为不受重力作用，只是重力完全提供向心
力。
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离心运动
链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示)；雨天，当你旋转
自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)。
甲　　　　　　乙
(1)链球飞出后受几个力？
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？
(3)物体做离心运动的条件是什么？
提示：(1)重力和空气阻力。
(2)旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的合力不足以提
供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向
飞出。
(3)物体受到的合力不足以提供其运动所需的向心力。
1．离心运动的实质
离心现象的本质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，由于惯性，总是有
沿着圆周切线飞出去的倾向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用。从
某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周
上来。
2．离心运动的条件
做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大
的向心力。
3．离心运动、近心运动的判断
如图所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力Fn
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与所需向心力(m
v2
r 或mrω2)的大小关系决定。
(1)若Fn＝mrω2(或mv2
r
)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动。
(2)若Fn＞mrω2(或mv2
r
)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动。
(3)若Fn＜mrω2(或mv2
r
)即“提供”不足，物体做离心运动。
[特别提醒]　1.产生离心运动的原因是合力突然消失或不足以提供所需的向心
力，而不是物体又受到了“离心力”。
2．做离心运动的物体是做半径越来越大的运动或沿切线方向飞出去的运动，
而不是沿半径方向飞出去。
4．离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器，洗衣机的脱水筒，离心制管技术。
(2)防止：汽车在公路转弯处必须限速行驶，转动的砂轮、飞轮的转速不能太
高。
【例4】　如图所示是摩托车比赛转弯时的情形。转弯处路面常是外高内低，
摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。对于摩托
车滑动的问题，下列论述正确的是(　　)
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
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D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
B　[摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项A
错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如
果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项B 正确；摩托车
将沿曲线做离心运动，选项C、D 错误。]
专题课　向心力的应用和计算
匀速圆周运动问题求解
1．匀速圆周运动的特点
线速度大小不变、方向时刻改变；角速度、周期、频率都恒定不变；向心加
速度和向心力大小都恒定不变，但方向时刻改变。
2．求解步骤
解决匀速圆周运动相关问题的方法就是解决动力学问题的一般方法，其解决
问题的步骤也是解决动力学问题的步骤，但要注意灵活运用匀速圆周运动的一些
运动学规律，同时在解题的过程中要弄清匀速圆周运动问题的轨道平面、圆心和
半径等。
3．几种常见匀速圆周运动的向心力分析
图形
受力分析
以向心加速度方向
为x 轴正方向建立
根据牛顿第二定律
和向心力公式列关
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坐标系，将各力进
行正交分解
系式
Error!
Error!
在水平面上
Error!
在光滑水平面上
Error!
【例1】　如图所示，一长为L 的细绳一端固定在天花板上，另一端与一质量
为m 的小球相连接。现使小球在一水平面内做匀速圆周运动，此时细绳与竖直方
向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度大小为g。
(1)求维持小球做圆周运动的向心力大小Fn；
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(2)求小球做圆周运动的线速度大小v；
(3)某同学判断，若小球的线速度增大，细绳与竖直方向的夹角θ 也将增大，
但θ 不能等于90°。试证明当θ 趋近于90°时，细绳对小球的拉力将趋近于无穷大。
[解析]　(1)小球做匀速圆周运动时受细线的拉力和重力作用，由向心力的定义
及力的合成法则得Fn＝F 合＝mgtan θ。
(2)由向心力的公式得mgtan θ＝mv2
R
，又R＝Lsin θ，
所以v＝
gLtan θsin θ(
或
gL
cos θ
sin θ)
。
(3)细绳对小球的拉力FT＝mg
cos θ
，
当θ 趋近于90°时，cos θ 趋近于0，所以FT 趋近于无穷大。
[答案]　(1)mgtan θ
(2)
gLtan θsin θ(
或
gL
cos θ
sin θ)
(3)见解析
向心力是效果力，它由某一个力，或某一个力的分力，或几个力的合力提供，
它不是性质力，分析物体受力时不能分析向心力。同时，还要清楚向心力的不同
的表达式。
两根长度不同的细线下面分别悬挂着小球，细线上端固定在同一点。若两个
小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则图中两个
小球在运动过程中的相对位置关系示意图正确的是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
B　[如图所示，小球做匀速圆周运动，对小球受力分析，根
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据向心力的公式有mgtan θ＝mω2Lsin θ，整理得Lcos θ＝g
ω2，g
ω2是常量，即两球处
于同一高度，B 正确。]
圆周运动中的临界问题
关于圆周运动的临界问题，要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，
考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度，然后分析该状
态下物体的受力特点，结合圆周运动知识列方程求解。
1．与绳的弹力有关的临界问题
此问题要分析出绳子恰好无弹力这一临界状态下的角速度(或线速度)等。
2．与支持面弹力有关的临界问题
此问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)等。
3．因静摩擦力而产生的临界问题
此问题要分析出静摩擦力达最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)等。
【例2】　(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg 的木块，它与
转台间的最大静摩擦力为Fmax＝6.0 N，绳的一端系在木块上，另一端通过转台的
中心孔O(孔光滑)悬挂一个质量m＝1.0 kg 的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s 匀
速转动时，木块相对转台静止，则木块到O 点的距离可以是(g 取10 m/s2，M、m
均视为质点)(　　)
A．0.04 m　　B．0.08 m　　C．0.16 m　　D．0.32 m
BCD　[当M 有远离轴心运动的趋势时，
有mg＋Fmax＝Mω2rmax，
解得rmax＝mg＋Fmax
Mω2
＝0.32 m，
当M 有靠近轴心运动的趋势时，
有mg－Fmax＝Mω2rmin，
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解得rmin＝mg－Fmax
Mω2
＝0.08 m。故选项B、C、D 正确。]
静摩擦力产生的临界情况
在水平转台上做圆周运动的物体，若有静摩擦力参与，则当转台的转速变化
时，静摩擦力也会随之变化，当F 静达到最大值时，对应有临界角速度和临界线速
度。解决这类问题一定要牢记“静摩擦力大小有个范围、方向可以改变”这一特
点。
专题课　生活中的圆周运动
 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳作用下在竖直平面内做圆
周运动，都是绳模型，如图所示。
甲　　　　　　乙
(1)向心力分析
①小球运动到最高点时受向下的重力和向下的绳子拉力(或轨道弹力)作用，由
这两个力的合力提供向心力，mg＋FN＝mv2
r
。
②小球运动到最低点时受向下的重力和向上的绳子拉力(或轨道弹力)作用，由
这两个力的合力提供向心力，FN－mg＝mv2
r
。
(2)临界条件
小球恰好过最高点时，应满足弹力FN＝0，即mg＝mv2
r
，可得小球在竖直面内
做圆周运动的临界速度v＝
gr。
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(3)能过最高点的条件：v≥v 临。
(4)不能通过最高点的条件：v＜v 临，实际上小球在到达最高点之前就脱离了
圆轨道，如图所示。
【例1】　一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内
做圆周运动，如图所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm。
(g 取10 m/s2)
(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)
(2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力大小。
[思路点拨]　在最高点水不流出的临界条件为只有水的重力提供向心力，水与
水桶间无弹力的作用。
[解析]　(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力
恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。有：mg＝mv20
l
则所求的最小速率为：v0＝
gl≈2.24 m/s。
(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有：FN＋mg＝
mv2
l
代入数据可得：FN＝4 N
由牛顿第三定律，水对桶底的压力：FN′＝4 N。
[答案]　(1)2.24 m/s　(2)4 N
竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。
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(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。
竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，小球在竖直放置的光滑细管内
做圆周运动，都是杆模型，如图所示。
甲　　　　　　　乙
(1)向心力分析
①小球运动到最高点时受杆(或轨道)的弹力和向下的重力作用，由这两个力的
合力提供向心力。若弹力向上：mg－FN＝mv2
r
；若弹力向下：mg＋FN＝mv2
r
。
②小球运动到最低点时受杆(或轨道)向上的弹力和向下的重力作用，由这两个
力的合力提供向心力，FN－mg＝mv2
r
。
(2)临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度v 临
＝0，轻杆或轨道对小球有支持力FN＝mg。
(3)当0＜v＜
gr时，杆或内管壁对小球的支持力FN＝mg－mv2
r
，支持力FN
随v 的增大而减小，其取值范围是0＜FN＜mg。
(4)当v＞
gr时，杆对小球施加的是拉力，且拉力F＝mv2
r
－mg；或外管壁对
小球有竖直向下的压力FN＝mv2
r
－mg。
【例2】　长度为0.5 m 的轻杆OA 绕O 点在竖直平面内做圆周运动，A 端连
着一个质量m＝2 kg 的小球。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的
作用力的大小和方向。(g 取10 m/s2)
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(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s。
[解析]　小球在最高点的受力如图所示：
(1)杆的转速为2.0 r/s 时，
ω＝2π·n＝4π rad/s
由牛顿第二定律得
F＋mg＝mLω2
故小球所受杆的作用力
F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138 N
即杆对小球提供了138 N 的拉力
由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上。
(2)杆的转速为0.5 r/s 时，ω′＝2π·n＝π rad/s
同理可得小球所受杆的作用力
F＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10 N
力F 为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压
力大小为10 N，方向竖直向下。
[答案]　(1)小球对杆的拉力为138 N，方向竖直向上
(2)小球对杆的压力为10 N，方向竖直向下
(1)注意r/s 与rad/s 的不同。
(2)先求小球受到杆的弹力，再用牛顿第三定律得出杆受小球的力。 
(3)当未知力的方向不确定时，要采用假设正方向的办法。
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第七章 万有引力与宇宙航行
7.1 行星的运动
一、地心说和日心说　开普勒定律
1．地心说
地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮以及其他星体都绕地球运动。
2．日心说
太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。
[注意]　古代两种学说都是不完善的，因为不管是地球还是太阳，它们都在不
停地运动，并且行星的轨道是椭圆，其运动也不是匀速率的。鉴于当时人们对自
然科学的认识能力，日心学比地心说更进一步。
3．开普勒定律
定律
内容
公式或图示
开普勒第
一定律
所有行星绕太阳运动的轨道都是
椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点
上
开普勒第
二定律
对任意一个行星来说，它与太阳
的连线在相等的时间内扫过的面
积相等
开普勒第
三定律
所有行星轨道的半长轴的三次方
跟它的公转周期的二次方的比都
相等
公式：a3
T2＝k，k 是一个与行星
无关的常量
[注意]　不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道是不同的。
二、行星运动的近似处理
1．行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。
2．对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)不变，即行星
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做匀速圆周运动。
3．所有行星轨道半径r 的三次方跟它的公转周期T 的二次方的比值都相等，
即r3
T2＝k。
对开普勒行星运动定律
的理解
教材第45 页“做一做”提示：保持绳长不变，当两焦点不断靠近时，椭圆形
状逐渐接近圆的形状；焦点重合时，半长轴转变为圆的半径。
如图所示是地球绕太阳公转及四季的示意图，由图可知地球在春分日、夏至
日、秋分日和冬至日四天中哪一天绕太阳运动的速度最大？哪一天绕太阳运动的
速度最小？
提示：冬至日，夏至日。由图可知，冬至日地球在近日点附近，夏至日在远
日点附近，由开普勒第二定律可知，冬至日地球绕太阳运动的速度最大，夏至日
地球绕太阳运动的速度最小。
对开普勒行星运动定律的理解
定律
认识角度
理解
各行星的椭圆轨道尽管大小不同，但太阳是所有轨
道的一个共同焦点
开普勒第
一定律
对空间分布的
认识
不同行星的轨道是不同的，可能相差很大
行星沿椭圆轨道运动靠近太阳时速度增大，远离太
阳时速度减小
开普勒第
二定律
对速度大小的
认识
近日点速度最大，远日点速度最小
椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长
开普勒第
三定律
对周期长短的
认识
该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体
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常数k 只与其中心天体有关
[特别提醒]　开普勒行星运动定律不仅适用于行星，也适用于其他天体，如绕
某一行星运动的卫星。
【例1】　关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是(　　)
A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
C．行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度与行星和太阳之间的距离
有关，距离小时速度小，距离大时速度大
D．离太阳越近的行星运动周期越短
D　[不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道不同，但有一个共同的焦点，即太阳
位置，A、B 错误；由开普勒第二定律知，行星离太阳距离小时速度大，距离大时
速度小，C 错误；运动的周期T 与半长轴a 满足a3
T2＝k，D 正确。]
开普勒行星运动定律的三点注意
(1)开普勒三定律是通过对行星运动的观察结果总结而得出的规律，它们都是
经验定律。
(2)开普勒第二定律与第三定律的区别：前者揭示的是同一行星在距太阳不同
距离时的运动快慢的规律，后者揭示的是不同行星运动快慢的规律。
(3)绕同一中心天体运动的轨道分别为椭圆、圆的天体，k 值相等，即r3
T21＝a3
T2＝
k。
开普勒行星运动定律的应用
如图所示是火星冲日的年份示意图，请思考：
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(1)观察图中地球、火星的位置，地球和火星谁的公转周期更长？
(2)已知地球的公转周期是一年，由此计算火星的公转周期还需要知道哪些数
据？
(3)地球、火星的轨道可近似看成圆轨道，开普勒第三定律还适用吗？
提示：(1)由题图可知，地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，根据开普
勒第三定律可得：火星的公转周期更长一些。
(2)还需要知道地球、火星各自轨道的半长轴。
(3)对于圆轨道，开普勒第三定律仍然适用，只是a3
T2＝k 中的半长轴a 换成圆的
轨道半径r。
1．适用范围：既适用于做椭圆运动的天体，也适用于做圆周运动的天体；既
适用于绕太阳运动的天体，也适用于绕其他中心天体运动的天体。
2．意义：开普勒关于行星运动的确切描述，不仅使人们在解决行星的运动学
问题上有了依据，更澄清了人们对天体运动神秘、模糊的认识，同时也推动了对
天体动力学问题的研究。
3．近似处理：由于行星的椭圆轨道都跟圆近似，在近似计算中，可以认为，
行星都以太阳为圆心做匀速圆周运动。
【例2】　飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T。如果飞船要返回
地面，可在轨道上某点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为
焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切，如图所示。如果地球半径为
R0，求飞船由A 点运动到B 点所需要的时间。
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思路点拨：分析该题的关键是：
①开普勒第三定律对圆轨道和椭圆轨道都适用。
②椭圆轨道的半长轴大小为R＋R0
2
。
③飞船由A 点运动到B 点的时间为其椭圆轨道周期的一半。
[解析]　飞船沿椭圆轨道返回地面，由题图可知，飞船由A 点到B 点所需要的
时间刚好是沿图中整个椭圆运动周期的一半，椭圆轨道的半长轴为R＋R0
2
，设飞船
沿椭圆轨道运动的周期为T′
根据开普勒第三定律有R3
T2＝(
R＋R0
2 )
3
 
T′2
解得T′＝T (
R＋R0
2R )
3
 ＝R＋R0T
2R
R＋R0
2R
所以飞船由A 点到B 点所需要的时间为
t＝T′
2
＝R＋R0T
4R
R＋R0
2R
。
[答案]　R＋R0T
4R
R＋R0
2R
　
上例中，飞船在半径为R 的圆周轨道与椭圆轨道上运行时的周期之比为多少？
提示：由R3
T2＝k 知，T∝
R3。
则周期之比为
R3
(
R＋R0
2 )
3
 
＝
8R3
R＋R03
。
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应用开普勒第三定律的步骤
(1)判断两个行星的中心天体是否相同，只有对同一个中心天体开普勒第三定
律才成立。
(2)明确题中给出的周期关系或半径关系。
(3)根据开普勒第三定律r31
T21＝r32
T2＝k 列式求解。
7.2 万有引力定律
一、行星与太阳间的引力
1．模型简化
行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做
