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专题五 解析几何
第1 讲 直线与圆
【探究真题.明确方向】
1.(2025·天津，T12)已知l1：x-y+6=0 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，与(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C，D 两
点，|AB|=3|CD|，则r= .
2.(2024·全国甲卷，理T12)已知b 是a，c 的等差中项，直线ax+by+c=0 与圆x2+y2+4y-1=0 交于A，B 两点，
则|AB|的最小值为( )
A.1
B.2
C.4
D.2❑√5
3.(2023·新课标Ⅱ卷，T15)已知直线x-my+1=0 与☉C：(x-1)2+y2=4 交于A，B 两点，写出满足“△ABC 面积
为8
5”的m 的一个值为 .
4.(2023·新课标Ⅰ卷，T6)过点(0，-2)与圆x2+y2-4x-1=0 相切的两条直线的夹角为α，则sin α 等于( )
A.1
B.
❑√15
4
C.
❑√10
4
D.
❑√6
4
5.(2025·全国Ⅰ卷，T7)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=❑√3x+2 的距离为1 的点有且仅有两个，则r 的取
值范围是( )
A.(0，1)
B.(1，3)
C.(3，+∞)
D.(0，+∞)
6.(多选)(2021·新高考全国Ⅰ卷，T11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16 上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A.点P 到直线AB 的距离小于10
B.点P 到直线AB 的距离大于2
C.当∠PBA 最小时，|PB|=3❑√2
D.当∠PBA 最大时，|PB|=3❑√2
【命题预测】本讲是历年高考命题常考的内容，属于中低档题目，主要以选择题或填空题的形式进行考查，
分值约为5~6 分.
【考向预测】一是直线的方程、两直线的位置关系、距离问题；二是圆的方程，主要考查圆的方程的求解
以及几何性质的应用；三是直线和圆的位置关系，主要考查位置关系的判断，由位置关系求解参数的值或
范围，由弦长、半径和圆心距引发解三角形是重点；四是圆与圆的位置关系，主要考查位置关系的判断和
公共弦等相关问题.
考点一 直线、圆的方程
【典例】1 (1)(多选)下列说法正确的是( )
A.已知直线x+y-a=0 与直线3x-ay+3=0 平行，则它们之间的距离是❑√2
B.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0 与直线x-ay-2=0 互相垂直”的充要条件
C.当点P(3，2)到直线mx-y+1-2m=0 的距离最大时，m 的值为-1
D.已知直线l 过定点P(1，0)，且与以A(2，-3)，B(-3，-2)为端点的线段有交点，则直线l 的斜率k 的取
值范围是(-∞，-3]∪[
1
2 ，+∞)
(2)(多选)(2025·咸阳模拟)已知圆C 的方程为x2+y2-8x+12=0，点M(x0，y0)是圆C 上任意一点，O 为坐标
原点，则下列结论正确的是( )
A.圆C 的半径为2
B.满足|OM|=5.5 的点M 有两个
C.x0+2y0的最大值为4+2❑√5
D.若点P 在x 轴上，则使|OM|=2|PM|恒成立的点P 有两个
【变式训练】1 (1)(多选)已知直线l：y=kx+2k-3，则下列说法正确的是( )
A.直线l 恒过定点(-2，-3)
B.若直线l 在x 轴上的截距为1，则k=1
C.若直线l 与直线2x+y-1=0 垂直，则k=-1
2
D.若k≥❑√3，则直线l 的倾斜角的取值范围为[
π
3 ，π)
(2)(2025·江西四月适应性联考)与直线y=
❑√3
3 x 和直线y=❑√3x 都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距
离为❑√2的圆的方程为 .
考点二 直线、圆的位置关系
考向1 直线与圆的位置关系
【典例】2 (多选)(2025·石家庄模拟)已知直线l：x+ay-3=0 与圆C：x2+y2-8x+6y+16=0，则下列说法正
确的是( )
A.当a=2 时，直线l 与圆C 相交
B.若直线l 与圆C 相切，则a=4
3
C.圆C 上一点P 到直线l 的最大距离为❑√10+3
D.若圆C 上恰好有三个点到直线l 的距离为2，则a=3
4
考向2 圆与圆的位置关系
【典例】3 (多选)(2025·铜仁模拟)已知圆C1：x2+(y+2)2=4，圆C2：x2+y2-4y+a=0，则下列说法正确的是
( )
A.a<4
B.若a=0，则圆C1与圆C2有且仅有1 个公共点
C.若圆C1与圆C2的公共弦长为4，则a=-16
D.当a=-32 时，若动圆M 与圆C1外切，同时与圆C2内切，则点M 的轨迹方程为x
2
4 + y
2
16=1
【变式训练】2 (1)(2025·湖南名校联合体模拟)已知直线l：y=kx(k<0)与圆C：x2+y2-2x+4y+1=0 相交于
M，N 两点，其中点C 为圆心，若0<∠MCN≤2π
3 ，则k 的取值范围为( )
A.[
2−❑√6
2
，0)
B.[−3
4 ，0)
C.(−∞，2−❑√6
2 ]
D.(−∞，−3
4]
(2)已知圆C：(x-4)2+(y-3)2=1 和两点A(-m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C 上存在点P，使得∠APB=90°，则
m 的最大值为 .
