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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 12 第二章 实数 知识点一 平方根和立方根 1. 算术平方根 若 𝑥2 = 𝑎 (𝑥> 0)，则 𝑥 是 𝑎 的____________，记作_______。算术平方根一定是非负数，0 的 算术平方根是 _______。只有_______才有算术平方根。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 12 2. 平方根 若 𝑥2 = 𝑎，则 𝑥 叫做 𝑎 的_______。正数有_______个平方根，互为_______；0 的平方根是 _______；负数没有平方根。书写格式：正数平方根为 _______。 3. 重要公式 (√𝑎)2 = _______ (𝑎≥0)，√𝑎2 = _______（重点易错：开方出来必须非负） 4. 立方根 若 𝑥3 = 𝑎，则 𝑥 为 𝑎 的_______，记作 _______。任意实数都有唯一立方根：正数立方根为_______， 负数立方根为_______，0 的立方根为 0。满足 √−𝑎 3 = −√𝑎 3 。 5. 平方根与立方根最大区别 平方根：负数无；两个互为_______；结果_______。 立方根：全体实数都有；一数一立方根；符号与原数一致。 知识点二 无理数与实数 1. 有理数 _______和_______统称有理数，对应有限小数、无限循环小数，可以写成分数形式。 2. 无理数 ______________叫做无理数，不能写成分数。四类常考：① 开方开不尽的数；② 含 𝜋 的数；③ 无限不循环构造小数；④ 部分特殊根式。 3. 实数分类 实数 = 有理数 + 无理数 4. 实数核心性质 实数和数轴上的点一一对应；实数都有相反数、绝对值、倒数；有理数的运算法则、运算律全部适 用于实数。 5. 实数大小比较 数轴右侧数更大；正数大于 0 大于负数；两负数比较，绝对值大的反而小；根式比较可平方后比 较。 知识点三 二次根式的相关概念和性质 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 12 1. 定义与有意义条件 形如 √𝑎 (𝑎≥0) 的式子叫_______。双重非负性：被开方数 _______，根式结果 _______（考试高 频考点）。 1. 最简二次根式标准（必须同时满足） ① 被开方数不含_______；② 被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 2. 同类二次根式 几个二次根式化成最简后，被开方数相同，即为同类二次根式，可以合并。 3. 三大基本性质 ① (√𝑎)2 = _______ (𝑎≥0) ② √𝑎2 = _______ ③ 积、商的开方性质：√𝑎𝑏= ______________(𝑎, 𝑏≥0)，√ 𝑎 𝑏= ______________(𝑎≥0, 𝑏> 0) 知识点四 二次根式的运算 1. 二次根式加减 口诀：先化简、再合并。先全部化为最简二次根式，再只合并同类二次根式，非同类不能合并。 2. 二次根式乘除 乘法：√𝑎⋅√𝑏= _______ 除法：√𝑎 √𝑏= _______ 运算后必须化简为最简根式。 3. 分母有理化 目的：去掉分母中的根号，是二次根式化简必考步骤。单根式分母直接分子分母同乘根式；多项式 分母利用平方差公式有理化。 4. 混合运算规则 运算顺序与有理数一致：先乘方开方、再乘除、最后加减；有括号先算括号内；可灵活使用交换律、 结合律、平方差、完全平方公式简便运算。 5. 最终答题要求 所有二次根式计算题，结果必须是最简二次根式，含分母根号、未开尽方全部扣分。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 12 易错点1 二次根式化简求值 易错提醒 易错点总结 1. 混淆两个核心公式：把 √𝑎2 直接等于 𝑎，忽略绝对值，符号出错。 2. 忽略二次根式双重非负性（被开方数≥0、根式值≥0），导致取值范围、参数求解错误。 3. 根式加减运算中，对非同类二次根式强行合并，化简错误。 3. 含字母根式化简时，不判断字母正负，直接去根号。 5. 求值题不化简直接代值，计算量大、极易算错、步骤扣分。 注意事项总结 1. 牢记公式区别：(√𝑎)2 = 𝑎(𝑎≥0)；√𝑎2 = |𝑎|（必考）。 2. 只要出现二次根式，先保证被开方数非负，利用非负性求参数。 3. 根式运算原则：先化简为最简二次根式，只有同类根式可合并。 4. 含字母开根号：先判正负，再去绝对值，不能盲目开方。 5. 求值严格遵守：先化简、后代入，负数、分数代入必须加括号。 【对点训练】1．计算： (1) 3 2 12 5 2 4 (2)( )( ) 2 3 6 2 3 6 − + 易错点2 勾股定理与实数 易错提醒 易错点总结 1. 勾股计算得出根式结果，不化简、不分母有理化，答案不标准扣分。 2. 混淆边长与边长平方，算出平方值直接当作边长写答案。 3. 三角形边长为无理数时，不会比较大小，误判斜边，公式代错边。 4. 折叠、最短路径、网格题中，算出实数结果不整理，留有未开尽方、分母带根号。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 12 注意事项总结 1. 几何计算含根式，最终结果必须是最简二次根式。 2. 求边长必须开方，求面积、平方关系不用开方，看清题目要求。 3. 无理数比大小：优先比较平方值，避免近似小数出错。 4. 勾股与实数综合题，最后必须检查：无分母根号、无开不尽方、格式规范。 【对点训练】2．