匀速圆周运动的向心力。
理想模型的建立
1行星绕太阳做的椭圆运动可简化为以太阳为圆心的匀速圆周运动。太阳：
中心天体；行星：环绕天体
2太阳与行星间的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力。
2．太阳对行星的引力
F＝mv2
r
＝m(
2πr
T )
2
 ·1
r
＝4π2mr
T2 。
结合开普勒第三定律得：F∝m
r2。
3．行星对太阳的引力
根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′的大小也存在与上述关系类似的结
果，即F′∝m太
r2 。
4．太阳与行星间的引力
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由于F∝m
r2、F′∝m太
r2 ，且F＝F′，则有F∝m太m
r2 ，写成等式F＝Gm太m
r2 ，式中G
为比例系数。
5．太阳与行星间的引力方向沿着二者的连线。
二、月—地检验
1．猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵
从“平方反比”的规律。
2．检验方法：
  (1)物体在月球轨道上运动时的加速度：a＝1
602g。
(2)月球围绕地球做匀速圆周运动的加速度：a＝4π2r月
T 2月。
(3)对比结果：月球在轨道高度处的加速度近似等于月球的向心加速度。
3．结论：地面物体受地球的引力，月球所受地球的引力，太阳与行星的引力，
遵从相同的规律。
三、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，
引力的大小与物体的质量m1 和m2 的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反
比。
2．表达式：F＝Gm1m2
r2 。
四、引力常量
1．测量者：卡文迪什。
2．数值：G＝6.67×10－11N·m2/kg2。
卡文迪什扭秤实验利用了“等效法”和“放大法”。
太阳与行星间引力的理解
(教师用书独具)　教材第51 页“思考与讨论”答案提示：
a 月＝ω2·r＝(
2π
T月)
2
 ·r＝(
2 × 3.14
2.36 × 106)
2
 ×3.8×108m/s2＝2.69×10－3m/s2
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g＝9.8 m/s2，a月
g
＝
1
3 643
≈
1
3 600
，在误差允许范围内可以验证前面的假设。
如图所示，太阳系中的行星围绕太阳做匀速圆周运动。
(1)为什么行星会围绕太阳做圆周运动？
(2)太阳对不同行星的引力与行星的质量是什么关系？
(3)行星对太阳的引力与太阳的质量是什么关系？
提示：(1)因为行星受太阳的引力，引力提供向心力。
(2)与行星的质量成正比。
(3)与太阳的质量成正比。
1．两个理想化模型
(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦
点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。
(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，
即天体的质量集中在球心上。
2．推导过程
(1)太阳对行星的引力
(2)太阳与行星间的引力
【例1】　(多选)关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是(　　)
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A．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大
B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在从近日点向远日点运动时所受引力变小
C．由F＝GMm
r2 可知G＝Fr2
Mm
，由此可见G 与F 和r2 的乘积成正比，与M 和m
的乘积成反比
D．行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星
的引力
BD　[由F＝GMm
r2 ，太阳对行星的引力大小与m、r 有关，对同一行星，r 越
大，F 越小，选项B 正确；对不同行星，r 越小，F 不一定越大，还要由行星的质
量决定，选项A 错误；公式中G 为比例系数，是一常量，与F、r、M、m 均无关，
选项C 错误；通常的研究中，行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆形轨道，向心
力由太阳对行星的引力提供，选项D 正确。]
太阳与行星间的引力特点
(1)太阳与行星间的引力大小与三个因素有关：太阳质量、行星质量、太阳与
行星间的距离。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。
(2)太阳与行星间的引力是相互的，遵守牛顿第三定律。
　万有引力定律的理解
无论是太阳与行星、地球与月球以及任何物体之间都存在万有引力。
(1)公式F＝G m1m2
r2 中r 的含义是什么？
(2)任何两个物体之间的万有引力都能利用公式F＝G m1m2
r2 计算出来吗？
提示：(1)r 指的是两个质点间的距离。
(2)不能。万有引力定律的表达式F＝G m1m2
r2 只适用于质点之间、质量分布均
匀的球体之间的计算，形状不规则、质量分布不均匀的物体间r 不易确定。
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1．F＝G m1m2
r2 的适用条件
(1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离
比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r 是两个球体
球心间的距离。
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r 是
球体球心到质点的距离。
2．万有引力的四个特性
特性
内容
普遍性
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有
质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足
大小相等，方向相反，作用在两个物体上
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，
但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决
定性作用
特殊性
两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而
与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
3．引力常量G
(1)对G 值的理解
①目前引力常量推荐的标准值G＝6.674 08(31)×10－11N·m2/kg2，通常取G＝
6.67×10－11N·m2/kg2。
②引力常量有单位，单位符号为N·m2/kg2。
③意义：在数值上等于两个质量都是1 kg 的质点相距1 m 时的相互作用力。
④因为引力常量G 很小，我们日常生活中接触的物体的质量又不是很大，所
以我们很难察觉到物体之间的引力。
(2)引力常量的测定
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卡文迪什扭秤实验的工作原理是利用大球和小球间产生力矩，如图所示，此
力矩与石英丝N 力矩平衡。万有引力力矩使T 形架转动，T 形架转动时带动平面
镜M 也发生转动，进而使在镜面上反射出的光线发生偏转，从刻度尺上读出光线
偏转时光点移动的距离，进而计算偏转角度。利用石英丝N 扭转力矩和扭转角度
的关系，求出扭转力矩，从而求出大球和小球间的万有引力。利用F＝Gm′m
r2 ，即
G＝Fr2
m′m
，比较准确地得出了G 的数值。
(3)引力常量测定的意义
①卡文迪什利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存
在及万有引力定律的正确性。
②引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用
价值。
③卡文迪什扭秤实验是物理学上非常著名和重要的实验，扭秤实验巧妙地利
用等效法，合理地将微小量进行放大，开创了测量弱力的新时代。
【例2】　对于万有引力定律的数学表达式F＝Gm1m2
r2 ，下列说法中正确的是
(　　)
A．公式中G 为引力常量，是人为规定的
B．r 趋近零时，万有引力趋于无穷大
C．m1、m2 受到的万有引力总是大小相等，与m1、m2 的质量是否相等无关
D．m1、m2 受到的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
C　[万有引力公式中的引力常量G 是由实验测定的，而不是人为规定的，A
错误；使用公式F＝G m1m2
r2 时，若两物体可以看成质点，则r 为两物体之间的距离。
认为r 趋于零，万有引力趋于无穷大的纯数学思想是不正确的，因为当物体间的距
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离r→0 时，物体不可以看成质点，就不能直接应用公式F＝G m1m2
r2 计算，B 错误；
两个物体间的万有引力是作用力与反作用力的关系，不是平衡力，C 正确，D 错
误。]
　万有引力与重力的关系
假如某个人做环球旅行，可能到达地球的任何地点，如果地球看成标准的球
体，那么该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南
极点等不同地点。
(1)该人在各地点所受的万有引力有什么关系？
(2)该人在各地点所受的重力有什么关系？
提示： (1)在各地点所受的万有引力大小相等，方向沿对应的地球半径指向地
心。
(2)由于地球自转的影响，该人在各地点所受的重力大小不一定相等，方向也
不一定指向地心。
1．万有引力是合力：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A 处物体的
质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，则由万有引力公式得
F＝GMm
R2 。
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2．万有引力有两个分力：除南北两极外，万有引力有两个分力，一个分力F1
提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴；另一个分力F2 是重力，产生使
物体压地面的效果。
3．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即GMm
R2 ＝mrω2＋mg，
所以mg＝GMm
R2 －mrω2。
(2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝GMm
R2 。
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜GMm
R2 ，重力的方
向偏离地心。
4．重力、重力加速度与高度的关系
(1)地球表面的重力约等于地球的万有引力，即mg＝GMm
R2 ，所以地球表面的重
力加速度g＝GM
R2 。
(2)地球上空h 高度，万有引力等于重力，即mg＝G Mm
R＋h2，所以h 高度的重
力加速度g＝GM
R＋h2。
【例3】　设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G，假设地球可视为
质量均匀分布的球体，半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的
支持力之比为(　　)
A．
GMT2
GMT2－4π2R3　　
B．
GMT2
GMT2＋4π2R3
C．GMT2－4π2R3
GMT2
  
D．GMT2＋4π2R3
GMT2
A　[在赤道上：GMm
R2 －FN＝m4π2
T2 R，可得FN＝GMm
R2 －m4π2
T2 R；在南极：GMm
R2
＝F′N，联立可得：F′N
FN＝
GMT2
GMT2－4π2R3，故选项A 正确，B、C、D 错误。]
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处理万有引力与重力关系的思路
(1)若题目中不考虑地球自转的影响，不考虑重力随纬度的变化，可认为重力
等于万有引力，mg＝GMm
R2 。
(2)若题目中需要考虑地球自转，需要考虑重力随纬度的变化，就要注意重力
与万有引力的差别，两极处：mg＝GMm
R2 ；赤道处：mg＋F 向＝GMm
R2 。
 
7.3 万有引力理论的成就
一、“称量”地球的质量
1．合理假设：不考虑地球自转。
2．“称量”依据：地面上质量为m 的物体所受的重力mg 等于地球对物体的
引力，即mg＝Gmm地
R2 ，由此可解得m 地＝gR2
G
。
卡文迪什把测引力常量的实验称为“称量地球的质量”是不无道理的。
3．结论：只要知道g、R 的值，就可以算出地球的质量。
二、计算天体质量
1．计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引
力提供，列出方程Gmm太
r2 ＝m4π2r
T2 ，由此可解得m 太＝4π2r3
GT2 。
这种方法我们称之为“rT”法小r 大T 法，小r 是行星轨道的半径，大T 是
行星的公转周期。
2．结论：只要知道行星绕太阳运动的周期T 和半径r，就可以计算出太阳的
质量。
3．计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期
T 和轨道半径r，就可计算出行星的质量m 行＝4π2r3
GT2 。
三、发现未知天体及预言哈雷彗星回归
1．海王星的发现
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英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测
资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846 年9 月
23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2．其他天体的发现
近100 年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大
的天体。
3．预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷依据万有引力定律，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言
这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76 年。
计算天体的质量与密度
教材第56 页“思考与讨论”答案提示：GMm
r2 ＝m4π2
T2 r，M＝4π2r3
GT2 ，T 为地球
绕太阳公转的周期，代入数据可计算太阳的质量，换用其他行星的相关数据计算，
结果相近。因为各行星以太阳为中心天体，有r 3地
T 2地＝r 3行
T 2行＝k，k 为定值，可知估算结
果相似。
 (1)假设地球绕太阳做匀速圆周运动，如果知道万有引力常量G、地球绕太阳
运动的周期T 和轨道半径r，可以计算出地球的质量吗？
(2)如果要估算出太阳的密度，应该知道哪些条件？
提示：(1)不可以。
(2)万有引力常量G、太阳半径R、地球绕太阳运动的周期T 和轨道半径r。
1．天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R 及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物
体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝GMm
R2 ，解得天体的质量为M＝gR2
G
，
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g、R 是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借
助外援法”。常见的情况如下：
万有引力提供向心力
中心天体的质量
说明
GMm
r2 ＝mv2
r
M＝rv2
G
GMm
r2 ＝mrω2
M＝r3ω2
G
GMm
r2 ＝mr4π2
T2
M＝4π2r3
GT2
r 为行星(或卫星)的轨道半
径，v、ω、T 为行星(或卫星)
的线速度、角速度和周期
[特别提醒]　1求解中心天体的质量，需知道绕该天体转动的某一环绕天体的
运行规律，与环绕天体的质量无关。
2利用上述两种方法只能求出中心天体的质量，而不能求出环绕天体的质量。
2．天体密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度求天体密度
由mg＝G Mm
R2 和M＝ρ·4πR3
3
，得ρ＝3g
4πGR
。
(2)利用天体的卫星求天体密度
若已知中心天体的半径R，环绕天体的运转周期T，轨道半径r，则可得GMm
r2
＝m4π2
T2 r，中心天体质量M＝ρ·4
3
πR3，联立可得ρ＝3πr3
GT2R3。
特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r 可认为等于天体半
径R，则ρ＝3π
GT2。
【例1】　(多选)若宇航员在月球表面附近自高h 处以初速度v0 水平抛出一
个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，万有引力常量为G。则下
列说法正确的是(　　)
A．月球表面的重力加速度g 月＝2hv20
L2
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B．月球的质量m 月＝2hR2v20
GL2
C．月球的自转周期T＝2πR
v0
D．月球的平均密度ρ＝3hv20
2πGL2
AB　[根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝1
2
g 月t2，联立解得g 月＝2hv20
L2 ，选项A
正确；由mg 月＝G mm月
R2 解得m 月＝2hR2v20
GL2 ，选项B 正确；根据题目条件无法求出
月球的自转周期，选项C 错误；月球的平均密度ρ＝m月
4
3πR3
＝3hv20
2πGL2R
，选项D 错
误。]
求解天体质量和密度时的两种常见误区
(1)根据轨道半径r 和运行周期T，求得M＝4π2r3
GT2 是中心天体的质量，而不是
行星(或卫星)的质量。
(2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养
成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R 表示，轨道半径用r 表示，这样就
可以避免如ρ＝3πr3
GT2R3误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫
星，轨道半径r 才可以认为等于天体半径R。
天体运动的分析与计算
如图所示，太阳系的行星在围绕太阳运动。
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(1)地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？
(2)如何比较地球、火星等行星绕太阳的运动的线速度、角速度、周期及向心
加速度等各量的大小关系？
提示：(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提
供向心力。
(2)由GMm
r2 ＝man＝mv2
r
＝mω2r＝m4π2
T2 r 表达式可知线速度、角速度、周期及向
心加速度等各量都与轨道半径有关系。
1．天体运动的定性分析
设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动。
(1)由GMm
r2 ＝m v2
r
得v＝
GM
r
，r 越大，天体的v 越小。
(2)由GMm
r2 ＝mω2r 得ω＝
GM
r3 ，r 越大，天体的ω 越小。
(3)由GMm
r2 ＝m(
2π
T
)
2
 r 得T＝2π
r3
GM
，r 越大，天体的T 越大。
(4)由GMm
r2 ＝man 得an＝GM
r2 ，r 越大，天体的an 越小。
2．天体运动的定量计算
(1)解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运
动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立
基本关系式：GMm
r2 ＝ma，式中a 是向心加速度。
(2)常用的关系式：
①GMm
r2 ＝mv2
r
＝mω2r＝m4π2
T2 r，万有引力全部用来提供行星或卫星做圆周运动
的向心力。
②mg＝G Mm
R2 即gR2＝GM，物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力。
该公式通常被称为黄金代换式。
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【例2】　有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作“矮行星”，而另
外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，
它们的质量分别为m1 和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1 和r2，求：
(1)它们与太阳间的万有引力之比；
(2)它们的公转周期之比。
[解析]　(1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力
之比F1
F2＝
GMm1
r21
GMm2
r2
＝m1r2
m2r21。
(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有G
Mm
r2 ＝m(
2π
T
)
2
 r
所以，天体绕太阳运动的周期T＝2π
r3
GM
则两天体绕太阳的公转周期之比T1
T2＝
r31
r32。
[答案]　(1)m1r2
m2r21　(2)
r31
r32
　
上例中，若r1＞r2，则两行星的运行的角速度ω1、ω2 和线速度v1、v2 的关系
怎样？
提示：ω1＜ω2，v1＜v2.
