第04 讲 指数与指数函数
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 根式与指数幂的运算.................................................................................................................2
题型02 指数函数的概念、定义域及解析式.........................................................................................3
题型03 指数函数的定点问题
........................................................................................................... 4
题型04 指数函数的图象问题.................................................................................................................5
题型05 指数函数的单调性
...............................................................................................................7
题型06 指数函数的值域（最值）
...................................................................................................8
题型07 根据指数函数的最值求参数...................................................................................................10
题型08 比较指数幂的大小...................................................................................................................11
题型09 解指数不等式
.....................................................................................................................13
题型10 指数应用题
.........................................................................................................................15
重难·创新演练......................................................................................................................................................17
真题·实战演练......................................................................................................................................................27
模拟·基础演练
考查重点：考查指数幂的化简与运算、指数函数的概念、定义域与解析式求解；重点考查指数函数
定点、图象识别、单调性、值域与最值问题，同时涵盖指数幂大小比较、指数不等式求解、指数模
型实际应用等核心考点。侧重考查基本公式运用、函数图象性质理解以及分类讨论、数形结合的数
学思想，题目难度以基础、中档为主，全面夯实指数函数基础知识与常规解题方法。
题型01 根式与指数幂的运算
1.（2026·四川泸州·模拟预测）若正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
，又
是正数，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，所以
的最小值为
.
故选：D
2.计算：
__________.
【答案】
【详解】原式
.
故答案为：38
3.已知
，则
的最小值为__________.
【答案】18
【详解】易知
，由
可得
；
当且仅当
时，即
时，等号成立；
因此
的最小值为18.
故答案为：18
4.（2026·陕西安康·三模）若
，则
___________．（用m，n 表示）
【答案】
【详解】因为
，所以
，所以
．
故答案为：
题型02 指数函数的概念、定义域及解析式
5.（25-26 高三上·广东湛江·阶段检测）已知集合
，
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】集合
，
，故
，∴
．
故选：B．
6.函数
的定义域为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意，函数
，则函数
，即
，所以
.
故选：C
7.下列函数中，定义域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A 选项，函数
的定义域为
；
对于B 选项，由
，得
，故函数
的定义域为
；
对于C 选项，函数
的定义域为
；
对于D 选项，函数
的定义域为
．
故选：B．
8.若指数函数
满足
，则
___________．
【答案】27
【详解】令
且
，因为
，
则
，即
，解得
或
（舍），
所以
，则
，
故答案为：
.
9.（2026·湖南长沙·三模）若
为指数函数，且
，则
______
【答案】
【详解】
为指数函数，
可设
且
，
，解得：
，
，
则
.
故答案为：
.
题型03 指数函数的定点问题
10.（25-26 高三·全国·一轮复习）函数
（
且
）的图象必经过点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由函数
，令
，解得
，此时
，
所以函数
且
的图象必经过点
．
故选：D
11．（2026·山西太原·模拟）已知函数
恒过定点
，且点
在函数
的
图象上，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，即
，
，所以
恒过定点
，
因为点
在函数
的图象上，则有
，
，
当且仅当
，即
时等号成立.则
的最小值为
.
故选：D
12.（2026·上海·三模）已知函数
是指数函数，则函数
的图象过定点
___________．
【答案】
【详解】由题意得，
，得
，则函数
的图象过定点
.
故答案为：
题型04 指数函数的图象问题
13.已知函数f(x)＝ax－a(a>1),则函数f(x)的图象不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】选B.y＝ax(a>1)是增函数,经过点(0,1),因为a>1,
所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1 个单位长度得到,
所以函数f(x)＝ax－a 的图象如图所示.故函数f(x)的图象不经过第二象限.
故选：B.
14.函数f(x)＝(
1
8)
|x ＋2|
的部分图象大致为（ ）
【解析】选B.
由题意得,f(x)的定义域为R,排除C,D;当x≥－2 时,f(x)＝(
1
8)
x＋2
,因为0<1
8<1,所以f(x)在[－2,＋∞)上单调递
减,排除A.
