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第04 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录
01 常考题型过关练
题型01 直线与圆的位置关系
题型02 圆的切线方程
题型03 圆的弦长和弦心距
题型04 直线与圆的应用
题型05 圆与圆的位置关系
题型06 圆的公共弦
题型07 圆的公切线
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 直线与圆的位置关系
1．已知圆
，直线
，则直线与圆
的公共点个数
为（ ）
A．
个
B．个
C．
个
D．与
有关，不能确定
2．直线
与圆
交于
两点，
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）已知直线
，圆
，则（ ）
A．当
时，直线与圆
相离
B．当直线与圆
相切时，
的值为
C．圆心
到直线的距离的最大值是5
D．圆
与圆
外切
02 圆的切线方程
4．过点
作圆
的切线，切点为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．5
C．
D．
5．（多选）已知圆
，P 是直线
上一动点，过点P 作直线PA，PB 分别与圆O 相
切于点A，B，则（ ）
A．圆O 与直线l 相离
B．
存在最小值
C．
存在最大值
D．存在点P 使得
为直角三角形
6．过点
作圆
的切线，则直线的方程为 .
7．已知圆
，点
，则经过点
且与圆
相切的直线方程为 .
8．已知函数
，设曲线
在点
处的切线为l，若l 与圆
相切，则a 的值为 ．
03 圆的弦长和弦心距
9．已知圆O 的方程是
，则圆O 过点
的最短弦所在的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若直线
被圆
截得的弦长为
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
11．已知直线
与圆
相交于A、B 两点，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
12．已知点M 为圆
与y 轴负半轴的交点，直线
与圆O 交于A，B 两点，则
面积的最大值为（ ）
A．3
B．
C．4
D．
04 直线与圆的应用
13．一条东西走向的高速公路沿线有三座城市
，其中
在
正西
处，
在
正东
处，
台风中心在
城市西偏南
方向
处，且以每小时
的速度沿东偏北
方向直线移动，距台风
中心
内的地区必须保持一级警戒，则从
地解除一级警戒到
地进入一级警戒所需时间（单位：
小时）在以下哪个区间内（ ）
A．
B．
C．
D．
14．对于
，给出如下定义：若点
是边
上一定点，且以
为圆心的半圆满足：①所有点均在
的内部或边上；②半径最大．则称此半圆为
边上的点
关于
的最大内半圆．若点
是
边上一动点（
不与
重合），则在所有的点
关于
的最大内半圆中，将半径最大的内半圆
称为边
关于
的内半圆．已知，在平面直角坐标系
中，点
的坐标为
，点
在直线
上运动（
不与原点重合），将
关于
的内半圆半径记为
，当
时，点
的横坐
标的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
15．已知平面向量
满足
，且对任意的实数t，均有
则
的最小值为
16．某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度
米，行车道总宽度
米，
和
为相对的两个车道，侧端面
米，弧
顶高
米.
(1)求圆弧所在圆的半径的长度；
(2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有
0.5 米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米.
17．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A 是指该
球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被
母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1 的圆，且母球与目标
球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A 的位置为
（
R），目标球B 的位置为
，球
的位置为
，解决下列问题：
(1)如图①，若
，沿向量
的方向击打母球A，能否使目标球B 向球
的球心方向运动？判断并说明
理由；
(2)如图②，若
，要使目标球B 向球
的球心方向运动，求母球A 的球心运动的直线方程；
(3)如图③，若
，能否让母球A 击打目标球B 后，使目标球B 向球
的球心方向运动？判断并说明理
由．
05 圆与圆的位置关系
18．已知圆
与圆
，若圆C 完全覆盖圆
，
，则圆C 的半径的最小值为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
19．圆
与圆
的位置关系是（ ）
A．相切
B．外离
C．内含
D．相交
20．已知动圆
与圆
内切，同时与圆
外切，则动圆
的圆心轨迹方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
21．已知圆
：
，圆
：
．
(1)证明：圆
与圆
相交；
(2)若圆M 经过圆
与圆
的交点，且圆心M 在y 轴上，求圆M 的方程．
22．
年是中国传统的农历“鼠年”，有人用个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：
是圆
的
圆心，圆
过坐标原点
；点
均在
轴上，圆
与圆的半径都等于
，圆、圆
均与圆
外切．已
知直线过点
设该直线的斜率为
，若直线截圆
、圆、圆
所得弦长均等于
，则
．
06 圆的公共弦
23．圆
与圆
的公共弦长为
，则
的值为（ ）
A．12 或4
B．12 或-4
C．16 或4
D．16 或-4
24．已知圆
和圆
，则两圆的公共弦长为 .
25．若圆
，与圆
相交于A，B，则公共弦AB 所在的直线方程为 ．
26．已知圆
与圆
相交于两点
，则四边形
的
面积等于 .
07 圆的公切线
27．圆
，若两圆的公切线恰有3 条，则
（ ）
A．4
B．6
C．16
D．36
28．已知圆
：
与圆
：
有两条公切线，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
29．已知直线与圆
和圆
均相切，则的方程为（）
A．
B．
C．
D．
30．圆
：
与圆
：
的内公切线长为（ ）
A．3
B．5
C．
D．4
1．若直线
与曲线
恰有两个公共点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．
已知点
，
，若圆
上存在点
满足
，
则实数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．
在平面直角坐标系
中，若圆
：
上任意一点关于原点的对
称点都不在圆
：
上，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知圆
直线
，
，则下列说法错误的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆
一定有公共点
C．当
时，圆
上恰有两个点到直线的距离等于1
D．圆
与圆
只有一条公切线
5．
已知圆
和
，动圆
与圆
均相切，
是
的内心，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
6．
（多选）如图，圆C 与x 轴相切于点
，与y 轴正半轴交于A，B 两点，且
，过
点A 任作一条直线与圆
相交于M，N 两点，则（ ）
A．圆C 的方程为
B．圆C 与圆
的相交弦所在直线方程为
C．
D．
7．
（多选）已知直线
，其中
，点
是直线上的一个
动点.圆
，其中
，点
是圆
上的一个动点.则下列说法中正确的
是（ ）
A．当
，
时，圆心
到直线的距离为
B．当
，
时，
是坐标原点，则
的最小值为
C．当
时，不存在
，使圆
与直线相离
D．存在
，使对任意的
，圆
与直线均相切
1．（山东·高考真题）已知圆
截直线
所得线段的长度是
，则圆
与圆
的位置关系是
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
2．（全国·高考真题）已知直线
和圆
相切，那么a 的值是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
3．（上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知关于点集
的两
个结论：
①存在直线l，使得集合
中不存在点在直线l 上，而存在点在l 的两侧；
②存在直线l，使得集合
中存在无数个点在直线上.
则下列判断正确的是（ ）
A．①成立，②成立
B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立
D．①不成立，②不成立
4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线
与
交于A，B 两点，写出满
足“
面积为
”的m 的一个值 ．
5．（天津·高考真题）已知两圆
和
相交于
两点，则直线
的方程是
．
6．（北京·高考真题）圆
的圆心坐标是 ，如果直线
与该圆有公共点，
那么实数a 的取值范围是 ．
