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专题六 函数与导数
微专题4 函数中的构造问题
一、考点透析
考点1 同构法构造函数
同构法构造函数，往往根据所给代数式（等式、不等式）中的相同点或者结构形式，
构造具体的函数解析式，从而可以利用导数研究函数的相关性质.
1．（25-26 高三上·山东济南·期中）设函数
在
上存在导函数
，对任意的
有
，且在
上
，若
，则实数
的取
值范围为
【答案】
【详解】
令
，即
，则
为奇函数，
当
时，
，则
在
上单调递增，
故
在区间
上单调递增，则
在
上单调递增，
∵
，即
，
∴
，解得
．
故答案为：
.
2．（25-26 高三上·四川南充·月考）设函数
的定义域为
，导数为
，若当
时，
，且对于任意的实数
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，
，
所以函数
是定义在
上的偶函数，
由条件可知，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
不等式
，
即
，
即
，
所以
，即
，得
，
解得：
.
故选：C
3．（2025 高三·全国·专题练习）定义在
上的可导函数
满足
，且在
上有
，若实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【详解】由
，得
，
令
，则
，即
为偶函数．
又当
时，
，所以
在
上单调递减，
因为
，即
，
又
为偶函数，所以
，所以
，
即
，解得
，
所以
的取值范围为
．
故选：B
考点2 利用f（x）与xn构造
方法特征：（1）如果题目中出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）；
（2）如果题目中出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝f （x）
x
n
.
1．（25-26 高三上·内蒙古赤峰·月考）定义在
上的函数
的导函数为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
，则
，
因为
，所以
，
所以
在
上单调递减.
因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
，但
不一定成立；
，但
不一定成
立；
，但
不一定成立.
故选：A
2.（25-26 高三上·宁夏固原·月考）已知函数
是定义在
上的偶函数，且当
时，
不等式
成立，若
，则
之间的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】构造函数
，则
，
当时
，不等式
成立，
∴当
时，
，函数
单调递减.
∵函数
是定义在
上的偶函数，∴
，
则
在
上是奇函数，∴
在
上是减函数.
而
，
由
，得
，即
.
故选：C.
3．（25-26 高三上·山西朔州·月考）已知函数
是定义在
上的偶函数，其导函数
为
，且当
时，
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设
，
因为函数
是定义在
上的偶函数，所以
也是定义在
上的偶函数.
又当
时，
，
因为当
时，
，所以
，即
在
上单调递增，
又
是定义在
上的偶函数，所以
在
上单调递减.
由
,
即
.
所以
.
故选：B
考点3 利用f（x）与ex构造
方法特征：（1）对于f'（x）＋nf（x）＞0（或＜0），构造函数F（x）＝enxf（x）；
（2）对于f'（x）－nf（x）＞0（或＜0），构造函数F（x）＝f （x）
e
nx
.
1．（2025 高三·全国·专题练习）定义在
上的函数
的导函数为
，若对任意实数
x，有
，且
为奇函数，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，则
，
因为对任意实数x，都有
，所以
，所以
为定义在
上的减函
数，
因为
为奇函数，所以
，则
，所以
，则不等式
转化为
，即
，
由于函数
在定义域上单调递减，所以
，故不等式
的解集是
．
故选：C．
2．（25-26 高三上·安徽六安·月考）已知可导函数f（x）的导函数为
，若对任意的
，都有
，且
为奇函数，则不等式
的
解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
，则
，
由
得
，所以
，
即
在R 上单调递减，
由
为奇函数，可知
，即
，则
，
不等式
等价于
，即
，
因为
在R 上单调递减，所以解集为
.
故选：A
考点4 利用f（x）与sin x，cos x 构造
方法特征：（1）F（x）＝f（x）sin x，F'（x）＝f'（x）sin x＋f（x）cos x；
（2）F（x）＝f （x）
sin x
，F'（x）＝f '( x）sin x－f （x）cos x
sin
2 x
；
（3）F（x）＝f（x）cos x，F'（x）＝f'（x）cos x－f（x）sin x；
（4）F（x）＝f （x）
cos x
，F'（x）＝f '( x）cos x＋f （x）sin x
co s
2 x
.
1．（25-26 高三上·河南南阳·期中）已知定义域为R 的偶函数
的导函数为
，且当
时，
，若
，则
的
大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当
时，
，令函数
，
求导得
，函数
在
上单调递增，
因此
，又
是定义域为
的偶函数，则
，
而
，则
．
故选：B
2．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，
，即
；
当
时，
，即
.
故当
时，
，
，四个选项均成立.
当
，
时，
化简得
.
先考虑函数
，
.
则
，故
在
上单调递增.
因为
，所以
.因为
，所以
，即
.
若
，
，则
，根据
的单调性，可知
.
故此情况下，
，
.可排除B、D 选项.
若
，
，则
，根据
的单调性，可知
.
故此情况下，
，
.可排除A 选项.
综上，当满足题目条件时，
恒成立.
