专题五 解析几何
第6 练 圆锥曲线定值定点定直线问题专项训练
一、单选题：
1.（2025·山东泰安·三模）设双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，P 为C 上
一动点，则P 到y 轴的距离与P 到
，
距离之和的比值（ ）
A．恒为定值
B．恒为定值
C．不为定值但有最小值
D．不为定值但有最大值
【答案】A
【详解】不妨设点
，且易有
，
，且
，
，
代入得P 到y 轴的距离与P 到
，
距离之和的比值为
，
由于P 为双曲线C 上一点，故
等价于点
到
与
的距
离之差的绝对值，由双曲线定义知其等于2，
故原式等价于
，为定值.
故选：A.
2．（24-25·上海闵行·月考）已知圆锥曲线
的对称中心为原点O．若对于
上的任意一点
P，均存在
上的点Q（
不重合），使得：（1）直线
与
的斜率乘积为定值；
（2）线段
的中点M 在一条固定直线上，则称
为“双对称曲线”．现有如下命题：①
任意椭圆都是双对称曲线；②存在双曲线是双对称曲线；下列判断正确的是（ ）
A．①成立，②成立
B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立
D．①不成立，②不成立
【答案】C
【详解】首先①不成立，下面说明存在椭圆不是双对称曲线.
不妨设椭圆方程为
，其对称中心为原点.
取椭圆上一点
，则直线
不存在斜率，
故不满足条件“对于椭圆上的任意一点P，均存在椭圆上的点Q（
不重合），
使得直线
与
的斜率乘积为定值”，
椭圆
不是双对称曲线，
故①不成立；
其次②成立，下面证明存在双曲线是双对称曲线；
（i）证明：曲线
是双曲线.
设曲线
上任意一点
，其对应复数
，
绕原点顺时针旋转
得动点
，
则
，
则有
，
代入
，化简得
，故动点
的轨迹为双曲线，
即点
轨迹
也为双曲线；
（ii）证明双曲线
是双对称曲线.
证明：首先该曲线以原点
为对称中心.
设双曲线上任意一点
，则
，
且
.
则直线
的斜率
，取常数
，定义
，
当
时，则存在点
在双曲线上，
为不重合两点，
且
；
当
时，则存在
也双曲线上，
为不重合两点，
且
；
综上可知，若对于双曲线
的任意一点
，均存在双曲线上的点Q（
不重合），
使得直线
与
的斜率乘积为定值
，即条件（1）满足；
当
时，则
中点
，即
，
则
，故中点
在直线
上；
当
时，则
中点
，即原点
，
故也在直线
上.
故对于双曲线
的任意一点
，均存在双曲线上的点Q（
不重合），
使得线段
的中点M 在一条固定直线
上，故条件（2）也满足.
由此，条件（1）（2）都满足，故双曲线
是双对称曲线.
综上所述，选项C 正确，其余选项不正确.
故选：C.
二、多选题：
3.(2025·四川省乐山市·月考)已知抛物线C：x
2=2 py( p>0)的准线方程为y =−2，焦点为
F，O为坐标原点，A( x1, y1)，B( x2, y2)是C上两点，则下列说法正确的是( )
A. 点F的坐标为(0,2)
B. 若| AB|=16，则AB的中点到x轴距离的最小值为8
C. 若直线AB过点(0,4)，则以AB为直径的圆过点O
D. 若直线OA与OB的斜率之积为−1
4
，则直线AB过点F
【答案】AD
【解析】解：∵抛物线C：x
2=2 py( p>0)的准线方程为y =−2，
∴C的解析式为：x
2=8 y，
对于A：准线方程为y =−2，故焦点F(0,2)，故A 正确；
对于B：设l AB
：y =kx +b(k ≠0)，则{
y =kx +b
x
2=8 y ,
整理得：x
2−8kx −8b=0
，故x1+ x2=8k，x1 x2=−8b，故AB 中点为(4 k ,4 k
2+b)，
