文档文本内容
第04 讲 复数
目录
01
考情解码・命题预警
1
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 复数的概念...........................................................................................................4
知识点2 复数的运算...........................................................................................................5
知识点3 复数的几何意义...................................................................................................6
知识点4 复数的三角形式...................................................................................................7
题型破译................................................................................................................................................7
题型1 复数的概念...............................................................................................................8
题型2 复数的分类.............................................................................................................11
题型3 共轭复数.................................................................................................................14
题型4 复数的几何意义.....................................................................................................16
题型5 复数的四则运算
..............................................................................................17
题型6 复数的高次方计算.................................................................................................19
题型7 与复数模相关的轨迹（图形)问题
.................................................................21
题型8 复数范围内解方程.................................................................................................23
题型9 复数的三角表示*...................................................................................................25
04
题
真
溯源·考向
知
感
........................................................................................................................27
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................29
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）数系的扩充与复
数的引入
（2）复数代数形式的
四则运算
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，第1
题，5 分；
全国二卷，第2
题，5 分；
北京卷，第2
题，4 分；
天津卷，第10
题，5 分；
新课标I 卷，第2 题，5
分；
新课标II 卷，第1 题，
5 分；
甲卷理科，第1 题，5
分；
上海卷，第9 题，5
分；
天津卷，第10 题，5
分；
新课标I 卷，第2 题，5
分；
新课标II 卷，第1 题，5
分；
甲卷理科，第2 题，5
分；
甲卷理科，第1 题，5
分；
北京卷，第2 题，5 分；
天津卷，第10 题，5 分；
考情分析：
1.复数在高考中是每年必考内容，命题较为稳定，难度较低，主要以选择题形式出现，通常位于前2 题
2.复数的四则运算作为复数部分的核心内容，是考查的重点之一。主要考查学生对复数加、减、乘、除运算法则
的掌握程度。
复习目标：
1.通
方程的解，
复数；
识
过
认
2.理解复数代数表示及其几何意
；
义
3.掌握复数的四
运算，了解加减法的几何意
。
则
义
知识点1 复数的概念
1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是，虚部是．
2、虚数单位：把平方等于－1 的数用符号i 表示，规定i2＝－
1 ，我们把i 叫作虚数单位．
3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C 表示．
4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0 的复数实际上是一个实数．
（1）
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
5、复数相等：a＋bi 与c＋di 相等的充要条件是a＝c 且b＝d．
6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z 的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a －
b i ．
自主检测下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数的任何偶数次幂都不小于零
B．若实数
，则
是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D．若复数
满足
，则
均为实数
【答案】D
【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解.
【详解】对于A 中，由虚数单位
，可得A 错误；
对于B 中，若
，那么
，所以B 错误；
对于C 中，虚轴上的点
对应复数
，所以C 错误；
对于D 中，若复数
满足
，虚数不能比较大小，则
均为实数，D 正确.
故选：D.
知识点2 复数的运算
1、复数的运算法则
设
，
(a，b，c，d∈R)，则：
（1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝( a ＋
c ) ＋
( b ＋
d )i ；
（2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝( a －
c ) ＋
( b －
d )i ；
（3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝( ac
－
bd
) ＋
( ad
＋
bc
)i ；
（4）除法：
2、复数运算的几个重要结论
（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)； （2）·z＝|z|2＝||2.
（3）若z 为虚数，则|z|2≠z2. （4）(1±i)2＝±2i.
（4）＝i；＝－i.
3、虚数单位i 的乘方
计算复数的乘积要用到虚数的单位i 的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．
4、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：①当∆≥0时，x =-b±
❑√b
2- 4 ac
2a
；②当∆<0时，x =-b±
❑√-(b
2- 4 ac)i
2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x =m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程a x
2+bx +c =0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
自主检测若复数
满足
（i 是虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由复数除法运算即可求解.
【详解】由题意
.
故选：C.