考点三 隐圆
【典例】4 (1)已知点A(-3，0)，B(3，0)，若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1 上存在点M 满足⃗MA·⃗MB=-5，则实
数a 的值不可能为( )
A.2
B.1
C.0
D.-2
(2)(多选)已知动点M 与两个定点O(0，0)，P(3，0)的距离的比为1
2，动点M 的轨迹为曲线C，则( )
A.动点M 的轨迹方程为(x+1)2+y2=4
B.直线x-y+2=0 与曲线C 交于A，B 两点，则|AB|的长为
❑√14
2
C.曲线C 与曲线D：(x-1)2+y2=4 的公切线有2 条
D.已知点E(-1，1)，点N 为曲线C 上任意一点，则2|NO|-|NE|的最大值为❑√17
【变式训练】3 (多选)在平面直角坐标系中，存在三点A(-1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P 满足|PA|=
❑√2|PB|，则( )
A.点P 的轨迹方程为(x-3)2+y2=8
B.当△PAB 面积最大时，|PA|=2❑√6
C.当∠PAB 最大时，|PA|=2❑√6
D.点P 到直线AC 距离的最小值为4 ❑√2
5
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.(2025·乌鲁木齐适应性检测)直线l：2x+3y-1=0 的一个方向向量为( )
A.(3，2)
B.(3，-2)
C.(2，3)
D.(2，-3)
2.(2025·新余模拟)已知直线(m+1)x+3y+1=0 与直线4x+my+1=0 平行，则m 的值为( )
A.3
B.-4
C.3 或-4
D.3 或4
3.(2025·绍兴模拟)直线x=2 被圆(x-1)2+(y-2)2=5 截得的弦长为( )
A.2
B.4
C.2❑√3
D.2❑√5
4.(2025·佛山质检)在平面直角坐标系中，曲线C：|x|
4 +|y|
3 =1 的周长为( )
A.12
B.14
C.16
D.20
5.(2025·包头模拟)若(x+2)2+(y+1)2=2，则x + y +1
x
的最小值为( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
6.(2025·宁波模拟)已知点M(a，0)，N(2，3)到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2 条，则a
的取值范围为( )
A.(-2，0)
B.(-2，6)
C.(0，6)
D.(2，6)
7.(2025·安庆模拟)已知点P 在圆(x−5
2)
2
+y2=9
4 上，A(-2，0)，M(1，1)，则1
3|PA|+|PM|的最小值为( )
A.1
B.❑√2
C.2❑√2
D.❑√10
8.(2025·沈阳模拟)函数f(x)=
❑√2
2 x+❑√x
2−8 x +25(0≤x≤4)的最小值为( )
A.4
B.7 ❑√3
3
C.7 ❑√2
2
D.5
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.(2025·潍坊模拟)已知点P(2，2)，圆C：x2+y2=18，则( )
A.点P 在圆C 内
B.点P 与圆C 上的点之间的最大距离为6❑√2
C.以点P 为中点的弦所在直线的方程为x+y-4=0
D.过点P 的直线被圆C 截得弦长的最小值为❑√10
10.下列说法错误的是( )
A.“a=-1”是“直线x-ay+3=0 与直线ax-y+1=0 互相垂直”的充要条件
B.直线xcos α-y+3=0 的倾斜角θ 的取值范围是[0，π
4]∪[
3 π
4 ，π)
C.若圆C1：x2+y2-6x+4y+12=0 与圆C2：x2+y2-14x-2y+a=0 有且只有一个公共点，则a=34
D.若直线l 过点M(-2，3)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为x+y=1
11.(2025·渭南质检)设直线系M：xcos θ+(y-2)sin θ=3(0≤θ<2π)，则下列四个命题为真命题的是( )
A.M 中所有直线均经过一个定点
B.存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C.M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
D.对于任意整数n(n≥3)，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.(2025·安徽A10 联盟质检)已知圆C：x2+y2-mx-4=0 上存在两点关于直线x-y-3=0 对称，则圆C 的半径为
.
13.(2025·红河州、文山州、普洱市、临沧市检测)已知直线l：mx+ny=3(m>0，n>0)，若直线l 被圆x2+y2-
2x-2y=0 所截得的弦长为2❑√2，则mn 的最大值为 .
14.(2025·齐鲁名校联考)已知三个正数r1，r2，r3构成公比为q(q>1)的等比数列，圆Ci：( x−ri)
2+y2=ri
2
(i=1，2，3)，过圆C3上一点P 分别作圆C1，C2的切线，切点分别为Q，R，若|PR|
|PQ|=
❑√3
2 ，则q= .
【拓展训练】(每小题6 分，共12 分)
15.(多选)(2025·新余模拟)数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系中有☉O：x2+y2=1 与x 轴分别交
于A，B 两点，P 为☉O 上的动点，以AP 为直径的☉E 的位置随P 点位置的变化而变化，当P 点逆时针转
过一周时，☉E 扫过的区域是图乙所示的美丽的“心形”(记作M)，则下列说法正确的是( )
A.若∠PAB=π
6 ，则☉E 与x 轴公共点的坐标为(-1，0)和(
1
2 ，0)
B.图乙中M 内的点到y 轴距离的最大值为1.25
C.若以O 为圆心的圆可以完全覆盖区域M，则该圆的半径最小为
❑√
❑√2+2❑√5
2
D.图乙中M 与y 轴的公共部分上的点到x 轴距离的最大值为
❑√2+2❑√5
2
16.(多选)(2025·大庆模拟)过点P(-1，0)向曲线Cn：x2-2nx+y2=0(n∈N*)引斜率为kn(kn>0)的切线ln，切点为
Pn(xn，yn)，则下列结论正确的是( )
A.
2025
Σ
i=1
ln xi=-ln 2 026
B.yn=2n ❑√n+1
n+1
C.x1·x3·x5·…·x2n-1<❑√
1−xn
1+ xn
D. xn
yn
>sin❑√
1−xn
1+ xn