∵| AB|=
√1+ k
2 √( x1+ x2)
2−4 x1 x2=
√1+k
2⋅
√64 k
2+32b=16，
∴b=
8
1+k
2 −2k
2，∴d = 4 k
2+b=
8
1+k
2 +2k
2=
8
1+k
2 +2(k
2+1)−2≥2
√16−2=6，
当且仅当
8
1+k
2 =2(k
2+1)时“=”成立，
当k =0时，距离是8，6<8，所以最小值为6，故B 错误；
对于C：设l AB
：y =kx + 4，则b= 4，则| AB|=
√1+k
2⋅
√64 k
2+32b=8
√1+k
2⋅
√k
2+2
，
AB的中点(4 k ,4 k
2+ 4)到O的距离d = 4
√k
4+3k
2+1≠| AB|
2
，
故以AB为直径的圆不过点O，故C 错误；
对于D：
kOA⋅kOB= y1
x1
⋅y2
x2
=
x1
2
8 ⋅x2
2
8
x1⋅x2
= x1 x2
64 =−1
4
，
∴x1 x2=−16=−8b，故b=2，即l AB：y =kx +2，过F(0,2)，故D 正确．
故选：AD．
4．抛物线C：y2＝2px(p>0，p 为定值)的焦点为F，C 与直线y＝x＋m 相交于A，B 两点，M
为AB 的中点．过点M 作x 轴的垂线，垂足为N；过点M 作AB 的垂线，交x 轴于点P，则(
)
A．－p
2 <m< p
2 B．M 的纵坐标是定值
C．|AB|
2
|NF|
为定值 D．存在唯一的m 使得∠APB＝120°
【答案】BCD
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB 的中点M 的坐标为(
x1+ x2
2
，y1+ y2
2 )，
联立{
y = x +m，
y
2=2 px， 整理可得y2－2py＋2pm＝0，
则Δ＝4p2－8pm>0，即m< p
2 ，
y1＋y2＝2p，y1y2＝2pm，
x1＋x2＝y1＋y2－2m＝2p－2m，
可得AB 的中点M(p－m，p)，
所以A 不正确．
因为p 为定值，又M 的纵坐标为p，
即M 的纵坐标为定值，所以B 正确．
|AB|＝
❑√1+1
2·❑√( y1+ y2)
2−4 y1 y2＝❑√2×❑√4 p
2−8 pm
＝2❑√2·
❑√p
2−2 pm，
且N 的横坐标为p－m，
所以|NF|＝|p−m−p
2|＝|
p−2m
2 |，
所以
|AB|
2
|NF| ＝［2❑√2·❑√p( p−2m)］
2
|
p−2m
2 |
＝16p 为定值，所以C 正确．
由题意可得直线MP 的方程为y－p＝－(x－p＋m)，令y＝0，可得x＝2p－m，即P(2p－m，
0)．
因为MP 是线段AB 的中垂线，
所以|AP|＝|BP|，因为∠APB＝120°，
可得∠MPA＝60°，
则tan ∠MPA＝tan 60°＝❑√3＝
|AB|
2
|MP|
，
即|AB|＝2❑√3|MP|，
又|MP|＝❑√［( p−m)−(2 p−m)］
2+ p
2＝❑√2p，
所以2❑√2·
❑√p
2−2 pm＝2❑√6p，解得m＝－p，
所以存在唯一的m 使得∠APB＝120°，所以D 正确
三：填空题
5.（2025 高三·全国·专题练习）若直线
与抛物线
没有公共
点，则以l 上的点Q 为一顶点C 的阿基米德三角形的底边（点Q 的对边）过定点，该定点
坐标为 ．
【答案】
【详解】任取直线
上的一点
，
则有
，当
时，
即
①，
过点Q 作抛物线
的两条切线，切点分别为A，B，
则弦AB 所在的直线方程为
，把①式代入可得：
，
即
，
令
且
，
可得：弦AB 所在的直线过定点
，
当
时，
，此时弦AB 所在的直线方程为
，
显然该直线过定点
，
综上所述：弦AB 所在的直线过定点
.