双星问题的分析与求解
2019 年7 月，美国天文学家在最新一期《自然》杂志撰文称，他们发现了迄
今已知宇宙中“运行速度最快的白矮星双星系统”——“ZTF J1539＋5027”，这一
发现或对研究引力波具有重要意义。
如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，在相互引力作用下，形
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成相互环绕运行的一个系统。它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动。
(1)两个天体做圆周运动所需的向心力有什么特点？
(2)两个天体做圆周运动的周期和角速度有什么关系？
提示：(1)大小相等。
(2)双星做圆周运动的角速度和周期都相同。
1．定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如
图所示。
2．特点：
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
Gm1m2
L2 ＝m1ω21r1，Gm1m2
L2
＝m2ω2r2。
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
3．两颗星到圆心的距离r1、r2 与星体质量成反比，即m1
m2＝r2
r1，与星体运动的
线速度成正比。
4．几个基本结论(建议自行推导)
(1)轨道半径：r1＝
m2
m1＋m2L
r2＝
m1
m1＋m2L。
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(2)星体质量：m1＝4π2r2L2
GT2
m2＝4π2r1L2
GT2 。
(3)周期：T＝2πL
L
Gm1＋m2
。
【例3】　(多选)2017 年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。
根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距400 km，绕
二者连线上的某点每秒转动12 圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，
由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子
星(　　)
A．质量之积
B．质量之和
C．速率之和
D．各自的自转角速度
[思路点拨]　双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律求
出双星总质量与双星距离和周期的关系式，从而分析判断。结合周期求出双星系
统旋转的角速度和线速度关系。
BC　[由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12 圈，则两中子
星的周期相等，且均为T＝1
12
 s，两中子星的角速度均为ω＝2π
T
，两中子星构成了
双星模型，假设两中子星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，速率分
别为v1、v2，则有：Gm1m2
L2 ＝m1ω2r1、Gm1m2
L2 ＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400 km，解
得m1＋m2＝ω2L3
G
，A 错误，B 正确；又由v1＝ωr1、v2＝ωr2，则v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝
ωL，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误。]
7.4 宇宙航行
一、宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)物体绕地球速度推导：物体绕地球的运动可视作匀速圆周运动，万有引力
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提供物体运动所需的向心力，有Gmm地
r2 ＝mv2
r
，由此解出v＝
Gm地
r
(m 地为地球质
量，r 为物体做圆周运动的轨道半径)。
(2)数值：已知地球的质量，近似用地球半径R 代替r，算出v＝
Gm地
R
＝7.9 
km/s，这就是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度。
第一宇宙速度的其他三种叫法：最小发射速度、最大环绕速度、近地绕行速
度。
2．第二宇宙速度
当飞行器的速度等于或大于11.2 km/s 时，它就会克服地球的引力，永远离开
地球。我们把11.2 km/s 叫作第二宇宙速度。
3．第三宇宙速度
在地面附近发射飞行器，如果要使其挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，
必须使它的速度等于或大于16.7 km/s，这个速度叫作第三宇宙速度。
图解三个宇宙速度
二、人造地球卫星载人航天与太空探索
1．同步卫星：地球同步卫星位于赤道上方高度约36 000 km 处，因相对地面
静止，也称静止卫星。地球同步卫星与地球以相同的角速度转动，周期与地球自
转周期相同。
2．1957 年10 月，苏联成功发射了世界上第一颗人造地球卫星。
1969 年7 月，美国“阿波罗11 号”登上月球。
2003 年10 月15 日，我国“神舟五号”把航天员杨利伟送入太空。
宇宙速度的理解与计算
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教材第60 页“思考与讨论”答案提示：正确，在地球表面的物体所受引力GMm
R2 ＝
mg，得GM＝gR2，又mg＝m v2
R
得v＝
gR。
发射卫星，要有足够大的速度才行。
(1)怎样求地球的第一宇宙速度？不同星球的第一宇宙速度是否相同？
(2)把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？
提示：(1)根据GMm
R2 ＝mv2
R
，得v＝
GM
R
；可见第一宇宙速度由地球的质量和
半径决定；不同星球的第一宇宙速度不同。
(2)轨道越高，需要的发射速度越大。
1．三个宇宙速度
数值
意义
说明
第一宇
宙速度
(环绕速
度)
7.9 km/s
物体在地球附近
绕地球做匀速圆
周运动的速度
7.9 km/s 是卫星在地面附近的最小发
射速度，也是卫星环绕地球做匀速圆
周运动的最大速度，在地面附近发射
速度7.9 km/s<v<11.2 km/s，卫星在椭
圆轨道上绕地球运动
第二宇
宙速度
(逃逸速
度)
11.2 km/s
物体挣脱地球引
力的束缚，离开
地球的最小发射
速度
当11.2 km/s≤v<16.7 km/s 时，卫星
脱离地球引力的束缚，成为太阳系的
一颗“小行星”
第三宇
宙速度
16.7 km/s
物体挣脱太阳引
力的束缚，飞到
太阳系以外的宇
宙空间去的最小
当v≥16.7 km/s 时，卫星脱离太阳的
引力束缚，跑到太阳系以外的宇宙空
间中去
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发射速度
2．第一宇宙速度的两种推导方法
对于近地人造卫星，轨道半径r 近似等于地球半径R＝6 400 km，卫星在轨道
处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力，g 取9.8 m/s2，则
方法一：r ≈R ― ― ― ― ―→
万有引力
 
 
提供向心力
G
Mm
R2 ＝m
v2
R
―→v＝
GM
R
≈7.9 km/s
方法二：万有引力近似
等于卫星重力― ― ― ― ―→
卫星重力
 
 
提供向心力
mg＝m
v2
R
―→v＝
gR ≈7.9 km/s
[特别提醒]　上述两种推导地球第一宇宙速度的方法，也可以推广运用到其他
星球上去。知道某个星球的质量M 和半径R，即可用v＝GM
R
求得该星球的第一
宇宙速度；同样，若知道该星球的半径R 和重力加速度g，也可用v＝gR求得该
星球的第一宇宙速度。
3．决定因素
由第一宇宙速度的计算式v＝
GM
R
可以看出，第一宇宙速度的值由中心天体
决定，第一宇宙速度的大小取决于中心天体的质量M 和半径R，与卫星无关。
4．对发射速度和环绕速度的理解
(1)“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射
卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道
的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。
(2)“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的
轨道半径最小，由GMm
r2 ＝m v2
r
可得v＝
GM
r
，轨道半径越小，线速度越大，所以
在这些卫星中，近地卫星的线速度即第一宇宙速度是最大环绕速度。
【例1】　2020 年3 月9 日19 时55 分，我国在西昌卫星发射中心用“长 征
三 号乙”运载火 箭，成功发射北 斗系统第五十四颗北 斗导 航卫 星，卫星顺
利进入预定轨道。若已知地球表面重力加速度为g，引力常量为G，地球的第一宇
宙速度为v1，则(　　)
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A．根据题给条件可以估算出地球的质量
B．据题给条件不能估算地球的平均密度
C．第一宇宙速度v1 是人造地球卫星的最大发射速度，也是最小环绕速度
D．在地球表面以速度2v1 发射的卫星将会脱离太阳的束缚，飞到太阳系之外
A　[设地球半径为R，则地球的第一宇宙速度为v1＝
gR，对近地卫星有G
Mm
R2 ＝mg，联立可得M＝v41
gG
，A 正确；地球体积V＝4
3
πR3＝4
3
π(
v21
g
)
3
 ，结合M＝
v41
gG
，可以估算出地球的平均密度为ρ＝3g2
4πGv21，B 错误；第一宇宙速度v1 是人造地
球卫星的最小发射速度，也是最大的环绕速度，C 错误；第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，
第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，第三宇宙速度v3＝16.7 km/s，在地球表面以速度2v1
发射的卫星，速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，此卫星成为绕太阳运
动的卫星，D 错误。]
地球三种宇宙速度的理解
(1)三种宇宙速度均指在地球上的发射速度。
(2)第一宇宙速度是卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大速度，也是卫星的最
小发射速度。
(3)轨道半径越大的卫星，其运行速度越小，但其地面发射速度越大。
人造地球卫星
如图所示，在地球的周围，有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动。
(1)这些卫星的轨道平面有什么特点？
(2)这些卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度等跟什么因素有关呢？
提示：(1)轨道平面过地心。
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(2)与轨道半径有关。
1．人造地球卫星的动力学特征
人造地球卫星绕地球转动，可以视为匀速圆周运动，其所需的向心力只能由
万有引力提供，故有F 引＝G Mm
r2 和GMm
r2 ＝ma 向。此两式就表明了人造地球卫星
的动力学特征。
2．人造地球卫星的轨道
卫星绕地球运动的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道，但轨道平面一定
过地心。
(1)卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心是椭圆的一个焦点，卫星的周期和半
长轴的关系遵从开普勒第三定律。
(2)卫星绕地球沿圆轨道运动时，因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地
球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以地心必定是卫星圆轨道的圆心。
(3)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步卫星)，也可以和赤道平面垂直，
还可以和赤道平面成任一角度。如图所示。
3．人造地球卫星的运动学特征
(1)人造地球卫星的两个速度
①发射速度：指将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度。卫星离地
面越高，卫星的发射速度越大。
②绕行速度：指卫星在进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度。根据v＝
GM
r
可知，卫星越高，半径越大，卫星的绕行速度就越小。
(2)人造地球卫星的运动学特征
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①由GMm
r2 ＝m v2
r
得，v＝
GM
r
，即有v∝1
r
，说明卫星的运行轨道半径越大，
其运行线速度就越小。v＝
GM
r
是人造地球卫星线速度的决定公式。
②由GMm
r2 ＝mω2r 得，ω＝
GM
r3 ，即有ω∝1
r3，说明人造地球卫星的运行轨
道半径越大，角速度越小。ω＝
GM
r3 是人造地球卫星角速度的决定公式。
③由GMm
r2 ＝man 得an＝GM
r2 ，即卫星的向心加速度an∝1
r2，运行轨道半径越大，
向心加速度越小，与卫星自身的质量无关。
④由GMm
r2 ＝m4π2
T2 r 得，T＝2π
r3
GM
，即有T∝
r3，说明人造地球卫星的运行
轨道半径越大，其运行周期就越长。T＝2π
r3
GM
是人造地球卫星周期的决定公式。
发射人造地球卫星绕地球运动的最小周期约为85 分钟。
4．地球同步卫星
(1)概念：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星，叫作地球同步
卫星。
(2)特点
①确定的转动方向：和地球自转方向一致。
②确定的周期：和地球自转周期相同，即T＝24 h。
③确定的角速度：等于地球自转的角速度。
④确定的轨道平面：所有的同步卫星都在赤道的正上方，其轨道平面必须与
赤道平面重合。
⑤确定的高度：离地面高度固定不变(3.6×104 km)。
⑥确定的环绕速率：线速度大小一定(3.1×103 m/s)。
【例2】　(多选)已知地球质量为m 地，半径为R，自转周期为T，地球同步
卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是(　　)
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A．卫星距地面的高度为
3 Gm地T2
4π2
B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C．卫星运行时受到的向心力大小为Gm地m
R2
D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
BD　[由G m地m
R＋h2＝m(R＋h)(
2π
T
)
2
 得卫星距地面的高度为
3 Gm地T2
4π2
－R，选
项A 错误；第一宇宙速度是最小的发射卫星的速度，是卫星最大的环绕速度，选
项B 正确；同步卫星距地面有一定的高度h，受到的向心力大小为G m地m
R＋h2，选
项C 错误；由G m地m
R＋h2＝ma 得卫星运行的向心加速度为a＝Gm地
R＋h2，由Gm地m
R2 ＝
mg 得地球表面的重力加速度为g＝Gm地
R2 ，选项D 正确。]
解决同步卫星问题的技巧
1．同步卫星与一般的卫星遵循同样的规律，所以解决一般卫星问题的思路、
公式均可运用在同步卫星问题的解答中。
2．同步卫星同时又具备自身的特殊性，即有确定的周期、角速度、加速度、
线速度、高度、轨道半径、轨道平面。
载人航天与太空探索
如图，2018 年2 月2 日，我国成功将电磁监测试验卫星“张 衡一号”发射升
空，标志着我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家
之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期。
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(1)为什么发射速度越大，运行速度反而更小呢？是否违背了能量守恒定律？
(2)发射人造卫星时，实际上是火箭把人造卫星送入轨道的，那么发射速度又
该怎样理解呢？
提示：(1)发射速度越大，把卫星送到的轨道高度越高，即运行轨道半径越大，
由GMm
r2 ＝m v2
r
得v＝
GM
r
，r 越大v 越小；不违背能量守恒。
(2)发射高轨道卫星时，一般先利用火箭将卫星发射到近地轨道运行，然后在
空中点火加速，卫星进入转移轨道，到达需要的高度(轨道)，再次利用空中点火加
速，当引力和向心力相等时，人造卫星稳定在高轨道运行。
1．宇宙飞船的发射
(1)发射人造卫星或宇宙飞船应选择靠近赤道处来建较高的发射塔，而且发射
时发射的方向都是向东发射。这是什么原因呢？因为这样可节省火箭燃料。地球
自西向东自转，随地球纬度变化，各处自转的线速度也不同。在赤道处，地球自
转的线速度最大，自转的线速度大小随纬度的增大而减小，在南北两极速度为零。
顺着地球自转方向，在赤道附近向东发射倾角为零的卫星，这时就可以充分利用
发射的卫星随地球自转的惯性，宛如“顺水推舟”，节省能量。
(2)发射人造卫星(或飞船)进入轨道运行，近地环绕的圆轨道上的卫星(或飞船)
的最大环绕速度v＝
GM
R
＝7.9 km/s，若卫星(或飞船)的运行轨道为椭圆轨道，则
近地速度为7.9 km/s<v<11.2 km/s。因而最小的发射速度v 发＝v＝
GM
R
＝7.9 km/s，
发射的卫星(或飞船)距地面越高，环绕速度虽然较小，但需克服引力做功更多，因
此，火箭所需燃烧的燃料就会更多，说明卫星(或飞船)距地面越高，所具有的机械
能也就越大。(功和机械能概念第八章学习)
2．卫星轨道变化分析
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发射同步卫星及比较远的卫星一般不采用普通卫星的直接发射方法，而是采
用变轨道发射。如图所示，首先，利用第一级火箭将卫星送到180～200 km 的高
空，然后依靠惯性进入停泊轨道1。当到达赤道上空时，第二、三级火箭点火，卫
星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道2，且轨道远地点P 的高度为35 800 km。
当到达远地点时，卫星启动发动机，然后改变运行方向进入同步轨道3。
这种发射方法有两个特点：一是对火箭推力要求较低；二是发射场地在赤道
上最好。
【例3】　(多选)如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭
圆轨道Ⅰ，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则(　　)
A．该卫星的发射速度必定大于11.2 km/s
B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s
C．在椭圆轨道上，卫星在P 点的速度大于在Q 点的速度
D．卫星在Q 点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
CD　[11.2 km/s 是卫星脱离地球引力束缚的发射速度，而同步卫星仍然绕地球
运动，故选项A 错误；7.9 km/s(第一宇宙速度)是近地卫星的环绕速度，也是卫星
做圆周运动最大的环绕速度，同步卫星运动的线速度一定小于第一宇宙速度，故
选项B 错误；椭圆轨道Ⅰ上，P 是近地点，故卫星在P 点的速度大于在Q 点的速
度，卫星在轨道Ⅰ上的Q 点做向心运动，只有加速后才能沿轨道Ⅱ运动，故选项
C、D 正确。]
(1)卫星变轨时，①内轨道→外轨道，在两轨道交接点加速；②外轨道→内轨
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道，在两轨道交接点减速；③变轨前后，卫星在两轨道交接点的加速度相同，a＝
F
m
，与轨道无关。
(2)稳定轨道：
卫星在圆轨道上由低轨道运动至高轨道，线速度v 将减小，角速度ω 将减小，
周期T 将增大，向心加速度a 将减小。
卫星在椭圆轨道上由近地点运动至远地点，线速度v 将减小，加速度a 也将
减小。
7.5 相对论时空观与牛顿力学的局限性
一、相对论时空观
1．爱因斯坦假设
(1)在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的。
(2)真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的。
2．时间和空间的相对性
(1)时间延缓效应
如果相对于地面以v 运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完
成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔
为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝
Δτ
1－(
v
c
)
2
 
。
由于物体的速度不可能达到光速，所以1－(
v
c
)
2
 ＜1，总有Δt>Δτ，此种情
况称为时间延缓效应。
(2)长度收缩效应
如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v 相对杆运动的人测
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得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝l0
1－(
v
c
)
2
 。
由于1－(
v
c
)
2
 <1，所以总有l<l0，此种情况称为长度收缩效应。
3．相对论时空观
Δt＝
Δτ
1－(
v
c
)
2
 
和l＝l0
1－(
v
c
)
2
 表明运动物体的长度(空间距离)和物理
过程的快慢(时间进程)都跟物体的运动状态有关。它所反映的时空观称作相对论时
空观。
二、牛顿力学的成就与局限性
1．牛顿力学的成就：从地面上物体的运动到天体的运动，都服从牛顿力学的
规律。
2．牛顿力学的局限性：
(1)微观世界：电子、质子、中子等微观粒子，它们不仅具有粒子性，同时还
具有波动性，它们的运动规律在很多情况下不能用牛顿力学来说明。
(2)牛顿力学只适用于低速运动，不适用于高速运动。
相对论时空观的理解
(教师用书独具)　教材第67 页“思考与讨论”答案提示：以μ 子为参考系，μ
子的平均寿命为3.0 μs。
以地面为参考系，μ 子的平均寿命为21.3 μs。
如图所示，静止在地球上的人测得地月之间的距离为l0，坐在从地球高速飞往
月球的飞船里的宇航员测得地月之间的距离仍为l0 吗？
提示：不是，宇航员测得的地月之间的距离小于l0。
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1．狭义相对论的两个假设
在经典力学中，v 船岸＝v 船水＋v 水岸成立，但在两个不同参考系中，爱因斯坦
认为该式不成立。1905 年，爱因斯坦提出了两条基本假设(狭义相对论的基础)。
(1)相对性原理
物理规律在一切惯性参考系中都具有相同的形式。
(2)光速不变原理
在一切惯性参考系中，测得的真空中的光速c 都相同。
例如：在粒子对撞机中，有一个电子经过加速器加速后，速度可达到光速的
1
2
。此时由于电子的速度接近光速，所以质量变化明显，根据爱因斯坦狭义相对论
中运动质量与静止质量的关系得
m＝
m0
1－v2
c2
＝
m0
1－1
4
＝m0
3
4
＝2m0
3
≈1.155m0。
2．爱因斯坦假设中的主要效应
(1)时间延缓效应：运动时钟会变慢，即Δt＝
Δτ
1－v2
c2
。
(2)长度收缩效应：运动长度l 会收缩，即l＝l0
1－
v2
c2。
【例1】　地面上长100 km 的铁路上空有一火箭沿铁路方向以30 km/s 的速
度掠过，则火箭上的人看到铁路的长度应该为多少？如果火箭的速度达到0.6c，
则火箭上的人看到的铁路的长度又是多少？
[解析]　当火箭速度较低时，长度基本不变，还是100 km。
当火箭的速度达到0.6c 时，由相对论长度公式
l＝l0 
1－(
v
c
)
2
 
代入相应的数据解得l＝100×
1－0.62 km＝80 km。
[答案]　100 km　80 km
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由公式l＝l0 1－(v
c
)
2
 知，相对于地面以速度v 运动的物体，从地面上看，
沿着运动方向上的长度变短了，速度越大，变短得越多。,两种情况：
1在垂直于运动方向不发生长度收缩效应现象。
2我们平常观察不到这种长度收缩效应，是因为我们生活在比光速低得多的
低速世界里，长度收缩效应极不明显，即使运动物体的速度达到v＝30 000 km/s
即0.1c，长度收缩效应也只不过是5%，因此，在低速运动中，v≪c，l≈l0，长度
收缩效应可忽略不计。
　牛顿力学的局限性
粒子对撞机可以把质子加速到接近于光速，如图所示。经典力学是否适用于
质子的运动规律？如何研究质子的运动规律？
提示：不适用。经典力学只适用于宏观低速运动，描述微观高速粒子的运动
要用到量子力学。
经典力学与相对论、量子力学的比较
(1)区别
①经典力学适用于低速运动的物体；相对论是爱因斯坦假设阐述物体在以接
近光速运动时所遵循的规律。
②经典力学适用于宏观世界；量子力学能够正确描述微观粒子的运动规律。
(2)联系
①当物体的运动速度远小于光速时，相对论物理学与经典物理学的结论没有
区别。
②当另一个重要常量即“普朗克常量”可以忽略不计时，量子力学和经典力
学的结论没有区别。
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③相对论和量子力学并没有否定经典力学，经典力学是二者在一定条件下的
特殊情形。
【例2】　关于经典力学、爱因斯坦假设和量子力学，下列说法中正确的是
(　　)
A．爱因斯坦假设和经典力学是相互对立、互不相容的两种理论
B．经典力学包含于相对论之中，经典力学是相对论的特例
C．经典力学只适用于宏观物体的运动，量子力学只适用于微观粒子的运动
D．不论是宏观物体，还是微观粒子，经典力学和量子力学都是适用的
B　[相对论没有否定经典力学，经典力学是相对论在一定条件下的特殊情形，
选项A 错误，B 正确；经典力学适用于宏观、低速、弱引力的领域，选项C、D
错误。]
第八章 机械能守恒定律
8.1 功与功率
一、功
1．内容：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的
余弦这三者的乘积。
2．公式：W＝Flcos α。
3．功是标量(选填“标量”或“矢量”)。
4．功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。
5．功的单位物理意义：1 J 等于1 N 的力使物体在力的方向上发生1 m 位移的
过程中所做的功，即1 J＝1 N×1 m＝1 N·m。
二、正功和负功
1．正功和负功
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α 的取值
W 的取值
含义
α＝π
2
W＝0
力F 不做功
0≤α＜π
2
W＞0
力F 对物体做正功
π
2
＜α≤π
W＜0
力F 对物体做负功
说明：力F 对物体做负功，也可以表述为物体克服力F 做功，这两种说法的
意义是等同的。例如，可以说摩擦力做了－3 J 的功，也可以说物体克服摩擦力做
了3 J 的功。
2．总功
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的
总功，是各个力分别对物体所做功的代数和，即
W 总＝W1＋W2＋W3＋…＋Wn。
三、功率
1．定义
力对物体所做的功W 与完成这些功所用时间t 的比值。
2．定义式
P＝W
t
。
3．单位
在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，用符号W 表示。
说明：在工程技术上常用的单位是千瓦kW，1 kW＝103 W。
4．意义
功率是标量，它是表示物体做功快慢的物理量。
5．功率与速度
(1)关系：当一个力与运动方向在同一直线上时，这个力对物体做功的功率等
于这个力与物体速度的乘积。
(2)关系式：P＝Fv。
①若v 是物体的平均速度，则P＝Fv 为对应时间t 内的平均功率。
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②若v 是瞬时速度，则P 表示该时刻的瞬时功率。
(3)应用：从P＝Fv 可以看出，汽车、火车等交通工具，当发动机的功率P 一
定时，牵引力F 与速度成反比，要增大牵引力，就要减小速度。
对功的理解
如图所示，马拉着小车(包括人)沿水平面匀速前进了一段距离。
(1)小车(包括人)受到几个力作用？每个力对小车做功吗？做正功还是负功？
(2)马对小车做的功是否等于马的拉力F(设F 与水平方向的夹角为α)和小车
的位移l 的乘积？
(3)若小车做匀加速运动，合力做什么功？若小车做匀减速运动，合力做什么
功？怎样求合力的功？
提示：(1)小车(包括人)受4 个力作用：重力、支持力、拉力、摩擦力，其中拉