知识点3 复数的几何意义
1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x 轴为实轴，y 轴为虚
轴．
2、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z( a ，
b ) 是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量⃗OZ =(a,b)是一一对应的．
【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所
确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3、复数的模
（1）定义：向量⃗OZ的r 叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．
（2）记法：复数z＝a＋bi 的模记为|z|或|a＋bi|．
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
自主检测（多选）已知复数
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数
对应的点位于复平面第四象限
C．
D．若复数
满足
，则
的最大值是
【答案】CD
【分析】对于AC，利用复数的四则运算和模长公式计算即可判断；对于B，利用复数除法计算后根据复
数的几何意义即可判断；对于D，利用复数的模的几何意义数形结合即可计算判断.
【详解】对于A，
，故A 错误；
对于B，
，其对应的点位于复平面第三象限，故B 错误；
对于C，因
，故
，故C 正确；
对于D，由
可知，复数
对应的点的轨迹为以点
为圆心，半径为5 的圆，
而
可理解为点
到圆
上的点的距离，如图所示.
由图知，当且仅当圆
上的点在
处(三点共线)时，距离最大，为
，
故D 正确.
故选：CD.
知识点4 复数的三角形式
1、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成z =r(cosθ+i sinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数
的辐角．
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连．
2、辐角主值
（1）辐角的定义：设复数z =a+bi的对应向量为⃗OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量⃗OZ所在的射线（射
线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辐角．
（2）辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且
这些值相差2π的整数倍．
规定：其中在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．
【注意】因为复数0 对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0 的辐角是任意的．
3、复数乘、除法的三角表示：已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，
（1）乘法：z1 z1=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，即模数相乘，辐角相加．
（2）除法：z1
z2
= r1(cosθ1+isinθ1)
r2(cosθ2+isinθ2) = r1
r2 [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，即模数相除，辐角相减．
自主检测复数
的三角形式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式即可求解.
【详解】∵
，
，
∴
，
，故选项A，C 错误；
∵
，
，
∴
，
，故选项B 正确，选项D 错误.
故选：B.
题型1 复数的概念
例1-1（多选）已知
，
是复数，
是
的共轭复数，下列说法正确的是（ ）.
A．若
，则
B．若
，则
或
C．若
是纯虚数，则
D．若
，则
【答案】BCD
【分析】根据复数知识和性质进行判断即可.
【详解】对于选项A：
假如
，
，此时
，但
，所以A 错误；
对于选项B：
设
，
所以
.
所以
，
若
，即
，方程组显然成立；
若
，即
，方程组显然成立；
若
，将
代入第二个式子中得
.
由
得
，则
，此时
；
综上，所以B 正确；
对于选项C：
假设
是纯虚数，此时
，C 正确；
对于选项D：
设
，所以
，D 正确.
故选：BCD.
例1-2（多选）下列有关复数的结论正确的是（ ）
A．
B．当
时，复数
是纯虚数
C．
是关于x 的方程
的一个根
D．若复数z 满足
，则复数z 对应的点所构成的图形面积为
【答案】BCD
【分析】由复数的有关概念即可判断A；由复数
是纯虚数可得
，解之即可判断
B；由根据系数的关系结合一元二次方程的两根互为共轭复数的结论即可得p，q 的值，则C 可判断；由复
数的几何意义，结合数形结合的方法即可求得D.
【详解】因为虚数不能比较大小，所以A 错误；
因为
，
所以复数
，
为纯虚数，
所以当
时，复数
是纯虚数，故B 正确；
因为
，
所以
是关于x 的方程
的一个根，故C 正确
若复数
满足
，
由复数的几何意义可知不等式表示的范围为圆环，如下图所示：
则复数
对应的点所构成的图形面积为
，故D 正确；
故选：BCD
方法技巧
判断复数
的实部、虚部的关键
（1）看形式：看复数的表示是否是
的形式；
（2）看属性：看
，
是否都是实数；
（3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点.
【变式训练1-1】（多选）已知复数z 满足
（其中i 为虚数单位），则（ ）
A．
B．
C．
为纯虚数
D．复数z 的虚部为i
【答案】BC
【分析】根据复数的运算可得
.对于A：根据共轭复数的定义判断；对于B：根据模长公式分析判断；
对于C：求得
，结合纯虚数的定义判断；对于D：根据虚部的定义判断.
