文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 11 第六章 数据的分析 知识点一 平均数 1. 算术平均数：一组数据所有数据之和除以数据的总个数。 公式：𝑥⃐= _______________________，反映一组数据的平均水平。 2. 加权平均数：当每个数据重要程度不同，赋予不同权重。 公式：𝑥⃐= _____________________________； 权重可以是数据个数、比例、百分比，权重越大对平均数影响越___________。 3. 特点：平均数用到全部数据，容易受极端偏大、偏小值影响。 易错：出现极端值时，平均数不能很好代表这组数据的一般水平。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 11 知识点二 中位数与众数 中位数 1. 定义：把一组数据按从小到大（或从大到小）______后，处在______位置的数。 数据个数为奇数：中间那一个数据就是中位数； 数据个数为偶数：中间两个数据的______是中位数。 2. 特点：只和数据位置有关，不受极端值影响。 众数 1. 定义：一组数据中__________________的数据。 2. 注意：一组数据可以有一个众数、多个众数，也可以没有众数。 3. 特点：反映数据集中出现最多的数值，不受极端值影响。 三者对比：平均数反映平均水平；中位数反映中间水平；众数反映多数水平。 知识点三 方差、标准差 用来刻画一组数据的波动大小、离散程度。 1. 方差 公式：𝑠2 = __________________________________________ 方差越大：数据波动越大，数据越____________； 方差越小：数据波动越小，数据越____________。 2. 标准差：方差的算术平方根，𝑠= √𝑠2；单位和原数据单位一致。 ⚠ 易错：方差一定是非负数；比较方差大小，两组数据平均数相近时比较才有意义。 知识点四 四分位数与箱线图 1. 四分位数 将排序后的数据分成四部分，三个分割点就是四分位数： 𝑄1：下四分位数（第25 百分位数），数据从小到大排，处在______位置； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 11 𝑄2：中位数（第______百分位数）； 𝑄3：上四分位数（第______百分位数）。 1. 四分位距：𝐼𝑄𝑅= 𝑄3 −𝑄1，反映中间50%数据的离散程度，不受极端值干扰。 2. 箱线图（箱形图） 组成：最小值、𝑄1、中位数𝑄2、𝑄3、最大值，五个关键数值绘制而成。 作用： ① 直观对比多组数据的分布、集中位置； ② 识别异常值（极端离群数据）； ③ 箱体越矮，代表中间部分数据越____________。 易错点1 利用已知的平均数与方差求相关数据的平均数与方差 易错提醒 易错点总结 1. 混淆算术平均数与加权平均数，直接对两组平均数取算术平均，忽略两组数据的数据个数不同。 2. 对数据整体平移、缩放之后，不会正确推导新数据的平均数，变换规则记错。 3. 部分数据改动，不会利用平均数与数据总和的关系求解，直接重新全部计算，容易计算出错。 注意事项总结 1. 两组数据求总平均数，不能简单求两个平均数的平均值，要用总数量÷总个数。 2. 若一组数据每个数加 a，平均数加 a；每个数乘 k，平均数乘 k。 【对点训练】1．已知一组数据 ，，，，的平均数为 ，方差为 ，求数据 ， ， ， ， 的平均数和方差． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 11 易错点2 利用平均数与加权平均数做决策 易错提醒 易错点总结 1. 分不清算术平均数和加权平均数，忽略权重，直接简单平均。 2. 权重理解错误，看错各部分所占权重，权重之和不等于1。 3. 只依靠平均数做决策，忽略数据实际背景，不会结合题意分析结果。 注意事项总结 1. 各部分重要程度不同时，使用加权平均数；权重可以是比值、分数、百分比。 2. 所有权重相加必须等于1。 3. 做决策不能只看计算结果，结合题目情境，按权重意义分析，选出合理方案。 【对点训练】2．某校举办了 创意编程挑战赛，只有甲、乙两位同学进入最终决赛．决赛对创意设计、 代码实现、答辩展示三项进行评分（每项满分均为10 分），甲、乙两位同学的各项得分如下： 同学 创意设计/分 代码实现/分 答辩展示/分 甲 8 8 9 乙 8 9 8 如果将创意设计、代码实现、答辩展示三项成绩按照 的比例计算个人最终决赛成绩，请通过计算说明 哪位同学会获得第一名． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 11 易错点3 根据方差判断稳定性或做决策 易错提醒 易错点总结 1. 方差大小与稳定性记忆颠倒，误认为方差越大，数据波动越小、越稳定。 2. 比较两组数据，只比较方差，忽略平均数不同，直接下结论。 3. 不会理解方差的实际意义，只机械套公式计算，不会结合实际问题做决策。 注意事项总结 1. 方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，波动越小，数据越稳定。 2. 只有平均数相等或者接近时，才能直接用方差比较稳定性。 3. 做决策：平均数相同时，优先选择方差小的；结合实际需求，不是所有情况都选稳定。 【对点训练】3．从甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，对两人进行 了五次模拟，并对成绩（单位：分）进行了整理，计算出 ， ．绘制成如下尚不完整的统计图 表． 甲、乙两人模拟成绩统计表 ① ② ③ ④ ⑤ 甲成绩/分 79 86 82 a 83 乙成绩/分 88 79 90 81 72 根据以上信息，解答下列问题： (1) ________； (2)请完成图中表示甲成绩变化情况的折线； (3)已知 ．计算甲的成绩的方差，综合分析，你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 11 易错点4 平均数、众数与箱线图 易错提醒 易错点总结 1. 看不懂箱线图，分不清四分位数、最大值、最小值，找错中位数。 2. 混淆平均数、中位数、众数，不会从箱线图读取众数，箱线图无法直接读出众数。 3. 错误用平均数代表箱线图反映的整体水平，没有考虑极端值的影响。 4. 不会利用箱线图比较两组数据的分布、集中趋势。 注意事项总结 1. 箱线图五要素：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值；箱线图不能得到众数。 2. 存在极端异常值时，中位数比平均数更适合代表这组数据的整体水平。 3. 箱子越窄，数据中间部分越集中；须越长，数据离散程度越大。 4. 对比两组箱线图，优先看中位数判断整体水平，看箱体宽窄判断集中程度。 【对点训练】4．甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 11 一、单选题 1．