力做正功，摩擦力做负功，重力和支持力不做功。
(2)不等于。因为W＝Flcos α。
(3)若小车做匀加速运动，合力做正功。若小车做匀减速运动，合力做负功。
合力的功等于拉力F 做的功与摩擦力做的功的代数和，或者等于拉力和摩擦力的
合力做的功。
1．公式F＝Flcos α 的理解与应用
(1)在使用公式W＝Flcos α 计算功时，公式中各量W、F、l 都要取国际单位制
单位。
(2)功是一个标量，只有大小没有方向，因此合外力做的功等于各个力做功的
代数和，或者等于合力所做的功。
(3)公式W＝Flcos α 只适用于计算大小和方向均不变的恒力做的功，不适用于
计算变力做的功。式中的l 是力的作用点的位移，α 是力F 的方向与位移l 的方向
的夹角。
(4)公式W＝Flcos α，可以理解为力乘以在力的方向上的位移，即W＝F(lcos α)；
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也可以理解为位移乘以在位移方向上的分力，即W＝(Fcos α)l。
(5)力F 对物体所做的功W，只与F、l、α 三者有关，与物体的质量、运动状
态、运动形式及是否受其他力等因素均无关。
(6)因为功是过程量，反映力在空间位移上的累积效果，对应一段位移或一段
过程，所以用公式W＝Flcos α 求力做的功时，一定要明确是哪个力在哪一段位移
上(或在哪一个过程中)所做的功。
2．总功的计算
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，计算这几个力对物体所
做的总功，通常有以下两种方法。
(1)这几个力对物体所做的总功等于各个力分别对物体所做功的代数和。若以
W1、W2、W3…分别表示力F1、F2、F3…所做的功，则这些力所做的总功为W 总＝
W1＋W2＋W3…(负功连同负号一起代入计算)。
(2)这几个力对物体所做的总功等于这几个力的合力对物体所做的功。若以F
合表示这几个力的合力，则这些力所做的总功为W 总＝F 合lcos α。
【例1】　水平路面上有一辆汽车向左运动，车厢内有一个固定斜面，一个人
坐在斜面上，车与人始终相对静止。下列说法正确的是(　　)
A．汽车匀速行驶时，斜面对人的支持力不做功
B．汽车减速行驶时，斜面对人的支持力做负功
C．汽车减速行驶时，斜面对人的摩擦力一定做负功
D．汽车加速行驶时，斜面对人的摩擦力一定做正功
C　[人受重力、垂直斜面向上的支持力、摩擦力三个力的作用，无论车做加
速、匀速、减速运动，支持力与速度方向的夹角均小于90°，即支持力均做正功，
故A、B 错误；当车匀速运动时，人受到的合外力等于0，即人受的支持力与摩擦
力的合力与人的重力等大反向，则当车向左做减速运动时，支持力与摩擦力的合
力向右上方，才可使人的合力水平向右，则可知摩擦力在水平方向的分力一定大
于支持力在水平方向的分力，故摩擦力与速度的夹角一定大于90°，即摩擦力做负
功，故C 正确；同理，当车向左做加速运动时，支持力与摩擦力的合力向左上方，
才可使人的合力水平向左，则可知摩擦力有三种情况，第1 种情况摩擦力沿斜面
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向上，在水平方向的分力一定小于支持力在水平方向的分力，摩擦力做负功，第2
种情况摩擦力为零，摩擦力不做功，第3 种情况沿斜面向下，摩擦力做正功，故D
错误。]
判断力做正、负功的方法
(1)根据力F 和物体位移l 方向的夹角α 判断——常用于恒力做功的情形。
(2)根据力与物体瞬时速度方向的夹角θ 判断——常用于曲线运动的情形。
如图所示：
①若夹角θ 是锐角，力做正功。
②若夹角θ 是钝角，力做负功。
③若夹角θ 是直角，力不做功。
1．(多选)在【例1】情境中，若车厢内的斜面改为水平面，人坐在水平面上，
车与人始终相对静止。则下列说法正确的是(　　)
A．汽车匀速行驶时，水平面对人的支持力不做功
B．汽车减速行驶时，水平面对人的支持力做负功
C．汽车减速行驶时，水平面对人的摩擦力一定做负功
D．汽车加速行驶时，水平面对人的摩擦力一定做正功
ACD　[当车匀速行驶时，人受重力、垂直水平面向上的支持力两个力的作用，
无论车做加速、匀速、减速运动，支持力与速度方向的夹角均等于90°，即支持力
均不做功，A 正确，B 错误；当车减速行驶时，人受重力、垂直水平面向上的支持
力和水平向右的摩擦力三个力的作用，即人受的摩擦力的方向与速度方向相反，
摩擦力做负功，C 正确；当车加速行驶时，人受到水平面的摩擦力水平向左，与速
度方向相同，摩擦力做正功，D 正确。]
2．(多选)【例1】中的人下车后进入电梯上楼，已知从1 楼到20 楼的过程中
经历了先加速、后匀速、再减速的运动过程，则电梯对人的支持力的做功情况是
(　　)
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A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功
B．加速时做正功，匀速和减速时做负功
C．加速和匀速时做正功，减速时做负功
D．始终做正功
D　[在加速、匀速、减速的过程中，支持力与人的位移方向始终相同，所以
支持力始终对人做正功，故D 正确。]
功率的理解与运用
教材第77 页“思考与讨论”答案提示：P＝Fv，P 一定时，适当减小v 可增
大牵引力F。
如图所示某部队正用吊车将一台坦克车从码头上吊起装上舰船。
(1)将质量为m 的坦克车以速度v 匀速吊起，坦克车在t 时间内匀速上升h 高
度。怎样计算吊车的功率？其瞬时功率是多少？
(2)若坦克车在相同的时间t 内，从静止开始以加速度a 匀加速上升高度h 时，
该过程中吊车的平均功率是多少？其瞬时功率是多少？
提示：(1)吊车对坦克车做的功W＝mgh。功率P＝W
t
＝mgh
t
；P 瞬＝Fv＝mgv。
(2)该过程中吊车的平均功率为P＝W
t
＝Fh
t
＝ma＋gh
t
。
其瞬时功率为P 瞬＝Fv＝(mg＋ma)at。
1．公式P＝W
t
和P＝Fv 的比较
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定义式P＝W
t
计算式P＝Fv
适用
条件
适用于任何情况下功率
的计算
适用于F 与v 同向的情况
应用
求某个过程中的平均功
率。当时间t→0 时，可由
定义式求瞬时功率
若v 表示物体在时间t 内的平均速度，则功
率P 表示力F 在时间t 内的平均功率；若v
表示物体在某一时刻的瞬时速度，则功率P
表示力F 在该时刻的瞬时功率
公式
理解
功率可以用P＝W
t
来表示，
但功率并不由W、t 决定
P 一定时，F 与v 成反比；v 一定时，F 与P
成正比；F 一定时，v 与P 成正比
2．功率的计算：
(1)平均功率的计算：
①利用P＝W
t
。
②利用P＝F v－
 cos α，其中v－
 为物体运动的平均速度。
(2)瞬时功率的计算：
①利用公式P＝Fvcos α，其中v 为瞬时速度。
②利用公式P＝FvF，其中vF 为物体的速度在力F 方向上的分速度。
③利用公式P＝Fvv，其中Fv 为物体受的外力在速度v 方向上的分力。
【例2】　如图所示，质量为m＝2 kg 的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开
始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，
g 取10 m/s2，求：
(1)前2 s 内重力的平均功率；
(2)2 s 末重力的瞬时功率。
[解析]　(1)木块沿斜面下滑时，对木块受力分析。由牛顿第二定律可得mgsin 
θ－μmgcos θ＝ma
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解得a＝2 m/s2
由位移公式l＝1
2
at2＝1
2
×2×22 m＝4 m
重力在前2 s 内做的功为
W＝mglsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s 内的平均功率为P＝W
t
＝48
2
 W＝24 W。
(2)木块在2 s 末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s 末重力的瞬时功率
P＝mgvcos(90°－θ)＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W。
[答案]　(1)24 W　(2)48 W
计算功率应该注意的问题
(1)首先应该明确所求的功率是平均功率还是瞬时功率，计算平均功率与瞬时
功率选择的公式不同。
(2)求平均功率时，应明确是哪一段时间内的平均功率；求瞬时功率时，应明
确是哪一时刻的瞬时功率。
(3)应该明确是哪一个力对物体做功的功率，是动力还是阻力，是恒力还是变
力等。不同情况应选择不同的公式。
机车启动的两种方式
汽车的启动方式有两种：1.以恒定的功率启动；2.以恒定的加速度启动。
(1)用公式P＝Fv 研究汽车启动问题时，力F 是什么力？
(2)以恒定功率启动时，汽车的加速度变化吗？做什么运动？
(3)汽车匀加速启动的过程能否一直持续下去？
提示：(1)F 是汽车的牵引力。
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(2)汽车以恒定功率启动，根据P＝Fv，v 增大，F 减小，加速度减小，故加速
度变化，汽车做变加速运动。
(3)不能。汽车匀加速启动，F 不变，v 增大，P 增大。
当P＝P 额时，匀加速运动结束。
1．机车两种启动方式的过程分析
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P­t 图
v­t 图
和F­t 图
过程
分析
v↑⇒F＝P额不变
v
↓⇒a＝
F－F阻
m
↓
a＝F－F阻
m
不变⇒F 不变⇒
v↑
 P
＝Fv↑
直到P 额＝Fv1
OA
段
运动
性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动、维持时间t0
＝v1
a
　
过程
分析
F＝F 阻⇒a＝0⇒F 阻＝P额
vm
v↑⇒F＝P额
v
↓
⇒a＝F－F阻
m
↓
AB
段
运动
性质
以vm 做匀速直线运动
加速度减小的加速直线运动
BC 段
F＝F 阻⇒a＝0⇒F 阻＝P额
vm，以
vm 做匀速直线运动
2．汽车启动问题中几个物理量的求法
(1)汽车的最大速度vmax 的求法
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汽车做匀速运动时速度最大，此时牵引力F 等于阻力Ff，故vmax＝P额
F
＝P额
Ff 。
(2)匀加速启动时，做匀加速运动的时间t 的求法
牵引力F＝ma＋Ff，匀加速运动的最大速度v′max＝
P额
ma＋Ff，时间t＝v′max
a
。
(3)瞬时加速度a 的求法
根据F＝P
v
求出牵引力，则加速度a＝F－Ff
m
。
【例3】　在平直路面上运动的汽车的额定功率为60 kW，若其总质量为5 t，
在水平路面上所受的阻力为5×103 N。
(1)求汽车所能达到的最大速度；
(2)若汽车以0.5 m/s2 的加速度由静止开始做匀加速运动，则这一过程能维持多
长时间？
(3)若汽车以额定功率启动，则汽车车速v′＝2 m/s 时其加速度为多大？
[思路点拨]　①汽车速度达到最大的条件是a＝0，即F＝Ff。
②汽车以恒定加速度a 匀加速运动的“收尾”条件是：P＝P 额，此时的速度
为匀加速运动的最大速度。
③汽车速度为v′时牵引力F＝P
v′
。
[解析]　(1)当汽车速度达到最大时，牵引力F＝Ff，
则由P＝Fv 得汽车所能达到的最大速度
vmax＝P
Ff＝60 × 103
5 × 103 m/s＝12 m/s。
①
(2)汽车以恒定的加速度a 做匀加速运动，能够达到的最大速度为v，则有P
v
－
Ff＝ma
②
得v＝
P
Ff＋ma
＝
60 × 103
5 × 103＋5 × 103 × 0.5
 m/s＝8 m/s
③
由v＝at 得这一过程维持的时间t＝v
a
＝8
0.5
 s＝16 s。
(3)当汽车以额定功率启动达到2 m/s 的速度时，牵引力
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F′＝P
v′
＝60 × 103
2
 N＝3×104 N，
由牛顿第二定律得汽车的加速度
a＝F′－Ff
m
＝3 × 104－5 × 103
5 × 103
 m/s2＝5 m/s2。
[答案]　(1)12 m/s　(2)16 s　(3)5 m/s2
机车启动动态分析思路
分析机车启动全过程必须抓住三点
(1)正确分析其物理过程。
(2)抓住两个基本公式：功率公式P＝Fv，P 是机车的功率，F 是机车的牵引力，
v 是机车的速度；当机车匀速运动时F＝Ff，当机车匀变速运动时，由牛顿第二定
律，得F－Ff＝ma。
(3)正确分析公式中各个物理量在各个过程中的变化情况。
8.2 重力势能
一、重力做的功
1．重力做功公式WG＝mgΔh 的推导
(1)设一个质量为m 的物体，从与地面高度是h1 的位置A 竖直向下运动到高度
是h2 的位置B(图甲)。这个过程中重力所做的功是WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2。
(2)质量为m 的物体，从与地面高度是h1 的位置A 沿着一个斜面向下运动到高
度是h2 的位置B′，再水平运动到B(图乙)。物体沿斜面运动的距离为l，则这个过
程中重力做的功是WG＝(mgcos θ)l＝mgΔh＝mgh1－mgh2。
甲　　　　　　　　　乙
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斜面是否光滑对计算重力做功没有影响。
2．结论：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而
跟物体运动的路径无关。
二、重力势能
1．意义：mgh 的特殊意义在于一方面与重力做的功密切相关，另一方面它随
着高度的增加而增加、随着质量的增加而增加，我们把mgh 叫作重力势能。
2．表达式：Ep＝mgh。
3．重力势能是标量(选填“矢量”或“标量”)。
4．单位：焦耳，符号J。
1 J＝1 kg·m·s－2·m＝1 N·m
5．重力做功与重力势能的关系：
(1)WG＝Ep1－Ep2(其中Ep1 表示物体在初位置的重力势能，Ep2 表示物体在末位
置的重力势能)。
(2)两种情况：
①物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，即WG＞0，Ep1＞
Ep2。
②物体由低处运动到高处时，重力做负功，重力势能增加，即WG＜0，Ep1＜
Ep2。
三、重力势能的相对性：
1．参考平面：物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，在参考平面上，
物体的重力势能取作0。
2．相对性：选择不同的参考平面，物体重力势能的数值不同(选填“相同”或
“不同”)。
3．正负的含义：参考平面上方物体的重力势能是正值，参考平面下方物体的
