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第 04 讲 空间直线、平面的垂直 (精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·山东省莱西市第一中学高一期中）已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，
下列四个命题中，正确的为（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ，且 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，则
【答案】D
对于A：若 ， ， , 与 可能平行，也可能异面故，故A错误.
对于B：若 ， ，且 ， ，当 时，平面 与 可能平行，也可能相交，故B错
误.
对于C：若 ， ，直线 与平面 可能平行，可能相交，也可能 ，故C错误.
对于D：若 ， ， ，则 ，故D正确.
故选：D.
2．（2022·四川·模拟预测（文））已知 是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：
①若 ，则 ； ②若 ，则 ；
③若 ，则 ； ④若 ，则 ．
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】B
①若 ，则 或 ，①错误；
②因为 ，所以 ，又因为 ，则由面面垂直的判定可得 ，②正确；
③因为 ，所以 ，因为 ，则 ，③正确；
④若 ，则 或 异面，④错误.
故选：B
3．（2022·湖南张家界·高一期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称
之为阳马．已知在阳马PABCD中，侧棱 底面ABCD，且 ，则直线PD与平面PAC
所成角的正弦值等于（ ）A． B． C． D．
【答案】A
如图，在正方形ABCD中，连接BD交AC于O，则 ，连接PO.因为 平面ABCD， 平面
ABCD，所以 ，而 ，则 平面PAC，于是 是直线PD与平面PAC所成的
角.
因为PA=AD=1，易知PA⊥AD，所以 ，易得 ，所以
，即直线PD与平面PAC所成角的正弦值为 .
故选：A.
4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））如图，在直三棱柱 中，
为 上一点，平面 分三棱柱为上下体积相等的两部分，则 与
所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
作 于点 ，则 平面 且 ，设 ，则
可证 平面 ，则 ，
平面 分三棱柱为两个体积相等的四棱锥 和 ，
即
取 中点为 ，则 即为所求角，
故选：A．
5．（2022·四川·成都七中高二期末（文））如图，在棱长为2的正方体 中，点M在线段
（不包含端点）上，则下列结论正确的有（ ）个
①点 在平面 的射影为 的中心
②直线 平面
③异面直线 与BM所成角为
④三棱锥 的外接球表面积的最小值为A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
如图1：在正方体 中，可得 ，即三棱锥 为正
四面体，则点 在平面 的射影为 的中心，①正确；
如图2：连接 ，
∵ 且 ，则 为平行四边形，∴
可得 平面
同理可得 平面
可证平面 平面 ， 平面 ，则 平面 ，②正确；
如图3：根据正方体可得 ，可证 平面 ，则 ，同理可得，可证中 平面 ， 平面 ，则 ，即异面直线 与BM所成角为
，③正确；
如图4：∵ 平面 ，则可知点M到平面 的距离即为点 到平面 的距离，设为 ，则
，即
∴ ，即点M到平面 的距离为 ， 外接圆半径为
设球心O到平面 的距离为 ，则 ，
则 ，则三棱锥 的外接球表面积为 ．④错误；
故选：C．
6．（2022·河南新乡·高二期末（文））如图，在棱长为2的正方体 中，点M在线段
（不包含端点）上运动，则下列4个命题中所有正确命题的序号为（ ）①异面直线 与 所成角的取值范围是 ；
② ；
③三棱锥 的体积为定值 ；
④ 的最小值为 ．
A．②④ B．①④ C．②③④ D．①③
【答案】C
因为 ，所以异面直线 与 所成的角即 （或其补角）．因为 为正三角形，
所以 ，故①错误；
因为 平面 ，所以 ，故②正确；
因为 平面 ，所以 ，
故③正确；
如图，将 与 展开在同一平面内， 的最小值为 ，
由余弦定理得 ，故④正确．
7．（2022·河北承德·高一期末）在三棱锥 中， 互相垂直， ，M是线段BC
上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是 ，则三棱锥 外接球的体积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为 是线段 上一动点，连接 ．因为 互相垂直，所以 是直线 与平面 所成的角，则 ．
所以当 最短，即 时，直线 与平面 所成角的正切值最大，此时 ，所以
，
在 中， ，则 ，解得 ．
将三棱锥 扩充为长方体，则长方体的体对角线长为 ．
故三棱锥 外接球的半径 ，三棱锥 外接球的体积为 ．
故选：B
8．（2022·全国·高三专题练习）正方体 中，点 ， 分别为棱 ， 上的点（不包含
端点），设二面角 的平面角为 ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
在正方体 中， 平面 ， 平面 ，则 ，过A作 ，连
AO，有 平面AOA ，如图，
1 1
于是得 ，则 为二面角 的平面角，即 ， ，而 ，因此， ，又AO是点A到直线EF距离最小值，则有点O与点E重合，即 ，
因点 ， 分别为正方形ABCD的边 ， 上除端点外的点，从而得 ，
则有 ，令正方体棱长为1，则 ，
因 ，于是得 ，当且仅当 ，即E为BC中点时取“=”，此时有 ，
所以 的取值范围为 .
