文档文本内容
第01 讲 三角函数的概念与诱导公式
目录
01 常考题型过关练
题型01 任意角与弧度制
题型02 扇形的弧长与面积
题型03 扇形中的最值问题
题型04 三角函数的定义
题型05 三角函数值的符号判定
题型06 同角三角函数的已知条件求值
题型07 求
齐次式的值
题型08
知一求二
题型09 诱导公式的简单运用
题型10 互余型、互补型互化求值
题型11 同角三角函数与诱导公式的综合
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 任意角与弧度制
1．已知扇形的周长是
，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（ ）
A．2
B．1
C．
D．3
【答案】A
【详解】设扇形的圆心角为
，弧长为，半径为，
则周长
，面积
，
所以当
时面积取得最大值为
，
此时
，对应
.
故选：A
2．已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【详解】设扇形的半径为，弧长为，由已知得
，
扇形面积为
，
当且仅当
，即
时等号成立，此时
，则圆心角
，
故选：D.
3．如图，点A，B，C 是圆
上的点．
(1)若
，
，求扇形AOB 的面积和弧AB 的长；
(2)若扇形AOB 的面积为
，求扇形AOB 周长的最小值，并求出此时
的值．
【答案】(1)面积为
，弧AB 的长为
(2)
，
【详解】（1）由题意知，设
，所以
根据扇形弧长
；
扇形面积
；
（2）由
，即
，
扇形的周长为
当且仅当
等号成立，
所以由
知：
．
02 扇形的弧长与面积
4．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射
赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15 度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清
明、谷雨、立夏等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360 度．因此分为24 个节气，则芒
种为黄经（ ）
A．60 度
B．75 度
C．270 度
D．285 度
【答案】B
【详解】春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种，所以芒种为黄经
度．
故选：B.
5．已知
角是第三象限角，则
是第 象限角.
【答案】第一或第二，或终边在
轴正半轴上的角
【详解】
角是第三象限角，则
，∴
，
，
当
，
时，
是第一象限角，
当
，
时，
是终边在
轴正半轴上的角（轴间角），
当
，
时，
是第二象限角，
综上所述，
是第一或第二象限角，或终边在
轴正半轴上的角.
故答案为：第一或第二，或终边在
轴正半轴上的角.
6．已知
，角
的终边与角
的终边关于直线
对称，则角
的集合为 ．
【答案】
【详解】与角
的终边关于直线
对称的一个角为
，故角
的终边与
的终边相同，所以角
的集
合为
．
7．已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
表示所有奇数，
表示部分奇数，
所以
.
故选：
.
03 扇形中的最值问题
8．某圆锥的侧面展开图是面积为
，圆心角为
的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（ ）
A．
B．3
C．4
D．
【答案】A
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
因为圆锥的侧面展开图是面积为
，圆心角为
的扇形，
所以
，解得
，
因为
，所以
，得
，
所以圆锥的高为
，
所以圆锥的轴截面的面积是
.
故选：A.
9．数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的
规定为度，把弧长与半
径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为
，面积为，则下列比值中不能度
量角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A 选项，
，可以度量；
对于B 选项，
，可以度量；
对于C 选项，
，无比值，无法度量；
对于D 选项，
，可以度量，
故选：C.
10．已知圆锥的侧面积为
，它的侧面展开图是圆心角为
的扇形，则此圆锥的底面直径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，则
，解得
.
因此，此圆锥的底面直径为.
故选：D.
11．（ 2025·山西·三模）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．
主动轮有20 齿，被动轮有48 齿，主动轮的转速为
（转/分），被动轮的半径为
，则被动轮
周上一点每
转过的弧长是
．
【答案】
【详解】由题意知，主动轮的转速为
，则被动轮
转过的角度大小为
，
所以弧长为
故答案为：
04 三角函数的定义
12．设
是第二象限角，
为其终边上一点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】依题意，
，且
，
解得
，则
，
故选：D.
13．已知角
的终边在直线
上，则
的值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】设
终边
上任意一点
．若点P 在第一象限，取点
，所以
．若点P 在第三象限，取点
，所以
．
14．已知角
的终边与单位圆交于点P，点P 关于x 轴的对称点为M，点M 关于原点的对称点
为N，设角
的终边为射线
.若
，则
.
【答案】
【详解】由题意可得点
.又因为P，M 两点关于x 轴对称，所以点
.又因为
N，M 两点关于原点对称，所以点
.由
，且
，得
，则
.