重力势能是负值。
四、弹性势能
1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具
有势能，这种势能叫作弹性势能。
2．弹簧的弹性势能：弹簧的长度为原长时，弹性势能为零；弹簧被压缩或被
拉长时，就具有了弹性势能。
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3．弹力做功与弹性势能的变化：
弹簧弹力做正功，弹簧的弹性势能减小；弹簧弹力做负功，弹簧的弹性势能
增大。
4．弹性势能大小的相关因素：
(1)弹簧的劲度系数。
(2)弹簧的形变量。
重力做功的特点
设一个质量为m 的物体，从与地面高度是h1 的位置A 沿曲面向下运动到高度
是h2 的位置B(如图)。
如何计算这个过程中重力做的功？
提示：微元法
我们可以把整个路径分成许多很短的间隔，每一个间隔都相当于一个小斜面。
设每个小斜面的高度差是Δh1、Δh2、Δh3…，
则物体通过每个小斜面时重力做的功分别是mgΔh1、mgΔh2、mgΔh3…。
物体通过整个路径时重力做的功，等于重力在每个小斜面上所做的功的代数
和，即
WG＝mgΔh1＋mgΔh2＋mgΔh3…＝mgΔh＝mgh1－mgh2。
1．做功表达式：WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2，式中Δh 指初位置与末位置的高
度差；h1、h2 分别指初位置、末位置的高度。
2．做功的正负：物体下降时重力做正功；物体被举高时重力做负功。
3．做功的大小：重力对物体做功的大小只跟物体的起点与终点的高度有关，
与物体运动的路径无关。
[特别提示]　恒力做功均与路径无关
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重力做功的特点可以推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点是与具体路径
无关，只跟始、末位置有关，恒力做功等于恒力与沿着恒力方向的位移的乘积。
【例1】　如图所示，质量关系为m1＞m2＞m3 的三个小球分别沿三条不同的
轨道1、2、3 由离地高h 的A 点滑到同一水平面上，轨道1、3 光滑，轨道2 粗糙，
重力对小球做的功分别为W1、W2、W3，则下列判断正确的是(　　)
A．W1＞W2＝W3　　　
B．W1＝W3＞W2
C．W1＝W2＝W3
D．W1＞W2＞W3
D　[重力做功只与物体重力和初、末位置的高度差有关，由于三个小球下滑
的高度差均为h，质量关系为m1＞m2＞m3，故W1＞W2＞W3，D 正确。]
请根据重力做功的性质，将【例1】情境改为如图所示情况，质量为m 的小
球从高为h 处的斜面上的A 点滚下，经过水平面BC 后，再滚上另一斜面，当它到
达高h
4
的D 点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为(　　)
A．3mgh
4
  B．mgh
4
  C．mgh  D．0
A　[AD 间的高度差为Δh＝h－1
4
h＝3
4
h，则重力做功为W＝mgΔh＝3
4
mgh，故
A 正确，B、C、D 错误。]
对重力势能的理解
教材P81“思考与讨论”答案提示：不能。因为如果重力做的功与路径有关，
物体从同样的起点沿不同的路径运动到同样的终点，重力做的功不同，不一定等
于mgh，则物体在终点位置具有的能量不同，所以就不能把mgh 叫作物体的重力
势能了。
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如图所示，幼儿园小朋友们正在玩滑梯：
(1)在最高点(高度为h)和地面的重力势能各是多少？
(2)下滑过程中重力做多少功？重力势能如何变化？(选地面为参考面)   
提示：(1)最高点与最低点的重力势能分别为mgh,0。
(2)重力做功W＝mgh。重力势能减小了mgh。
1．对重力势能的理解
(1)系统性：重力势能是物体和地球所组成的系统共同具有的能量，不是地球
上的物体单独具有的。
(2)相对性：重力势能Ep＝mgh 与参考平面的选择有关，式中的h 是物体重心
到参考平面的高度。重力势能是标量，只有大小而无方向，但有正负之分。当物
体在参考平面上方时，Ep 为正值；当物体在参考平面下方时，Ep 为负值。注意物
体重力势能的正负是表示比零势能大，还是比零势能小。
(3)参考平面选择的任意性：视处理问题的方便而定，一般选择地面或物体运
动时所达到的最低点为零势能面。
(4)重力势能变化的绝对性：物体从一个位置运动到另一个位置的过程中，重
力势能的变化与参考平面的选取及过程无关，它的变化量是绝对的。
[特别提示]　重力势能的计算公式Ep＝mgh，只适用于地球表面及其附近g 值
不变时的范围，若g 值变化时，不能用其计算。
2．重力做功与重力势能改变的关系：
(1)表达式WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
(2)重力做多少正功，重力势能减小多少；克服重力做多少功，重力势能增加
多少。
【例2】　如图所示，质量为m 的小球，从离桌面H 高处由静止下落，桌面
离地高度为h。若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重
力势能的变化分别是(　　)
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A．mgh，减少mg(H－h)
B．mgh，增加mg(H＋h)
C．－mgh，增加mg(H－h)
D．－mgh，减少mg(H＋h)
D　[以桌面为参考平面，落地时小球的重力势能为－mgh，初状态重力势能为
mgH，即重力势能的变化ΔEp＝－mgh－mgH＝－mg(H＋h)，所以重力势能减少了
mg(H＋h)，D 正确。]
　
上例中，若选地面为参考平面，结果如何？
提示：落地时重力势能为0，重力势能的变化为减少mg(H＋h)。
1计算物体的重力势能，必须首先选定零势能面。
2零势能面以下的重力势能均为负值，“＋”“－”号代表重力势能的大小，
因此，比较大小时，一定要带着“＋”“－”号进行比较。
对弹性势能的理解
如图所示，某人正在用拉力器锻炼臂力。
(1)人不用力时，弹簧不伸长，此时弹簧有弹性势能吗？
(2)人拉弹簧时对弹簧做什么功？弹簧的弹性势能怎么变化？
(3)在弹簧弹性限度内，人将弹簧拉得越长，克服弹力做功越多吗？弹性势能
越大吗？
(4)拉力器有2 条弹簧和有4 条弹簧，拉伸相同长度，用力一样吗？克服弹力
做功相同吗？
提示：(1)弹簧不伸长，没有弹性势能。
(2)人对弹簧做正功，弹性势能增加。
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(3)将弹簧拉得越长，克服弹力做功越多，弹性势能越大。
(4)用力不一样，克服弹力做功也不相同。
1．弹性势能的产生原因Error!
2．弹性势能的影响因素Error!
3．弹性势能与弹力做功的关系
如图所示，O 为弹簧的原长处。
(1)弹力做负功时：如物体由O 向A 运动(压缩)或者由O 向A′运动(伸长)时，
弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。 
(2)弹力做正功时：如物体由A 向O 运动，或者由A′向O 运动时，弹性势能减
小，弹性势能转化为其他形式的能。
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系为W 弹＝－ΔEp。
【例3】　(多选)如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平地面上，t＝0
时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩
弹簧到最低点，然后又被弹簧弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反
复。通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F 随时间t 变化的
图像如图乙所示，则(　　)
　　　　　     
　甲　　　　　　　　　　乙
A．t2 时刻弹簧的弹性势能最大
B．t3 时刻弹簧的弹性势能最大
C．t1～t3 这段时间内，弹簧的弹性势能先减少后增加
D．t1～t3 这段时间内，弹簧的弹性势能先增加后减少
AD　[由胡克定律可知，弹簧弹力与弹簧形变量成正比，而形变量越大，弹簧
的弹性势能越大，故弹簧弹力越大，弹簧弹性势能越大，由题图乙可知，t2 时刻弹
簧的弹力最大，弹性势能最大，故A 正确，B 错误；t1～t3 这段时间内，弹簧的弹
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力先增大后减小，则弹性势能先增加后减少，故C 错误，D 正确。]
8.3 动能和动能定理
一、动能的表达式
1．定义
物体由于运动而具有的能量叫动能，用符号Ek 表示。
2．表达式
Ek＝1
2
mv2。
3．单位
与功的单位相同，国际单位为焦耳。
1 kg(m/s)2＝1 N·m＝1 J。
4．动能是标量(选填“矢量”或“标量”)，只有大小没有方向。
二、动能定理
1．动能定理的内容
力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
2．动能定理的表达式
(1)W＝1
2
mv2－1
2
mv21。
(2)W＝Ek2－Ek1。
说明：式中W 为合外力做的功，它等于各力做功的代数和。
说明：力对物体做的功是指物体所受的一切外力合外力对它做的功。
3．动能定理的适用范围
不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动情况。
动能的理解
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教材第85 页“思考与讨论”答案提示：Ek＝1
2
mv2＝1
2
×631×(7.6×103)2J＝
1.82×1010J。
如图，A 球质量大于B 球质量，球从斜面上滚下，静止在地面上的纸盒被碰
后，滑行一段距离停下来。你认为物体的动能可能与哪些因素有关？
甲　　　　　乙　　　　　丙
提示：物体的动能与物体的质量和速度有关。
1．对动能概念的理解
(1)动能是状态量，动能公式中的速度v 是瞬时速度。
(2)动能是标量，且动能恒为正值。
(3)动能也具有相对性，同一物体，对不同的参考系物体的速度有不同值，因
而动能也有不同值。计算动能时一般都是以地面为参考系。
2．动能的变化量
末状态的动能与初状态的动能之差，即
ΔEk＝1
2
mv2－1
2
mv21。
动能的变化量是过程量，ΔEk＞0，表示物体的动能增加；ΔEk＜0，表示物体
的动能减少。
【例1】　关于物体的动能，下列说法正确的是(　　)
A．物体速度变化，其动能一定变化
B．物体所受的合外力不为零，其动能一定变化
C．物体的动能变化，其运动状态一定发生改变
D．物体的速度变化越大，其动能变化一定也越大
C　[选项A 中若物体速度的方向变化而大小不变，则其动能不变化，故选项A
错误；选项B 中物体所受合外力不为零，只要速度大小不变，其动能就不变化，
如匀速圆周运动中，物体所受合外力不为零，但速度大小始终不变，动能不变，
故选项B 错误；选项C 中，物体动能变化，其速度一定发生变化，故运动状态改
变，故选项C 正确；选项D 中，物体速度变化若仅由方向变化引起，其动能可能
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不变，如匀速圆周运动中，速度变化，但动能始终不变，故选项D 错误。]
动能与物体速度大小有关，与物体速度方向无关，而物体速度变化既可能是
大小变化，也可能是方向变化。动能与物体的受力情况无关，仅由质量与速度大
小决定。
动能定理的理解
如图所示，一辆汽车正在上坡路上加速行驶。
(1)汽车上坡过程受哪些力作用？各个力做什么功？
(2)汽车的动能怎样变化？其动能的变化与各个力做功有什么关系？
提示：(1)汽车受重力、支持力、牵引力及路面的阻力作用，上坡过程中牵引
力做正功，重力、阻力做负功，支持力不做功。
(2)由于汽车加速上坡，其动能增大，汽车动能的变化等于重力、牵引力及路
面的阻力三个力做功的代数和。
1．对动能定理的理解
(1)表达式W＝ΔEk 中的W 为外力对物体做的总功。
(2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。
①等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。
②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质
上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量。
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2．对动能定理的几点说明
(1)动能定理的表达式是一个标量式，不能在某方向上应用动能定理，动能没
有负值，但动能的变化ΔEk 有正负之分。
(2)一些变力做功，不能用W＝Flcos θ 求解，应当善于运用动能定理。若整个
过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以考虑分段计算，又可以对整个过
程分析。只要求出过程中各力做功的多少和正负即可用动能定理求解。
(3)应用动能定理涉及“一个过程”和“两个状态”。所谓“一个过程”是指做
功过程，应明确该过程合力所做的总功；“两个状态”是指初、末两个状态物体
的动能。
【例2】　 (多选)如图所示，质量为m 的小车在水平恒力F 的推动下，从山
坡(粗糙)底部A 处由静止开始运动至高为h 的坡顶B 处，获得的速度为v，A、B
之间的水平距离为x，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A．小车克服重力所做的功是mgh
B．合力对小车做的功是1
2
mv2
C．推力对小车做的功是1
2
mv2＋mgh
D．阻力对小车做的功是1
2
mv2＋mgh－Fx
ABD　[小车克服重力所做的功W＝mgh，A 正确；由动能定理可知，小车受
到的合力所做的功等于小车动能的变化量，即W 合＝ΔEk＝1
2
mv2，B 正确；由动能
定理可知，W 合＝W 推＋W 重＋W 阻＝1
2
mv2，所以推力对小车做的功W 推＝1
2
mv2－W
阻－W 重＝1
2
mv2＋mgh－W 阻，C 错误；阻力对小车做的功W 阻＝1
2
mv2－W 推－W 重＝
1
2
mv2＋mgh－Fx，D 正确。]
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合力做功一定等于物体动能的变化量，与物体受力情况无关。
求某个不易判断对应位移的力做的功时，或力是变力时，可以根据动能定理
求解。
动能定理的应用
1．应用动能定理解题的步骤
(1)确定研究对象和研究过程(研究对象一般为单个物体或相对静止的物体组