故选B.
15．（多选）（25-26 高三上·山西·阶段检测）若函数
的图象经过第二、三、四象限，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】若函数
的图象经过第二、三、四象限，则
的图象如下图所示：
函数
单调递减，所以
，所以
，
由题意可知
，解得
，所以
，
，
故选：AC.
16.（2026 高三·全国·专题练习）已知
，且
，若函数
与
的图像有两个交点，则实
数
的取值范围是___________．
【答案】
【详解】①当
时，作出函数
的图像如图（1）．
若直线
与函数
的图像有两个交点，
则由图像可知
，所以
．
②当
时，作出函数
的图像如图（2），
若直线
与函数
的图像有两个交点，
则由图像可知
，此时无解．所以实数
的取值范围是
．
故答案为：
17.若函数
的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是___________．
【答案】
【详解】函数
的图象与x 轴有公共点，即
有实数解．由于
，故
，解得
．
故答案为：
题型05 指数函数的单调性
18.“
”是函数
在R 上单调递增的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由函数
在R 上单调递增，
可得
，解得
，
则“
”是函数
在R 上单调递增的必要不充分条件.
故选：B
19.（25-26 高三上·贵州安顺·期末）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是奇函数，且在
上单调递增 B．
是奇函数，且在
上单调递减
C．
是偶函数，且在
上单调递增 D．
是偶函数，且在
上单调递减
【答案】A
【详解】函数
的定义域为
，又
，
所以
为奇函数，又
、
、
均在
上单调递增，
所以
在
上单调递增.
故选：A
20.（25-26 高三下·江西赣州·开学）若函数
在
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为函数
在
上单调递减，令
，
又因为
单调递减，则
在
上单调递增，则
，所以实数
的取值范围是
.
故选：A
21．（2026·甘肃金昌·三模）已知
，
，若函数
在
上单调递减，
则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
在
上单调递减知
；由
在
上单调递减知：
当
，即
满足题意；当
，
，所以
，
由
在
上单调递减，得
，所以
，
综上，a 的取值范围是
.
故选：C
题型06 指数函数的值域（最值）
22.函数
的定义域为
，则函数的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
．即
，则
，所以函数
的值域为
．
故选：B
23．（25-26 高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数
则
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
单调递增，
，当
时，
．综上所述，
的值域是
．
故选：A
24.函数
的值域为___________．
【答案】
【详解】
，当且仅当
，即
时等号成立，
又
在
上单调递增，所以
，所以函数
的值域为
.
故答案为：
25.（2026·河南开封·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设
，
用
表示不超过x 的最大整数，则
称为高斯函数，例如：
，
．已知函数
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
,设
，因为
，则
，
所以
，
因为
，则
，即
，
所以当
时，
，当
时，
，当
时，
，
所以
的值域是
.
故选：A
题型07 根据指数函数的最值求参数
26．（2026 高三·全国·专题练习）若函数
在区间
上的最大值是14，则实数
的值是（ ）
A．3
B．
C．3 或
D．5 或
【答案】C
【分析】按
分类，借助单调性求出最大值列式求解.
【详解】当
时，函数
都是R 上的减函数，则函数
是R 上的减函数，
当
时，
，
，则
；
当
时，函数
都是R 上的增函数，则函数
是R 上的增函数，
当
时，
，
，则
，所以实数
的值是或
.
故选：C
27.已知函数
，
的值域为
，则
的取值范围是___________．
【答案】
【详解】当
时，
，
当
时，
取得最小值，最小值为
，此时
的值域为
，
当
时，
，
①当
时，函数
在
上为单调递增，可得
的值域为
，
要使得函数
的值域为
，则
，解得
；
②当
时，函数
在
为单调递减，可得
的值域为
，
此时函数
的值域不可能为
，舍去，
综上可得，实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
28．（25-26 高三上·湖南长沙·开学）已知函数
，其中
且
．
（1）若
，求
的最小值；
（2）当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
．
(2)
．
【详解】（1）当
时，
，
则
，
∴当
即
时，
．
（2）当
时，则
在
上为增函数，
故
的值域为
，不符合条件；∴
，此时
在
上为减函数，
故
，由题意得
，得
，又
，
解得
，即实数
的取值范围为
．
题型08 比较指数幂大小
29.设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，则
.