故选：D
考点5 双变量函数同构
1．（25-26 高三上·四川南充·阶段练习）已知
是定义域为
的函数，
，
若对任意的
，都有
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，对任意的
，都有
，即
，
令
，由单调性的定义可得
在
上单调递增，
当
时，
，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，所以
，解得
；
当
时，
在
上单调递增，所以
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故选：D.
2.（2025·温州高三统一测试）已知x，y∈R，则“x＞y＞1”是“x－ln x＞y－ln y”的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【详解】（1）设f（t）＝t－ln t，t＞0，则f'（t）＝1－1
t ＝t －1
t
，
由f'（t）＞0 得t＞1，由f'（t）＜0 得0＜t＜1，
f
∴（t）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.
∴当x＞y＞1 时，f（x）＞f（y），即x－ln x＞y－ln y 成立，故充分性成立.
但x－ln x＞y－ln y 成立时，可能有x＝1
e ，y＝1，此时x＜y，故必要性不成立.
综上，“x＞y＞1”是“x－ln x＞y－ln y”的充分不必要条件.
故选A.
考点6 指对互化构造函数
1.（2025·烟台期末）已知函数f（x）＝ex＋x－2，g（x）＝ln x＋x－2，若
∃x1∈R，x2＞0，使得f（x1）＝g（x2），则x1x2的最小值为 .
【答案】－1
e
【详解】∵∃x1 R
∈，x2＞0，使得f（x1）＝g（x2），
∴e
x1＋x1－2＝ln x2＋x2－2，即e
x1＋x1＝ln x2＋x2＝e
ln x2＋ln x2.
令h（x）＝ex＋x，x R
∈，则h'（x）＝ex＋1＞0，
∴函数h（x）在R 上是增函数，∴x1＝ln x2，即x2＝e
x1，
x1x2
∴
＝x1·e
x1.令u（x）＝xex，x R
∈，则u'（x）＝（x＋1）ex，
当x＜－1 时，u（x）单调递减，当x＞－1 时，u（x）单调递增，
可得x＝－1 时，函数u（x）取得极小值即最小值，u（－1）＝－1
e .
2．（25-26 高二上·贵州黔南·开学考试）若
，当
时，
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
等价于
，
即等价于
，即等价于
．
令
，
则条件等价于
，当
时，
，
即函数
在
上单调递减，即
，则
．
又
，
，所以
，
所以实数
的取值范围是
．
故选：A.
考点7 函数同构与奇偶性综合
1．（25-26 高三上·重庆·阶段练习）定义在R 上的函数f(x)的导函数为
，满足
，且
，则满足不等式
的实数的范围为
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】B
【详解】由题得：
，
即
，从而
（其中
为常数），
，又
，
，因为
的定义域为R，且
，则
为偶函数，
又因为
，当
时，
，
因为
均在
上单调递增，则
在
上单调递增，则
，结合
，
则
在
上恒成立，且仅在
时取等号，
则
可
判
断
是
偶
函
数
且
在
单
调
递
增
，
，解得
或
，
故选：B．
2．（25-26 高三上·新疆·月考）已知函数
及其导函数
的定义域为
，
是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，求导得
，
，则
，且
，
当
时，则
，可得
；
当
时，则
，可得
；
故
在
内单调递增，在
内单调递减，
又
是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，
由
，可得
，
即
，则
，
故有
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：B.
二、跟踪练习
1．（25-26 高二上·福建莆田·月考）已知
，则
的大
小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】构造函数
，其中
，
则
，所以
在
上单调递增，
由
，
，
，
因为
，所以
，所以
.
故选：C.
2．（2025 高三·全国·专题练习）设在
上可导函数
满足
，并且在
上有
，实数
满足
，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据题意设
，
则
，
又
，所以
，
那么
，
即
则
为奇函数，其
，则
单调递减．
又
，
，
则
，
即
，所以
，
故选:B．
3．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）若函数
对任意的
都有
成立，
则
与
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．无法比较大小
【答案】B
【详解】∵
，即
，
令
，则
即
在
上单调递增，
∵
∴
，即
，
则
，即
.
故选：B
4．（江西省景德镇市2026 届高三上学期第一次质量检测数学试题）定义在
上的函数
满足
，又当
时，
恒成立，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，
则
，
所以
为偶函数，
当
时，
，
所以
在
上单调递增，
又因为
，
，
所以
因为
所以
，
所以
，
所以
，
故选：A.
5.设a，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若aea＜bln b，则（ ）
A.ab＞e
B.b＞ea
C.ab＜e
D.b＜ea
【答案】B
【详解】由aea＜bln b，得ealn ea＜bln b.
设f（x）＝xln x（x＞0），因为a＞0，则ea＞1，
因为b＞0，且bln b＞aea＞0，则b＞1.
当x＞1 时，f'（x）＝ln x＋1＞0，则f（x）在（1，＋∞）上单调递增，
ealn ea＜bln b，即f（ea）＜f（b），所以ea＜b.
故答案选B.
6．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
及其导函数
的定义域的解集是均为
R，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，即
，
由
的原函数为
，
从而可构造函数
，
则
，
所以
在R 上单调递增，
故
，即
，
整理得
.
故选：C
