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第04 讲 直线、平面垂直的判定与性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 有关垂直命题的判断
题型02 线面垂直的判定与性质
题型03 面面垂直的判定
题型04 面面垂直的性质
题型05 几何法求线面角
题型06 几何法求面面角
题型07 线面垂直的探索性问题
题型08 面面垂直的探索性问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 有关垂直命题的判断
1．设
，
为两条不同直线，
，
为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，
，则
2．已知，
，
为三条不同直线，
，
，
为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
3．已知
，
是平面
内的两条直线，则“直线
且
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（多选）直线与平面
相交于点
，点
在直线上，
，
是平面
内的任意两点，
，
，
，
不重合，且
，
，
三点不共线，下列说法正确的是（ ）
A．直线
与是异面直线
B．平面
内一定存在直线平行于平面
C．平面
内一定存在直线垂直于平面
D．若平面
垂直于平面
和平面
，则
02 线面垂直的判定与性质
5．在长方体
中，
，
．给出下列四个结论：
①
；②
；③
平面
；④
平面
．
其中正确的结论是（ ）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
6．如图，在四面体
中，
，
，
且
，D 为四面体
外一点，
要使
，需要添加的条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
，
平面
，
，E，F
分别为
，
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
平面
.
8．《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里
所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥
为阳马，
底面
，
，
，
分别为
，
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
平面
.
9．在直三棱柱
中，已知
为
的中点，
．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，
，
，证明：
平面
．
03 面面垂直的判定
10．如图是一几何体的平面展开图，其中
为正方形，
分别为
的中点，在此几何体中，给
出下面四个结论，其中所有正确命题的序号是 .
①直线
与直线
异面；
②直线
与直线
异面；
③直线
平面
；
④平面
平面
.
11．如图，在四棱锥
中，平面
平面
，且
．四边形
满足
．
为侧棱
上的任意一点，且平面
与侧棱
交于点
．
(1)求证：平面
平面
；
12．如图1，在平面五边形ABCDE 中，四边形ABCD 是边长为1 的菱形，
，
，
.将
沿AD 翻折至
，如图2.点M 在PD 上.
(1)若M 为PD 中点，证明：
平面MAC；
(2)若
，且四棱锥
与三棱锥
的体积相等.证明：平面
平面
.；
13．如图，在三棱柱
中，侧面
为正方形，平面
平面
，
，
分别为BC，
的中点，平面ADE 与棱
相交于点F．
(1)求证：
；
(2)若
，求证：平面
平面
；
14．如图，在正方体
中.
(1)求证：
平面
；
(2)若
平面
，求证：平面
平面
.
04 面面垂直的性质
15．如图1，在五边形
中，
，
，
，
，
．将
沿
折起，使平面
平面
，如图2．
(1)证明：
平面
．
16．如图，三棱台
，
，
，平面
平面
，
，
，
与
相交于点
，
，且
平面
.求三棱锥
的体积.
17．在三棱柱
中，平面
平面ABC，
，
，E，F 分别是AC，
的中点．求证：
．
18．在多面体
中，已知
，且平面
与平面
均垂直于平面
为
的中点． 证明：
．
19．如图，在以
，
，
，
，
，
为顶点的六面体中（其中
平面
），四边形
是正方
形，
平面
，
，且平面
平面
.
(1)设
为棱
的中点，证明：
，
，
，
四点共面；
(2)若
，求六面体
的体积.
05 几何法求线面角
20．如下图，在矩形
中，
，
，
为
的中点，沿
将
折起到
的位置，
使平面
平面
．
为线段
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正切值．
21．如图，在直三棱柱
中，
，
，点
是
的中点，求证：
(1)
平面
；
(2)
(3)若平面
与平面
的交线为，求与平面
所成的角.
22．如图，在多面体
中，平面
平面
，四边形
为正方形，四边形
为梯
形，且
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正切值.
23．如图，
为圆锥
的轴截面，
为底面圆
的直径，
，
为底面圆周上一点，且
，
为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
06 几何法求面面角
24．我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体
（如图）．若该正八面体的
所有棱长均为2，则二面角
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．如图，在四棱锥
中，
为等边三角形，
，
，
，
，点E，F 分别为
，
的中点.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求二面角
的余弦值.
26．如图，一个水平放置的边长为
的等边三角形
绕着中心点O 逆时针旋转
，再沿竖直方向
平移一定距离后，连接
，
，
，
，
，
，此时侧面三角形
，
，
，
正好都是等边三角形.
(1)证明：平面
平面
.
(2)求平面
与平面
所成角的余弦值.