成的系统)。
(2)对研究对象进行受力分析(注意哪些力做功或不做功)。
(3)确定合外力对物体做的功(注意功的正负)。
(4)确定物体的初、末动能(注意动能增量是末动能减初动能)。
(5)根据动能定理列式、求解。
[说明]　对全过程列方程时，关键是分清整个过程哪些力做功，且各个力做功
应与位移对应，并确定初、末状态的动能。
2．动力学问题两种解法的比较
牛顿运动定律与运动学公式
结合法
动能定理
适用条件
只能研究在恒力作用下物体
做直线运动的情况
对于物体在恒力或变力作用
下，物体做直线运动或曲线运
动均适用
应用方法
要考虑运动过程的每一个细
节
只考虑各力的做功情况及初、
末状态的动能
运算方法
矢量运算
代数运算
相同点
确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
[说明]　一般来说，用牛顿第二定律和运动学知识能求解的问题，用动能定理
也可以求解，而且往往用动能定理求解更简捷。
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3．优先考虑应用动能定理的情况
(1)不涉及物体运动过程中的加速度和时间的问题。
(2)变力做功或曲线运动问题。
动能定理提供了一种计算变力做功的简便方法。功的计算公式W＝Flcos α 只
能求恒力做的功，不能求变力做的功，而动能定理说明了一个物体的动能变化ΔEk
与合外力对物体做的功具有等量代换关系，因此，已知(或求出)物体的动能变化
ΔEk＝Ek2－Ek1，就可以间接求得变力做的功。
(3)涉及F、l、m、v、W、Ek 等物理量的问题。
(4)有多个运动过程且不需要研究整个过程的中间状态的问题。
由于不用注意过程中运动状态变化的细节，且功和动能都是标量，无方向性，
故应用动能定理解题更简单，不易出错。
【例3】　如图所示，物体在离斜面底端5 m 处由静止开始下滑，然后滑上与
斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面间的动摩擦因数均为0.4，斜面倾
角为37°，求物体能在水平面上滑行的距离。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[思路点拨]　物体运动有两个过程，先在斜面上运动，然后在水平面上滑行。
解答每个过程可以按以下过程分析：
初、末状态
的动能
→动能
增量→合力做
的功
→列式求解
[解析]　对物体在斜面上和水平面上受力分析如图所示。
方法一　分过程列式：设物体滑到斜面底端时的速度为v，物体下滑阶段FN1
＝mgcos 37°
故Ff1＝μFN1＝μmgcos 37°
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由动能定理得：
mgsin 37°·l1－μmgcos 37°·l1＝1
2
mv2－0
设物体在水平面上滑行的距离为l2
摩擦力Ff2＝μFN2＝μmg
由动能定理得－μmg·l2＝0－1
2
mv2
由以上各式可得l2＝3.5 m。
方法二　全过程列式：
mgl1sin 37°－μmgl1cos 37°－μmgl2＝0
解得l2＝3.5 m。
[答案]　3.5 m
　把【例3】情境改为如图所示。AB 为固定在竖直平面内的1
4
光滑圆
弧轨道，轨道的B 点与水平地面相切，其半径为R。质量为m 的小球由A 点静止
释放，求：
小球通过光滑的水平面BC 滑上固定曲面，恰到达最高点D，D 到地面的高度
为h(已知h＜R)，则小球在曲面上克服摩擦力所做的功Wf。
[解析]　从A 到D 的过程，由动能定理可得
mg(R－h)－Wf＝0－0
解得克服摩擦力做的功Wf＝mg(R－h)。
[答案]　mg(R－h)
1应用动能定理解题时必须明确所研究的运动过程。
2当既可用分段法也可用全程法时，如果题目不涉及中间量，一般来说全程
法更简单，更方便。
3此题也可应用牛顿运动定律求解，一般来说，应用动能定理比牛顿运动定
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律要简便。
8.4 机械能守恒定律
一、追寻守恒量
伽利略的斜面实验探究如图所示。
1．过程：将小球由斜面A 上某位置由静止释放，小球运动到斜面B 上。
2．实验现象：如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于
它开始运动时的高度，不会更高一点，也不会更低一点。
3．实验结论：这说明某种“东西”在小球的运动过程中是不变的。在物理学
上我们把这个不变量叫作能量或者能。
“守恒量”反映在变化的运动形式中不变的规律。
二、动能与势能的相互转化
1．机械能的形式：重力势能、弹性势能和动能都是机械运动中的能量形式，
统称为机械能。
2．表达式：E＝Ek＋Ep。
3．转化的方式：通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化为另一种
形式。
4．标矢性：机械能是状态量，是标量(选填“标量”或“矢量”)。
三、机械能守恒定律
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机
械能保持不变。
2．守恒定律表达式
(1)Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即ΔEk 增＝ΔEp 减。
(2)Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。
(3)E2＝E1。
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3．守恒条件
物体系统内只有重力或弹力做功。
机械能守恒的条件及判断
(教师用书独具)　教材第90 页“思考与讨论”答案提示：两种情况下重力做
的功相等，重力势能的变化也相等；两种情况下，由于合外力不一样，故动能的
变化不相等；在真空中自由下落时，重力势能全部转化为动能；小球在液体中下
落时，重力势能转化为动能和内能。
教材第91 页“思考与讨论”答案提示：
关系依然成立，mgh2＋1
2
mv2＝mgh1＋1
2
mv21。
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下。(忽略轨道的阻力
和其他阻力)
过山车下滑时，过山车受哪些力作用？各做什么功？动能和势能怎么变化？
机械能守恒吗？
提示：过山车下滑时，如果忽略阻力作用，过山车受重力和轨道支持力作用；
重力做正功，支持力不做功，动能增加，重力势能减少，机械能保持不变。
1．对机械能守恒条件的理解
(1)从能量转化的角度看，系统内只有动能和势能相互转化，而没有其他形式
能量(如内能)的转化，并且系统与外界没有任何能量转化，则系统的机械能守恒。
(2)从做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现如下：
①只受重力作用，例如所有做抛体运动的物体机械能守恒。
②系统内只有重力和弹力作用，如图甲、乙、丙所示。
　　　　　　　      
　甲　　　　乙　　　　丙
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图甲中，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力则只有重力做
功，小球的机械能守恒。
图乙中，各接触面光滑，A 自B 上端自由下滑的过程中，只有重力和A、B 间
的弹力做功，A、B 组成的系统机械能守恒。但对A 来说，B 对A 的弹力做负功，
这个力对A 来说是外力，A 的机械能不守恒。
图丙中，不计空气阻力，球在下落过程中，只有重力和弹力做功，球与弹簧
组成的系统机械能守恒。但对球来说，机械能不守恒，这一点需要特别注意。
2．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
【例1】　如图所示，下列说法正确的是(所有情况均不计摩擦、空气阻力以
及滑轮质量)(　　)
甲　　　　乙　　　　丙　　　　　丁
A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空则机械能守恒，若加速升空则机
械能不守恒
B．乙图中，物块在外力F 的作用下匀速上滑，物体的机械能守恒
C．丙图中，物块A 以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块A 的机械能守
恒
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D．丁图中，物块A 加速下落、物块B 加速上升的过程中，A、B 系统机械能
守恒
D　[甲图中，不论是匀速还是加速，由于推力对火箭做功，火箭的机械能不
守恒，是增加的，故A 错误；乙图中，物块匀速上滑，动能不变，重力势能增加，
则机械能必定增加，故B 错误；丙图中，在物块A 压缩弹簧的过程中，弹簧和物
块A 组成的系统只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，由于弹性势能增加，则A
的机械能减小，故C 错误；丁图中，对A、B 组成的系统，不计空气阻力，只有重
力做功，A、B 组成的系统机械能守恒，故D 正确。]
物体的运动形式有多种，判断其机械能是否守恒，关键看是否只有重力或弹
力做功或分析有无其他形式的能与机械能发生转化。
机械能守恒定律的应用
如图所示，是运动员投掷铅球的动作，如果忽略铅球所受空气的阻力。
(1)铅球在空中运动过程中，机械能是否守恒？
(2)若铅球被抛出时速度大小一定，铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛
出的方向有关吗？
(3)在求解铅球落地的速度大小时，可以考虑应用什么规律？
提示：1由于阻力可以忽略，铅球在空中运动过程中，只有重力做功，机械
能守恒。,2根据机械能守恒定律，落地时速度的大小与运动员将铅球抛出的方向
无关。,3可以应用机械能守恒定律，也可以应用动能定理。
1．机械能守恒定律的不同表达式
表达式
物理意义
从不同
状态看
守恒式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2 或E 初
＝E 末
初状态的机械能等于末状态的
机械能
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从转化
角度看
转化式：Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2 或ΔEk
＝－ΔEp
过程中动能的增加量等于势能
的减少量
从转移
角度看
增量式：EA2－EA1＝EB1－EB2 或ΔEA
＝－ΔEB
系统只有A、B 两物体时，A 增
加的机械能等于B 减少的机械
能
2.应用机械能守恒定律的解题步骤
(1)选取研究对象(物体或系统)。
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清
各力的做功情况，判断机械能是否守恒。
(3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能。
(4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解。
【例2】如图所示，质量m＝2 kg 的小球用长L＝1.05 m 的轻质细绳悬挂在距
水平地面高H＝6.05 m 的O 点。现将细绳拉直至水平状态，自A 点无初速度释放
小球，运动至悬点O 的正下方B 点时细绳恰好断裂，接着小球做平抛运动，落至
水平地面上C 点。不计空气阻力，重力加速度g 取10 m/s2。求：
(1)细绳能承受的最大拉力；
(2)细绳断裂后小球在空中运动所用的时间；
(3)小球落地瞬间速度的大小。
[解析]　(1)根据机械能守恒
mgL＝1
2
mv2B
由牛顿第二定律得
F－mg＝mv2B
L
故最大拉力F＝3mg＝60 N。
(2)细绳断裂后，小球做平抛运动，且
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H－L＝1
2
gt2
故t＝
2H－L
g
＝
2 × 6.05－1.05
10
 s＝1 s。
(3)整个过程，小球的机械能不变，故：
mgH＝1
2
mv2C
所以vC＝
2gH＝
2 × 10 × 6.05 m/s＝11 m/s。
[答案]　(1)60 N　(2)1 s　(3)11 m/s
机械能守恒定律多与其他知识相结合进行综合命题，一般为多过程问题，难
度较大。解答此类题目时一定要注意机械能守恒的条件，分析在哪个过程中机械
能守恒，然后列式求解，不能盲目使用机械能守恒定律，必要时还需要综合应用
其他物理规律求解。
8.5 实验：验证机械能守恒定律
一、实验思路
1．实验目的
(1)验证机械能守恒定律。
(2)进一步熟悉打点计时器(或光电门)的使用。
2．实验思路
机械能守恒的前提是“只有重力或弹力做功”，因此设计实验时要考虑满足这
一条件的情形。
情形1：自由下落的物体只受到重力作用，满足机械能守恒的条件。
情形2：物体沿光滑斜面下滑时，虽然受到重力和斜面的支持力，但支持力与
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物体位移方向垂直，对物体不做功，也满足机械能守恒的条件。
二、物理量的测量
根据重力势能和动能的定义，需要测量的物理量有物体的质量、物体所处位
置的高度以及物体的运动速度。
1．质量的测量：可用天平测量。
2．高度的测量：可用刻度尺测量。
3．瞬时速度的测量
(1)用打点计时器打下的纸带测量：
测出打n 点前、后相邻两段相等时间T 内物体运动的距离xn 和xn＋1(或测出hn
－1 和hn＋1)，由公式vn＝xn＋xn＋1
2T
或vn＝hn＋1－hn－1
2T
即可得到打n 点时物体的瞬时
速度，如图所示。
说明：由匀变速直线运动的规律可知，物体某段时间中间时刻的瞬时速度等
于这段时间内的平均速度。
(2)用光电门测量：
遮光条通过光电门时的瞬时速度等于遮光条通过光电门时的平均速度，则根
据遮光条的宽度l 和遮光时间Δt，可以算出物体经过光电门时的速度v＝l
Δt
。
三、数据分析
方法1：计算物体在选定位置上动能与势能的和是否满足
1
2
mv2＋mgh2＝1
2
mv21＋mgh1
①
方法2：计算重物在某两点间的动能变化和势能变化是否满足
1
2
mv2－1
2
mv21＝mgh1－mgh2
②
若在误差允许范围内，等式①(或②)满足，即可验证机械能守恒。
根据上述情况，有两种方案可以验证物体的机械能守恒。
方案Ⅰ　研究自由下落物体的机械能
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1．实验器材
铁架台(带铁夹)、打点计时器、重物(带夹子)、纸带、复写纸、导线、毫米刻
度尺、低压交流电源(4～6 V)。
2．实验步骤
(1)安装实验装置
如图所示，将检查、调整好的打点计时器竖直固定在铁架台上，用导线将打
点计时器与低压交流电源相连接。