故选：B.
30.当
时，下列不等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，由
，则
，
，
易知函数
在
上单调递减，所以
，故A 错误；
对于B，由
，则
，易知
，故B 错误；
对于C，由
，则
，
，
易知函数
在
上单调递减，所以
，故C 错误；
对于D，由
，则
，
易知函数
在
上单调递减，函数
在
上单调递增，
所以
，故D 正确；
故选：D.
31.（2026·北京大兴·三模）若
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，因为
在
上递增，
且
，所以
，即
，
，
1，因为
在
上递增，且
，
所以
，即
，所以
故选：D
32.（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
单调递增，
单调递减，
单调递增，则
单调递增，
故
，且
，
，所以
.
故选：D
题型09 解指数不等式
33.设
，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
，解得
.
故选：B
34.（2026·四川内江·二模）已知
，则关于
的不等式
的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
因为
，所以
是奇函数，
则
等价于
，
则
，得
，故关于
的不等式
的解集为
.
故选：B
35.（2026·江西萍乡·一模）设
和
分别为
上的偶函数和奇函数，若
，
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
是偶函数，
是奇函数，且对任意
，有：
，
所以
，即
，
解得：
，
代入不等式
：
.化简可得
，即
，即
，
解得：
.所以不等式的解集为
.
故选：D
36.（2026 高三·全国·专题练习）不等式
的解集为___________．
【答案】
【详解】
，
，即
，
即
，故不等式的解集为
．
故答案为：
37.已知函数
，则不等式
成立的实数m 的取值范围为___________．
【答案】
【详解】
，定义域为
关于原点对称，所以
为偶函数，
又当
时，
为增函数；当
时，
为减函数，
所以
即
，
两边平方整理可得
，解得
，
所以不等式
成立的实数m 的取值范围为
.
故答案为：
.
38.（2026·福建福州·模拟检测）已知函数
（其中
，
为常数，且
，
）的图象经过点
，
．
（1）求
的解析式；
（2）若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
．
【详解】（1）解：因为函数
的图象过点
和
，可得
，所以
，
又因为
，所以
，则
，所以
．
（2）解：由（1）知：
，
，
因为不等式
在
上恒成立，即当
时，
恒成立，
即
在
上恒成立，又因为
与
在
上均单调递减，
所以
在
上也单调递减，所以当
时，
有最小值
，所以
，
所以实数
的取值范围是
．
题型10 指数应用题
39．（2026·广西南宁·三模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规
定：
血液中酒精含量达到
的驾驶员即为酒后驾车，
及以上认定为醉酒驾车．假设某
驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了
．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精
含量会以每小时
的速度减少，那么他至少经过（ ）个小时才能驾驶．（参考数据：
，
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【详解】设他经过
个小时后
血液中酒精含量为
，
则
，
当
时，
，即
，
解得
，
因为时间必须大于
小时才能使酒精含量低于
，结合选项为整数，故至少需要经过
小时才能驾
驶.故选项C 正确.
故选：C
40．（25-26 高三下·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为
，其中
为初始质量，T 为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.
已知该物质的半衰期为8 天，则大约经过（ ）天后，剩余质量变为初始质量的
.
参考数据：
A．25
B．27
C．29
D．31
【答案】B
【详解】由题意，
，设大约经过天后，剩余质量变为初始质量的
，
则有
，所以
，
（天），
故大约经过27 天后，剩余质量变为初始质量的
.