故选：C
二、多选题
9．（2022·广东广州·高一期末）如图，四棱锥 的底面为菱形， ，
底面 ，P是 上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ）
A．若 平面 ，则 B．B到平面 的距离为
C．当P为 中点时，过P、A、B的截面为直角梯形 D．当P为 中点时， 有最小值
【答案】ABC
∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面
∴ ，A正确；
设B到平面 的距离为 ，则有
∵ ，即 ，则 ，B正确；
当P为 中点时，如图1，取 的中点 ，连接
则 ∥ ，
∵ ∥ ，则 ∥
∴过P、A、B的截面为 ，则
∴ ，则 ，即 为直角梯形，C正确；借助于侧面展开图，如图2，连接 交 于点 ，此时 为最小值
若P为 中点时，∵ ，则
∴ ，这与题意相矛盾，D错误；
故选：ABC．
10．（2022·云南红河·高二期末）如图，正方体 的棱长为2，E，F，G分别为
的中点，则（ ）
A．直线 与直线 垂直 B．直线 与平面 平行
C．直线 与平面 所成角的正弦值为 D．直线 与直线 所成角的余弦值为
【答案】BD对A，由正方体 得： 平面 ，所以 ，
若 ，则 平面 ，则有 ，又 ，所以 不成立，所以A不正确.
对B，取 的中点M，连接 ， ，易得 ，因为 平面 ， 平面 ，所以
平面 ，
因为 为中点，所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，故B正确；
对C，由正方体 得： 平面 ，
连接DF， 由 平面 得： 为直线 与平面 所成角，
由已知得： ， ， ，
所以 中， ，所以C不正确.
对D，由B选项得 ，所以 即为异面直线 所与 所成角，
在 中， ， ，
由余弦定理得： ，
即直线 与直线 所成角的余弦值为 ，所以D正确.
故选：BD.
三、填空题
11．（2022·山东济南·高一期末）如图，水平桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB为杯底直径，现以点B为支点将水杯倾斜，使AB所在直线与桌面所成的角为 ，则此时圆柱母线与水面所在平面所成
的角大小为______．
【答案】
如图所示，由题意可知： ，
母线与水平面所成角为： ，
故答案为：
12．（2022·四川宜宾·高一期末）如图，正方体 的棱长为1，点P是线段 上的动点，
给出以下四个结论：
① ；
②三棱锥 体积为定值；
③当 时，过P，D，C三点的平面与正方体表面形成的交线长度之和为3；
④若Q是对角线 上一点，则PQ＋QC长度的最小值为 ．
其中正确的序号是______．【答案】①②④
由 平面 ， 平面 ，得 ，
又 ． ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，①正确；
正方体中，平面 平面 ， 平面 ，因此 到平面 的距离不变， 的面
积不变，所以三棱锥 的体积不变，即三棱锥 体积为定值，②正确；
由于正方体的对面平行，因此截面 与正方体的表面的交线相互平行，
连结 延长交 于 ，过 在 交 于 ，连结 ，
则 ，四边形 是过P，D，C三点的平面与正方体表面形成的交线，
正方体棱长为1， ， ，
因此四边形 周长为 ，③错误；正方体中，易知 与 是两个全等的直角三角形， ， ， ，
把这两个三角形沿 摊平形成一个平面四边形 ，如下图，
当 ， 是 与 的交点时， 最小．
，
， ，
所以 ，④正确．
故答案为：①②④．
四、解答题
13．（2022·河南许昌·高一期末（文））如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，
为等边三角形，平面 平面 ， ， ， .(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
(1)如图，取棱 的中点为 ，连接 .