故答案为：
6.（2025·海南·模拟预测）已知双曲线
的左、右顶点分别为A，
B，右焦点为
，其渐近线的方程为
，过F 的直线l 交E 于C，D 两点（C 在
x 轴上方），直线AC，BD 分别交y 轴于点P，Q，则
的值为 ．
【答案】
【详解】由题意可得，
，
，解得
，
则
，
设
，与
联立得
，
设
，则
，
则
，
直线
，
，
则
，
，
则
故答案为：
四、解答题：
7.(2025·西藏自治区拉萨市·模拟)已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，直线x + y −1=0经过
C的上顶点及右焦点F2．
(1)求C的方程；
(2)若直线x = x1( x1≠
√a
2−b
2)与C交于点P，Q，且直线P F2与C交于另外一点R．
(ⅰ)若| PR|= 4
√2
3
，求直线PR的方程；
(ⅱ)判断直线QR是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
【答案】(1) x
2
2 + y
2=1．
(2)(ⅰ)x−y −1=0或x + y −1=0．
(ⅱ)直线QR过定点(2,0)．
【解析】解：(1)
因为直线x + y −1=0经过C的上顶点及右焦点，
所以上顶点坐标为(0,1)，b=1，
令y =0得F2(1,0)，所以a
2−b
2=1，a
2=2，
所以C的方程为x
2
2 + y
2=1．
(2)(ⅰ)由(1)得F2(1,0)，直线PR斜率一定存在，设其方程为y =k( x−1)，
设P(x1, y1)，R(x2, y2)，则Q(x1,−y1)，
由{
y =k( x−1),
x
2
2 + y
2=1,
得(2k
2+1) x
2−4 k
2 x +2k
2−2=0，
所以x1+ x2=
4 k
2
2k
2+1
，x1 x2= 2k
2−2
2k
2+1
，
所以| PR|=
√1+ k
2|x1−x2|=
√1+ k
2 √(x1+ x2)
2−4 x1 x2
=
√1+k
2 √
16k
4
(2k
2+1)
2 −8k
2−8
2k
2+1
= 2
√2(k
2+1)
2k
2+1
= 4
√2
3
，
解得k
2=1，k =±1，
所以直线PR的方程为x−y −1=0或x + y −1=0．
(ⅱ)直线QR的方程为y + y1= y2+ y1
x2−x1
(x−x1)，
由对称性易知若直线QR过定点，则该定点在x轴上，
令y =0，得x = x2−x1
y2+ y1
y1+ x1= k (2 x1 x2−x1−x2)
k (x1+ x2−2)
= 2 x1 x2−(x1+ x2)
x1+ x2−2
=
4 k
2−4
2k
2+1
−
4 k
2
2k
2+1
4 k
2
2k
2+1
−2
=2，
所以直线QR过定点(2,0)．
8.(2025·福建省泉州市·模拟)已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2
，点P(1, 3
2 )
在E上，直线y = 1
2 x +m与E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为C，O为坐标原点．
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)证明：△BOC的面积为定值;
(Ⅲ)若点B在直线AC的右侧，求直线BC在y轴上的截距的最小值．
【答案】(Ⅰ) x
2
4 + y
2
3 =1．
(Ⅱ)见解析
(Ⅲ)
√3
2
【解析】解：(Ⅰ)因为E的离心率为1
2
，
所以 √a
2−b
2
a
= 1
2
，①
又点P在E上，所以1
a
2 + 9
4 b
2 =1．②
由①②，解得a=2，b=
√3，
所以E的方程为x
2
4 + y
2
3 =1．
(Ⅱ)设A( x1, y1)，B( x2, y2)，由题意有C( x1,−y1).
