文档文本内容
知识解构
知识点1 指数与指数幂的运算 知识点2 指数函数的图象和性质
知识点3 底数
对指数函数图象的影响
题型破译 (含超链接）
题型
1
根式与指数幂的运算
题型
2 指数函数的概念、定义域及解析式
题型
3 指数函数的定点问题
题型
4 指数函数的图象问题
题型
5 指数函数的单调性
题型
6 指数函数的值域（最值）
【方法技巧】复合函数单调性的判断方法
题型
7 根据指数函数的最值求参数
题型
8 比较指数幂大小
【方法技巧】比较指数幂大小的方法
题型
9 解指数不等式
题型
10
指数应用题
第04 讲 指数与指数函数
内容导航
命题透视·考情前瞻
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
指数函数的图象
全国甲卷T8（5 分）
指数函数的性质
全国高考**
的表达式
错误
**卷T13（5 分）
新高考**
的表达
错误
式 **卷T8（5 分）
考情分析
本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指
数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6 分
近三年考情显示，考点有判断指数函数的单调性、判断对数函数的单调性、根据
分段函数的单调性求参数、指数型复合函数单调性、二次函数单调性、比较指数
幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小。
复习目标
1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
4.能结合指数函数比较指数式大小.
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 指数与指数幂的运算
1．根式
（1）
次方根的概念与性质
次
方
根
概念
一般地，如果
，那么
叫做
的
次方根，其中
，
.
性质
①
当
是奇数时，正数的
次方根是一个正数，负数的
次方根是一个负数.这
时，
的
次方根用符号________表示.
②当
是偶数时，正数
的
次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数
的正的
次
方根用符号
表示，负的
次方根用符号
表示.正的
次方根与负的
次方根可以合
并写成
.负数没有偶次方根.
③0 的任何次方根都为0，记作
.
（2）根式的概念与性质
根
式
概念
式子
叫做根式，这里
叫做根指数，
叫做被开方数.
性质
①
.
②
当
为奇数时，____________
③
当
为偶数时，____________.
2．实数指数幂
（1）分数指数幂
①我们规定正数的正分数指数幂的意义是
. 于是，在条件
下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
②
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定
且
.
③0 的正分数指数幂等于 ，0 的负分数指数幂
.
（2）实数指数幂
对于任意实数
，均有下面的运算性质：
；
；
.
自主检测（多选）下列各式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点2 指数函数的图象和性质
1．指数函数的概念
一般地，函数 叫做指数函数，其中
是自变量，函数的定义域是 .
【注】指数函数
的结构特征：
（1）底数：大于零且不等于1 的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：
的系数是1.
2．指数函数的图象与性质
图象
性质
定义域
值域
最值
无最值
过定点
过定点
，即
时，
函数值
的变化
当
时，
；
当
时，
当
时，
；
当
时，
单调性
在
上是
在
上是
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
与
的图象关于
轴对称
知识点3 底数
对指数函数图象的影响
函数
和
的图象如图所示
观察上图，有如下结论.
(1) 当
且
时，底数越大，图象越“陡”；
当
且
时，底数越小，图象越“陡”.
(2) 在
轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在
轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”.
必记结论
1.画指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1, 1
a).
2.指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a 的取值有关,要特别注意应分
a>1 与0<a<1 来研究.
3.如图所示是指数函数
（1）y＝ax,（2）y＝bx,
(3)y＝cx,(4)y＝dx的图象,则c>d>1>a>b>0.
