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第04 讲 数列的通项公式
目录
01 常考题型过关练
题型01 累加法
题型02 累乘法
题型03
法
题型04 形如
题型05 形如
题型06 形如
题型07 倒数法
题型08 形如
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 累加法
1．若数列{an)满足an=an−1+
1
n
2+n（n≥2且n∈N+），a1= 1
2，则a2025=（ ）
A．2022
2023
B．2023
2024
C．2024
2025
D．2025
2026
2．已知数列an满足a1=3，an+1=an+ 1
n −
1
n+1，则an=（ ）
A．4+ 1
n
B．4−1
n
C．2+ 1
n
D．2−1
n
3．数列{an)满足a1=−1，且an+1=(1+ 1
n)an+ 2
n (n∈N
∗)，则a22等于（ ）
A．19
B．20
C．21
D．22
4．若数列{an)满足an−an−1=
1
2n(n+1)（n≥2，且n∈N
*），a1= 3
4 ，则an= .
5．（1）已知数列{an)满足a1=−1，an+1=an+ 1
n −
1
n+1，n∈N
∗，求数列{an)的通项公式.
（2）在数列{an)中，a1=1，an=(1−1
n)an−1(n≥2)，求数列{an)的通项公式.
02 累乘法
6．（2025·江西·模拟预测）已知数列{an)满足：a1=2，an+1=a1+2a2+3a3+⋯+nan，令
bn=
n+3
an+1+an+2+an+3
，数列{bn)的前n项和Sn，则S2025=（ ）
A．1
8 −
1
2029!
B．1
6 −
1
2028!
C．1
4 −
1
2027!
D．1
2 −
1
2026!
7．记Sn为首项为1 的数列{an)的前n项和，且
Sn
an
=n
2，则S30=（ ）
A．60
29
B．50
29
C．60
31
D．50
31
8．已知Sn为数列{an)的前n项和，若S2=1，2Sn=nan，则a25的值为（ ）
A．23
B．24
C．25
D．26
9．（2025·江西·模拟预测）设数列{an)的前n项和为Sn，已知a1=1,an=n Sn，则2024!a2025=（ ）
A．2024
B．2025
C．−2024
D．−2025
10．数列{an)中，若a1=2,an+1=
n
n+1 an，则2024 a2025= .
03
法
11．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列{an)的前n项和为Sn，an+1+3 Sn⋅Sn+1=0，a1= 1
3．
(1)证明：数列{
1
Sn)为等差数列；
(2)求{an)的通项；
12．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）记Sn为数列{an)的前n 项和，且满足a1=1，❑√Sn+1−❑√Sn=1．
(1)求Sn；
(2)求an；
13．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an=2❑√Sn−1．
(1)证明：数列{an}是等差数列；
14．（2025·甘肃白银·模拟预测）记数列{an)的前n 项和为Sn，已知a1=9，Sn
n −an=n−1．
(1)求数列{an)的通项公式；
15．（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列{an)的前n项和Sn满足Sn=2
n+1+1.
(1)求{an)的通项公式；
16．（2025·广西南宁·三模）已知正项数列{an)的前n 项和为Sn，且4 Sn=an
2+2an(n∈N
∗)．
(1)求数列{an)的通项公式；
17．已知Sn是数列{an)的前n 项和，a1+ a2
2 + a3
3 +⋯+ an
n = n
2+n
4
．
(1)求{an)的通项公式.
04 形如
18．已知数列{an)的前n 项和为Sn，an+1=3an+2，且S2=6，则下列说法正确的是（ ）
A．a1=2
B．a3+a4=69
C．{an+1)是等比数列
D．{an+2)是等差数列
19．已知数列{an)满足2an+1+ 4 an=3，且a1=1，则a9=（ ）
A．259
2
B．129
C．257
2
D．130
20．（多选）已知数列{an)的前n 项和为Sn，首项a1=1且满足an+1=2an+1，则（ ）.
A．a3=9.
B．数列{an+1)为等比数列.
C．an+1>an.
D．S10=2037.
21．已知数列{an)的前n 项和为Sn，且Sn=2an−n，n∈N
∗.
(1)求数列{an)的通项公式；
22．已知数列{an)满足a1= 4，an+1=3an−2.
(1)求数列{an)的通项公式；
23．在数列{an)中，a1=1，且满足an+1=2an+1，数列{bn)的前n项和为Sn，且Sn=n
2(n∈N
*)．
(1)求{an)和{bn)的通项公式；
05 形如
24．设数列{an)的前n项和为Sn，Sn=2an−2
n，则（ ）
A．5a8>4 a9
B．5a8<4 a9
C．5 S8>4 a9
D．5 S8<4 a9
25．已知在数列{an)中，a1=1,an+1=3an+2
n，则an= ．
26．已知数列{an)的首项a1=1，且满足an+1+an=3×2
n，则a7= .
27．已知数列{an)满足a1=2，an+1=2an+3⋅2
n+1
(1)求数列{an)的通项公式；
28．已知数列{an)的前n项和为Sn，a1=1，且3 Sn=(n+2)an；数列{bn)的首项b1=1，且满足
bn+1+bn=3×2
n.