27．如图，在等腰直角三角形
中，
，M 是半圆弧
上异于A，B 的动点，平面
平面
．设O，N 分别为
，
的中点，
，三棱锥
体积的最大值为
．
(1)证明：
平面
；
(2)当
时，求二面角
的正切值；
07 线面垂直的探索性问题
28．如图，四棱柱
中，底面ABCD 是菱形，
，
平面ABCD，E 为
中
点，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求点C 到平面
的距离；
(3)在
上是否存在点M，满足
平面
?若存在，求出AM 长，若不存在，说明理由．
29．如图，已知四棱锥
的底面
为等腰梯形，
，
与
相交于点
O，且顶点P 在底面上的射影恰为O 点．又
．
(1)求异面直线
与
所成角的余弦值；
(2)求二面角
的大小；
(3)设点M 在棱
上，且
，问
为何值时，
平面
．
30．如图，在四棱锥A－BCDE 中，四边形BCDE 为菱形，
，
，AE＝AC，点G 是棱
AB 上靠近点B 的三等分点，点F 是AC 的中点．
(1)证明：
∥平面CEG．
(2)点H 为线段BD 上一点，设
，若AH⊥平面CEG，试确定t 的值．
31．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000 多年，在《九章算术》中，将
底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于
底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱
，
平
面
，四棱锥
为阳马，且
，
分别是
，
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）在线段
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
08 面面垂直的探索性问题
32．在梯形
中，
．
为
的中点，
为
的中点．将
所在平面沿
翻折，使构成的四棱锥
体积最大．
(1)求证：
平面
；
(2)若
为
边的中点，能否在棱
上找到一点
，使平面
平面
?并证明你的结论．
33．如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
，侧面
为正三角形，且平面
平面
．
(1)求证：
．
(2)若
为
中点，试在
上找一点
，使平面
平面
．
34．如图，四棱锥
中，
平面
，
，底面
是矩形，且
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成的角的正弦值；
（3）在线段
上是否存在一点
，使得平面
平面
，若存在，求出点
的位置；若不存在，
请说明理由.
1．如图正三棱柱
底面边长为2，高为6，点
分别在棱
上，且
，若平面
恰好将正三棱柱
体积均分，则平面
和平面
夹
角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（ 2025·天津·一模）《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无
广．刍，草也．甍，屋盖也．”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．现有一刍甍如
图所示，底面
为矩形，
且
为等边三角形，且平面
平面
，点
M 为棱
上靠近点E 的三等分点，平面
将几何体分成体积为
的左、右两部分，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）在正三棱台
中，
，
，
，
分别是
，
，
，
的中点，且
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
平面
C．
平面
D．若
，则
平面
4．（ 2025·吉林·模拟预测）（多选）如图，正方体
中，顶点A 在平面
内，其余顶点在
的同侧，
的交点为O，顶点
到
的距离分别为
，则（ ）
A．
平面
B．O 到平面
的距离为1
C．平面
平面
D．正方体的棱长为
5．如图，点P 是正方体
的面对角线
上一点，对任意的点P，有以下四个结论：
①点P 到直线
的距离不变；②
平面
；③
；④平面
平面
．
其中正确结论的序号是 ．（写出所有你认为正确结论的序号）
6．如图所示，平面
为圆柱
的轴截面，C 为底面圆周上异于A，B 的任意一点.D 为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若C 为
的中点，且
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
7．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，且
，
，等边三角形PCD 所在的
平面垂直于底面ABCD，
．
(1)求证：
面
．
(2)若直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值为
，求二面角P-AB-D 的余弦值．
8．（ 2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在等腰梯形
中，
，点
为
的中点，现将该梯形中的
沿线段
折起，形成四棱锥
，且直线
与平面
所成角的
正弦值为
.
(1)在四棱锥
中，求证：
；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)求二面角
的大小.
1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为4 的正方形，
，
，该棱锥的高为（ ）.
A．1
B．2
C．
D．
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台
的体积为
，
，
，则
与
平面ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
为等腰直角三角形，AB 为斜边，
为等边三角形，若二
面角
为
，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·天津·高考真题）正方体
的棱长为4，
分别为
中点，
．
(1)求证：
平面
；
5．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥
为底面
的中心．
(1)若
，求
绕
旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若
为
的中点，求直线
与平面
所成角的大小．
6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥
中，
底面ABCD，
，
．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且二面角
的正弦值为
，求
．
7．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥
中，
平面
，
．
(1)求证：
平面PAB；
8．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O，
，点F 在AC 上，
.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面BEF；
(3)求二面角
的正弦值.