故选：B
41.（25-26 高三上·黑龙江·阶段检测）碳14 是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14 含量按确
定的比率衰减，称为衰减率.考古学上常用碳14 推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一
半所用的时间称为一个半衰期，碳14 的半衰期是5730 年.假设某生物死亡时其体内碳14 的含量为
，则
此生物的死亡时间t（
，单位：年）和死亡后体内碳14 的剩余含量M 的函数关系可以是
___________.
【答案】
【详解】设死亡生物体内碳14 含量的年衰减率为
，
那么死亡1 年后生物体内碳14 含量为
，死亡2 年后生物体内碳14 含量为
，
死亡5730 年后生物体内碳14 含量为
，
所以
，
，所以
．
故答案为：
．
重难·创新演练
设题创新: 本板块在常规考点基础上进行题型创新、情境创新与设问创新。结合新定义、新考法、
新载体、新情境命题，融合函数奇偶性、对称性、恒成立、存在性等综合问题；设置多选、分段函
数、复合函数综合题型，深度考查指数函数与其他知识的交汇应用。侧重考查逻辑推理、转化与化
归能力，区分度较高，贴合新高考命题趋势，强化知识综合运用与数学思维拓展。
1．【新考法】（2026·山东日照·模拟预测）已知集合
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，又因为
，
所以
.
故选：D
2．（2026·广东广州·阶段检测）已知函数
的图象如图所示，则（
）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【详解】由于
关于直线
对称，由图可知对称轴在
之间，即
，
且在
处函数值在
之间，即
．
故选：A．
3. 【新考法】（2026·安徽合肥·模拟）已知指数函数
的图象过点
，函数
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．0
C．2
D．
【答案】C
【详解】设
（
且
），则
的图象过点
，所以
，
所以
，所以
，则
，
令
，则
，
当且仅当
时，即
时取等号，所以
在
上单调递增，
又由
，所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
.
故选：C.
4．【新考法】若不等式
在
上恒成立，且
，
，则
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，得
或
，
由
为增函数，解得
或
，
当
时，则有
或
，
则存在
，使得不等式
，不符合；
当
时，则有
或
，
则存在
，使得不等式
，不符合；
当
时，则不等式解为R，即不等式
在
上恒成立，
因此
，即
.因为
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
故选：D.
5.比较大小
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增.
，
因
，则
,两边取对数得
，则
，即
；
设
，则
，
在
上单调递增.
又
，
即
对
恒成立.
令
得，
,又
，∴
，
，又
综上可得，
.
故选：D
6．【新考法】（2026·广东深圳·二模）已知函数
，则满足
的
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
，定义域为
.
易知函数
只含
项，
因此
关于直线
对称.当
增大时，
增大，函数值增大，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
等价于
离
的距离小于
离
的距离大小问题，
即
.两边平方得
；整理得
，解得
.
故
的取值范围为
.
故选：B
7. 【新载体】（2026·河北保定·二模）已知函数
若关于z 的不等式
在
上有解，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
，令函数
，即
，
，故
是奇函数，
因为
是
上的增函数，
所以
是
上的减函数，
是
上的减函数，
因此
是
上的减函数，
也是
上的减函数，
将
代入不等式
，
即
，化简可得
，
因为
是奇函数，所以
，
代入可得
，
因为
是减函数，
，所以
，
令
，
，故
，
，
是对勾函数，在
上单调递增，
因此当
时，
，当
时，
，
即
，则
，
在
上有解，即
大于
在
上的下确界，
因此实数
的取值范围是
.
故选：C
8. 【新题型】（多选）已知函数
，其中
为常数，若函数
的图象如图
所示，则（ ）
A．
的图象与坐标轴有三个交点 B．
的图象的对称轴在
轴左侧
C．关于
的方程
有两个不等实根 D．
在区间
上单调递增
【答案】D
【详解】因
，函数
的图象在
上为减函数，则
，即得
，又图象经过
点
，即
，故得
，解得
，
于是，
，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为
，
对于A，因函数
在
上单调递增，
则
，即
的图象与
轴没有交点，
又
的图象与
轴有唯一交点，即
的图象与坐标轴只有一个交点，故A 错误；
对于C，关于
的方程
的实根个数，等于直线
与曲线
的交点个数，
由A 项，因
，则直线
与曲线
的交点个数为0，故C 错误；
对于B，
的图象的对称轴是直线
，在
轴右侧，故B 错误；
对于D，因
的图象对称轴：
，
在区间
上单调递增，故D 正确.