如图，4 4 的网格中每个小正方形的边长均为1，请你在网格上分别按照要求设计一个顶 点都在格点上的直角三角形． (1)直角三角形的三边中有一边长是无理数； (2)直角三角形的三边中有两边长是无理数； (3)直角三角形的三边长都是无理数． 易错点3 复合二次根式的化简 易错提醒 易错点总结 1. 不会拆分 √𝑎± 2√𝑏 型复合根式，盲目开方。 2. 找不出满足和、积条件的两个数，配方错误。 3. 化简后正负判断错误，忽略算术平方根结果必须为正。 4. 多层根式运算顺序混乱，从外层开始化简，导致全盘错误。 注意事项总结 1. 复合根式标准配方：√𝑎± 2√𝑏= √𝑥± √𝑦，满足 𝑥+ 𝑦= 𝑎，𝑥𝑦= 𝑏。 2. 先凑”2 倍根号”结构，没有 2 倍先变形构造，再配方化简。 3. 化简结果一定为正数，配方后舍去负根。 4. 多层根式：由内向外逐层化简，每层都化为最简根式再计算。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 12 【对点训练】3．阅读材料：把根式 2 x y 进行化简，若能找到两个数 , m n，使 2 2 m n x + = ，mn y = ， 即把 2 x y 变成 ( ) 2 2 2 2 m n mn m n + = ，从而可以对根式 2 x y 进行化简． 例如：化简：5 2 6 − ． 解： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 2 6 3 2 6 2 3 2 3 2 2 3 2 − = − + = − + = − ， ( ) 2 5 2 6 3 2 3 2 − = − = − ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：6 4 2 + ． (2)化简： 2 1 m m + − ． (3)计算：19 8 3 10 4 6 + − − ． 易错点4 与实数相关的规律题 易错提醒 易错点总结 1. 只观察数字变化，忽略符号、根号结构、循环特征。 2. 奇偶项规律不同，不分类讨论，统一通项公式写错。 3. 无理数、根式序列不会整理结构，找不到变化规律。 4. 写出规律公式后不验证，代入前几项对不上仍直接使用。 注意事项总结 1. 实数规律四要素：符号、根号内数字、系数、项数奇偶性。 2. 正负交替统一用 (−1)𝑛 或 (−1)𝑛+1 表示。 3. 根式规律保持结构统一，先整理最简根式再找变化。 4. 通项公式写出后，必须代入 𝑛= 1、𝑛= 2 验证无误。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 12 【对点训练】4．阅读下列解题过程： ① 2 3 1 1 1 1 4 4 2 2 − = = = ； ② 2 5 4 2 2 1 9 9 3 3 − = = = ； ③ 2 7 9 3 3 1 16 16 4 4 − = = = ； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想： ( ) 2 2 1 1 1 n n + − + =______；（n 为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算： 3 5 7 19 1 1 1 1 4 9 16 100 − − − − ． 易错点5 新定义下的实数运算 易错提醒 易错点总结 1. 惯性使用常规运算，不按题目新定义公式计算。 2. 负数、根式、分数代入新定义公式时，位置代反、漏括号、符号错乱。 3. 多层嵌套新运算，顺序颠倒，先算外层再算内层。 4. 运算结束后不化简根式，结果不规范，遗漏分母有理化。 注意事项总结 1. 新定义题核心：题目规则优先，禁止自创运算。 2. 固定解题步骤：抄写新公式→对应位置代数→实数运算→根式化简。 3. 所有负数、根式参与运算必须加括号，规避符号错误。 4. 多层运算从内到外，最终结果务必化为最简二次根式。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 12 【对点训练】 5．【阅读材料】先来看一个有趣的现象： 2 2 8 2 2 2 2 2 3 3 3 3 = = = ，这个根号里的2 经过适当的演变，竟 然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： 3 3 3 3 8 8 = ， 4 4 4 4 15 15 = 等． (1)【猜想】 5 5 24 = ___________，并证明你的猜想； (2)【推理证明】请你用一个正整数n （n 为“穿墙”数， 2 n ）表示含有上述规律的等式，并给出证明． (3)【创新应用】按此规律，若 9 9 a a b b + = （a ，b 为正整数），求2a b + 的平方根. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 12 一、单选题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A．50 B． 45 C．3 D．12 2．已知 2 2 2 2 43 1849,44 1936,45 2025,46 2116. = = = = 若n 为整数且 1 2026 , n n − 则n 的值为（ ） A．43 B．44 C．45 D．46 3．下列说法正确的是（ ） A．16 的平方根是4 B． 2 2 是分数 C．3 是无理数 D．无限小数是无理数 4．实数a，b 是连续整数，如果 26 a b ，那么a b + 的值是（ ） A．9 B．7 C．8 D．11 5．