专题四 概率与统计
第1 练 统计与成对数据的分析专项训练
一、单选题：
1.(2025·福建省龙岩市·模拟)某市AI智能机器人比赛项目有29位同学参赛，他们在预赛中
所得的积分互不相同，只有积分在前15名的同学才能进入决赛．若某同学知道自己的积分
后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这29位同学的预赛积分的( )
A. 中位数
B. 众数
C. 平均数
D. 极差
【答案】A
【解析】解：因为29位同学的积分，中位数是第15名的预赛积分，所以知道中位数即可判
断是否在前15．
故选：A．
2.(2025·山东省济宁市·模拟)下列各组数据中方差最大的一组是( )
A. 6，6，6，6，6
B. 5，5，6，7，7
C. 4，5，6，7，8
D. 4，4，6，8，8
【答案】D
【解析】解：四个选项的数据平均数都是6；
选项A 的方差为(6−6)
2+(6−6)
2+(6−6)
2+(6−6)
2+(6−6)
2
5
=0；
选项B 的方差为(5−6)
2+(5−6)
2+(6−6)
2+(7−6)
2+(7−6)
2
5
=0.8；
选项C 的方差为(4−6)
2+(5−6)
2+(6−6)
2+(7−6)
2+(8−6)
2
5
=2；
选项D 的方差为(4−6)
2+(4−6)
2+(6−6)
2+(8−6)
2+(8−6)
2
5
=3.2．
故选D．
3.(2025·湖南省郴州市·模拟)马拉松爱好者小丽7∼12月份每个月的跑步里程(单位：公里)
如下表所示，则小丽7∼12月份每个月的跑步里程的60 %分位数为( )
月份
7月
8月
9月
10月
11月
12月
跑步里程
310
254
220
210
248
300
A. 210公里
B. 251公里
C. 254公里
D. 248公里
【答案】C
【解析】解：将小丽7∼12月份每个月的跑步里程从小到大排列：210，220，248，254，
300，310．
因为6×60 % =3.6，
所以小丽7∼12月份每个月的跑步里程的60 %分位数为254公里．
故选：C．
4.(2025·河北省保定市·联考)某车间主任为了预估该车间一天加工零件的个数，需要测试加
工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，这4次试验的数据如下表：
零件数x(个)
10203040
加工时间y(分
钟)
286092120
若用最小二乘法求得回归直线方程为ŷ =3.08 x + â
，则估计加工这样的零件100个需要的
时间是( )
A. 306分钟
B. 310分钟
C. 320分钟
D. 324分钟
【答案】A
【解析】解：由已知x = 10+20+30+ 40
4
=25, y = 28+60+92+120
4
=75，
所以75=3.08×25+a
^
,a
^
=−2
，
当x =100时，y
^
=3.08×100−2=306(分钟)．
故选：A．
5.(2025·安徽省芜湖市·模拟)已知10个样本数据的平均值为10，方差为6，则这10个数据的
65％分位数的最大值为( )
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
【答案】C
【解析】解：设这10个样本数据分别为x1, x2,⋅⋅⋅, x10，且x1≤x2≤⋅⋅⋅≤x10．
因为10×65％=6.5，所以这10个数据的65％分位数为x7．
设x1, x2, x3, x4, x5, x6的平均值为m，方差为S，x7, x8, x9, x10的平均值为n，方差为T，
由题意知6m+ 4 n
10
=10，则m= 50−2n
3
；
6= 6[S +(m−10)
2]+ 4[T +(n−10)
2]
10
≥3(m−10)
2+2(n−10)
2
5
，
所以6≥
3(
50−2n
3
−10)
2
+2(n−10)
2
5
，整理得(n−10)
2≤9，解得7≤n≤13，
所以x7≤n≤13，
当且仅当S =T =0时等号成立，
即x1= x2= x3= x4= x5= x6=8，x7= x8= x9= x10=13时，x7取到最大值13．
故选：C．
6.(2025·山西省·模拟)AI正悄然改变着我们的生活.某在线平台利用AI技术为学生提供个性
化学习路径，为了解学生对平台的满意程度，随机抽取使用该平台的学生进行打分，将收
集到的分数数据按照[30,40),[ 40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分组，
画出频率分布直方图如图所示，则这些数据的中位数约为( )
A. 85
B. 80
C. 77.5
D. 75
