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专题四 概率与统计
微专题1 排列组合与二项式定理专项训练
一、单选题
1.(2025·重庆市·模拟)“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之
一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组
成.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些
组成的四位数中，大于5700的偶数个数是( )
A. 66
B. 75
C. 78
D. 90
【答案】B
【解析】解：若千位数字是5，则百位数字只能是7或8，故共有C3
1C3
1+C2
1C3
1=15(个)，
若千位数字是7，则共有C3
1 A4
2 =36(个)，
若千位数字是8，则共有C2
1 A4
2 =24(个)，
故符合条件的四位数共有15+36+24 =75(个)．
故选：B．
2．（25-26 高三上·四川成都·月考）已知
，
，若
，
，则
（ ）
A．1
B．13
C．12
D．2
【答案】B
【详解】由题可得
,
所以得
，
由于
，所以
；
故选：B
二、多选题
3．（25-26 高三上·江西上饶·月考）设函数
，且记
，则（ ）
A．数列
的首项为1 B．数列
的前8 项和为1
C．数列
的前8 项和为-2187 D．数列
的前8 项和为0
【答案】BD
【详解】由题意知，
是常数项，
是
的系数，
是
的系数，即当
时，数列
的第
项
是
展开式中
的系数.
令
，则
，故A 错误；
数列
的前8 项和等于
，即
展开式中所有项的系数之和，
令
，则
，故B 正确；
数列
的前8 项和等于
，
令
，则
，而
，
则数列
的前8 项和为2187，故C 错误；
数列
的前8 项和等于
，
令
，则
，
因为
，故D 正确.
故选：BD
4．（25-26 高三上·山东·开学考试）设
，则（ ）
A．
B．
C．
的最小值为
D．若
且当
时,
则有
【答案】AC
【详解】因二项式
的展开式的通项为
，
对于A，由题意
，故A 正确；
对于B，在
中，
取
，可得
，故B 错误；
对于C，
，
因
，当
时，
的最小值为
，故C 正确；
对于D，由二项式的通项
，
令
，可得
，
因
且当
时，
则当
时，
，
于是当
时，
，
故
，故D 错误.
故选：AC
三、填空题
5.(2025·福建省龙岩市·模拟)一组数据按照从小到大的顺序排列为2,3,4,5,6,9，记这组数据
的下四分位数为n，则二项式(2 x−1
√x)
n展开式的常数项为 ．
【答案】60
【解析】解：因为6 ×75 % = 4.5，所以这组数据的上四分位数为第5个数，故n=6，
所以二项式 (2 x−1
√x
)
6展开式的通项为T r +1=C6
r(2 x)
6−r(−1
√x
)
r = C6
r 2
6−r(−1)
r x
6−3
2 r，
令6−3
2 r =0，得r = 4，
所以展开式的常数项为 C6
4 ×2
2 ×(−1)
4=60．
故答案为：60．
6.(2025·湖北省襄阳市·模拟)如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处
于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻(上、下或左、右相
邻)的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不
同灯区，则B ,G灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ．
【答案】5
18
【解析】解：从9个灯区中随机先后按下两个灯区，共有A9
2=72种按法．
与B相邻的灯区为A ,C , E；与G相邻的灯区为D , H，故将9个灯区分为三类：第一类F , I
灯区，第二类A ,B ,C , E灯区，第三类D ,G , H灯区．若要使得B ,G灯区最终仍处于“点
亮”状态，则需在同类灯区中随机先后按两个不同灯区．
①若先后按下的是F , I两个灯区，则B ,G灯区最终仍处于“点亮”状态，共有A2
2=2种按
法；
②若先后按下的是A ,B ,C , E灯区中的两个，则B ,G灯区最终仍处于“点亮”状态，共有
A4
2 =12种按法；
③若先后按下的是D ,G , H灯区中的两个，则B ,G灯区最终仍处于“点亮”状态，共有
A3
2=6种按法．
故B ,G灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为2+12+6
72
= 5
18
．
故答案为：5
18
．
7.(2025·湖北省省直辖县级行政区划·模拟)已知(ax−1)( x −2)
5的展开式中x
3项的系数为
60，则实数a的值为 ．
【答案】−5
4
【解析】解：(ax−1)( x −2)
5=ax( x −2)
5−( x −2)
5，
( x −2)
5的二项展开式的通项为T k +1=C5
k x
5−k(−2)
k =(−2)
kC5
k x
5−k，
令5−k =2得k =3，∴T 4=(−2)
3C5
3 x
2=−80 x
2，
∴ax( x −2)
5的展示式中x
3的系数为−80a；
令5−k =3得k =2，∴T 3=(−2)
2C5
2 x
3= 40 x
3，
∴( x −2)
5的展开式中x
3的系数为40，
依题意−80a−40=60，解得a=−5
4
，
故答案为：−5
4
．
8．（2025·广东·模拟预测）数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制.二
进制是“逢二进一”的进制，例：二进制
转化成十进制数为
.若正整数n 可以用
位二进制数
表示，
其中
，记
.已知关于x 的多项式
，则该多项式中x 的奇次项系数和为 .
【答案】
【详解】因为
，
或
，
所以
表示正整数
的二进制表示中的个数，
要计算关于x 的多项式
中奇数项的系数和，
即为计算
时
为奇数的个数，
按位数讨论，位二进制数，只有，
是奇数，共个；
位二进制数
，最高位是，要使所有位加起来是奇数，
则要求其余的
位中有偶数个，依据二项式系数的性质得
，
所以总个数为
，
故答案为：
.
四、解答题
9．（2025·山东济宁·二模）将所有正整数按照如下规律形成数阵：
第1 行 1 2 3 …… 7 8 9
第2 行 10 11 12 …… 97 98 99
第3 行 100 101 102 …… 997 998 999
第4 行 1000 1001 1002 …… 9997 9998 9999
…………
(1)将数列
与数列
的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列
，试确定
在
该数阵中的位置；
(2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12 的所有正整数去掉并保持顺序不变，得
到一个新数阵，记新数阵第
行中正整数的个数为
.
（i）求
，
，
；
（ii）求
.
【答案】(1)
是数阵第4 行，第3097 个数．
(2)
（
i
）
，
，
；
（
ii
）
.
【详解】（1）设
，因为，
，
所以
，
所以，当且仅当
为偶数时，
可以取得正整数，
所以，当且仅当
为偶数时，数列有公共项，
所以，
，故
，
所以，
是数阵第4 行，第3097 个数．
（2）（i）当
时，显然
．
当
时，第2 行2 位数有90 个，其中只有12 去掉．
故
．
当
时，第3 行3 位数有900 个，其中有两种情况去掉：
百位和十位分别为12，此时有10 个；十位和个位分别为12，此时有9 个．
故
．
（ii）当
时，将第
行
个符合条件的
位正整数分为两类：
①个位数字不等于2 时，个位数字有9 种取法，前面
位数有
种取法，这时
位正整
数中有
个；
②个位数字等于2 时，前面
位数有
种取法，
但这
个
位正整数中十位数字等于1 的
个正整数要去掉．
故个位数字等于2 且十位数字不等于1 的
位正整数有
－
个．
综上，由加法原理知
．
设
，
所以，
，即
，
解得
，
所以，
是首项为
，公比为
的等比数
列；
是首项为
，公比为
的等比数列；
所以，
，
，
所以，当
时，
，
经检验，当
时，
也成立
当
时，
也成立．
综上，
．