故选：D.
9．（2026·江苏南通·模拟）（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的定义域为
B．
在
上单调递增
C．若
，则实数
的最大值为
D．若
，则实数
的最大值为1
【答案】BC
【详解】因为
恒成立，所以
恒成立，所以
的定义域为
，
故A 错误；因为函数
在
上单调递增，则
也单调递增，因此
单调递减，
则
单调递增，所以
在
上单调递增，故B 正确；
因为
，则
，所以
，
所以
，所以
，即
.
若
恒成立，则
要小于等于
的下确界，即
，
所以实数
的最大值为
，故C 正确；
若
，则
要小于
的上确界，即
，
所以实数
没有最大值，故D 错误.
故选：BC
10．【新考法】（多选）（2026·广东肇庆·二模）若存在
，使得函数
在区间
和
上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递增 D．
在
上单调递减
【答案】BC
【详解】因为函数
在
上单调递增，所以原命题等价于“存在
，使得函数
在区间
和
上单调递减”.
又因为
，所以
，故A 错误､B 正确；
此时
在
上单调递增，在
和
上单调递减，
所以
在
上单调递增，在
和
上单调递减，故C 正确､D 错误.
故选：BC
11．【新情境】（多选）（2026·河南·三模）一款运动APP 测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：
次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足
，其中
为正整数，
表示不超过
的最大整数.当
时，心
率为120 次/分钟，当心率不低于90 次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时
的心率）为60 次/分钟，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的最大值为124
C．该运动员第9 分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5 分钟
【答案】ABD
【详解】对于A，当
时，
，则
，其中
，
为正整数，
当
时，
，此时
，符合题意，
当
时，
，此时
，不符合题意，
因为
单调递减，且
为正整数，所以
，故A 正确；
对于B，当
且
时，
，
所以当
时，
取得最大值：
，
当
且
时，
，
，
因为
在
上单调递减，所以
，
所以当
时，
取得最大值：
，
综上，
的最大值为124，故B 正确；
对于C，当
时，
，
所以该运动员第9 分钟时没有恢复到静息心率，故C 错误；
对于D，当
且
时，
，
当
时，
取得最小值，
，所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”，
当
且
时，
，
，即
，
所以
，即
，解得
，所以有
，
，
综上，当
且
时，
，
因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5 分钟，故D 正确.
故选：ABD
12. 【新定义】若函数
对于任意
，总存在
使得
，则称
是
上的“a 阶依赖函数”.若函数
是
上的“a 阶依赖函数”，则实数
的取值范
围是___________．
【答案】
【详解】由题意可得，对于任意
，总存在
使得
，
即有
，则
，即
.
故答案为：
13.已知a>0 且a≠1,函数f(x)＝{
a
x , x ≤1,
- x＋a, x>1,若函数f(x)在区间[0,2]上的最大值比最小值大5
2,则a 的值为
___________．
【答案】1
2或7
2
【解析】①当0<a<1 时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,2]上也单调递减.∵f(0)＝a0＝1>－1＋a,∴函数f(x)在
[0,2]上的最大值为f(0)＝1,∵f(2)＝－2＋a<a＝f(1),∴函数f(x)在[0,2]上的最小值为f(2)＝－2＋a,
∴－2＋a＋5
2＝1,解得a＝1
2∈(0,1),符合题意.
②当a>1 时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减.
