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大题预测模拟03（ABC 三维题组限时训练）
（建议用时：60 分钟，满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．已知函数
，
.
（1）求函数
的单调递增区间；
（2）求
时，函数
的值域.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）先根据降幂公式以及辅助角公式化简三角函数，令
即可得
出答案；
（2）由
得
，由此即可求出答案．
【详解】解：
；
（1）令
，得
，
所以函数
的单调递增区间为
；
（2）由
得
，
∴
，
从而函数
的值域为
．
【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及性质，属于基础题．
16．在
中，角
的对边分别为
．已知
．
(1)若
，
，求
；
(2)若
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将已知边角等式通过正弦定理转化为三角函数等式，约去共同因子后得到角B 的正切值，
从而确定角B 的具体大小；接着根据已知的两边和其中一边的对角，运用余弦定理建立关于第三边的一元二次
方程计算求值.
（2）根据边长比例和正弦定理得到角的正弦值比例关系，结合三角形内角和消去角C，将等式展开并化简
得到角A 的正切值；然后利用两角差的正切公式，代入已知的角B 的正切值，直接计算得到所求正切值；
或采用余弦定理先求出第三边，再求角A 的三角函数值，最后用两角差公式得到结果.
【详解】（1）由
及正弦定理得，
．
因为
，所以
，
则
，即
．
因为
，所以
，
根据余弦定理得
，
即
，解得
或
(舍去)，故
．
（2）方法一：由
和正弦定理，得
，
即
．
，即
，
则得
．
所以
．
方法二：根据余弦定理得
，
则
，
，
则角A 是锐角，故
，
则
，
所以
．
17．已知函数
．
(1)若
在定义域上单调递增，求实数
的最小值；
(2)当
时，
①判断曲线
是否为中心对称图形，若是，求出函数
的对称中心，若不是，说明理由；
②解不等式
．
【答案】(1)
．
(2)①是，对称中心为
；②
．
【分析】（1）求导，分析可得
在
上恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解；
（2）①根据题意计算
的值，结合中心对称的定义分析证明；②结合函数的对称性整理可得
，在结合单调性列式求解，注意函数的定义域.
【详解】（1）
，其中
，
因为
在定义域上单调递增，所以
在
上恒成立，
又
，
又
，当且仅当
时等号成立，故
的最小值为
，
所以
，得到
，
所以
，即
，所以a 的最小值
．
（2）①当
时，
，其中
，
，
所以
，
故曲线
为中心对称图形，函数
的对称中心为
．
②不等式
可化为
，即
，
由第一问可知
时，
在
上单调递增，
所以
，解得
，
所以不等式的解集为
．
18．已知函数
.
（Ⅰ）若
，讨论函数
的单调性；
（Ⅱ）若
，证明：
.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.
【分析】（Ⅰ）求导
，由
，得
或
，讨论两者大小关系确定
的正负得单调性即可；（Ⅱ）证
，等价为
整理得
，构造函数
，求导确定其最小值即可证明
【详解】（Ⅰ）依题意，
，
.
令
，则
或
.
当
时，
，由
得
，由
得
；
当
时，
；
当
且
，即
时，由
得
，
由
得
或
；
当
，即
时，由
得
，
由
得
或
.
综上所述，当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递减；
当
时，函数
在
和
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，函数
在
和
上单调递减，在
上单调递增.
（Ⅱ）要证：
.
即证：
，
即证：
，
即证：
.
令
.
.
因为
，所以当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，即
.
故当
时，
.
【点睛】本题考查导数与函数的单调性、最值，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题
19．青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图
所示的光滑曲线
上的曲线段
，其弧长为
，当动点从A 沿曲线段
运动到B 点时，A 点
的切线
也随着转动到B 点的切线
，记这两条切线之间的夹角为
（它等于
的倾斜角与
的倾斜角
之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度
越大，因此可以定义
为曲线段
的平均曲率；显然当B 越接近A，即
越小，K 就越能精确刻
画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义曲线
在点
处的曲率计算公式为
，其中
．
(1)求单位圆上圆心角为
的圆弧的平均曲率；
(2)已知函数
，求曲线
的曲率的最大值；
(3)已知函数
，若
曲率为0 时x 的最小
值分别为
，求证：
．
【答案】(1)1
(2)
(3)证明见解析；
【分析】（1）根据平均曲率
的定义，代入计算可得结果；
（2）对函数
求导，代入曲率计算公式并化简变形利用基本不等式可求得曲线
的曲率的最
大值为
；
（3）根据
曲率为0 可求得
，利用导数判断出函数
的单调性，可知
的两解分别为
，且
，令
可得
，对
整理变形并构造
函数
可得出证明.