【答案】C
【
解
析
】
解
：
由
于
(0.005+0.005+0.010+0.015)×10=0.35，
(0.005+0.005+0.010+0.015+0.02)×10=0.55，
因此中位数落在区间[70,80)内，设中位数为x，
由0.35+0.02×( x−70)=0.5，得x =77.5，因此，中位数约为77.5．
故选：C．
7.(2025·内蒙古自治区呼和浩特市·模拟题)给定一组数据：x1，x2，x3，…，xn.下列说法
正确的是( )．
A. 这组数据的极差为xn−x1
B. 这组数据的中位数小于xn
C. 这组数据的平均数x ≥
1
n−1∑
i=1
n−1
xi
D. 这组数据的方差为1
n∑
i=1
n
xi
2−x
2
【答案】D
【解析】解：对于A，因这组数据间的大小关系不清楚，故无法确定极差，故A 错误；
对于B，若这组数据x1，x2，x3，…，xn是从大到小排列，则这组数据的中位数必不小于
xn，故B 错误；
对于C，若这组数据为1,2,3,4 ,5,6,7 ,8,9,0，则这组数据的平均数为
x = 1+2+3+ 4 +5+6+7+8+9+0
10
= 9
2
，
而1
9∑
i=1
9
xi= 1+2+3+ 4+5+6+7+8+9
9
=5，此时有x< 1
9∑
i=1
9
xi
，故C 错误；
对于D，这组数据的方差为1
n∑
i=1
n
( xi−x)
2= 1
n [( x1−x)
2+( x2−x)
2+⋯+( xn−x)
2]
= 1
n [(x1
2+ x2
2+⋯+ xn
2)−2 x( x1+ x2+⋯+ xn)+n x
2]
= 1
n [(x1
2+ x2
2+⋯+ xn
2)−2n x
2+n x
2]
= 1
n(∑
i=1
n
xi
2−n x
2)= 1
n∑
i=1
n
xi
2−x
2，故D 正确．
故选：D．
二、多选题：
8.(2025·福建省泉州市·模拟)某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜
中挑选了100个称重(单位：kg)，并整理数据，得到如下频率分布直方图.根据此频率分布
直方图，下面结论正确的是( )
A. m=0.1
B. 估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为30 %
C. 估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4 kg至1.6kg之间
D. 估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间
【答案】BCD
【解析】对于A：0.1(0.5+2m+2+2.5+3)=1，
解得m=1，故 A 错误；
对于B：估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为(2+1)×0.1×100 % =30 %，故 B 正确；
对于C :因为(3+2.5)×0.1=0.55>0.5，所以估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4 kg
至1.6kg之间，故C 正确；
对于D:因为哈密瓜的质量在[1.2,1.5)的频率为0.45 ，在[1.2,1.6)的频率为0.7 ，
所以估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间，故D 正确．
故选：BCD．
9.(2025·湖北省十堰市·模拟)2020至2024年我国快递业务量及其增长速度如图所示，则
A. 2020至2024年我国快递业务量逐年增长
B. 2020至2024年我国快递业务量的中位数是1106亿件
C. 2020至2024年我国快递业务量增长速度的极差是19.4％
D. 估计我国2019年的快递业务量大于500亿件
【答案】ABD
【解析】解：对于选项A，2020至2024年我国快递业务量分别为834，1083，1106，
1321，1751(单位：亿件)，
根据数据可以看出2020至2024年我国快递业务量逐年增长，A 正确；
对于选项B，根据选项A 可以看到，2020至2024年我国快递业务量的中位数是1106亿件，
B 正确；
对于选项C，增长速度的极差为增长速度的最大值减增长速度的最小值，则增长速度的极
差为31.2％−2.1％=29.1％，
故2020至2024年我国快递业务量增长速度的极差是29.1%， C 错误；
对于选项D，设我国2019年的快递业务量为x亿件，则根据增长率可知(1+31.2%)x =834，
得x = 834
1.312 > 834