∵f(1)＝a>－1＋a,∴函数f(x)在[0,2]上的最大值为f(1)＝a.f(2)＝－2＋a,f(0)＝a0＝1,
当a∈(1,3)时,－2＋a<1,此时函数f(x)在[0,2]上的最小值为f(2)＝－2＋a,
因此有－2＋a＋5
2＝a,无解;当a∈[3,＋∞)时,－2＋a≥1,此时函数f(x)在[0,2]上的最小值为f(0)＝1,
因此有1＋5
2＝a,解得a＝7
2∈(3,＋∞),符合题意.综上所述,实数a 的值为1
2 或7
2.
故答案为：1
2或7
2
14. 【新考法】（2026 高三上·四川成都·专题练习）已知函数
，
（1）判断并用定义证明函数
的单调性；
（2）当
时，
恒成立，求
的取值范围；
（3）若存在
，使得不等式
对任意
恒成立，求
的取值范
围．
【答案】(1)
在R 上单调递增，证明见解析；
(2)
；
(3)
【详解】（1）
，函数定义域为
在R 上单调递增，证明如下，
令
，则
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，即
，所以
在R 上单调递增；
（2）令
，因为
，所以
，
依题意可得
在
上恒成立，因为
，所以
在
上恒成立，
令
，所以
，又函数
在[1,7]上单调递增，
所以当
时，[(t -1)- 1
t -1 +2]min
❑❑=2，所以
；
（3）由（1）知，
在
上的最大值为
，所以
对任意
恒成立，
即
，令
，
①
，即
时，
在[1,2]上单调递增，所以
，
所以
，所以
；
②
，即
时，
在
上单调递减，在[
a
2 ,2]上单调递增，
所以m(2)-m( a
2 )=(4 -2a)-(- a
2
4 ）= a
2
4 -2a+ 4≤4，所以
，所以
；
③
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以m(1)-m( a
2 )=(1-a)-(- a
2
4 ）≤4，所以
，所以
；
④
，即
时，
在[1,2]上单调递减，
所以
，所以
，所以
综上可得，
的取值范围为
．
15. 【新定义】（2026·河北廊坊·阶段检测）对于函数
，若存在实数对
，使得等式
对定义域中的任意
都成立，则称函数
是“
型函数”.
（1）判断函数
，
是否是“
型函数”；
（2）若对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）若函数
（其中
，
为常数，且
）是“
型函数”，且存在满足条件的实
数对
，求实数
，
满足的关系式.
【答案】（1）
不是
型函数，
是
型函数
（2）
（3）
【详解】（1）因为
不可能恒成立，所以
不是
型函数；
因为
，令
，所以
是
型函数.
（2）因为任意
，
恒成立，所以
恒成立，
令
，因为
，所以
，则
，
由于
，
的最小值为
，所以
，即
.
（3）因为
是“
型函数”，且存在满足条件的实数对
，
所以
，
所以
，
，即
.
真题·实战演练
高频考点：汇总近年高考真题高频考查方向：指数式大小比较、指数型函数零点判断、指数函数单
调性综合应用、函数性质综合辨析。命题常结合幂函数、二次函数、不等式等知识交汇考查，以选
择题为主，难度中等，重点考查学生对指数函数核心性质的灵活运用，是高考高频命题模块。
1．（2025·天津·高考真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：
在
上单调递减，
在
单调递增，
所以
在定义域上单调递减，
显然
，
所以根据零点存在性定理可知
的零点位于
.
故选：B
2．（2023·天津·高考真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
在R 上递增，则
，由
在
上递增，则
.
所以
.
故选：D
3．（2024·天津·高考真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
在
上递增，且
，所以
，
所以
，即
，因为
在
上递增，且
，
所以
，即
，所以
，
故选：D
4．（2024·北京·高考真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意不妨设
，因为函数
是增函数，所以
，即
，
对于选项AB：可得
，即
，
根据函数
是增函数，所以
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如
，则
，
可得
，即
，故D 错误；
对于选项C：例如
，则
，
可得
，即
，故C 错误，
故选：B.
5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．记
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，则
开口向下，对称轴为
，
因为
，而
，
所以
，即
由二次函数性质知
，
因为
，而
，
即
，所以
，
综上，
，又
为增函数，故
，即
.
故选：A.
