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2025二轮复习大题规范练（一）
一、基础保分练
1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）记 的内角 所对的边分别为 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 为 边上一点， ，求 .
2．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，
，且 成等比数列.
(1)求 和 ；
(2)若 ，求数列 的前20项和 .
3．（22-23高二下·四川成都·期末）某种产品的价格 （单位：万元/吨）与需求量 （单
位：吨）之间的对应数据如下表所示：
12 11 10 9 8
5 6 8 10 11
(1)已知可用线性回归模型拟合 与 的关系，求 关于 的线性回归方程；
(2)请预测当该产品定价为6万元时需求量能否超过15吨？并说明理由．
参考公式： ， ．
4．（2025·江苏南通·一模）如图，在直三棱柱 中，D，E，F分别为AB，
BC， 的中点．(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求点E到平面 的距离．
5．（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点 ，点 在双曲线上，且其
两条渐近线相互垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点 的直线 与双曲线交于 ， 两点， 的面积为 ，求直线 的方
程.
6．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若函数 有且仅有三个零点，求 的取值范围．
二、能力增分练
7．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数 .
(1)讨论函数 在区间 上的单调性；
(2)证明：函数 在 上有两个零点．
8．（2024·河南新乡·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，且．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
9．（2024·湖北黄冈·一模）设 为数列 的前n项和，满足 .
(1)求证： ；
(2)记 ，求 .
10．（24-25高三上·重庆·开学考试）如图，三棱锥 中， 平面
， 是棱 上一点，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
11．（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为
，离心率为 ，且经过点 .
(1)求 的方程；
(2)过 且不垂直于坐标轴的直线 交 于 两点，点 为 的中点，记 的面
积为 的面积为 ，求 的取值范围.12．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会
在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解
成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联
表：
周平均锻炼时长
合
年龄
周平均锻炼时间少于4小 周平均锻炼时间不少于4小 计
时 时
50岁以下 40 60 100
50岁以上（含
25 75 100
50）
合计 65 135 200
(1)试根据 的 独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？ 精确到
0.001 ；
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人
做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不
少于4小时的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式及数据： ，其中 .
三、拓展培优练
13．（2024·江西·一模）记数列{a }中前 项的最大值为 ，数列{b }称为{a }的“ 数
n n n
列”，由所有 的值组成的集合为 ．
(1)若 ，且 中有3个元素，求 的取值范围；(2)若数列{a }，{b }都只有4项，{b }为{a }的“ 数列”，满足
n n n n
且存在 ，使得 ，求符合条件的数列{b }的个数；
n
(3)若 ，{a }的“ 数列”{b }的前n项和为 ，从 ， ， ，…，
n n
中任取3个，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为 ，求 ．
14．（2024·湖北黄冈·一模）在 中，角 所对的边分别为 .
(1)证明： ；
(2)若 成等比数列.
（i）设 ，求q的取值范围；
（ii）求 的取值范围.
15．（2025·四川巴中·模拟预测）设函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，求a的值；
(2)当 时 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明： ．
16．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面 是矩形，
， ，且平面 平面 ． 分别是 的中点．
．(1)求证： 是直角三角形；
(2)求四棱锥 体积的最大值；
(3)求平面 与平面 的夹角余弦值的范围．
17．（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知抛物线 ，准线 与 轴交于
点 为抛物线 上一点， 交 轴于点 .当 时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)设直线 与抛物线 的另一交点为 （点 在点 之间），过点 且垂直于 轴的
直线交 于点 .是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
18．（2024·山西长治·模拟预测）某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对
100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够
提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点
值代表）；
(2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布 ，其中μ近似为样本
平均数 ，σ近似为样本标准差S.
（ⅰ）利用该正态分布，求 ；
（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽
车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E（Z）；
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，
.
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，
客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动，已知硬币
出现正、反面的概率都，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控
车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，
0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜
利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点的概率为，试证明数列是等比数列，求
出数列的通项公式，并比较和的大小.
