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第 04 讲 直线、平面垂直的判定与性质
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学校考三模）已知不重合的平面 、 、 和直线 ，则“ ”的充
分不必要条件是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 B． 内的任何直线都与 平行
C． 且 D． 且
2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知 是三条不同的直线， 是三个不重合
的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则 ．
B．若 与 异面， ，则存在 ，使得 ．
C．若 ，则 ．
D．若 ，则 ．
3．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知四棱柱 的底面 为正
方形，侧棱与底面垂直，点 是侧棱 上的点，且 .若点 在侧面 （包
括其边界）上运动，且总保持 ，则动点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在四棱锥 中，底面 是矩形，给
出以下三个结论：
①若 的中点为 ，则 平面 ；
②若 平面 ，则平面 平面 ；
③若 平面 ，则线段 是四棱锥 外接球的直径.
则关于这三个结论叙述正确的是（ ）A．①对，②③错 B．①②对，③错
C．①错，②③对 D．①②③都对
5．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）如图，在矩形 中， 分别为边 上的点，
且 ， ，设 分别为线段 的中点，将四边形 沿着直线 进行翻折，
使得点 不在平面 上，在这一过程中，下列关系不能成立的是（ ）
A．直线 直线 B．直线 直线
C．直线 直线 D．直线 平面
6．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在正方体 中， 分别为棱
的中点，则平面 与平面 的位置关系是（ ）
A．垂直 B．相交不垂直 C．平行 D．重合
7．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）圆锥 的底面半径为 ，母线长为 ， 是圆锥 的轴截面，
是 的中点， 为底面圆周上的一个动点（异于 、 两点），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点 ，使得 B．存在点 ，使得
C．三棱锥 体积最大值为 D．三棱锥 体积最大值为
8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在棱长为 的正方体 中， 分别为
棱 的中点， 为线段 上一个动点，则下列说法不正确的是（ ）
A．存在点 ，使直线 平面
B．存在点 ，使平面 平面
C．三棱锥 的体积为定值
D．平面 截正方体所得截面的最大面积为9．（多选题）（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知 ， 为不同的直线， ， 为
不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
10．（多选题）（2023·全国·模拟预测）在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，
则下列说法正确的是（ ）
A． 平面 B． 平面
C． 平面 D．
11．（多选题）（2023·海南·海南中学校考模拟预测）如图，在矩形 中， 和 交
于点 ，将 沿直线 翻折，则正确的是（ ）
A．存在 ，在翻折过程中存在某个位置，使得
B．存在 ，在翻折过程中存在某个位置，使得
C．存在 ，在翻折过程中存在某个位置，使得 平面
D．存在 ，在翻折过程中存在某个位置，使得 平面
12．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，矩形 中， 、 分别为
、 的中点，且 ，现将 沿 问上翻折，使 点移到 点，则在翻折过程中，下
列结论正确的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．存在点 ，使得
C．三棱锥 的体积最大值为
D．当三棱锥 的体积达到最大值时，三棱锥 外接球表面积为13．（2023·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知平面 ，直线 满足 ， ，则“ ”
是“ ”的 条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要条件”，“既不充分也不必
要”）
14．（2023·贵州·校联考模拟预测）在四棱锥 中，底面 是矩形， 底面 ，且
， ，则 .
15．（2023·广东梅州·统考三模）如图，在三棱锥 中， 是 的中点， ， 分别为线段 ，
上的动点， ， 平面 ，若 ，则 的最小值为 .
16．（2023·陕西延安·校考一模）已知在正方体 中， ， 是 的中点， 是侧面
内（含边界）的动点，若 ，则 的最小值为 ．
17．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）如图；在直三棱柱 中， ， ，
，点D为AB的中点．
(1)求证 ；
(2)求三棱锥 的体积．
18．（2023·四川广元·校考模拟预测）如图，在三棱锥 中，侧面 底面 ，且
的面积为6．(1)求三棱锥 的体积；
(2)若 ，且 为锐角，求证： 平面 ．
19．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）如图 ，等腰梯形 中， ，
， ， 为 中点， 为 中点.将 沿 折起到 的位置，
如图 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求点 到平面 的距离．
1．（2022•乙卷（文））如图，四面体 中， ， ， ， 为 的中
点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）设 ， ，点 在 上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积．2．（2021•乙卷（文））如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， 为 的中点，且
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求四棱锥 的体积．
3．（2020•新课标Ⅰ）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 是底面的内接正三角形，
为 上一点， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）设 ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥 的体积．4．（2020•江苏）在三棱柱 中， ， 平面 ， ， 分别是 ， 的中
点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ．
5．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且
， ．证明：
（1）当 时， ；
（2）点 在平面 内．6．（2019•江苏）如图，在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点， ．求证：
（1） 平面 ；
（2） ．
7．（2019•北京）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形， 为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由．
8．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形 ， 和菱形 组成的一个平面图形，其中 ，
， ．将其沿 ， 折起使得 与 重合，连结 ，如图2．（1）证明：图2中的 ， ， ， 四点共面，且平面 平面 ；
（2）求图2中的四边形 的面积．
9．（2018•江苏）在平行六面体 中， ， ．求证：
（1） 平面 ；
（2）平面 平面 ．