【详解】因为
，可得
，即
.
对于选项A：
，故A 错误；
对于选项B：
，故B 正确；
对于选项C：因为
，所以
为纯虚数，故C 正确；
对于选项D：复数
的虚部为1，故D 错误；
故选：BC．
【变式训练1-2】（多选）已知i 为虚数单位，则下列说法中正确的是（ ）
A．复数
的虚部为
B．
C．
D．若复数z 满足
，则
最小值为
【答案】AD
【分析】由复数的定义判断A；由两个复数不能比较大小，可判断B；由复数的模及四则运算判断C；由
复数的几何意义判断D.
【详解】解：对于A，由复数的定义可知复数
的虚部为
，故A 正确；
对于B，因为两个复数不能比较大小，故B 错误；
对于C，设
，则
，而
，
故只有当
，即复数
为实数时，
成立，故C 错误；
对于D，因为
，所以复数
所对应的点在以原点
为圆心的单位圆上，
又因为
，
所以
表示点
到单位圆上点的距离，
又因为点
到原点
的距离
，
所以
最小值为
，故D 正确.
故选：AD.
【变式训练1-3】已知复数
，
．
(1)若z 为实数，求x 的值；
(2)若z 为虚数，求x 的取值范围；
(3)若z 为纯虚数，求x 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
．
【分析】（1）（2）（3）利用复数有相关概念列式求解.
【详解】（1）由z 为实数，得
，所以
.
（2）由z 为虚数，得
，解得
，
所以x 的取值范围为
.
（3）由z 为纯虚数，得
且
，所以
.
题型2 复数的分类
例2-1 若复数
，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】利用复数的除法及纯虚数的定义列式求解.
【详解】依题意，
，
则
，解得
，
所以实数a 的值为
.
故选：A
例2-2（多选）下列说法正确的是（ ）
A．复数
的共轭复数的虚部为1
B．已知复数
为纯虚数，则
C．若复数
在复平面内对应的点在第四象限，则
D．若
，则
【答案】ABD
【分析】根据复数的分类以及复数的几何意义逐一判断即可.
【详解】复数
的共轭复数为
，其虚部为1，所以A 正确；
由
且
，得
，所以B 正确；
由
且
，得
，所以C 错误；
设
，则
，所以z 在复平面内对应的点到点
的距离为
3，
所以z 在复平面内对应的点到点
的距离范围为
，D 正确．
故选：ABD
方
法技巧
复数的分类：对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0 时，它是实数；
（2）当且仅当a＝b＝0 时，它是实数0；
（3）当b≠0 时，叫做虚数；
（4）当a＝0 且b≠0 时，叫做纯虚数．
【变式训练2-1】已知
，若复数
是纯虚数，则
．
【答案】3
【分析】利用纯虚数的定义求出
，进而求得答案.
【详解】由
是纯虚数，得
，解得
，
，
所以
.
故答案为：3
【变式训练2-2·变考法】已知i 是虚数单位，复数
．
(1)当
时，求z 的共轭复数
；
(2)若z 是纯虚数，求m 的值：
(3)若z 在复平面内对应的点位于第四象限，求m 的取值范围，
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）代入
，根据共轭复数的概念求解即可；
（2）根据纯虚数的充要条件列方程求解即可；
（3）根据复数对应的点第四象限实部为正，虚部为负可得
的不等式，求解即可.
【详解】（1）当
时，
，
所以共轭复数
（2）
，
因为复数z 是纯虚数，所以
，
解得
，
所以
；
（3）因为复数z 在复平面内对应的点位于第四象限
所以
，即
，
即
，所以
，
所以，实数m 的取值范围是
.
【变式训练2-3·变载体】复数z 满足
(1)若复数z 为实数，求m 的值；
(2)若复数z 为纯虚数，求m 的值；
(3)设复数
，若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由复数z 为实数，则虚部为0 可解；
（2）由复数z 为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0；
（3）由复数相等的条件，可得
，然后利用二次函数性质求值域即可.