自主检测已知函数
的图象经过第一、二、四象限，则实数a 的取值范围是 ，实数b 的
取值范围是____________．
题●型●破●译
题型1 根式与指数幂的运算
例1-1（25-26 高三上·云南曲靖·开学）已知
，则
的分数指数幂形式为（ ）
A．
B．
C．
D．
例1-2 计算：
（ ）
A．0
B．1
C．100
D．5
例1-3（25-26 高三上·河北衡水·月考）已知
，求
的值____________．
【变式训练1-1·变考法】设
，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2·变考法】（多选）已知
，下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3·变载体】设函数
（
且
），如果
，那么
的值等于（ ）
A．32
B．64
C．16
D．8
【变式训练1-4】
____________．
题型2 指数函数的概念、定义域及解析式
例2-1（25-26 高三上·天津滨海新区·月考）函数
是指数函数，则a 的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．1 或
例2-2 函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-3（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·开学）指数函数
的图象经过点
____________．
【变式训练2-1】函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2·变考法】（24-25 高三上·重庆渝中·开学）已知指数函数
的图象经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【变式训练2-3】已知指数函数
，则实数
的取值范围是____________．
【变式训练2-4】函数
的定义域是____________．
题型3 指数函数的定点问题
例3-1 函数
的图象恒过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2【新思维】（25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知函数
恒过定点
，且点
在函数
的图象上，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．4
D．
【变式训练3-1·变设问】已知曲线
（
且
）过定点
，若
且
，
，
则
的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【变式训练3-2·变考法】（25-26 高三上·上海奉贤·开学）已知实数
，
，则函数
的图象
恒经过定点的坐标为____________．
【变式训练3-3·原创题】（25-26 高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数
（
，且
）的图象恒过定点P，则点P 的坐标为____________．
【变式训练3-4·变考法】（25-26 高三上·四川成都·开学）已知函数
的图象恒过定点
A，且A 点在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
题型4 指数函数的图象问题
例4-1（25-26 高三上·江苏连云港·开学）（多选）设
，
为实数，
，
.已知函
数
的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2 函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-1·变方向】（25-26 高三上·河北邯郸·阶段检测）已知函数
，且
的图
象如图所示.则函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2·变考法】（多选）已知实数a，b 满足等式
，则下列关系式可能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-3·变载体】（25-26 高三上·陕西咸阳·月考）已知函数
的图象过原点，且无
限接近直线
但又不与该直线相交.则
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【变式训练4-4·变方向】．（25-26 高三上·陕西汉中·开学）（多选）在如图所示的图象中，二次函数
与函数
在同一平面直角坐标系内的图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-5·变角度】（2026·北京顺义·二模）把函数
的图象
向右平移2 个单位
长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的
倍，得到图象
，若此时图象
恰与
重合，则
的
值为（ ）
A．4
B．2
C．
D．
题型5 指数函数的单调性
例5-1（2026·河北保定·模拟）下列函数是增函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-2 【新角度】(2026·湖北新八校协作体联考)函数f(x)＝
e
x
e
x＋1
－1
2,则对任意实数x,下列结论正确的是
（ ）
A.f(x)是偶函数,且在R 上单调递增 B.f(x)是奇函数,且在R 上单调递增
C.f(x)是奇函数,且在R 上单调递减 D.f(x)是偶函数,且在R 上单调递减
例5-3 已知函数
（
且
）在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
例5-4 函数
的减区间是____________．
方法技巧
复合函数
的单调性判断方法
①确定函数的定义域；
②将复合函数分解成两个简单函数:
与
；
③分别确定分解成的两个函数的单调性；
④若两个函数在对应区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数
为增函数；
若两个函数在对应区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数
为减函数；
【变式训练5-1·变考法】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2·变考法】（2026·江苏南京·学情调研）已知
，当
时，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-3】函数
的单调递增区间是____________．
【变式训练5-4·变设问】（2026·河南·模拟预测）若定义在
上的增函数
满足
，请写出
一个满足条件的函数
____________．
题型6 指数函数的值域（最值）
例6-1【新设问】（2026·江辽宁沈阳·模拟）已知
，则函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2 函数
（ ）
A．有最大值，也有最小值
B．没有最大值，有最小值
C．有最大值，没有最小值
D．没有最大值，也没有最小值
例6-3（25-26 高三上·甘肃兰州·开学考试）已知函数
，
（1）求函数
的单调区间；
（2）求函数
的值域．
【变式训练6-1·变考法】函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-2·载体】（25-26 高三上·河南三门峡·期末）已知函数
，下列说法正确的有
（ ）
A．
为偶函数
B．
恰有2 个单调区间
C．
的最小值为
D．
值域是
【变式训练6-3·变考法】函数
的单调递减区间为 ；函数
的值域是
．
【变式训练6-4】已知函数
是奇函数，
为实数．
（1）求
的值；
（2）当
时，求函数
的值域．
题型7 根据指数函数的最值求参数
例7-1【新角度】（25-26 高三上·河南·阶段检测）已知函数
的值域为
，则
（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
例7-2 函数
的定义域为
，值域为
，则
的最大值为____________．
【变式训练7-1·变考法】已知函数
的值域为
．若
，则实数
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-2·变考法】（25-26 高三上·云南·开学考试）已知函数
（
且
），若函数
的值域是R，则实数a 的取值范围是____________．
