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第04
复数
讲
目录
01 常考题型过关练
型
题
01 复数的概念
型
题
02 复数的分类
型
题
03 共
复数
轭
型
题
04 复数的几何意义
型
题
05 复数的四
运算
则
型
题
06 复数的高次方
算
计
型
题
07 与复数模相关的
迹（
形
轨
图
)问题
型
题
08 复数范
内解方程
围
型
题
09 复数的三角表示*
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
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01 复数的概念
1．复数
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
2．当n 取正整数时，计算
（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（ ）
A．2，0，2；
B．2 ，0，2 ；
C．1+ ，0，1+ ；
D．2，2 ，0，2，2 .
3．已知复数
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选）下面四个命题中，真命题为（ ）
A．若复数z 满足
则
;
B．若复数
，则
;
C．若复数z 满足
，则
或
;
D．若复数
，则
02 复数的分类
5．设
，则下面四个命题中，正确的是（ ）
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A．
一定是纯虚数
B．若
，则
C．
D．若
，则
是纯虚数．
6．（多选）若复数
（i 为虚数单位），其中真命题为（ ）
A．
B．若
，则
C．若
为虚数，则
也为虚数
D．若
，则
的最大值为
7．（多选）已知复数
、
，则（ ）
A．若
，则
B．若
为纯虚数，则
也为纯虚数
C．若
，则
是实数
D．若
，则
8．（多选）已知复数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
为纯虚数
D．
03 共轭复数
9．（多选）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数
的共轭复数为
C．若复数
为纯虚数，则
D．若
，
为复数，则
10．（多选）若复数
满足
（是虚数单位），则下列说法正确的是 （ ）
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A．
B．
的模为
C．
在复平面内对应的点位于第四象限D．
11．（多选）设
是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
或
B．若
，则
C．若
，则
D．
12．已知复数z 满足
，则
．
04 复数的几何意义
13．复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
14．设复数
和
在复平面上所对应的点分别为
和
，其中为虚数单位，则向量
所对应的复
数在复平面上所对应的点位于第（ ）象限
A．一
B．二
C．三
D．四
15．在复平面内，复数
对应的点的坐标是
，则
．
16．已知复数
．
(1)求
；
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(2)在复平面内，复数
对应的向量分别是
，其中
是原点，求
的大小．
05 复数的四则运算
17．已知i 为虚数单位，复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
18．若复数
满足
，则复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．3
D．
19．设是虚数单位，则复数
等于 ．
20．已知复数
满足
，其中为虚数单位，则
的虚部为 .
06 复数的高次方计算
21．复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
23．若i 为虚数单位，则复数
的虚部为（ ）
A．
B．1
C．
D．i
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24．已知为虚数单位，设复数
满足
，则
.
07 与复数模相关的轨迹（图形)问题
25．（多选）设
为复数，则下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
或
B．若
，则
的最小值为
C．若
，则
D．若
是实系数方程
的一个根，则
26．（多选）下列有关复数的结论正确的是（ ）
A．
B．若复数
是纯虚数，则
C．若
是关于
的方程
的一个根，则
D．若复数
满足
，则复数
对应的点所构成的图形面积为
27．已知为虚数单位，如果复数
满足
，那么
的最小值是 ．
28．在复平面上，设点
对应的复数分别为
（其中为虚数单位），当
由
连续变到
时，向量
所扫过的图形区域的面积为 ．
08 复数范围内解方程
29．（多选）方程
在复数集C 的两个根分别为：
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（多选）已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
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A．若复数
，则
B．若复数
，
，则复数
在复平面内对应的点在第一象限
C．
是复数
（a，
）为虚数的充分不必要条件
D．若复数
是关于x 的实系数方程
的一个根，则
31．（多选）已知
为关于
的方程
在复数范围内的一个根，则（ ）
A．
B．
C．
为纯虚数
D．
为关于
的方程
的另一个根
32．已知关于
的实系数一元二次方程
.
(1)若一根为
，求
，
的值；
(2)设
，
是虚数根，记
，
，
在复平面上对应点分别为
，
，
，求
的值.
09 复数的三角表示*
33．复数
（
，是虚数单位）在复平面内对应点为
，设
，
是以
轴的非负半轴
为始边，以
所在的射线为终边的角，则
，把
叫做复数
的
三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，
，
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，例如：
，
，复数
满足
，则
可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
34．在复平面内，常把复数
和向量
进行一一对应．现把复数
对应的向量绕
原点
按顺时针方向旋转
，所得的向量对应的复数虚部为 ．
35．任何一个复数
都可以表示成
的形式，通常称之为复
数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：
，我们称这个结论
为棣莫弗定理．计算
．
36．如图，复数
可用点
表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，
轴叫做实轴，
轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有
唯一的一个复数和它对应．一般地，任何一个复数
都可以表示成
的形式，即
其中为复数
的模，
叫做复数
的辐角（以
非负半轴为始边，
所在射线为终边的角），
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我们规定
范围内的辐角
的值为辐角的主值，记作
叫做复数
的三角
形式．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．复数三角形式的乘法公式：
棣莫佛提出了公式：
，其中
，
．
(1)已知
，
，求
的辐角的主值；
(2)复数
，
满足
，
，求
；
(3)设多边形
是单位圆的内接正
边形，点
是单位圆上任意的一点，求
的值．
（参考公式：当
．且
时，有
）
1．已知复数
满足
，则
（ ）
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A．2
B．
C．3
D．
2．
已知向量
对应的复数为
，将
绕点O 按顺时针方向旋转
，得到
，则向量
对应的复数是（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．
已知在复平面内，
为原点，向量
对应的复数分别为
，
，那么向量
对
应复数的虚部为（ ）
A．1
B．9
C．
D．
4．（多选）
，
，为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
是关于x 的方程
（p，
）的一个根，则
D．若
，则
，
中至少有一个是0
5．
（多选）欧拉公式
为自然对数的底数，i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家
欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学
“
中的天桥”.若在复数范围内关于
的方程
的两根为
，其中
，则（ ）
A．复数
对应的点位于第二象限
B．
C．
D．若复数
满足
，则
的最大值为
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6．（多选）已知复数
在复平面内对应的点分别为
和
，则下列结论正确的是（ ）
A．点
的坐标为
B．
C．若
，则
D．
7．
已知复数
；
(1)求
；
(2)若
在复平面内的点分别是对应向量
的坐标，且
，求
的值.
8．
代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元
次复系数多项式方
程
至少有一个复数根.由代数基本定理可以得到：任何一元
次复系数多项式
在复数
集中可以分解为n 个一次因式的乘积.进而，一元
次复系数多项式方程有n 个复数根（重根按重数
计）.
(1)在复数集
中解方程：
；
(2)写出一个以
为根的一元六次实系数多项式方程；（不需要写证明过程）
(3)已知一元十次实系数多项式
满足
，求
的值.
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1．（2024·全国甲卷·高考真题）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
2．（2024·全国甲卷·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．10
D．
3．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
4．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）
（ ）
A．1
B．2
C．
D．5
6．（2023·全国甲卷·高考真题）
（ ）
A．
B．1
C．
D．
7．（2023·全国甲卷·高考真题）设
，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
8．（2023·全国乙卷·高考真题）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
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9．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数
．