【详解】（1）复数z 为实数，所以
.
（2）复数z 为纯虚数，
所以
，解得
.
（3）
，
，
即
，
又
，所以
时，
，
时，
，
所以
的取值范围为
.
题型3 共轭复数
例3-1 复数z 满足
（为虚数单位），则
的虚部为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则，化简得到
，得到
，结合复数的概念，即可求解.
【详解】由复数
满足
，可得
，
则
，所以复数
的虚部为
.
故选：A.
例3-2 已知复数
，
，复数
，则
的共轭复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的加法运算及共轭运算，再利用复数的几何意义即可得选项.
【详解】由
，
则
对应的点为
位于第一象限，所以A 正确，
故选：A.
例3-3 设
，则在复平面内
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】根据共轭复数的概念及复平面内点的位置判断.
【详解】因为
，
所以
，
所以在复平面内
对应的点为
在第一象限.
故选：A.
方
法技巧
实部相等，虚部互为相反数
【变式训练3-1】（多选）已知
为复数，下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【分析】对AD，举反例说明；对B，由共轭复数的定义可判断；对C，根据共轭复数的定义结合复数的乘
法运算可判断.
【详解】对于A，
，此时
，故A 错误；
对于B，若
，由共轭复数的定义可得
，故B 正确；
对于C，设
，由
，则
，
所以
，故C 正确；
对于D，如
，
，满足
，但
，故D 错误.
故选：BC.
【变式训练3-2】（多选）已知虚数
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
为纯虚数
C．若
，则
或
D．若
，则
【答案】BCD
【分析】设
，根据虚数不能比较大小可判断A；根据
可得
可判断B；由
得
可判断C；利用复数相等求出
可判断D.
【详解】设
，
对于A，若
，则
，
因为虚数不能比较大小，故A 错误；
对于B，若
，即
，可得
，
则
为纯虚数，故B 正确；
对于C，若
，则
，可得
，或
即
，或
，故C 正确；
对于D，若
，则
，
即
，解得
，或
，
可得
，或
，
所以
，故D 正确.
故选：BCD.
题型4 复数的几何意义
例4-1 在复平面内，
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的乘法运算、除法运算及复数的几何意义即可求解.
【详解】∵
，∴
对应的点为
，∴
对应的点
位于第二象限.
故选：B.
例4-2 已知复数
.
(1)当
时，求
；
(2)设
，
在复平面
内对应的点分别为
，
，若
，求
的值.
【答案】(1)1
(2)1 或
【分析】（1）根据共轭复数的定义及复数除法运算，复数模公式求解；
（2）由题，利用复数的几何意义求得
，
，利用两向量垂直的坐标关系求解.
【详解】（1）当
时，
，则
，
，
.
（2）由题，
，所以
，
，
则
，
由
，则
，解得
或
.
方法技巧
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量⃗OZ =(a,b)是一一对应的．
【变式训练4-1】已知复数z 与
在复平面内对应的点关于虚轴对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用复数的除法运算法则化简
，再根据对称性求解即可.
【详解】
，
因为z 与
在复平面内对应的点关于虚轴对称，
所以
．
故选：B.
【变式训练4-2·变载体】已知
，
，则
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的加法运算和复数的几何意义即可得到判断.
【详解】已知
，
，则
,
所以
在复平面内对应的点是
，即该点位于第四象限，
故选：D
题型5 复数的四则运算
例5-1 已知复数
满足
，则
（ ）
A．3
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】设
，
，根据共轭复数的定义、复数运算法则及复数相等的概念，即可求解复数
，根据复数的模长公式即可求解.
【详解】设
，
，由
，
∴
，解得
，
∴
，∴
.
故选：D.
