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专题六 函数与导数
微专题3 导数与函数零点问题
一、考点透析
考点1 函数零点个数的判断或证明
（1）基本思路：通过求导分析函数的单调性、极值点，结合函数图象走势（草
图）判断零点个数.
（2）常用方法：
直接法：研究函数单调性与极值，转化为函数图象与x 轴交点问题;
构造新函数法：将零点问题转化为两个函数图象的交点问题;
分离参数法：将问题转化为a=g(x)，通过直线y=a 与y=g(x)的交点个数求解.
方向1 函数零点个数的证明
1．（24-25 高二下·河北·期末）已知函数
．
(1)已知
，证明：函数
在
上单调递减；
(2)已知
，证明：
；
(3)当
时，令
，证明：
在
上恰有一个零点．
2．（23-24 高二下·吉林松原·期末）罗尔
中值定理是微分学中的一条重要定理，根
据它可以推出拉格朗日
中值定理和柯西
中值定理，它们被称为微分学
的三大中值定理. 罗尔中值定理的描述如下：如果函数
满足三个条件①在闭区间
上的图象是连续不断的，②在开区间
内是可导函数，③
，那么在
内至少存在一点
，使得等式
成立.
(1)设方程
有一个正根
，证明：方程
必有一个小于
的正根.
(2)设函数
是定义在
上的连续且可导函数，且
.证明：对于
，
方程
在
内至少有两个不同的解.
(3)设函数
.证明：函数
在区间
内至
少存在一个零点.
方向2 函数零点个数的判断
1.(2025·山东省临沂市·模拟)已知函数f ( x)=cos x +m(x + π
2)sin x，其中m≤1．
(1)证明：曲线y = f ( x)是中心对称图形；
(2)讨论函数f ( x)在(−π ,0)内零点的个数；
(3)若存在t >0，当x∈(−π
2 −t ,−π
2)
时，总有|f ( x)|<−2 x−π成立，求符合条件的m
的最小值．
2．（24-25 高二下·广东佛山·期中）已知
是函数
的导函数，
是
的零点，
若在
上，
恒成立，则称
是
上的“好函数”.
(1)若函数
是
上的“好函数”，求整数
的值.
(2)已知函数
.
（i）讨论
的零点个数；
（ii）已知
是
的零点，证明：
是
上的“好函数”.
3.(2025·贵州省·模拟)已知函数f ( x)= x
2+(1−2a)x−aln x ,a∈R
(1)讨论函数f ( x)的单调性；
(2)若f ( x)有两个零点，求a的取值范围．
考点2 已知函数零点情况求参数值或范围
常用方法：
分离参数：转化为a=g(x)，利用g(x)的值域或最值确定参数范围;
零点存在性定理：结合单调区间和端点函数值符号构建不等式;
分类讨论：对参数分段讨论函数单调性，利用极值符号判断零点存在性.
1.(2025·云南省曲靖市·模拟)已知函数f ( x)=a
x+b
x−2(0<a<1,b>1)，若该函数有且只
有一个零点，则ab的值为( )
A. 1
B. 1
e
2
C. 1
e
D. e
2.(2025·广东省惠州市·模拟)已知f ( x)=sin x−x，若g( x)= f (x
3−x−1)+ f (−2 x−λ)有
三个零点，则实数λ的取值范围是( )
A. (−3,1)
B. (−∞,−1)∪(3,+ ∞)
C. (−1,3)
D. (−∞,−3)∪(1,+ ∞)
关注点： 利用零点存在原理区间端点取值技巧
1.(2025·云南省红河哈尼族彝族自治州·模拟)已知函数f ( x)=a x
2+(a−2)x−ln x．
(1)讨论f ( x)的单调性；
(2)若f ( x)有两个零点，求a的取值范围．
2.(2025·宁夏回族自治区银川市·模拟)已知函数f ( x)=3ln( x +1)+ 1
a sin ax +bx(a≠0)．
(1)当b=0时，证明：f ( x)在(−1,2]上单调递增；
(2)当a=1，b=−4时，求f ( x)的零点；
(3)当a= π
2
，b<0时，若f ( x)在(−1,2)上有2个零点，求b的取值范围．
考点3 函数零点与其他问题综合
1．（25-26 高三上·重庆九龙坡·期中）已知函数
． (
是自然对数的底数，
)
(1)若
，求
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间；
(3)设
，由
组成有序实数对
，现从这些有序实数对中
随机抽取一对得到函数
，求使得
恰有两个零点的概率．
2．（24-25 高三下·江苏苏州·开学考试）函数
(1)
时，证明：
；
(2)讨论函数
的零点个数；
(3)当
时，记
所有零点之和为
若
无零点则
，证明：
参考数据：
二、跟踪练习
1.(2025·江苏省·模拟)若函数f ( x)= x
e
ax −ax−1+ ln x有两个不同的零点，则实数a的取值
范围是 ．
2.(2025·海南省·模拟)已知函数f ( x)= ln x−x +a．
(1)若a=0，求f ( x)的单调递减区间；
(2)f ( x)有两个不同的零点x1, x2且x1< x2．
(i)求a的取值范围；
(ii)当x2≤e x1时，求x1的最小值．
3．（2025·江西景德镇·模拟）(1)证明：
在
上恒成立.
(2)若
，证明：函数
在
上恰有1 个零点.
(3)试讨论函数
在
上的零点个数.
4.(2025·福建省福州市·期中)已知函数f (x)=lnx −m x
2+(2−m) x．
(1)若函数f ( x)的极值点在(2,3)内，求m的范围；
(2)若f ( x)有两个零点，求m的范围．
5．（25-26 高三上·北京西城·阶段练习）已知函数
.
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)设实数
使得
恒成立，求
的取值范围；
(3)设
，求函数
在区间
上的零点个数.
6．（25-26 高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
恒成立，求
的取值集合；
(3)若
，求证：
有且仅有两个零点.