由{
3 x
2+ 4 y
2−12=0
y = 1
2 x +m
，得x
2+mx +m
2−3=0，
Δ>0⇒m
2<4，x1+ x2=−m，x1 x2=m
2−3，
S△BOC = 1
2 |OB|⋅|OC |sin ∠BOC
= 1
2 |OB⃗|⋅|OC⃗|
√
1−(
OB⃗⋅OC⃗
|OB⃗|⋅|OC⃗|)
2
= 1
2
√(|OB⃗|⋅|OC⃗|)
2
−(OB⃗⋅OC⃗)
2
= 1
2
√( x2
2+ y2
2)( x1
2+ y1
2)−( x1 x2−y1 y2)
2
= 1
2
√x1
2 y2
2+ x2
2 y1
2+2 x1 x2 y1 y2
= 1
2 | x1 y2+ x2 y1|= 1
2 | x1( 1
2 x2+m)+ x2( 1
2 x1+m)|
= 1
2 | x1 x2+m( x1+ x2)|= 1
2 |m
2−3−m
2|= 3
2
，
即△BOC的面积为定值．
(Ⅲ)因为点B在直线AC的右侧，所以x2> x1，
设直线BC与y轴的交点为T (0,t )，
当x1 x2=0时，B，C中有一个点与E的上顶点重合，
此时T就是E的上顶点，t =
√3，
当x1 x2≠0时，由k BT =kCT，
即y2−t
x2
= −y1−t
x1
，可得
1
2 x2+m−t
x2
=
−1
2 x1−m−t
x1
，
整理得t = −x1 x2−m( x1+ x2)
x2−x1
=
3
x2−x1
>0，
要求t的最小值，求出x2−x1的最大值即可．
x2−x1=
√( x1+ x2)
2−4 x1 x2
=
√m
2−4(m
2−3)=
√12−3m
2，
当m=0时，x2−x1取得最大值2
√3，t取得最小值
√3
2
．
综上可知：直线BC在y轴上的截距的最小值为
√3
2
．
9.(2025·广东省东莞市·模拟)给定椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为
√a
2+b
2的圆为椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(
√2,0)，其短轴上的一个端点
到F的距离为 √3．
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
(2)若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，
N .证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值．
【答案】(1)x
2+ y
2= 4；
(2)MN的长为定值4
【解析】解：(1)∵椭圆C的一个焦点为F ( √2,0)，
其短轴上的一个端点到F的距离为 √3，
∴c =
√2,a=
√3，∴b=
√a
2−c
2=1
，
∴椭圆方程为x
2
3 + y
2=1，
∴“准圆”方程为x
2+ y
2= 4；
(2)证明：①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：
x =±
√3，
当l1
：x =
√3时，l1
与“准圆”交于点(
√3,1)，(
√3,−1)，
此时l2为y =1(或y =−1)，显然直线l1，l2垂直，
同理可证当l1：x =−
√3时，直线l1，l2垂直；
②当l1
，l2
斜率存在时，设点P( x0, y0)，其中x0
2+ y0
2= 4，
设经过点P( x0, y0)与椭圆相切的直线为：y =t( x−x0)+ y0,
∴由{
y =t( x−x0)+ y0
x
2
3 + y
2=1
，得(1+3t
2)x
2+6t( y0−t x0)x +3( y0−t x0)
2−3=0．
由Δ=0化简整理，得(3−x0
2)t
2+2 x0 y0t +1−y0
2=0，
∵x0
2+ y0
2= 4，∴有(3−x0
2)t
2+2 x0 y0t +( x0
2−3)=0，
设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，
∴t1
，t2
满足上述方程(3−x0
2)t
2+2 x0 y0t +( x0
2−3)=0，
∴t1·t2=−1，即l1，l2垂直，
综合①②知，l1⊥l2,
∵l1，l2经过点P( x0, y0)，又分别交其“准圆”于点M，N，且l1，l2垂直，
∴线段MN为“准圆”x
2+ y
2= 4的直径，| MN |= 4，
∴线段MN的长为定值．
10.(2025·山西省·模拟)已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为 √5，点A ( √2,2)
在双曲线C上．
(1)求C的方程；
(2)过双曲线C右支上一动点M分别作C两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于点P，
Q，O为坐标原点，证明：平行四边形MPOQ的面积为定值，并求出该定值．
【答案】(1)x
2−y
2
4 =1;
(2)面积为定值1
【解析】解：(1)由已知可得e = c
a =
√5，所以c =
√5a，
又因为c
2=a
2+b
2，得b
2= 4 a
2①，
将点A ( √2,2)代入双曲线方程，得2
a
2 −4
4 a
2 =1 ②，
联立①，②得a
2=1，所以b
2= 4，
所以双曲线方程为：x
2−y
2
4 =1;
(2)证明：如图，由(1)得双曲线渐近线方程为l1: y =2 x，l2: y =−2 x，
设M (m,n)，则lMQ: y =2 x +n−2m，
，
联立l1
和lMP
，解得交点P(
n+2m
4
, n+2m
2 )
，
则平行线l1和lMQ之间的距离d =|n−2m|
√5
，
则平行四边形MPOQ的面积：
，
由于点M在双曲线上，则m
2−n
2
4 =1，所以4 m
2−n
2= 4，
所以平行四边形MPOQ的面积为定值1．