例5-2 计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据复数的加减运算法则化简即可；
（2）根据复数的乘法运算法则化简即可；
（3）根据平面向量的加减运算法则化简即可；
（4）根据平面向量的加减运算法则化简即可.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
方法技巧
1、复数的加减法：实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减分别作为结果的实部与虚部。把i 看作字母，类
比多项式加减法中的合并同类项；
2、复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将
换成
，并将实部、虚部分别合并. 多
项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，常用公式有
，
，
.
2、复数的除法法则在实际操作中不方便适用，一般将除法写成分式形式，采用分母实数化的方法，即将
“
”
分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．
【变式训练5-1】“
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
，利用共轭复数的定义、复数相等以及复数的概念、充分条件和必要条件的定
义判断即可得出结论.
【详解】设
，则
，故
，
故
，则
，故“
”
“
；
”
若
，则
，则
，故“
”
“
”.
综上所述，“
是
”
“
的充要条件
”
.
故选：C.
【变式训练5-2】若
，则
.
【答案】
【分析】先化简得出复数，再应用加法运算结合模长公式计算求解.
【详解】因为
，则
，
则
.
故答案为：
.
题型6 复数的高次方计算
例6-1 若复数
，则
.
【答案】
【分析】利用复数的乘方运算求得
，进而可求
.
【详解】因为
，所以
.
故答案为：
.
例6-2 已知复数
满足
，则
的最小值是 .
【答案】
【分析】
利用复数模的三角不等式可求得
的最小值.
【详解】因为
，则
，
当且仅当
时，等号成立，因此，
的最小值为.
故答案为：.
方法技巧
计算复数的乘积要用到虚数的单位i 的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．．
【变式训练6-1】（多选）设复数
在复平面内对应的点为
，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
或
B．若
，则点
的集合所构成的图形的面积为π
C．
D．若
是实系数方程
的一个根，则
【答案】BC
【分析】根据特例，可判定A 不正确；根据复数的几何意义，得到
表示的轨迹，结合圆的面积
公式，可判定B 正确；根据虚数的运算性质，可判定C 正确；根据实系数方程的性质，结合韦达定理，可
判定D 不正确.
【详解】对于A 中，例如：复数
，可得
，所以A 不正确；
对于B 中，由复数的几何意义，可得
是以半径为和半径为
的圆构成的圆环，
其中圆环的面积为
，所以B 正确；
对于C 中，由虚数的运算性质：
，
可得
，所以C 正确；
对于D 中，由复数
是实系数方程
的一个根，
可得复数
是实系数方程
的另一个根，
则
且
，即
，
所以
，所以D 不正确.
故选：BC.
【变式训练6-2】若复数
，则
的虚部为 .
【答案】
【分析】根据复数的乘方化简复数z，即可判断其虚部.
【详解】因为
，
，
故复数
，故
的虚部为
，
故答案为：
题型7 与复数模相关的轨迹（图形)问题
例7-1（多选）已知
为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．
C．若
，则
为纯虚数
D．若
，则
的最小值为1
【答案】ABD
【分析】选项A，根据复数除法运算，求得
，再根据模长运算即可求解；选项B，令
，
分别计算
和
，即可判断；选项C，设
，由
得
，可解得
，但要注意
的取值；选项D，根据复数模长的几何意义即可判断.
【详解】对于A，根据复数除法，
，
则
，所以A 正确；
对于B，令
，则
，
所以
，
，所以
，故B 正确；
对于C，设
，则
，
，
所以
，
，
因为
，即
，解得
，
，
所以当
，
，不是纯虚数，故C 错误；
对于D，当
，复数
对应的点在单位圆上，即
，
表示复数
对应的点到点
的距离，最小值为圆心到点
的距离减去半径，即最小值为
，故D 正确.
故选：ABD.
例7-2 若复数z 满足
（为虚数单位），则
的最大值为 ．
【答案】
/
【分析】根据
可得z 的轨迹为以
为圆心，以3 为半径的圆，
表示点
到
的距
离，结合几何意义可得结果.
【详解】设
，因为
即
，
所以z 的轨迹为以
为圆心，以3 为半径的圆，
所以
，其表示上述圆上的点
到点
的距离，
所以其最大值为
到
的距离加半径，为
.
故答案为：
.