(2)进行实验
①将纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过打点计时器的限位孔。用
手提着纸带使重物静止在靠近打点计时器的地方。先接通电源，后松开纸带，让
重物带着纸带自由下落，打点结束后立即关闭打点计时器电源。
②更换纸带重复做3～5 次实验。
(3)选取纸带(分两种情况)
①如果根据mgh＝1
2
mv2 验证，应选点迹清晰，所打点在同一条直线上，且第
1、2 两点间距离略小于2 mm 的纸带。(根据h＝1
2
gt2，当t＝0.02 s 时h＝1.96 mm，
说明重物是在打第一个点时开始下落的。)
②如果根据mgΔh＝1
2
mv2B－1
2
mv 2A验证，由于重力势能的相对性，处理纸带时，
选择适当的点为基准点，这样纸带上打出的第1、2 两点间的距离是否略小于2 mm
就无关紧要了，只要后面的点迹清晰就可选用。
3．数据处理
方法1：利用起始点和第n 点计算
代入mghn 和1
2
mv2n，如果在实验误差允许的范围内mghn 和1
2
mv 2n相等，即可验
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证机械能守恒定律。
方法2：任取两点计算
(1)任取两点A、B，测出hAB，计算出mghAB。
(2)计算出1
2
mv2B－1
2
mv 2A的值。
(3)在实验误差允许的范围内，若mghAB＝1
2
mv2B－1
2
mv 2A成立，即可验证机械能
守恒定律。
方法3：图像法
从纸带上选取多个点，测量从第一个点到选取各点的下落高度h，并计算出各
点速度的二次方v2，然后以1
2
v2 为纵轴，以h 为横轴，根据实验数据绘出1
2
v2­h 图
线。若在误差允许的范围内图线是一条过原点且斜率为g 的直线，则验证了机械
能守恒定律。
4．实验中的注意事项
(1)注意将打点计时器接在低压交流电源上，调节好振针的高度，使打出的点
点迹清晰。
(2)应先接通电源，待打点计时器工作稳定后再释放纸带。
(3)选择点迹清晰的纸带，最好是第1 点和第2 点间距离略小于2 mm 的纸带。
说明：实验中要根据纸带求出重物实际下落的速度，而不能利用v＝
2gh或
v＝gt 计算。同样的道理，重物下落的高度h 也只能用刻度尺直接测量，而不能用
h＝1
2
gt2 或h＝v2
2g
计算。
5．误差分析
(1)在进行长度测量时，测量及读数不准确造成误差。
(2)重物下落要克服阻力做功，部分机械能转化成内能，下落高度越大，机械
能损失越多，所以实验数据出现了各计数点对应的机械能依次略有减小的现象。
(3)由于交流电的周期不稳定，造成打点时间间隔变化而产生误差。
方案Ⅱ　研究沿斜面下滑物体的机械能
利用气垫导轨和数字计时器记录物体沿光滑斜面下滑的运动过程。
实验装置如图所示。
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(1)先非常仔细地把气垫导轨调成水平，然后用垫块把导轨的一端垫高h1。
质量为m 的滑块上面装有宽为l 的挡光片，让它由导轨上端任一处滑下，测
出它通过光电门G1 和G2 时的时间Δt1 和Δt2，就可算出它由G1 到G2 这段过程中
动能的增加量ΔEk＝1
2
m[(
l
Δt2 )
 2
 －(
l
Δt1 )
2
 ]。
(2)由图可知Δh
s
＝h1
L
，由已知的L 值和所取的h1、s 值可算出Δh 值，然后可以
求出滑块由G1 到G2 这段过程中重力势能的减少量ΔEp＝mgΔh。
(3)由实验结果可看出在误差允许的范围内ΔEp＝ΔEk，从而验证了机械能守恒
定律。
说明：实验时，s 值要取得适当小些，减少滑块克服阻力做的功，使ΔEp 和ΔEk
两个值更接近。
一、实验操作与数据处理
【例1】　在“验证机械能守恒定律”的实验中，打点计时器所用电源频率为
50 Hz，当地重力加速度的值为9.80 m/s2，测得所用重物的质量为1.0 kg。甲、乙、
丙三个学生分别用同一装置打出三条纸带，量出各纸带上第1、2 两点间的距离分
别为0.18 cm、0.18 cm 和0.25 cm，可看出其中肯定有一个学生在操作上出现了问
题，出现的问题可能是________。若按实验要求正确地选出纸带如图所示(相邻计
数点的打点时间间隔为0.02 s)，那么：
(1)纸带的________(选填“左”或“右”)端与重物相连。
(2)打点计时器打下计数点B 时，重物的速度vB______m/s。
(3) 从起点O 到打下计数点B 的过程中重物重力势能的减少量ΔEp ＝
________J，此过程中重物动能的增加量ΔEk＝________J。
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(4)通过计算，数值上ΔEp________(选填“＞”“＝”或“＜”)ΔEk，这是因
为_____________________________________。
(5)实验的结论是_____________________________________________。
(6)若实验中所用电源的频率f<50 Hz，实验结果将会受到什么影响？________。
[解析]　如果重物做自由落体运动，第1、2 两点间的距离应小于0.2 cm，而
丙同学的纸带上第1、2 两点间的距离大于这个值，说明重物在打第1 个点时已有
速度，故丙同学在操作时出现的问题可能是先释放纸带后接通电源。
(1)纸带左端相邻两点之间的距离较小，故纸带左端与重物相连。
(2)B 点对应的速度vB＝sAC
2T
＝0.98 m/s。
(3)ΔEp＝mghOB≈0.49 J，ΔEk＝1
2
mv2B≈0.48 J。
(4)ΔEp＞ΔEk，在实验中存在阻力，重物的重力势能不能完全转化为动能。
(5)在实验误差允许的范围内，重物的机械能守恒。
(6)若f<50 Hz，则vB 的计算值偏大，ΔEk 可能大于ΔEp。
[答案]　先释放纸带后接通电源　(1)左 　(2)0.98　 (3)0.49　0.48　(4)＞　实
验中存在阻力，重物的重力势能不能完全转化为动能　(5)在误差允许的范围内重
物的机械能守恒　(6)ΔEk 可能大于ΔEp
二、实验创新
【例2】　某同学利用透明直尺和光电计时器来验证机械能守恒定律，实验的
简易示意图如图所示，当有不透光物体从光电门间通过时，光电计时器就可以显
示物体的挡光时间。将挡光效果好、宽度为d＝3.8×10－3m 的黑色磁带贴在透明
直尺上，从一定高度由静止释放，并使其竖直通过光电门。某同学测得各段黑色
磁带通过光电门的时间Δti 与图中所示高度差Δhi，并将部分数据进行了处理，结
果如表所示(g 取9.8 m/s2，注：表格中M 为直尺质量)。
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序号
Δti/(×10－
3s)
vi＝d
Δti/
(m·s－1)
ΔEki＝1
2
Mv2i－
1
2
Mv21/J
Δhi/m
MgΔhi/J
1
1.21
3.14
2
1.15
3.30
0.52M
0.06
0.59M
3
1.00
3.80
2.29M
0.24
2.35M
4
0.95
4.00
3.07M
0.32
3.14M
5
0.90
3.97M
0.41
(1)从表格中数据可知，直尺上磁带通过光电门的瞬时速度是由vi＝d
Δti求出的，
请你简要分析该同学这样做的理由是___________________________。
(2)请你将表格中的数据填写完整。
(3)通过实验得出的结论是_______________________________。
(4)根据该实验请你判断图中正确的是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
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[解析]　(2)v＝d
t
＝3.8 × 10－3
0.9 × 10－3m/s≈4.22 m/s，
MgΔh＝9.8×0.41M≈4.02M。
(3)从表中数据可知，在误差允许范围内，动能的增加量与重力势能的减少量
相等。
(4)由ΔEk＝MgΔh，得动能的变化量与高度成正比，C 正确。
[答案]　(1)极短时间内平均速度近似等于瞬时速度　 
(2)4.22　4.02M
(3)在误差允许范围内重力势能减少量等于动能的增加量
(4)C
专题　动能定理和机械能守恒定律的应用
利用动能定理分析多过程问题
一个物体的运动如果包含多个运动阶段，可以选择分段或全程应用动能定理。
1．分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程
的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然
后联立求解。
2．全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每
个力做的功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，
针对整个过程利用动能定理列式求解。
当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单，更方便。
【例1】 如图所示，MNP 为竖直面内一固定轨道，其圆弧段MN 与水平段NP
相切于N，P 端固定一竖直挡板。M 相对于N 的高度为h，NP 长度为s。一物块
从M 端由静止开始沿轨道下滑，与挡板发生一次完全弹性碰撞(碰撞后物块速度大
小不变，方向相反)后停止在水平轨道上某处。若在MN 段的摩擦可忽略不计，物
块与NP 段轨道间的动摩擦因数为μ，求物块停止的地方距N 点的距离的可能值。
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思路点拨：物块始状态、末状态动能都为零，整个运动过程中外力做功的代
数和为零，物块运动过程中仅重力和摩擦力做功。摩擦力做功与路径有关，由此
确定物块停止的位置。
[解析]　物块的质量记为m，在水平轨道上滑行的总路程记为s′，则物块从开
始下滑到停止在水平轨道上的过程中，由动能定理得mgh－μmgs′＝0，解得s′＝h
μ
第一种可能：物块与挡板碰撞后，在回到N 前停止，则物块停止的位置距N
点的距离为d＝2s－s′＝2s－h
μ
第二种可能：物块与挡板碰撞后，可再一次滑上圆弧轨道，然后滑下，在水
平轨道上停止运动，则物块停止的位置距N 点的距离为d＝s′－2s＝h
μ
－2s
所以物块停止的位置距N 点的距离可能为2s－h
μ
或h
μ
－2s。
[答案]　物块停止的位置距N 点的距离可能为2s－h
μ
或h
μ
－2s
求解多过程运动问题的基本思路
对于物体运动过程中有往复运动的情况，物体所受的滑动摩擦力、空气阻力
等大小不变，方向发生变化，但在每一段上这类力均做负功，而且这类力所做的
功等于力和路程的乘积，与位移无关。若题目中涉及求解物体运动的路程或位置
的变化，可利用动能定理求出这类力做的功，然后进一步确定物体运动的路程或
位置的变化。
链条类物体的机械能守恒问题
链条类物体机械能守恒问题的分析关键是分析重心位置，进而确定物体重力
势能的变化，解题要注意两个问题：一是零势能面的选取；二是链条的每一段重
心的位置变化和重力势能变化。
【例2】　如图所示，总长为L 的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，
开始时下端A、B 相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，
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铁链的速度为多大？
[解析]　方法一　(取整个铁链为研究对象)：
设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A 点上方1
4
L 处，末位置的重心在
A 点，则重力势能的减少量为ΔEp＝mg·1
4
L
由机械能守恒得
1
2
mv2＝mg·1
4
L，解得v＝
gL
2
。
方法二　(将铁链看成两段)：
铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置。 
重力势能减少量为ΔEp＝1
2
mg·L
2
由机械能守恒得1
2
mv2＝1
2
mg·L
2
则v＝ 
gL
2
。
[答案]　
gL
2
动能定理与机械能守恒定律的比较
1.机械能守恒定律和动能定理的比较
规律内容　　
机械能守恒定律
动能定理
表达式
E1＝E2
ΔEk＝－ΔEp
ΔEA＝－ΔEB 
W＝ΔEk
应用范围
只有重力或弹力做功时
无条件限制
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研究对象
系统
单个物体
关注角度
守恒的条件和初、末状态机械能
的形式及大小
动能的变化及合力做
功情况
2.规律的适用范围
(1)动能定理：恒力做功、变力做功、分段做功、全程做功等均可适用。
(2)机械能守恒定律：只有系统内的弹力或重力做功。
【例3】　如图甲所示为2022 年北京冬奥会跳台滑雪场馆“雪如意”的效果
图。如图乙所示为由助滑区、空中飞行区、着陆缓冲区等组成的依山势而建的赛
道示意图。运动员保持蹲踞姿势从A 点由静止出发沿直线向下加速运动，经过距
离A 点s＝20 m 处的P 点时，运动员的速度为v1＝50.4 km/h。运动员滑到B 点时
快速后蹬，以v2＝90 km/h 的速度飞出，经过一段时间的空中飞行，以v3＝126 km/h
的速度在C 点着地。已知BC 两点间的高度差h＝80 m，运动员的质量m＝60 kg，
重力加速度g 取9.8 m/s2，计算结果均保留两位有效数字。求：
甲　　　　　　　　　　　乙
(1)A 到P 过程中运动员的平均加速度大小；
(2)以B 点为零势能参考点，求到C 点时运动员的机械能；
(3)从B 点起跳后到C 点落地前的飞行过程中，运动员克服阻力做的功。
[解析]　(1)v1＝50.4 km/h＝14 m/s
由速度位移的关系式得v21＝2as
代入数据解得a＝4.9 m/s2。
(2)v2＝90 km/h＝25 m/s
v3＝126 km/h＝35 m/s
以B 点为零势能参考点，到C 点时运动员的机械能为
E＝－mgh＋1
2
mv23
代入数据解得E≈－1.0×104 J。
(3)从B 点起跳后到C 点落地前的飞行过程中，由动能定理得
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mgh－W＝1
2
mv23－1
2
mv2
代入数据解得W≈2.9×104 J。
[答案]　(1)4.9 m/s2　(2)－1.0×104 J　(3)2.9×104 J
如果物体只受重力，或系统内只有重力或弹力做功时，则W 外是重力做的功
或重力和弹力做功的总和，动能定理就转化成机械能守恒定律。如果重力和弹力
中有一个力是变力时，要求这个变力做的功，则可用机械能守恒定律来求解。
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