定义：对于任意的实数a ，b ，当a b 时，有 2 3 a b a b = + ；当a b 时， 2 3 a b a b = + ，则( ) ( ) 1 8 − − = （ ） A．7 − B．1 C．7 D．1 − 二、填空题 6．定义新运算：对于任意实数a，b，都有 2 2 a b a ab = − ，其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如 2 1 1=1 2 1 1= 1 − − ．请计算 ( ) 2 1 − = ______． 7．小明编写了一个程序，如图．若输入 8 x = ，则输出的数为___________． 8．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8 行第6 个数是_________． 9．若一个正数的两个不同平方根是 7 a + 和2 4 a − ，则a 的立方根为________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 10．若8n 是整数，正整数n 的最小值是_______． 三、解答题 11．计算： (1) ( ) 0 3 8 π 1 3 3 + − − ； (2)( ) 2 5 2 48 3 + − ． 12．如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解 决．请阅读并完成下列问题： (1)如图1，过数轴上表示2 的点A，作数轴的垂线，并截取长度为1的线段AB ，连接OB ，以点O为圆心， 以OB 为半径画弧，与数轴正半轴交于点C ，请直接 ．．写出点C 表示的数． (2)如图2 ，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示10 的点P ．（保留作图痕迹，不写作法） 13．阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1 的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4 个直角三角形拼在 一起，得到的大正方形面积为 2 2 1 ，其边长2 就是原边长为1 的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，A 系列纸为长方形，其中A0 纸的面积为1 平方米，将A0 纸沿长边对折、剪开， 便成A1 纸；将A1 纸沿长边对折、剪开，便成A2 纸；将A2 纸沿长边对折、剪开，便成A3 纸；将A3 纸 沿长边对折、剪开，便成A4 纸，如图2，我们日常使用的A4 纸就是这样由A0 纸多次对折裁开得到 的． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / 将A4 纸按如图3 所示的方式折叠，则A4 纸的长:宽= __________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5 纸的面积是__________平方米． (2)A4 纸的长:宽= __________． (3)按照图2 的A 系列纸生成过程，经过探究发现，A 系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都 相等．请你估算面积为1 平方米的A0 纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，2 1.414, 0.7072 0.841 ） 14．类比探究：小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次 方根、五次方根的相关知识： 若 ( ) 2 0 x a a = ，则x 叫a 的二次方根；若 3x a = ，则x 叫a 的三次方根； 若 ( ) 4 0 x a a = ，则x 叫a 的四次方根，记作 4 x a = ，例如：16 的四次方根记为 4 16 2 = ． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若_______________，则x 叫a 的五次方根，记作_______________； ②32 的五次方根为_______________； (2)若4 1 1 0 8 4 a b − + − = ，则5 ab =_______________； (3)求x 的值：( ) 4 3 2 243 0 x − − = ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / 15．观察下列等式： 第1 个等式： 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 + + = + − ； 第2 个等式： 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 + + = + − ； 第3 个等式： 2 2 1 1 1 1 1 1 3 4 3 4 + + = + − ； 第4 个等式： 2 2 1 1 1 1 1 1 4 5 4 5 + + = + − ；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7 个等式：______________________________； (2)写出第n 个等式：______________________________；（用含n 的等式表示） (3)根据上面的结论计算： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2025 2026 + + + + + + + + + + + + ．