方法技巧
1、求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式或
不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状．
2、复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z = x + yi，则|z -(a+bi)|表示复平面内点( x , y)
与点(a,b)之间的距离，则|z -(a+bi)|=r表示以(a,b)为圆心，以r 为半径的圆上的点．
【变式训练7-1】（多选）已知复数
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
在复平面内对应的点可能是
B．
C．
的实部与虚部之积小于等于3
D．复数
，则
的最大值为
【答案】ACD
【分析】根据复数的几何意义，可知
在复平面对应的点为以原点为中心，半径为
的圆上，从而判断
AB；利用基本不等式判断C；由复数减法的几何意义判断D.
【详解】
，则
在复平面对应的点为以原点为中心，半径为
的圆上，
复平面的点
，其模为
正确；
错误；
令
，则有
，所以实部与虚部之积
，C 正确；
，则
，D 正确.
故选：ACD.
【变式训练7-2】（多选）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．若
，则复平面内
对应的点位于第二象限
C．复数
，
D．若复数
满足
，则
的最大值为6
【答案】AD
【分析】对于A，利用虚数单位的计算即得；对于B，利用复数的四则运算与复数的几何意义即可判断；
对于C，利用复数的四则运算化简复数
，求其模长即可；对于D，利用复数的几何意义数形结合即可得
到.
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，由
，则
，
则复平面内
对应的点位于第三象限，故B 错误；
对于C，因
，则
，故C 错误；
对于D，由
可知复数
对应的点表示以原点为圆心，半径为1 的单位圆
，
而
则可以理解为点
到该圆上的点的距离，
故该距离最大值为
.故D 正确.
故选：AD.
题型8 复数范围内解方程
例8-1 已知复数
是关于
的方程
的根，则
.
【答案】26
【分析】依据题意可知
也是方程的根，然后利用韦达定理可知
.
【详解】由题可知：复数
是关于
的方程
的根，
则
也是方程
的根，
所以
.
故答案为：26
例8-2 已知
是关于
的方程
的一个根，其中
，.
(1)求
、
的值；
(2)在复数范围内，求该方程的另一根.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，化简得到
，列出方程组，即可求解；
（2）由（1）得，原方程为
，化简得到
，进而求得原方程的另一根.
【详解】（1）解：因为
为方程
的一个根，可得
，
整理得
，所以
，
解得
.
（2）解：由（1）得，原方程为
，
配方得
，于是
，
解得
或
，所以原方程的另一根为
.
方法技巧
在复数范围内，实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：
①当∆≥0时，x =-b±
❑√b
2- 4 ac
2a
；②当∆<0时，x =-b±
❑√-(b
2- 4 ac)i
2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x =m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程a x
2+bx +c =0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
【变式训练8-1】若
为
的复数根，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据复数的三次方结合已知条件计算求解.
【详解】因为
为
的复数根，则
，即得
，
则
.
故选：A.
【变式训练8-2·变考法】方程
的复数根为
，则
，使得
为纯虚数的实数
的值为 .
【答案】
【分析】在复数范围内求解二次方程的根，结合复数的运算法则进行运算.
【详解】由
，得
，则
.
若
，则
，所以
，解得
.
若
，则
，所以
，解得
.
故答案为：①
；②
.
题型9 复数的三角表示
例9-1 已知复数
（为虚数单位），则
等于（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】因为复数
，
根据复数的运算法则，可得
.
故选：C.
例9-2（多选）任何一个复数
都可以表示为
，且可以表示为三角形式
代表复数
的
模，
是以
轴的非负半轴为始边，以
所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，
发现
，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数
满
足
，则
可能的取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】根据棣莫弗定理可得
的一般形式，求出
、可得答案.
【分析】设
，其中
，则
，
所以
，而
，则
，
故
即
，故
，
故B，D 正确，A，C 错误.
故选：BD.
【变式训练9-1】欧拉公式：
是虚数单位，
是由瑞士著名数学家欧拉发现
的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数
，复数
满足
，则
的最大值为（ ）.