【详解】（1）易知单位圆上圆心角为
的圆弧
，
根据定义可得平均曲率
（2）由
可得
，
又
可得
；
所以
，
易知
，当且仅当
时，即
时等号成立；
所以
，
即曲线
的曲率的最大值为
.
（3）由
可得
，
记
，则
；
同理由
可得
，
记
，则
，
若
曲率为0 时，即
，可得
，
化简可得
；
令
，则
，由
可得
，
则当
时，
，此时
单调递增，且
；
当
时，
，此时
单调递减，且
；
则
的图象如下图所示：
又
，结合
的图象可得
有两解，
设这两解分别为
，且
，
又
，
因为
最小，因此
，
由
，可设
，
故
，
化简可得
，则
，
要证
，即证
，
即
，也即
，
即证
，
令
，则
，
所以
在在区间
上单调递增，
故
，故
.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明不等式
时，利用双变量消元技巧找出
的关系式，再
通过构造函数并利用导函数判断出其单调性，并求得其最值即可证明得出结论.
（建议用时：60 分钟，满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过正弦定理将边的关系化为角的关系，根据两角和的正弦公式即可得解；
（2）通过余弦定理得到
，最后根据三角形面积公式得结果.
【详解】（1）因为
，
所以
，
所以
，所以
，因为
，所以
.
（2）由（1）知，
，因为
，
，
，所以
，解得
，
所以
的面积为
.
16．已知抛物线
上的点
到焦点的距离为4.
(1)求
的值；
(2)过抛物线
的焦点的直线与抛物线
相交于
，
两点，且
，求直线的方程.
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）根据题意列式，求出
的值，即得答案.
（2）由（1）可得抛物线方程，设直线方程，并联立，利用抛物线弦长公式求出参数，即得答案.
【详解】（1）由题知，
，所以
.
因为点
到焦点的距离为4，所以
4，所以
，即
，
所以
，所以
.
（2）由（1）知，抛物线
的方程为
，其焦点坐标为
.
设
，
，由题意知l 的斜率不为 0，设直线的方程为
.
由
得
，
，
所以
，所以
.
因为
，所以
，即
，解得
，
所以直线的方程为
，即
.
17．如图，
是圆柱底面内接正三角形，
，
，
为圆柱的母线，
，
为
的
中点，
，
分别为
，
的中点，直线
与平面
相交于点
.
(1)求
的值；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）延长
至点
，使得
，证明
，过点
作
的垂线，垂足为
，结合
相似三角形性质求结论；
（2）建立空间直角坐标系，求平面
与平面
的法向量，结合向量夹角公式求结论.
【详解】（1）因为
，
分别为
，
的中点，
所以
，延长
至点
，使得
，连接
，
所以
，且
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，所以
.
连接
，交
于点
，过点
作
的垂线，垂足为
，
则
，
，又
为
的中点，
所以
为
的中点，又
，
为
的中点，
故
，所以
，
又
，
是正三角形，
故
，
.
由相似易知，
，即
，解得
，
所以
.
（2）设
的中点为
，连接
，
，分别以
，
，
所在直线为
轴，
轴，
轴建立空间直
角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
.
设
是平面
的法向量，
则
，即
，
令
，解得
，
，
所以
是平面
的一个法向量.
设
是平面
的法向量，
则
，即
，
令
，解得
，
，
所以
是平面
的一个法向量.
故
，
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
.
18．已知数列
满足
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)证明：
；
(3)
表示不超过
的最大整数，如
，
，设
，求数列
的前
项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）分析可知数列
是首项和公比均为2 的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解；
（2）根据（1）可得
，再利用等比数列求和公式分析证明；
（3）根据（1）结合二项式定理求数列
的通项公式，利用分组求和法结合等比数列求和公式分析求解.
【详解】（1）因为
，则
，
且
，则
，
可知数列
是首项和公比均为2 的等比数列，
可得
，所以
.
（2）由（1）可知，
，则
，
可得
.
又因为
，
所以
.
（3）由（1）可知，
，则
.
因为
，
可得
，
当
为奇数时，则
，即
；
当
为偶数时，则
，即
.
设
为数列
的前
项和，
可得
.