1.5 =556>500，D 正确．
故选：ABD．
10.(2025·广西壮族自治区柳州市·模拟)某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：
第x年
1
2
3
4
5
利润y /亿元
2
3
4
5
7
已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为
ŷ =1.2 x + â
，则下列说法正确的是( )
A. â =0.6
B. 变量y与x之间的线性相关系数r <0
C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元
D. 残差绝对值的最大值为0.4
【答案】ACD
【解析】解：依题意x = 1
5 (1+2+3+ 4+5)=3，y = 1
5 (2+3+ 4+5+7)= 21
5
，
因为回归直线方程为ŷ =1.2 x + â
必过样本中心点(x , y)，
则21
5 =1.2×3+ â，解得â =0.6，故A 正确；
回归直线方程为ŷ =1.2 x +0.6
，
则y与x成正相关，即相关系数r >0，故B 错误；
当x =6时，ŷ =1.2×6+0.6=7.8
，
即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C 正确；
当x =1时，ŷ =1.2×1+0.6=1.8
，残差绝对值为|1.8−2|=0.2，
当x =2时，ŷ =1.2×2+0.6=3
，残差绝对值为|3−3|=0，
当x =3时，ŷ =1.2×3+0.6= 4.2
，残差绝对值为|4.2−4|=0.2，
当x = 4时，ŷ =1.2×4 +0.6=5.4
，残差绝对值为|5.4−5|=0.4，
当x =5时，ŷ =1.2×5+0.6=6.6
，残差绝对值为|6.6−7|=0.4，
所以残差绝对值的最大值为0.4，故D 正确；
故选：ACD．
三、填空题：
11.(2025·陕西省咸阳市·模拟)某地气象局测得该地连续10天的最高气温分别为36，37，35，
37，39，a，37，37，38，38(单位：℃)，若该组数据的平均数与众数相等，则a=
．
【答案】36
【解析】解：因为37出现4次，其余出现次数不超过3次，可知众数为37，
由题意可得：36+37+35+37+39+a+37+37+38+38
10
=37，解得a=36．
故答案为36．
12.(2025·福建省·模拟)红铃虫( Pectinophora gossypiella)是棉花的主要害虫之一，其产卵
数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的8组观测数据，制成图
1所示的散点图．现用两种模型①，y =e
bx +a，②y =c x
2+d分别进行拟合，由此得到相应
的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
x
z
t
∑
i=1
8
( xi−x)
2
∑
i=1
8
(ti−t )
2
∑
i=1
8
( zi−z)( xi−x) ∑
i=1
8
( yi−y)(ti−t )
24
2.9 646
168
422688
50.4
70308
表中zi= ln yi
，z = 1
8∑
j =1
8
zi
，ti= xi
2，t = 1
8∑
i=1
8
ti
；
(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型 比较合适？
(2)根据(1)中所选择的模型，求出y关于x的回归方程是 .附：对于一组数据(ω1,v1)，
(ω2,v2)，…，(ωn,vn)，其回归直线v̂ =α̂ + β̂ ω
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
β̂ =
∑
i=1
n
(ωi−ω)(vi−v)
∑
i=1
n
(ωi−ω)
2
，α̂ = v −β̂ ω
．
【答案】①
；y
^
=e
0.3 x−4.3
【解析】解：(1)模型①更合适，理由如下：
模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，
所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适；
(2)令z = ln y，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则ẑ = â + b̂ x
，
由所给的参考数据可得，b̂ =
∑
i=1
8
( xi−x)( zi−z)
∑
i=1
8
( xi−x)
2
= 50.4
