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专题 14 解析几何中的轨迹问题
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】动点轨迹问题解题策略
（1）、直译法：一般步骤为：
①建系,建立适当的坐标系；
②设点,设轨迹上的任一点P(x，y)；
③列式,列出动点P所满足的关系式；
④代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；
⑤证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
(2)、定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
(3)、代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x，y)的变化而变化，并且Q(x，y)又在某已知
0 0 0 0
曲线上，则可先用x，y的代数式表示x，y，再将x，y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；
0 0 0 0
(4)、参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用
一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．三、解法解密
方法一 解轨迹问题注意
（1）、求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的
形状、位置、大小等.
（2）、要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足
方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.
四、考点解密
题型【一】、定义法求曲线的轨迹方程
定义法：
如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则
可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
例1、 已知 ΔABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、 b 、c，若 a,c,b 依次构成等差数列，且
|AB|=2
a>c>b
， ，求顶点
C
的轨迹方程.
y
C
A O B x
例2、【2016高考新课标1卷】设圆 的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重
合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明 为定值,并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C ,直线l交C 于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形
1 1
MPNQ面积的取值范围.题型【二】、点差法（设而不求）
例3．（2021·沙坪坝·重庆一中高三月考）过点 的直线 与抛物线 交于P、Q两点.
（1）求线段PQ的中点B的轨迹方程；
（2）抛物线C的焦点为F，若 ，求直线l的斜率的取值范围.
例4．（2022·江苏·南京市中华中学高二阶段练习）已知点 为双曲线 上任一点， 为双
曲线的右焦点，过 作直线 的垂线，垂足为A，连接 并延长交y轴于 ．
(1)求线段 的中点 的轨迹 的方程；
(2)已知 ，过点 的直线l与轨迹E交于不同的两点M、N，设直线DM和直线DN的斜率分别
为 和 ，求证： 为定值．题型【三】、直接法求曲线的轨迹方程
直接法：
如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 P满足的等量关系
易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量
关系式，即可得到轨迹方程。
例5、（2021·宁波市北仑中学）如图，已知 ，直线 ， 是平面上的动点，过点P作l的垂
线，垂足为点Q，且 ．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M；
①已知 ，求 的值；
②求 的最小值．
例6、【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C： 上，过M作x轴的垂线，垂足
为N，点P满足 。
(1) 求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线 上，且 。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。题型【四】、参数法求曲线的轨迹方程
参数法：
如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参
变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），
y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
例7、过抛物线 y2 =2px （ p>0 ）的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA 、 OB ，求弦 AB 的中点M 的轨
迹方程.
例8、已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交 于 两点，交 的准
线于 两点．
（I）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ；
（II）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程.
题型【五】代入法（相关点法）
代入法（相关点法）：
如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足
某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代
入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
例9、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形
APBQ的顶点Q的轨迹方程C:x2 −y2 =1 Q l:x+y=2 N QN
例10、如图，从双曲线 上一点 引直线 的垂线，垂足为 ，求线段 的中
点P的轨迹方程.
y
P
Q N
O x
例11、双曲线 有动点 ， 是曲线的两个焦点，求 的重心 的轨迹方程。
题型【六】、交轨法
交轨法：
在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出
交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接
消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
例12、（2021·全国高二课时练习）求两动直线 与 的交点 的轨迹方程．
x2 y2
− =1
例13、如右图，垂直于x轴的直线交双曲线a2 b2 于M 、N 两点， A 1 ,A 2为双曲线的
A M A N
左、右顶点，求直线 1 与 2 的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
y
M
P
A O A x
1 2
N五、分层训练
A组 基础巩固
1．（2022·北京二中高二阶段练习）设 为坐标原点，动点 在椭圆C： 上，过 作 轴的垂
线，垂足为 ，点 满足 ，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海市控江中学高二期末）在平面直角坐标系内，到点 和直线 的距离相等的点的轨
迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
3．（2022·全国·高二课时练习）已知半径为1的动圆与圆 相切,则动圆圆心的轨迹方
程是（ ）
A．
B． 或
C．
D． 或
4．（2022·江苏·盐城中学高二期中）已知 是圆 上的一动点，点 ，线段 的
垂直平分线交直线 于点 ，则 点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·湖北·华中师大一附中高二期中）已知 分别为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆
E上一动点，G点是三角形 的重心，则点G的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．6．（2022·四川·树德中学高二期中（理））已知圆 ，圆 ，动圆M与
圆 外切，同时与圆 内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·四川·树德中学高二期中（文））已知 的周长为20，且顶点 ，则顶点 的
轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知两圆 ，动圆 与圆 外切，且
和圆 内切，则动圆 的圆心 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·海南·嘉积中学高二阶段练习）在椭圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ，垂
足为 ，点 在 的延长线上，满足 ，当点 在椭圆上运动时，点 的轨迹方程为______.
