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专题六 函数与导数 第1 讲 函数的图象与性质 一、考点透析 考点1 函数的图象 1．（2025·天津·二模）函数 的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的定义域为R， 则 ， 所以 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除C，D 选项； 又因为 ，故排除B 选项. 故选：A． 2．（2025·天津·高考真题）已知函数 的图象如下，则 的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数 和函数 为奇函数，故排 除选项AB； 又当 时 ，此时 ， 由图可知当 时， ，故C 不符合，D 符合. 故选：D 3．（2025·北京·高考真题）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有点 的（ ） A．横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不 变） C．纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3 倍（横坐标不 变） 【答案】A 【详解】因为 ，所以将函数 的图象上所有点的横坐标变成原来的 倍， 纵坐标不变，即可得到函数 的图象， 故选：A. 考点2 函数单调性与奇偶性 1．（2025·广东揭阳·三模）下列函数是奇函数且在 上单调递增的为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，易知 的定义域为 ，关于原点对称， 又函数 ，所以 是奇函数，但在 上单调递减，故A 错 误； 对于B，函数 是非奇非偶函数，故B 错误； 对于C， ，因为 ， 所以 的定义域为 关于原点对称， 又 ， 所以 是奇函数， 又 在 上单调递增， 为增函数， 所以 在 上单调递增，故C 正确； 对于D，函数 在 上不为增函数，故D 错误. 故选：C. 2．（2025 高三·全国·专题练习）设函数 是定义域为 的偶函数，若 在区间 上单调递减，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数 在区间 上单调递减 所以 A 错误； 因为函数 是定义域为 的偶函数， 所以 B 错误； 所以 D 正确，C 错误. 故选：D. 3．（2025·山西临汾·三模）已知 ，则满足 的实数 m 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ，易知其定义域为 ， 由 ，则函数 为偶函数， ， 设t =2 x+2 −x，则t ，= ln 2(2 x−2 −x)>0 x >0,t ，= ln 2(2 x−2 −x)>0 x <0,t ，= ln 2(2 x−2 −x)<0 则 在 上单调递减，在 上单调递增， 即函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 由 ，则 ，即 ， 整理可得 ，分解因式可得 ， 解得 . 故选：A 考点3 函数奇偶性、周期性与对称性综合 1．（2025·全国一卷·高考真题）设 是定义在 上且周期为2 的偶函数，当 时， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知 对一切 成立， 于是 . 故选：A 2．（25-26 高三上·上海·期中）已知函数的定义域为 ，且满足下列三个条件： ①对任意的 ，当 时，都有 ； ② ； ③ 是偶函数； 若 ，则 的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由①，对任意的 ，当 时，都有 ， 则 ，故函数 在 上单调递增， 由②， ，则 ， 则函数 为周期函数，周期为8， 由③， 是偶函数，则函数 关于直线 对称， 所以 ， ， 而 ，且函数 在 上单调递增， 所以 ，即 . 故选：C. 考点4 函数性质综合 1．（25-26 高三上·黑龙江·期中）定义域为 的函数 满足 为偶函数，且当 时， 恒成立，设 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 当 时， 恒成立， 在 上单调递增； 为定义在 上的偶函数， ， 关于直线 对称， 在 上单调递减； ， ， 关于直线 对称， ； ， ，即 . 故选：A. 2．（25-26 高三上·山东菏泽·期中考试）设函数 的定义域为 ，且满足 为 奇函数， 为偶函数，当 时， ，则（ ） A．f (2026)=0 B． 在[2,3]上单调递增 C．y = f (x +5)为奇函数 D．方程f ( x)=l g|x|仅有10 个不同实数解 【答案】ACD 【详解】因为 为奇函数，所以f (−x +1)+ f (x +1)=0，根据图象变换，则 关 于点(1,0)成中心对称， 又因为 为偶函数，所以f ( x−1)= f (−x−1)，根据图象变换，则 关于直线 x =−1成轴对称， 由函数性质可知，函数 是周期为8 的周期函数，所以函数 的对称轴为直线 x = 4 k −1(k ∈Z )，对称中心为(4 k +1,0)(k ∈ℤ)， 对A，f (2026)= f (2)=−1，故选项A 正确； 对B，当x∈[2，3]，由图象可知 是单调递增的函数，故选B 错误； 对C， 的图象的对称中心为点(4 k +1,0)(k ∈ℤ)，当k =1时，其对称中心为(5,0)， 又将函数 往左平移5 个单位可得f (x +5)，所以f (x +5)的对称中心为 ，所以 y = f (x +5)为奇函数，故选项C 正确； 对D，如图可知函数 与函数y =l g|x|图象左右各有5 个交点，故选项D 正确. 故选：ACD. 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知 是定义在R 上的奇函数，且当 时， ，则（ ） A． B．当 时， C． 当且仅当 D． 是 的极大值点 【答案】ABD 【详解】对A，因为 定义在 上奇函数，则 ，故A 正确； 对B，当 时， ，则 ，故B 正确； 对C， ， 故C 错误； 对D，当 时， ，则 ， 令 ，解得 或（舍去）， 当 时， ，此时 单调递增， 当 时， ，此时 单调递减， 则 是 极大值点，故D 正确； 故选：ABD. 二、跟踪练习 1．（25-26 高三上·山东·期中）函数 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称， 因为 ，所以函数 为偶函数， 又 时， ，可排除A、B 选项， 同时 时， 有无数零点，同时也有 的情况， 故 有无数个零点，且 时有 的情况，可排除C，即D 正确. 故选：D 2．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数 在 上的大致图象如图所示， 则 的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，函数 为偶函数， ，且函数 在 处无定义， 对于A 选项，函数 的定义域为 ， ，函数 为奇函数，不合乎题意； 对于B 选项，函数 的定义域为 ， ，函数 为偶函数，且 ，合乎题意； 对于C 选项，函数 的定义域为 ， ，函数 为奇函数，不合乎题意； 对于D 选项，函数 的定义域为 ，不合乎题意. 故选：B. 3．（21-22 高三上·吉林松原·阶段练习）设 定义域为R，对任意的 都有 ，且当 时， ，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 ，所以 关于 对称， 因为当 时， ，单调递增， 所以当 时， 单调递减， 因为 ， 所以 . 故选：B 4．（25-26 高三上·天津南开·阶段练习）已知定义在 上的函数 满足： 的图象关于直线 对称，且当 时， ，若 ， ， ，则a，b，c 的大小关系 是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的图象关于直线 对称， 的图像关于直线 对称，即 为偶函数， 令 ，则 为奇函数， 又 时， ， ， 单调递减， 又 为奇函数， 所以 时， 单调递减， ， ， ， ， ． 故选：A． 5．（25-26 高三上·辽宁·月考）已知定义在R 上的偶函数 和奇函数 满足 ，则下列说法正确的是（ ） A． B． 是以4 为周期的周期函数 C． 的图象关于直线 对称 D． 【答案】AD 【详解】对于A，由题意， 为偶函数， 为奇函数， 则 ， ， 由 ，令 ，得 ，则 ，故A 正确； 对于D，由 ，得 ， 而 ， 则 ，即 ， 则 ， 由于 ，则 ， ，依次类推： ， 所以 ，故D 正确； 对于BC，当 时，满足 为偶函数， 为奇函 数， 而 ， ， 则 ，满足题意， 而函数 是以8 为周期的周期函数，故B 错误， 又 ，所以函数 的图象不关于直线 对称，故C 错误. 故选：AD．