所以数列
的前
项和为
.
【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于根据
结合二项展开式整理
，并讨论奇偶项求数列
的通项公式.
19．已知函数
，
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若随机变量
可取的值为
，
，且
，
，
为
的数学期望.证明：
（i）
；
（ii）
.
【答案】(1)答案见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）先求出导函数再分
和
两种情况分别得出导函数正负进而得出单调性
（2）（i）应用（1）知
，进而得出
相乘结合数学期望性质计算证明；（ii）结合
结合对数的运算律计算证明.
【详解】（1）
，
，
当
时，
恒成立，函数
在
上单调递增；
当
时，由
得
，由
得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）当
时，
，由（1）知，函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，所以
，所以
.
（i）证明：因为
，所以
，所以
，
所以
，
，
，
⋯
，
两边相乘得
.
又因为
，所以
成立
（ii）因为
，所以
，当且仅当
时取等号.
要证
，只需证明
.
又
，
所以只需证明
，
即
.
又因为
，
所以
，
则
成立.
【点睛】关键点点睛：证明的关键点是对（1）的结论的应用知
，再把不等式转化为
及
变形应用解题.
（建议用时：60 分钟，满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．在
中，角
所对的边分别为
，已知
，且
.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理将
统一成角的形式，然后化简可得
，再结合
正弦定理可求得
的值；
（2）利用同角三角函数的关系和三角函数恒等变换公式对
化简变形可得
，再利用正弦定理得
，然后结合（1）
和余弦定理求出
，从而可求出
，进而可求出
的值.
【详解】（1）因为
，
所以由正弦定理得
，
所以
,
所以
，所以
，
所以由正弦定理得
，所以
；
（2）因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
，
所以由正弦定理得
，
由（1）得
，所以
，得
，
所以由余弦定理得
，
因为
，所以
，
所以
.
16．已知椭圆
的一个顶点为
，右焦点为
，且
，其中
为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点
满足
，点
在椭圆上（
异于椭圆的顶点），直线
与以
为圆心的圆相切于
点
，且
为线段
的中点．求直线
的方程．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
，或
．
【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助
，即可求出椭圆的方程；
（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到
，设出直线
的方程，并与椭圆方程联立，求出
点坐标，进
而求出
点坐标，再根据
，求出直线
的斜率，从而得解.
【详解】（Ⅰ）
椭圆
的一个顶点为
，
，
由
，得
，
又由
，得
，
所以，椭圆的方程为
；
（Ⅱ）
直线
与以
为圆心的圆相切于点
，所以
，
根据题意可知，直线
和直线
的斜率均存在，
设直线
的斜率为
，则直线
的方程为
，即
，
，消去
，可得
，解得
或
.
将
代入
，得
，
所以，点
的坐标为
，
因为
为线段
的中点，点
的坐标为
，
所以点
的坐标为
，
由
，得点
的坐标为
，
所以，直线
的斜率为
，
又因为
，所以
，
整理得
，解得
或
.
所以，直线
的方程为
或
.
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式
以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位
置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.
17．某种玩具启动后，该玩具上的
灯会亮起红灯或绿灯(红灯和绿灯不会同时亮起)，第1 次亮灯时，
亮起红灯的概率为
，亮起绿灯的概率为
.若第n 次亮起的是红灯，则第
次亮起红灯的概率为
，
亮起绿灯的概率为
；若第n 次亮起的是绿灯，则第
次亮起红灯的概率为
，亮起绿灯的概率为
.记
第n 次亮灯时，亮起红灯的概率为
.该玩具启动前可输入
，玩具启动后，当
且第n
次亮起红灯时，该玩具会唱一首歌曲，否则不唱歌.
（1）若输入
，记该玩具启动后，前3 次亮灯中亮起红灯的次数为X，求X 的分布列和期望；
（2）若输入
，
（i）求数列
的通项公式；
（ii）该玩具启动后，在前20 次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：
；（2）（i）
；（ii）最多唱7 次歌.
【分析】（1）由题意得X 的所有取值为0，1，2，3，然后分别求得其概率，列出分布列，再求期望；
（2）（i）由题意得
，转化为
求解；
（ii）由（i）得到
，再结合
求解；
【详解】（1）由题意，得X 的所有取值为0，1，2，3，
因为
表示前3 次亮灯的颜色为“绿绿绿”，
所以
.
因为
表示前3 次亮灯的颜色为“红绿绿”或“绿红绿”或“绿绿红”，
所以
.