【变式训练7-3·变考法】若函数
的值域是
，则
的取值范围是____________．
题型8 比较指数幂大小
例8-1（2026·辽宁抚顺·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例8-2（25-26 高三上·湖南长沙·开学）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例8-3（2026·湖南湘潭·三模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧 比较指数幂大小的方法
（1）同底数比较：直接利用指数函数单调性（
时，指数大的函数值大；
时相反）．
（2）同指数比较：构造幂函数
（如比较
与
），利用幂函数单调性（
时，底数大的函数
值大）．
（3）中间值法：引入中间量（如0、1）间接比较（如比较
与
，可先与1 比较，再通过取对数
或换底公式进一步分析）．
【变式训练8-1】已知实数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-2】下列大小关系正确的是（ ）
①
， ②
， ③
， ④
．
A．①②
B．③④
C．②③
D．①③
【变式训练8-3】设
，
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-4】（25-26 高三上·贵州毕节·开学考试）设
，
，
，则
，
，
的大小关系为（（ ）
A．
B．
C．
D．
题型9 解指数不等式
例9-1 已知不等式
成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例9-2【新思维】（25-26 高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数
，则关于
的
不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
例9-3（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数
，则满足
的实数a 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-1·变考法】（2025·甘肃白银·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-2·变载体】（2026·广东深圳·二模）已知函数
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-3·变题型】（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在
重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函
数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为
，相应的双曲正弦函数的表达式为
．设函数
，若实数
满足不等式
，则
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-4·变考法】（2026·吉林长春·二模）已知函数
，若
，则
的
取值范围是___________．
【变式训练9-5·变考法】（25-26 高三上·广东广州·开学）已知函数
且
为奇函
数.
（1）求实数
的值及函数
的值域；
（2）解不等式
；
题型10 指数应用题
例10-1 预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是
，其中
为预测期
人口数，
为初期人口数，
为预测期内人口增长率，
为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（
）
A．若在某一时期内
，则这期间人口数呈下降趋势
B．若在某一时期内
，则这期间人口数呈上升趋势
C．若在某一时期内
，则这期间人口数呈摆动变化
D．若在某一时期内
，则这期间人口数不变
例10-2（25-26 高三上·河南郑州·开学）氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体．
假设
氡气经过天后，氡气的剩余量（单位：g）为
，其中
，
为常数.在此条件下，已
知
氡气经过天后，氡气的剩余量为
，再经过天后，氡气的剩余量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-1·变情境】（25-26 高三上·陕西西安·期末）某人用手机拍摄月亮，发现每进行一次“2 倍数
码变焦”，画面中月亮的直径就变为原来的2 倍，若最初月亮在画面中的直径为2 毫米，则他连续进行4
次这样的“2 倍数码变焦”操作后画面中月亮的直径是（ ）
A．8 毫米
B．16 毫米
C．32 毫米
D．64 毫米
【变式训练10-2·变情境】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
）与时间（单位：
）间的关系为
，其中
、
是正的常数.如果前
消除了
的污染
物，那么前
消除的污染物的占比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-3·变情境】著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为
，空气温度为
，则分钟后物体的温度
（单位：
）满足：
．若当空气温度
为
时，某物体的温度从
下降到
用时
分钟，则再经过
分钟后，该物体的温度为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-4·变题型】“阿秒光脉冲”是
年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动
力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于
秒，光速约为
米/秒.将
米长的木棒每天截取它的一半，
按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是 .（参考数据：
，
）
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1.（2025·新高考
卷）若
Ⅰ
2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z,则x,y,z 的大小关系不可能为（ ）
A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x
2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变）
D．纵坐标变为原来的3 倍（横坐标不变）
3．（2024·全国甲卷·高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·天津·高考真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数
是河流水质的一个评价指标，其中
分别表示河
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
没有变化，生物个体总数由
变为
，生物丰富度指数由
提高到
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·北京·高考真题）已知函数
，则
．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1.设
，则下列运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.设
，m，n 是正整数，且
，则下列各式
，
，
，
正确的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
3.（1）已知
，求
的值；
（2）已知
，求
的值.
4．求下列函数可能的一个解析式：
（1）函数
的数据如下表：
x
0
1
2
3.50
4.20
5.04
（2）函数
的图象如下：
5．已知函数
的图象过原点，且无限接近直线
但又不与该直线相交.
（1）求该函数的解析式，并画出图象；
（2）判断该函数的奇偶性和单调性.
6．已知
，g（x）=
（a > 0，且a ≠ 1）.
（1）讨论函数f（x）和g（x）的单调性；
（2）如果f（x）< g（x），那么x 的取值范围是多少？