因为 为等边三角形，所以 .
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，所以 .
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ；
(2)如图，连接 .由（1）中 平面 ，
可知 为直线 与平面 所成的角.
因为 为等边三角形， ，且 的中点为 ，
所以 .
又 ，在 中， .
所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
14．（2022·福建·三明市第二中学高一阶段练习）如图．正方体 中，棱长为1，(1)求证：AC⊥平面 ；
(2)求二面角 的平面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：∵在正方体 中， 平面ABCD，
又 平面ABCD，
∴ ，
∵ ， ， ，BD， 平面 ，
∴AC⊥平面 ；
(2)∵ ，所以 ，又 ， 而 ， 面BAC，
∴ 为二面角 的平面角．
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
B 能力提升
1．（多选）（2022·湖南衡阳·高一期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，
∠DAB=60°，AB=2，PB= ，侧面PAD为正三角形，则下列说法正确的是（ ）A．平面PAD⊥平面ABCD B．异面直线AD与PB所成的角为60°
C．二面角P－BC－A的大小为45° D．三棱锥P－ABD外接球的表面积为
【答案】ACD
取 中点 ，连接 ， 和 都是等边三角形，则 ，
是二面角 的平面角，
，又 ，所以 ，即 ，
所以二面角 是直二面角，
所以平面PAD⊥平面ABCD，A正确；
，所以 是异面直线AD与PB所成的角或其补角，
由此可得 平面 ，而 平面 ，所以 ，
，
所以 ， ， ，
，B错；
由 知 ，所以 是二面角 的平面角，
在 中，可得 ，C正确；
以上证明有 平面 ，同理 平面 ，
设 分别是 和 的中心，如图，作 ， ， 与 交于点 ，则
平面 ， 平面 ，所以 是三棱锥 外接球的外心，
由于 ， 是正方形， ，而 ，
所以 即为外接球半径，
三棱锥P－ABD外接球的表面积为 ．D正确．
故选：ACD．2．（多选）（2022·江苏·高二）在正方体 中， 分别为 的中点，则下
列结论中正确的是（ ）
A．
B．二面角 的正切值为
C．异面直线 与 所成角的余弦值为
D．点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的2倍
【答案】BCD
在正方体 中，显然有 ，且在正方体 中， 与 不垂直，
故 与 不垂直，选项A错误；
过点 作 ，交 的延长线于 ，连接 ，由二面角的定义可知， 即为二面角
的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则，选项B正确；
取 的中点 ，连接 ，则 ，
故异面直线 与 所成角即为直线 与 所成角
而 ， ，
故在 中，由余弦定理可得
，选项C正确；
连接 交 于点 ，则点 到平面 的距离与点 到平面 的距离之比为 ，而 ∽
故 ， 选项D正确.
故选：BCD.
3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如图，点 是棱长为 的正方体 中的侧面
上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．有无数个点 满足
B．当点 在棱 上运动时， 的最小值为
C．若 ，则动点 的轨迹长度为
D．在线段 上存在点 ，使异面直线 与 所成的角是
【答案】AC
对于选项A，若M在 上，此时必有 ，证明如下：由正方体的性质得 平面 ， .
又 ， ，所以 平面 ，CM在平面 内，
所以 ，故A正确；
对于选项B，旋转平面 使之与平面 共面，如图中 , 连接 交 于点M，
此时 最短为 ，大小为 ，故B错误；
对于选项C，当点 在平面 内时，由 面 ， 面 ，则 ，
所以有 ，所以 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心，半径为 的 圆弧，
从而动点 轨迹长度为 ，所以C正确.