因为
表示前3 次亮灯的颜色为“红红绿”或“红绿红”或“绿红红”，
所以
.
因为
表示前3 次亮灯的颜色为“红红红”，
所以
.
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以
.
（2）（i）由题意，得
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，
所以
.
（ii）由
，得
，又
，所以n 为正奇数，
由
，得
，
当n 为奇数时，
，所以
，
所以该玩具启动后，在前20 次亮灯中，当
，9，11，13，15，17，19 时，该玩具可能唱歌，所以该
玩具启动后，在前20 次亮灯中，该玩具最多唱7 次歌.
【点睛】方法点睛；(1)求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部
值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所
取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
18．已知四棱锥
的底面
为平行四边形，
，
，
，
，
.
(1)求三棱锥
外接球的表面积.
(2)设
为线段
上的点.
（i）若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
（ii）平面
过点
，
，且
平面
，探究：是否存在点
，使得平面
与平面
之间所成角的正
切值为
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）存在，
的值为
或
【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而可证面面垂直，再根据外接球性质确定外接球球心，进
而可得外接球半径及表面积；
（2）（i）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得线面夹角正弦值；（ii）建立空间直角坐标系，设
，利用坐标法表示线面夹角余弦值，结合正弦值可得
，再根据平面
过点
，
，可得解.
【详解】（1）如图所示，
因为
，
，
，
故
，即
，
则
，
故
为直角三角形，即
，
又
，
，且
，
平面
，
则
平面
，
又因为
平面
，所以平面
平面
，
设
中点为
，则
的外接圆圆心
满足
，
过
的外接圆圆心
作直线垂直于平面
，
过线段
的中点
作直线
垂直于平面
，其中
，
则
即为三棱锥
的外接球球心，
且四边形
为矩形，
即
，
故
，
故三棱锥
外接球的表面积
；
（2）（i）以
的中点
为原点，
为
轴，平行
方向为
轴，
为
轴，
建立如图1 所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
而
，故
，
，
.
设
为平面
的法向量，
则
，则
，
令
，则
为平面
的一个法向量.
而
，
故直线
与平面
所成角的正弦值
；
（ii）由（i）可知
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
如图2，建立空间直角坐标系，记直线
平面
，直线
平面
，连接
，
因为
平面
，平面
平面
，所以
，
不妨设
，则
，
，
则
，故
，
同理可得，
，
则有
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，
解得
，设
，则
，
故
，
所以
，
又
与平面
之间所成角的正切值为
，
则
，
化简得
，解得
或
，
设
，则
，则
，
解得
，
故
.
当
时，
.
因为
，所以
，
化简得
，解得
，满足要求.
当
时，
.
因为
，所以
，
化简得
，解得
，满足要求.
综上所述，
的值为
或
.
19．已知函数
.
（1）设
.
①求方程
=2 的根；
②若对任意
，不等式
恒成立，求实数m 的最大值；
（2）若
，函数
有且只有1 个零点，求ab 的值.
【答案】（1）①0 ②4 （2）1
【分析】（1）①根据指数间倒数关系转化为一元二次方程，求方程根；②根据指数间平方关系，将不等
式转化为一元不等式，再利用变量分离转化为对应函数最值，最后根据基本不等式求最值；（2）根据导
函数零点情况，确定函数单调变化趋势，结合图象确定唯一零点必在极值点取得，从而建立等量关系，求
出ab 的值.
【详解】（1）因为
，所以
.
①方程
，即
，亦即
，
所以
，于是
，解得
.
②由条件知
.
因为
对于
恒成立，且
，
所以
对于
恒成立.
而
，且
，
所以
，故实数
的最大值为4.
（2）因为函数
只有1 个零点，而
，
所以0 是函数
的唯一零点.
因为
，又由
知
，
所以
有唯一解
.
令
，则
，
从而对任意
，
，所以
是
上的单调增函数，
于是当
，
；当
时，
.
因而函数
在
上是单调减函数，在
上是单调增函数.
下证
.
若
，则
，于是
，
又
，且函数
在以
和
为端点的闭区间上的图象不间断，
所以在
和
之间存在
的零点，记为
. 因为
，所以
，又
，所以
与“0 是函数
的唯一零点”矛盾.
若
，同理可得，在
和
之间存在
的非0 的零点，矛盾.
因此，
.
于是
，故
，所以
.
【点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图等确定其中参数的
范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象
的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