(1)求证：{bn−2
n)是等比数列；
(2)求{an)的通项公式；
29．已知数列{an)满足a1=5，且an+1=3an−2
n(n∈N ∗)．求数列{an)的通项公式；
30．已知数列{an)满足an+1−2an=3
n+1(n∈N
*)，a1=11.
(1)求数列{an)的通项公式；
06 形如
31．设Sn数列{an)的前n 项和，若Sn+3=2an+n，则S10=（ ）
A．3059
B．2056
C．1033
D．520
32．已知数列{an)的前n项和为Sn，其中a1=1，an+1= Sn+2n+1，则
S9
a5+a6
=（ ）
A．101
10
B．53
5
C．303
28
D．153
14
33．在数列{an)中，已知a1=3，且an+1= 4 an+6n−5(n∈N
∗)，则a15=（ ）
A．4
15−15
B．2
15−29
C．2
15−15
D．4
15−29
34．已知数列{an)满足a1=1，an+1=2an+n，则a4=（ ）
A．17
B．18
C．19
D．20
35．数列{an)、{bn)满足：a2=1，an+1=2an−2n+5(n∈N
∗)，3 Sn=bn+2(n∈N
∗)，其中Sn是数列
{bn)的前n项和.
(1)求数列{an)，{bn)的通项公式；
36．设数列{an)满足：a1=2，an+1=2an+ 4 n−4．
(1)求数列{an)的通项公式；
07 倒数法
37．已知数列{an)满足a1=1,an+1=
an
an+2 (n∈N
∗)，则a10=（ ）
A．
1
1021
B．
1
1022
C．
1
1023
D．
1
1024
38．数列{an)满足a1= 4 ,an+1= 4 an−1
an+2 ，则a985= .
39．已知数列{an)中，a1=1，an+1=
an
an+2 (n∈N
∗).
(1)求an；
40．已知数列{an)中，a1=1且an+1=
an
2an+1.
(1)求数列{an)的第2,3,4项；
(2)猜想数列{an)的通项公式，并证明.
41．已知数列{an)满足a1= 1
3，an+1=
an
3an+1.求{an)的通项公式.
42．已知数列{an)中，a1= 4，an+1= 4 an
an+3
(1)求数列{
1
an)的前n项和Sn；
43．已知数列{an)满足a1= 1
18，2an+1−an=16an+1an，则数列{an)的通项公式为 ．
08 形如
44．已知数列{an)满足a3−a2=9,an−4 an−1+3an−2=0(n≥3)，则an−a1=（ ）
A．3
n−3
2
B．3
n+3
4
C．2⋅3
n−6
D．3
n−1−1
2
45．（多选）已知数列{an)的前n项和为Sn，且满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1+ 4 an，则以下说法正确的
是（ ）
A．{an+1+an)是等比数列
B．{an+1−4 an)是等比数列
C．an= 4
n+(−1)
n
5
D．Sn= 2×4
n+1−3(−1)
n
30
46．已知数列{an)中a1=1，a2=3，且满足an+2+3an= 4 an+1．设bn=an+1−an，n∈N
*.
(1)求数列{bn)的通项公式；
(2)求数列{an)的通项公式；
1．（2025·云南昆明·模拟预测）设Sn为数列{an)的前n 项和，当n≥2时，Sn+2=5 Sn+1−8 Sn+ 4 Sn−1，已知
a1=1，a2= 4，a3=12．
(1)证明：数列{an+1−2an)为等比数列；
(2)求数列{an)的通项公式；
2．（2025·海南·模拟预测）已知数列{an)的前n 项和为Sn，且Sn=2an−n，n∈N
∗，
(1)求数列{an)的通项公式；
3．（2025·广东广州·三模）已知数列{an)满足a1=1，a3=6，且对任意的n≥2，n∈N
*，都有
an+1+an−1=2an+3.
(1)设bn=an+1−an，求证：数列{bn)是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列{an)的通项公式；
4．（2025·广东揭阳·三模）记Sn为数列{an)的前n项和，已知a1=1，Sn=n
2an.
(1)求a3；
(2)求{an)的通项公式；
5．（2025·山西忻州·模拟预测）已知数列{an)的前n 项和Sn满足Sn=2
n+1+1．
(1)求{an)的通项公式；
1．（2025·天津·高考真题）Sn=−n
2+8n，则数列{|an))的前12项和为（ ）
A．112
B．48
C．80
D．64
2．（2024·全国甲卷·高考真题）记Sn为数列{an)的前n项和，已知4 Sn=3an+ 4．
(1)求{an)的通项公式；
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设Sn为数列{an)的前n 项和，已知a2=1,2Sn=nan．
(1)求{an)的通项公式；
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续
投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的
命中率均为0.8．由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2 次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
5．（2021·全国乙卷·高考真题）记Sn为数列{an)的前n 项和，bn为数列{Sn)的前n 项积，已知2
Sn
+ 1
bn
=2．
（1）证明：数列{bn)是等差数列;
（2）求{an)的通项公式．
