文档文本内容
2027 年高考数学一轮复习检测卷
（范围：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式~第六章 数列）
数学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 ，解得 ，
所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ．
3．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件【答案】B
【详解】由基本不等式得， ，当且仅当 时，等号成立，
所以当 时， ，此时 成立；
若 ，此时 ，而 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
4．设等差数列 的首项和公差均为m，等比数列 的首项和公比也均为m，其中 ，若数列
的前6项和与数列 的前3项和都等于S，则 （ ）
A．84 B．63 C．42 D．21
【答案】A
【详解】依题意可知， ，显然 ，
又 ，
则 ．
又 ，故 ，
所以 ，解得 ，所以 ．
5．如图，在矩形 中， ， 为 的中点， 为等边三角形， 为 的中心，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 为等边三角形，则 ,
由 为 的中心，则 ， ，
则
.6．已知函数 ，若 且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 图像如图．
设 则 ．
所以 ， ， ，
设 ，则 ．所以 在 上单调递增． ， ．
所以 时， ．
7．已知 中， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【详解】设 ，
；
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ,
则 ，所以
8．已知函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数 ，
当 时，则 ，可得 ，
即 ，则 ，可得 ，
因为 在 上单调递增，所以 ；
当 时，则 ， ， 不可能成立，不合题意；
当 时，则 ，
设 ，对任意 ，且 ，
则 ，且 ，可得 ，即 ，
可知 在 上单调递增，则 ，即 ；
综上所述： 的取值范围是 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则（ ）
A． B．
C． 为递增数列 D． 是等差数列
【答案】ACD
【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，因为 ，可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，且 ，
对于A，由 ，可得 ，所以A正确；
对于B，由 ，可得 ，所以B不正确；
对于C，由 ，所以 ，即 ，
所以数列 为递增数列，所以C正确；
对于D，由 ，可得 ，则 ，
所以数列 是等差数列，所以D正确.
10．已知复数 在复平面内对应的点分别
为 （其中 为虚数单位， 为坐标原点），则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】对于A选项， ， ，
， ，所以 ，A 选项正确.
对于B选项， ，所以
，
，所以 ,
因为 和 是任意角，所以 ，故B选项错误.
对于C选项， ， ，所以 ，
，
因此 ，故C选项错误.
对于D 选项， ， ，因此
，故D选项正确.故选AD.
11．已知函数 ，满足 ， ，且 的最小值为 ，
下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 在区间 单调递减
C． 在区间 有两个极值点 D．使得 为偶函数的最小正实数 为
【答案】AC
【详解】由
，
对于A，因为 ， ，且 的最小值为 ，
即函数 的最小正周期 满足 ，所以 ，所以A正确；
对于B，由上分析可得 ，解得 ，则 ，
当 时， ，
当 时，即 时，函数 单调递增；
当 时，即 时，函数 单调递减，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，所以B错误；
对于C，令 ，可得 ，
因 ，由 ，解得 ，又 ，
故当 时， ；当 时， ，
即函数 在区间 有两个极值点 和 ，所以C正确；
对于D，由函数 ，因为函数 为偶函数，可得 ，解得 ，
当 时， ，所以最小正实数 为 ，所以D不正确.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若两个单位向量 ， 满足 ，则向量 与 的夹角为________．
【答案】 /
【详解】因为 ， 为单位向量，所以 .
两边平方，可得 ，解得 .
而 ，
，
.
设向量 与 的夹角为 ， ，
则 ，所以 .
向量 与 的夹角为 .
13．已知实数 ，且 ，若 ，则 __________.
【答案】
【详解】 ， ， ，
， ，
， ， ， ，
， .
14．在 中，若 ， 是 的平分线，
，则 的长为______．【答案】
【详解】由正弦定理得， .
设 ，则 ， ，解得 ， ， .
由余弦定理得 ，
又 ，则 .
所以 ，解得 .
因为 是 的平分线，所以 ， ，
所以 ，
又 ，所以 .
又 ，
所以 ，即 ，
解得 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数 的部分图象如图所示．
(1)求 的解析式；(2)若函数 ，求方程 在 上的解的个数．
【详解】（1） 的最小值为 ，所以 ，.......................................................................................2分
的最小正周期 ，得 ，又 ，所以 ，.........................................4分
结合图象可知 ，即 ，
，
，
；..................................................................................................................................6分
（2）
，................................................................................9分
∴令 ，即 ，又 ，
，...................................................................................................................................11分
∴当 或 或 时， ，
分别对应 ， ， ，故方程 在 上的解的个数为3........................................13分
16．（15分）已知函数 .
(1)设 ，求 的单调区间；
(2)设 是 的极小值点，求证： .
【详解】（1）由题可得 ，...............................2分
所以 ，
令 ，解得： ，
令 ，解得： ，..............................................................................................................................4分
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；....................................................................5分(2)因为 是 的极小值点，
则 ，
即 ，即 ，
所以 ........................................................................................................8分
由于 ， ，由于 在 上单调递增，.......................................10分
所以 ，
令 ，所以 在 上单调递减，................................................................................12分
则 ，
即 ...............................................................................................................................15分
17．（15分）已知数列 的前 项和为 ，对任意 ，满足 ，且 ．数列 满足
，且其前两项和为6，前4项和为 ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)将数列 ， 的项按照“当 为奇数时， 放在 的前面；当 为偶数时， 放在 的前面”的要
求进行排列，得到一个新的数列： ．求该数列前39项的和．
【详解】（1） 且 ，所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，2
分
， ......................................................................................................3分
当 时， ..........................................................................................5分
也适合上式，所以， .......................................................................................................6分
，即 ，且 ，
所以，数列 是正项等比数列，..................................................................................................................8分
设其公比为 ，则 .由题意可得 ，解得 ，.....................................................10分
因此， ；........................................................................................................11分
（2）数列 的前 项和为 ，
数列 的前 项和为 ，...................................................................................13分
设新数列为 ，其前 项和为 ，
则 .......15分
18．（17分）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，
（i）求 的面积；
（ii）求 的值．
【详解】（1）由正弦定理得 ，代入 得：
，............................................................................................................2分
，
，
则 ，....................................................................................................................................3分
，
即 ，故 ，............................................................................................................5分
，
．..............................................................................................................................................................6分（2）（i）已知 ，由余弦定理：
，代入数值得：
，即 ，....................................................................................................8分
解方程得 或 （舍去），
，
；.................................................................................................10分
（ii） ，
则 ，
由正弦定理 得， ，....................................................................12分
，
，
，........................................................................................................14分
，
，
．......................................17分
19．（17分）已知函数 （ ）， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 的图像在 处的切线 与 的图像相切，求实数 的值；
(3)当 时，证明：对任意的 ， 恒成立．
【详解】（1）因为 ，
所以 ，...........................................................................................................................................1分
当 时， ， 在 上单调递增；.....................................................................2分当 时，令 ，得 ，
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；.......................................................................4分
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增； 在 上单调递减；..............................................5分
（2）因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以切线 的方程为 ，............................................................................................................................7分
设直线 ： 与函数 相切于点 ，
因为 ，
所以 且 ，
解得 ，
所以 ；.........................................................................................................................................................9分
(3)证明：当 时， ，
要证明对任意的 ， 恒成立，
即证明 ，即 ，..................................................................11分
令 ，则 ，
令 ，得 ，
所以当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；
所以 ，...................................................................................................................................13分
所以 ，即 ，
令 ，
则有 ，...................................................................................................................................15分
又因为 ，
所以 ，所以对任意的 ， 恒成立．.......................................................................................17分