168 =0.3，
所以â = z−b̂ x =2.9−0.3×24 =−4.3
，
所以z关于x的线性回归方程为ẑ =0.3 x −4.3
，即ln y =0.3 x−4.3，
所以产卵数y关于温度x的回归方程为ŷ =e
0.3 x−4.3．
故答案为：①；y
^
=e
0.3 x−4.3．
四、解答题：
13.(2025·山东省济宁市·模拟)近年来，户外运动越来越受到人们的重视，某市对高中学生
是否喜欢户外运动进行了一个随机调查，调查的数据如下表所示：
喜欢不喜
欢
合计
男生75
x
80
女生25
15
y
合计100
20
120
(1)求x，y；
(2)依据该统计数据，能否有99.9 %的把握认为该市高中学生是否喜欢户外运动与性别有关？
(3)以样本频率估计概率，在全市高中学生中抽取10名同学，记其中不喜欢户外运动的学
生数为X .求随机变量X的数学期望E( X )和方差D( X )．
附：χ
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )
，其中n=a+b+c +d．
α = P( χ
2 0.1 0.05 0.01 0.001
xα
2.7063.8416.63510.828
【答案】(1)x =5，y = 40；
(2)有99.9 %的把握认为高中学生是否喜欢户外运动与性别有关；
(3)E( X )= 5
3 ，D( X )= 25
18
．
【解析】解：(1)由题意知，75+ x =80，25+15= y，
所以x =5，y = 40；
(2)零假设H 0：该市高中学生是否喜欢户外运动与性别无关，
由(1)知，2×2列联表如下：
喜欢
不喜欢
合计
男生
75
5
80
女生
25
15
40
合计
100
20
120
χ
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d ) = 120(75×15−25×5)
2
100×20×40×80
=18.75>10.828= x0.001
，
所以有99.9 %的把握认为高中学生是否喜欢户外运动与性别有关；
(3)由题意得，不喜欢户外运动的学生的概率为p= 20
120 = 1
6
，
所以在全市高中学生中抽取10名同学，不喜欢户外运动的学生数有X ∼B(10, 1
6)
，
所以E( X )=np=10× 1
6 = 5
3
，
D( X )=np(1−p)=10× 1
6 × 5
6 = 25
18
．
14.(2025·湖南省长沙市·模拟)某市统计了2024年4月的空气质量指数( AQI )，将其分为
[0,50]，(50,100]，(100,150]，(150,200]的4组，画出频率分布直方图如图所示．
若AQI ≤100，称当天空气质量达标;若AQI >100，称当天空气质量不达标．
(1)求a;
(2)从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率;
(3)若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值
α =0.1的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联?
月份
空气质量
合计
达标
不达标
4月
6月
合计
附：χ
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)×(c +d )×(a+c)×(b+d )
，n=a+b+c +d，
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)a=0.002．
(2)P( A )= 94
145
．
(3)没有充分证据推断H 0不成立，因此可以认为H 0成立，即认为空气质量是否达标与月份
无关．
【解析】解：(1)由图可得，(0.010+0.006+2a)×50=1，解得a=0.002．
(2)4月空气质量达标的频率为(0.006+0.002)×50=0.4，
天数为30×0.4 =12，
设A =“从4月的30天中任取2天，至少有1天空气质量达标”，
则P( A )=1−C18
2
C30
2 = 94
145
．
(3)补全列联表如下：
月份
空气质量
合计
达标
不达标
4月
12
18
30
6月
8
22
30
合计
20
40
60
零假设为H 0:空气质量是否达标与月份无关，根据表中数据，
计算得χ
2= 60×(12×22−18×8)
2
30×30×20×40
=1.2<2.706，
根据小概率值α =0.1的独立性检验，
没有充分证据推断H 0不成立，因此可以认为H 0成立，即认为空气质量是否达标与月份无
关．