10．（2022·湖北·荆门市东宝中学高二期中）已知矩形 中， ，点 ， 分别为线段
的中点，现将 沿 翻转，直到与 首次重合，则此过程中，线段 的中点的运动
轨迹长度为____________．
11．（2022·辽宁·育明高中高二期中）与点 和点 连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程
是______.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ， ，直线PM，PN的斜率乘积为 ，P点的
轨迹为曲线C，则曲线C的方程为______.
13．（2022·广东·鹤山市第一中学高二阶段练习）已知 乃是椭圆 的两焦点， 为
椭圆上任一点，从 引 外角平分线的垂线，垂足为 ，则点 的轨迹方程为___________.
14．（2022·四川省遂宁高级实验学校高二期中（理））已知正方体 的棱长为2，点M、N
在正方体的表面上运动，分别满足： ， 平面 ，设点M、N的运动轨迹的长度分别为m、n，则 _______________.B组 能力提升
15．（2021·陕西渭南·高三竞赛）已知动点P到直线l： 的距离比到定点 的距离多1.
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)若A为（1）中曲线E上一点，过点A作直线l的垂线，垂足为C，过坐标原点O的直线OC交曲线E于
另外一点B.证明：直线AB过定点，并求出定点坐标.
16．（2022·广东·恩平黄冈实验中学高二阶段练习）抛物线 与x轴交于A，B两点．
(1)当n为常数时，动点P满足 、 的斜率之积为 ，求动点P的轨迹方程；
(2)当n变化时，y轴上是否存在点C（异于原点），使得过A、B、C三点的圆H被y轴截得的弦长为 ？
若存在，求出此点；若不存在，说明理由．17．（2022·广西贵港·高三阶段练习）已知动圆 与直线 相切，且与圆 外切.
(1)求动圆 的圆心轨迹 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线与轨迹 交于A， 两点，点 ，延长 ， 分别与轨迹 交于
， 两点，设 的斜率为 ，证明： 为定值.
18．（2022·广东·高二阶段练习）已知 ， ，P为平面上的一个动点．设直线AP，BP的斜率
分别为 ， ，且满足 ．记动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点 的动直线l与曲线C交于E，F两点．曲线C上是否存在定点N，使得 恒成立
（直线 不经过点 ）？若存在，求出点N的坐标，并求 的最小值；若不存在，请说明理由．19．（2020·上海·格致中学高二阶段练习）已知 .动点 满足: .
(1)求动点 的轨迹；
(2)当 时，求 的最大值和最小值.
20．（2022·广西柳州·高二期中）已知动点 到点 的距离是到点 的距离的两倍．求：
(1)动点 的轨迹方程；
(2)若 为线段 的中点，试求点 的轨迹．C组 真题实战练
21．（2008·重庆·高考真题（理））如图， 和 是平面上的两点，动点P满足：
．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若 ，求点P的坐标．
22．（2007·江西·高考真题（文））如图，椭圆 的右焦点为 ，过点F的一动直
线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段 的中点．
(1)求点P的轨迹H的方程；
(2)在Q的方程中，令 ， ，设轨迹H的最高点和最低点分别为M和
N．当 为何值时， 为一个正三角形？23．（2017·全国·高考真题（理））设O为坐标原点，动点M在椭圆C 上，过M作x轴的垂线，
垂足为N，点P满足 .
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点 在直线 上，且 .证明：过点P且垂直于OQ的直线 过C的左焦点F.
24．（2012·四川·高考真题（理））如图，动点 到两定点 、 构成 ，且
，设动点 的轨迹为 ．
（1）求轨迹 的方程；
（2）设直线 与 轴交于点 ，与轨迹 相交于点 ，且 ，求 的取值范围．25．（2009·山东·高考真题（文））设 ,在平面直角坐标系中,已知向量 ,向量 ,
,动点 的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）已知 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且
（O为坐标原点）,并求出该圆的方程；
（3）已知 ,设直线 与圆C: （1