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】由题设新定义得
，再应用乘方运算得
，且
，即可得.
【详解】由题设
，则
，
所以
，
由
，则
，故
时
的最大值为2.
故选：D
【变式训练9-2】殴拉（1707-1783）是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式
，从而建立了三角函数和指数函数之间的关系，请你根据欧拉公式将复数
表示成
（
，i 为虚数单位）的形式 ．
【答案】
【分析】根据欧拉公式可得
，结合复数的加法可得
.
【详解】
，
，所以
．
故答案为：
.
1．（2025·全国一卷·高考真题）
的虚部为（ ）
A．
B．0
C．1
D．6
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【详解】因为
，所以其虚部为1，
故选：C.
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】由复数除法即可求解.
【详解】因为
，所以
.
故选：A.
3．（2024·北京·高考真题）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.
【详解】由题意得
.
故选：C.
4．（2025·天津·高考真题）已知i 是虚数单位，则
．
【答案】
【分析】先由复数除法运算化简
，再由复数模长公式即可计算求解.
【详解】先由题得
，所以
.
故答案为：
5．（2024·上海·高考真题）已知虚数
，其实部为1，且
，则实数
为 ．
【答案】2
【分析】设
且
，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【详解】设
，
且
.
则
，
，
，解得
，
故答案为：2.
6．（2025·上海·高考真题）已知复数z 满足
，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】先设
，利用复数的乘方运算及概念确定
，再根据复数的几何意义数形结合计算即
可.
【详解】设
，
由题意可知
，则
，
又
，由复数的几何意义知
在复平面内对应的点
在单位圆内部（含边界）的坐标轴
上运动，如图所示即线段
上运动，
设
，则
，由图象可知
，
所以
.
故答案为：
1.在复数范围内解下列方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】根据题意，由一元二次方程的解法结合复数的运算，即可得到结果.
【详解】（1）将方程
的二次项系数化为1，
得
得
，即
所以原方程的根为
（2）方程
的二次项系数为1，
配方，得
由
，
知
可得
所以原方程的根为
.
2.计算
的5 次方根．
【答案】
【分析】把复数化成三角形式，利用复数的开方运算法则直接求5 次方根.
【详解】设
的5 次方根为
，
所以
，
即
，
所以
，得
，
所以
的5 次方根是5 个复数，记为
.
3.在复平面内，将与复数
对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转60°，求与所得的向量对应的复数，
写出你的思考过程．
【答案】
【分析】将与复数
对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转60°，可得所求复数为
，代入三角函数值，再由复数代数形式的乘法运算化简得答案.
【详解】根据复数乘法的几何意义，所求的复数是
，
即
.
故与所得的向量对应的复数是
.
4.如图，向量
与复数
对应，把
绕原点O 按逆时针方向旋转
得到
，求
对应的复数
（用代数形式表示），写出你的思考过程．
【答案】
【分析】由复数代数表示法及其几何意义可知，把
绕原点O 按逆时针方向旋转120°得到
后所对应
的复数为
，再由复数乘法即可求解.
【详解】因为向量
与复数
对应，若把
绕原点O 按逆时针方向旋转
得到
，
则由复数代数表示法及其几何意义可知，
所对应的复数为
，
而
，
因此
所对应的复数为
.
5.判断下列复数是不是复数的三角形式，并说明理由.
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)不是，理由见解析；
(2)不是，理由见解析；
【分析】根据复数的三角形式
即可判断.
【详解】（1）
括号内两项中间不是加号，故不是复数的三角形式，
其三角形式为
.
（2）
不满足复数的模大于等于0，故不是复数的三角形式，
其三角形式为
.
6.设复数
，若复数
的虚部减去其实部的差等于
，求复数
．
【答案】
.
【分析】先化简复数
，再化简复数
，再由
的虚部减去其实部，即可求得
，再将
代入
求解即可.
【详解】由已知，
，
∴
∴复数
的实部为
，虚部为
，
由已知
，
∵
，∴解得
.
∴复数
的实部为
，虚部为
，
∴复数
.