对于选项D，因为 ，所以直线 与 所成的角即直线 与 所成角,即 或其补角，
由在线段 上存在点 知， ， ,由 ，得： ，
即 最小值大于 ，故D错误；
故选：AC
4．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知正方体 的棱长为1，空间一动点 满足
，且 ，则 ______，点 的轨迹围成的封闭图形的面积为______．
【答案】
.
由正方体 知 平面 ，
又点 满足 ，所以点 在平面 内运动，
如图，连接 ， 交于点 ，连接 ， ，
由对称性， ，
所以 ，解得
所以
所以点 的轨迹围成的封闭图形是以点 为圆心， 为半径的圆，
所以面积 .
故答案为： ； .
C 综合素养
1．（2022·湖南·长郡中学高一期末）已知菱形 的边长为2， .将 沿 折起，使得点 至点 的位置，得到四面体 .当二面角 的大小为120°时，四面体 的体积为
___________；当四面体 的体积为1时，以 为球心， 的长为半径的球面被平面 所截得的
曲线在 内部的长为_______________.
【答案】 ##
如图1，过点P作PF⊥CO交CO的延长线于点F，则∠POF=60°，
因为菱形 的边长为2， ，
所以 ， ，
故四面体 的体积为 ；
当四面体 的体积为1时，此时 ，
解得： ， ，即O，F两点重合，
即PO⊥底面BCD，如图2，
以 为球心， 的长为半径的球面被平面 所截得的曲线为以O为圆心，半径为 的
圆，
落在 内部的长为圆周长的一半，所以长度为 .故答案为： ，
2．（2022·全国·模拟预测）如图，正方体 的棱长为1，动点P在对角线 上，过点P作
垂直于 的平面 ，记平面 截正方体表面所得截面多边形的面积为y，令 ， ，当
时，则 ______，函数 的值域为______．
【答案】
连接BD， ， .
在正方体 中， 面 ，所以 .
由 为正方形，所以 .
又 ，所以 面 ，所以 .同理可证 .
因为 ,所以 平面 ．
设 与平面 交于点 ，由等体积法 得： ，
解得： ,所以 是 的三等分点，此时截面多边形为 ，所以 ．
当 时， 单调递增， ；当 时， 先增后减，根据对称性，当截面的位置在平面 与平面 中间，且为
过 的中点的正六边形时，边长为 ，此时截面多边形面积最大，所以 的最大值为
；当 时， 单调递减， ，所以函数 的值
域为 ．
故答案为： ；
3．（2022·湖北·高一期末）如图， 和 都垂直于平面 ， 是 上一点，且
， 为等腰直角三角形，且 是斜边 的中点， 与平面 所成的角为
.
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的平面角的正切值；
(3)若点P是平面ADE内一点，且 ，设点P到平面ABE的距离为 ，求
的最小值.
【答案】(1)证明见详解；(2) ；(3) .
(1) 平面 ， 与平面 所成的角为 ， ，
， ， 在等腰 中， ，
又 ， ， ， ， ，
，即 ，即 ，
平面 ， 平面 ， ，
， ， 平面 ， 平面 ，平面 ，
平面 ， ，
， 平面 .
(2)
过点 作 ，连接 ，如图所示，
平面 ， 平面 ， ，
又 ， ， 平面 ，
平面 ， ，
根据二面角的定义可知， 为二面角 的平面角，
在 中， ， ， ，
平面 ， 平面 ， ，
在 中， ， ，
，
.
(3)由（1）知， ，又 ， ，
平面 ，
同理 平面 ， 平面 与平面 重合，即点 平面 ，
而 平面 ， 平面 平面 ，
平面 ， 点 到平面 的距离转化为点 到 的距离，在平面 内作点 关于直线 对称点 ，作 于 ，
当 ， ， 三点共线时， 为最小，如图所示，则 ，
在 中， ， ，
，
的最小值为 .
