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专题五 解析几何
第7 练 圆锥曲线中的证明、探索问题专项训练
一、单选题：
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系
中，已知双曲线
的左
顶点为
，异于
的点
在渐近线
上，直线
与
的右支交于点
，定义
.若
是渐近线
上异于
的三个点，
为
中点，且直线
均与
的右支相交，则
与
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
二、多选题：
2．在平面直角坐标系xOy 中，由直线x＝－4 上任一点P 向椭圆x
2
4 ＋y
2
3 ＝1 作切线，切点
分别为A，B，点A 在x 轴的上方，则( )
A．∠APB 恒为锐角 B．当AB 垂直于x 轴时，直线AP 的斜率为1
2
C．|AP|的最小值为4 D．存在点P，使得(⃗PA +⃗PO)·⃗OA＝0
3．（2025·重庆·模拟预测）已知双曲线
，
，
为C 的左、右
焦点，点
，
，过
作实轴的垂线l 与C 从下到上依次交于A，B 两点，线
段
与C 的虚轴长相等．则（ ）
A．双曲线C 的离心率
B．以
为直径的圆与C 的渐近线相切
C．若点P 是C 上任意一点，则直线
，
的斜率之积的范围是
D．若点P 是C 上任意一点，l 分别与
，
交于点E，F，则
4．（25-26 高三上·河南·期中）已知椭圆
的长轴长是离心率的两倍，
为
上任意一点，且原点
为
的对称中心，则（ ）
A．
B．
的最小值为
C．
的最大值为
D．线段
的中垂线不可能经过
的顶点
三、填空题：
5.（2025 高三·全国·专题练习）如图，已知抛物线
，直线过点
与抛物线
交于
两点，点
关于
轴的对称点为
，连接
.直线
是否过定点？
（填“是”或“否”）.若是，则定点坐标为 .
四、解答题：
6.(2025·内蒙古自治区呼和浩特市·模拟)已知椭圆E：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的焦距为2
√2，
以椭圆E短轴一个端点和两个焦点为顶点的三角形是直角三角形，过点P(0,2)的直线AB，
CD分别交椭圆E于点A，B，C，D，点A在第一象限且与点D关于y轴对称，直线AC，
BC分别交y轴于点G，M．
(1)求椭圆E的方程；
(2)求点G的坐标；
(3)证明：| AB|=2| AP|·| MG|．
7.(2025·湖南省·模拟)已知椭圆C：x
2
4 + y
2
b
2 =1(b>0)，A(0,b)，B(0,−b).椭圆C内部的
一点T(t , 1
2)(t >0)，过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N．M、N是不同
的两点．
(1)若椭圆C的离心率是
√3
2
，求b的值；
(2)设▵BTM的面积是S1
，▵ATN的面积是S2
，若S1
S2
=5，b=1时，求t的值；
(3)若点U (xu, yu)，V (xv , yv)满足xu< xv
且yu> yv
，则称点U在点V 的左上方．求证：当
b> 1
2
时，点N在点M的左上方．
8.(2025·江苏省·模拟)已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率e = 1
2
，过点(1,0)的动直
线l与椭圆相交于两点，当直线l与x轴垂直时，直线l被椭圆E截得的线段长为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线y =kx与椭圆C交于A，B两点，P是椭圆C上一动点(不同于A，B)，记kOP，k PA，
k PB分别为直线OP，PA，PB的斜率，且满足k ⋅kOP=k PA⋅k PB，求点P的坐标(用k表示)；
(3)过左焦点F1的直线交椭圆于M，N两点，是否存在实数λ，使| MN
→
|= λ F1 M
→
⋅F1 N
→
恒成立？若存在，求此时| MN⃗|
的最小值；若不存在，请说明理由．
9.(2025·河南省·模拟)我们把下面的定义称为双曲线的第二定义：平面内到定点F(c ,0)的
距离与到定直线l：
的距离之比为常数c
a
的点的轨迹叫做双曲线，其方程为
x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)，其中b
2=c
2−a
2，此时l叫做该双曲线的右准线.已知双曲线C：
x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−2,0)，F2(2,0)，直线l：x =1是C的右
准线．
(1)求C的方程以及C的离心率；
(2)设l与x轴的交点为M，过点F2的直线与C的右支相交于A，B两点，
(i)以M，A，B为其中的三个顶点作平行四边形MANB，求平行四边形MANB面积的取
值范围；
(ii)设直线l与直线AB的交点为P，点P在y轴上的射影为Q，直线AQ，BQ与x轴的交点
分别为G，H，则|F2G|
|F2 H|
是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
10.(2025·湖北省襄阳市·模拟)已知椭圆Γ：y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0)的上顶点为S(0,
√6)，且
过点P(1,
√3)．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若斜率为 √3的直线l与椭圆交于A、B两点(直线PA斜率为正)，直线PA、PB(若P、B
重合，直线PB即为椭圆Γ在P点处的切线)分别与x轴交于M、N两点，H为PN中点．
(i)求sin∠PMH的最大值；
(ii)当sin∠PMH最大时，将坐标平面沿x轴折成二面角P−MN −A，在二面角
P−MN −A大小变化过程中，求三棱锥P−MNA外接球表面积取得最小值时三棱锥
P−MNA的内切球的半径．
11.(2025·江苏省南京市·模拟)如图1，曲线Γ是x
2
4 + y
2
b
2 =1( y ≥0)与y
2
b
2 −x
2
4 =1( y ≥0)组合
的．
(1) x
2
4 + y
2
b
2 =1( y ≥0)过点(−1, 3
2 )，求y
2
b
2 −x
2
4 =1( y ≥0)的渐近线方程；
(2)b=
√2，设T (0,t )，t ∈[−
√2
2 ,3
√2]，曲线Γ上找一个点Q，使得|TQ⃗|达到最小；
(3)若b=1，如图2，存在过点P(0,1)的两条直线l1，l2与曲线Γ的交点分别是点A、点M、
点B、点N，点A在第二象限，点M在第一象限.是否存在非零实数λ使得MN⃗= λ AB⃗成立，
请说明理由．