15．当角
的终边经过点
时，角
（用弧度制表示）；当角
的终边经过点
时，
．
【答案】
【详解】因为
，所以角
的终边与
的终边相同，所以角
，
．当角
的终边经过点
时，若
，则
；若
，则
．
05 三角函数值的符号判定
16．以下式子符号为正的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】对于A，因为
角是第二象限角，所以
，又
角是第四象限角，所以
，
所以
，所以A 不正确．对于B，因为角
是第二象限角，角
是第四象限角，角
是第二象限角，所以
，从而
，所以B 正确．对于C，
因为
角是第三象限角，所以
，所以
，所以C 正确．对于
D，因为
，所以
，所以
，所以
D 正确．
17．点
在平面直角坐标系中位于第 象限 ．
【答案】三
【详解】2 弧度的角在第二象限，所以
，4 弧度的角在第三象限，所以
，
所以点
在第三象限．
故答案为：三
18．已知点
在第一象限，则在
上
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为点
在第一象限，所以
，即
位于第一象限或者第三象限，
且满足
．所以当
位于第一象限时，
时，
；当
位于第三象限时，
时，
．综上，
．
06 同角三角函数的已知条件等式求值
19．“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若
，则
，
所以
，即充分性成立；
若
，则
，即
，
所以
不成立，
所以“
”是“
”的充分不必要条件，
故选：A.
20．已知
，并且
，求
的值
【答案】
【详解】因为
，则
，
，
由已知条件可得
，解得
，
因此，
.
21．若
，且
，则
.
【答案】
/
【详解】解法1：由已知得
，
与
联立可得
，
故
，
因为
，则
，所以
.
解法2：由
可知
，
因为
，则
，
，则
，
由于
，则
，
联立
，解得
，即
.
解法3：由
，构造对偶式，令
，
两式平方相加可得
，
因为
，则
，
，则
，
即
或
（舍），
所以
，解得
.
故答案为：
.
22．设
为第二象限角，且
，则
.
【答案】
【详解】由
，即
，解得
或
.又
为第二象限角，故
且
，所以
.
23．对于角θ，当分式
有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一个式子（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意知
，
∵
，∴A 不符合题意；
∵
，∴B 不符合题意；
∵
，∴C 不符合题意；
∵
，∴D 符合题意．
故选：D．
07 求
齐次式的值
24．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
所以
.
故选：C.
25．已知角
满足
.
(1)若
，求
的值；
(2)若角
的终边与角
的终边关于
轴对称，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，即
，又
，
故
，
，
又
，故
，
.
（2）角
的终边与角
的终边关于
轴对称，则
，
，
，
故
.
26．已知
，
．
(1)求
的值；
(2)若
且
，试比较
与
的大小．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，两边平方得
，
所以
，
因为
，所以
，
，所以
，
所以
，所以
；
（2）由（1）得
，
，
两式相加得
，则
；
两式相关系得
，则
；
所以
，
因为
，则
，
又
，所以
，
即
，解得
（正值舍去），
因为
，所以
.
27．已知
为第二象限角.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
为第二象限角，所以
.
因为
，所以
.
所以
.
（2）
，则
.
因为
为第二象限角，所以
，
所以
.
08
知一求二
28．（ 2025·湖北黄冈·二模）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】已知
，将等式两边同时平方可得
．
根据完全平方公式展开得
．
因为
，所以
，移项可得
，则
．
因为
，且
，所以
与
异号，又因为在
上
，所以
．
，由于
，
，则
．
因为
，
，所以
，那么
．
根据立方差公式
．
因为
，
，
，所以
．
的值为
．
故选：C．
29．已知
，则
．
【答案】
/
【详解】由
得
，
解得
，
所以
．
又因为
，且
，
所以
，
所以
，
则
．
故答案为：
30．已知
是关于
的方程
的两个实根，则
的值为 ．
【答案】
/
【详解】因为
，
是关于
的方程
的两个实根，
可得
，平方可得
，可得
，
所以
.
故答案为：
31．已知
是方程
的两个根，
，则角
等于 ．
【答案】
【详解】∵
代入
，得
，即
．
又∵
，∴
，
，
∴
，
．
又∵
，∴
．
故答案为：
.
09 诱导公式的简单运用
32．已知
，则
的值是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．4
【答案】A
【详解】由已知得
，即
，于是
.
33．点
位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【详解】由诱导公式得
，
，
，
且
，
则
，
，
得到
，即
，
则
，故
，
得到点
位于第二象限，故B 正确.
故选：B.
34．已知函数
，设
的始边是
轴的非负半轴，且
，若关于
的方程
在
内有解，则
的终边不可能位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【详解】由
，
，
，
或
，
当
，
时，得
，
，
又
，所以这样的
不存在，
当
时，得
，
，
，
，又
，
时，
，此时
在第一象限；
当
时，
，此时
在第二象限；
当
时，
，此时
在第四象限；
所以
的终边可能位于第一、二、四象限.
故选：C.
35．（多选）质点
和
在以坐标原点
为圆心，半径为1 的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发，
的角速度大小为
，起点为
，
的角速度大小为
，起点为
.则当
与
重合时，
的坐标可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】点
的初始位置
的坐标为
，锐角
，
设时刻两点重合，则
，即
，
此时点
，
即
，
，
当
为偶数时，
，即
重合于点
，故A 正确；
当
为奇数时，
，即
，故C 正确.
故选：AC.
10 互余型、互补型互化求值
36．已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】已知
，且
，则
，
则
，
则
.
故选:C.
37．（ 2025·广东茂名·模拟预测）已知
，且
，求
的值为
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】A
【详解】
，
，
．
．
故选：A
38．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由诱导公式可知
，
又
，
所以
，
所以
.
故选：B.
39．已知
，且
，则
.