已知一组数据 、 、 、 、 的平均数为5，方差为8，则数据 、 、 、 、 的平均数和方差分别为（ ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 2．某校为了解九年级学生对国防知识的掌握情况，组织了一次“心系国防”知识竞赛．赛后，从某个班中随 机抽取了12 名学生的成绩（单位：分），数据如下：88，85，85，90，88，88，92，85，88，87，95，85．若 去掉这组数据中小蓝的分数后，这组数据中的众数会发生改变，则小蓝的分数可能是（ ） A．97 分 B．90 分 C．88 分 D．87 分 3．下列说法中正确的是（ ） A．数据5，3，3，6，5 的众数是3 B．数据2，3，1，0 的中位数是2 C．一组数据的众数和中位数不可能相等 D．数据0，5， ， ，6 的中位数和平均数都是0 4．八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟 跳绳次数的箱线图，下列说法错误 ．．的是（ ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．甲组跳绳次数的下四分位数小于 C．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 D．乙组跳绳次数的最大值小于 5．为了深化落实“双减”工作，促进中小学生健康成长，教育部门对相关工作进行了督查，随机调查了某校 10 名学生的“体质”情况，并了解到他们一周在校参加体育运动的时间，如下表： 锻炼时间（小时） 5 6 7 8 人数 2 4 3 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 11 则这10 名同学一周在校参加体育运动时间的平均数和中位数分别为（ ） A．6.2 小时，6 小时 B．6.2 小时，7 小时 C．6.3 小时，6 小时 D．6.3 小时，7 小时 二、填空题 6．已知某体能训练小组成员每周锻炼身体的时长（单位： ）分别为3，5，8，10，老师按照锻炼身体的 时长将该训练小组的成员分成 和 两组，则这样分组的组内离差平方和为________． 7．锦凌中学准备优化师生的配餐菜品，现在对A、B、C 三个套餐进行评估，各项得分如下表：（单位：分） 套餐 营养均衡度 口味接受度 价格合理度 A 8 9 8 B 9 8 8 C 7 9 9 若规定营养均衡度、口味接受度、价格合理度在总分中所占的比例分别为 、 、 ，则三项得分 的加权平均数最高的是___________．（填“A”“B”或“C”） 8．天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁 荣及改善环境．多年来，我国规模以上工业天然气生产稳定增长，据工作人员统计，某段时间天然气日均 产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，这组数据的上四 分位数是______． 9．按照“组内离差平方和最小”的方法将 个数据分成了两组，第一组是 ，第二组是 ，则该分 组情况下的组内离差平方和是________． 10．某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按2：3：2：2：1 确定成绩，小明同学本学期 五方面得分如图所示，则他期末操行得分为_____分． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 11 三、解答题 11．某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，成绩(单位：分)如表： 应聘者成绩 应聘者 笔试 面试 甲 85 90 乙 92 83 (1)如果公司认为笔试和面试同等重要，谁将被录用？ (2)如果公司认为笔试成绩比面试成绩更重要，笔试和面试按 的比例计算总成绩，谁将被录用？ 12．情绪机器人是能够与人类互动提供情绪价值的一种迷你机器人，某公司生产甲，乙两款情绪机器人， 技术部门对两款机器人样品各进行了6 轮情绪测试（满分10 分）． 甲款情绪机器人样品的测试结果为3，4，4，6，4，9． 两款情绪机器人样品的测试结果数据分析如下： 款式 平均数 中位数 众数 方差 甲 a 4 b c 乙 5 5 5 0.3 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： _______， _______． (2)计算c 的值，并从平均数和方差角度分析哪款情绪机器人的表现更优秀． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 13．为了调查共同富裕示范区情况，某数学实践小组对甲、乙两个社区进行了调查，采用了抽样调查的方 法，甲、乙两个社区均随机抽取10 户家庭，收集2025 年居民人均可支配收入，并对数据进行整理，制成 如下统计表： 社区 平均数（万元） 中位数（万元） 众数（万元） 方差（万元） 甲 7 乙 7 由于统计过程中的操作失误，使最终的数据遗失了2 个，分别记为 和 ，不妨设 ． 不完整的数据如下：（单位：万元） 甲： 乙： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)若甲社区有100 户家庭，请估计甲社区有多少户家庭2025 年居民人均可支配收入超过 万元； (2)求 和 的值； (3)你认为哪个社区在共同富裕方面取得的成效更显著？请说明理由． 14．在“书韵传声”经典故事品读赛中，八（1）班要从甲、乙两名同学中选择一位代表班级参赛．甲、乙两 名同学在之前的12 次备赛环节的测试成绩（单位：分）如下： 甲： ； 乙： ． 甲、乙两名同学测试成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲 85 90 151.17 乙 88 92 100.67 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / 请根据以上信息解答下列问题： (1)表格中， ______， ______； (2)计算乙同学测试成绩的第一四分位数和第三四分位数，并绘制乙同学测试成绩的箱线图； (3)根据以上信息，你认为应选派谁代表班级参加比赛？请说明理由． 15．为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、 丁班四班同学参加“跳绳”比赛．并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？ (2)这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的次数最多的同学在哪个班？ (3)你觉得哪个班的同学表现得最出色？请说明理由．