【答案】
【详解】∵
，∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
，
故
.
故答案为：
.
11 同角三角函数与诱导公式的综合
40．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
所以
，
两边平方得
，
即
，
即
，即
，
故
，
故选：D.
41．（ 2025·山东日照·一模）已知
是第一象限角，且
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
所以
，所以
，左右两侧平方得
，
所以
，又因为
是第一象限角，所以
，
则
.
故选：D.
42．已知
.
(1)若角
是第三象限角，且
，求
的值；
(2)若
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
.因为
，所以
.又角
是第三象限角，所以
.所以
.
（2）因为
，所以
.
43．已知
.
(1)求
的值；
(2)若
是方程
的两个根，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)3.
【详解】（1）因为
，
所以
，
所以
，解得
；
（2）因为
是方程
的两个根，
所以
，
，
又
，
.
44．已知函数
.
(1)化简
；
(2)若
，且
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
；
（2）当
时，
，
所以
，所以
于是
，
，
所以
.
1．把一张半径为2 的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧
的长
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】过点
作
于
，
由折叠性质可得
，
，
所以
，所以
，所以
，
所以劣弧
的长是
.
故选：
.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据折叠性质得到线段的关系，进而得到
，根据弧长
公式即可求解.
2．已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
，故
，
令
，则
为锐角，
因为
，所以
，且
，
所以
.
故选：C.
3．已知
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】D
【详解】
，
，
，
设
，则
，
原方程组可表示为
，即
，
由①得
，由②得
，
两式联立得，
，
将
的值代入
中得，
，
则
.
故选：D.
4．如图，以
为始边作角
与
，它们的终边分别与单位圆相交于点
，已知点
的坐标为
，若
，求
的坐标为 ．
【答案】
【详解】因为点
在单位圆上且
，所以
，得
．
即
，且由三角函数定义知，
．由
，得：
，故
．
故答案为：
.
5．
在平面直角坐标系
中，单位圆上的动点
、
同时从点
出发，点
按逆时针方向
每秒钟转
弧度，点
按顺时针方向每秒钟转
弧度.若两点相遇时的坐标是
，则此时它们可
能是第（ ）次相遇.
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】B
【详解】由题设，两点相遇时的坐标是
，则
分别最少旋转了
、
，
经过秒相遇，有
，
且
，
则
，所以
，
要使
相遇，则
且
，即
，
若
，则
，此时
，A 错；
若
，则
，此时
，B 对；
若
，则
，此时
，C 错；
若
，则
，此时
，D 错；
故选：B
6．
（多选）在数学史上，为了三角计算的简便及计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：
定义
为角
的正矢，记作
，定义
为角
的余矢，记作
．下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．函数
的最大值为
【答案】ABC
【详解】对A：
，故A 正确；
对B：
，故B 正确；
对C：由
，
所以
，故C 正确；
对D：因为
.
当
时，
取得最大值4.故D 错误.
故选：ABC
7．在以原点为圆心的单位圆中，钝角
的终边与单位圆相交于点
，连接圆心
和
得到射线
，将射线
绕点
按逆时针方向旋转
后与单位圆相交于点
，其中
.
(1)求
的值和钝角
的大小；
(2)求
的值；
(3)记点
的横坐标为
，若
，求
的值.
【答案】(1)
，
；
(2)
(3)
【详解】（1）依题意可得
，解得
，
又因为
为钝角，所以点
在第二象限，即
，
所以
；
易知
，又
，
因此可得
（2）由（1）可知
，
易知原式
（3）由（1）中
，利用三角函数定义可得
；
又
可得
；
因为
，所以
，
因此
；
所以
.
8．
已知正弦三倍角公式：
①
（1）试用公式①推导余弦三倍角公式（仅用
表示
）；
（2）若角
满足
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）
（2）
，
，
解得：
，即
1．（2025·天津·高考真题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由
，则“
”是“
”的充分条件；
又当
时，
，可知
，
故“
”不是“
”的必要条件，
综上可知，“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2020·全国II 卷·高考真题）若α 为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0
B．cos2α<0
C．sin2α>0
D．sin2α<0
【答案】D
【详解】方法一：由α 为第四象限角，可得
，
所以
此时
的终边落在第三、四象限及
轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当
时，
，选项B 错误；
当
时，
，选项A 错误；
由
在第四象限可得：
，则
，选项C 错误，选项D 正确；
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.
3．（2022·全国甲卷·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长
度的“会圆术”，如图，
是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在
上，
．
“会圆术”给出
的弧长的近似值s 的计算公式：
．当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接
，
因为
是
的中点，
所以
，
又
，所以
三点共线，
即
，
又
，
所以
，
则
，故
，
所以
.
故选：B.
4．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：
） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，
则这个圆锥的底面半径（单位：
）是 ．
【答案】
【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则
，解得
.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.
5．（2021·北京·高考真题）若点
关于
轴对称点为
，写出
的一个取值
为 ．
【答案】
（满足
即可）
【详解】
与
关于
轴对称，
即
关于
轴对称，
，
则
，
当
时，可取
的一个值为
.
故答案为：
（满足
即可）.
