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专题四 概率与统计
第4 练 概率统计与函数、数列综合专项训练
1．（多选题）（2025·河南·模拟）踢毽子源于汉朝，盛行于六朝，某学校高三年级为了增
强学生身体素质，缓解学生备考压力，开展踢毽子活动.已知某踢毽子小组由5 人组成（包
含甲、乙），每个人踢出的毽子都等可能地传给其他4 人中的1 人，假设第1 次由甲踢出，
每次踢出的毽子都能被接住.记第
次踢出毽子后，毽子传到乙的概率为
，前
次踢毽子
的过程中，传到乙的次数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】由题意知
，故A 错；
由题意
的可能取值为0,1，
，
所以
，故B 对，
由题意知第
次踢出毽子后，毽子没有传到乙的概率为
，
所以
，故C 对，
由
，得到
，
又
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，即
，故D 对，
故选：BCD
2.(2025·河北省·月考)篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会
训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的．起初，他将
两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，
任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决
定比赛胜负．在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定
为国际篮球日．甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获
得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率
分别是1
2
和p，且每人进球与否互不影响．
(1)若p= 2
3
，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；
(2)若1
2 ≤p≤2
3
，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2
个球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
【答案】(1) 55
108
；
(2)理论上至少要进行15轮比赛．
【解析】解：(1)设事件Ai表示甲在一轮比赛中投进i个球，Bi表示乙在一轮比赛中投进i个
球，(i=0,1,2,3)，
则P( A0)=(
1
2)
3
= 1
8
，P( A1)=C3
1(
1
2)
3
= 3
8
，P( A2)=C3
2(
1
2)
3
= 3
8
，P( A3)=C3
3(
1
2)
3
= 1
8
；
P(B0)=(
1
3)
3
= 1
27
，P(B1)=C3
1× 2
3 ×(
1
3)
2
= 6
27 = 2
9
，P(B2)=C3
2×(
2
3)
2
× 1
3 = 12
27 = 4
9
，
P(B3)=C3
3×(
2
3)
3
= 8
27
；
若乙在一轮比赛中获得一个积分，则乙胜利1次，
故其概率P = P(B1 A0)+ P(B2 A0)+ P(B2 A1)+ P(B3 A0)+ P(B3 A1)+ P(B3 A2)
= P(B1)P( A0)+ P(B2)P( A0)+ P(B2)P( A1)+ P(B3)P( A0)+ P(B3)P( A1)+ P(B3)P( A2)
= 2
9 × 1
8 + 4
9 ×(
1
8 + 3
8)+ 8
27 ×(
1
8 + 3
8 + 3
8)= 55
108
；
(2)设
事
件
C表
示
乙
每
场
比
赛
至
少
要
超
甲
2个
球
，
则
P(C)= P(B2 A0)+ P(B3)P( A0)+ P(B3)P( A1)
=C3
2 p
2(1−p)× 1
8 + p
3(
1
8 + 3
8)= 1
8 p
3+ 3
8 p
2，
设随机变量X表示n轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，
显然X ∼B(n, 1
8 p
3+ 3
8 p
2)
，故E (X )=n(
1
8 p
3+ 3
8 p
2)
，
要满足题意，则E (X )≥3，即n(
1
8 p
3+ 3
8 p
2)≥3，
又p∈[
1
2 , 2
3]，故n≥
3
1
8 p
3+ 3
8 p
2，
令f (x)= 1
8 x
3+ 3
8 x
2, x∈[
1
2 , 2
3]
，则f
′( x)= 3
8 x (x +2)>0在[
1
2 , 2
3]
恒成立，
故f (x)在[
1
2 , 2
3]
上单调递增，f (x)的最大值为f(
2
3)= 11
54
，
则1
8 p
3+ 3
8 p
2的最大值为11
54
，
3
1
8 p
3+ 3
8 p
2的最小值为162
11
，而14< 162
11 <15，
故理论上至少要进行15轮比赛．
3.(2025·河南省南阳市·模拟)一个不透明的袋子中装有10个质地、大小均相同的小球，其
中2个白球，8个黑球，每次从袋子中随机抽取一个小球，若抽到的是黑球，则放回袋子中，
不做任何改变；若抽到的是白球，则用一个质地、大小均与袋中的黑球相同的黑球替换该
白球放回袋子中(例：若第一次抽到的是白球，则第二次抽取时袋中就有1个白球，9个黑
球)．
(1)若从袋子中随机抽取小球3次，记ξ为抽到白球的次数，求ξ的分布列和数学期望；
(2)记第n(n∈N
∗且n⩾2)次恰好抽到第二个白球的概率为Pn
，求Pn
．
【答案】(1) 271
500
；
(2)Pn= 1
5 ×[( 9
10 )
n−1−( 4
5 )
n−1]．
【解析】解：(1)依题意，ξ的所有可能取值为0，1，2，
则P(ξ =0)=( 8
10 )
3= 64
125
，
P(ξ =1)= 2
10 × 9
10 × 9
10 + 8
10 × 2
10 × 9
10 + 8
10 × 8
10 × 2
10 = 217
500
，
P(ξ =2)= 8
10 × 2
10 × 1
10 + 2
10 × 9
10 × 1
10 + 2
10 × 1
10 = 27
500
，
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
64
125
217
500
27
500
数学期望E(ξ)=0× 64
125 +1× 217
500 +2× 27
500 = 271
500
；
(2)设第k(1⩽k ⩽n−1,k ∈N
∗)次抽到第一个白球，则第n次抽到第二个白球的概率为：
( 8
10 )
k −1× 2
10 ×( 9
10 )
n−k −1× 1
10 =( 4
5 )
k −1× 1
5 ×( 9
10 )
n−k −1× 1
10
=( 4
5 )
k× 5
4 × 1
5 ×( 9
10 )
n−1×( 10
9 )
k× 1
10 = 1
40 ×( 9
10 )
n−1×( 8
9 )
k，
所以Pn= 1
40 ×( 9
10 )
n−1×[( 8
9 )
1+( 8
9 )
2+( 8
9 )
3+⋅⋅⋅+( 8
9 )
n−1]
= 1
40 ×( 9
10 )
n−1×
8
9 ×[1−( 8
9 )
n−1]
1−8
9
= 1
5 ×[( 9
10 )
n−1−( 4
5 )
n−1]．
4.(2025·云南省·模拟)足球传球训练中，A，B，C三名运动员相互传球，由A最先控制球，
A传给B、C的可能性相同；当B控制球时，B传给A的概率为传给C的概率的2倍；当C控
制球时，C传给A的概率为传给B的2倍．记an，bn，cn为经过n次传球后球分别由A，B，
C控制的概率，易知a1=0．
(1)求a2，a3；
(2)若n=3，C队员控球的次数为X，A队员控球的次数为Y ，比较E( X )与E(Y )的大小；
(3)求数列{bn}的通项公式，并判断经过2025次传球后，B队员控制球的概率与3
10
的大小．
【答案】(1)a2= 2
3 ，a3= 2
9
；
(2)E(Y )< E( X )；
(3)B队员控制球概率大于3
10
．
【解析】解：(1)a2= 2
3
，a3= 1
2 × 1
3 × 2
3 + 1
2 × 1
3 × 2
3 = 2
9
；
(2)P( X =0)= 1
2 × 2
3 × 1
2 = 1
6
，
P( X =2)= 1
2 × 2
3 × 1
2 + 1
2 × 1
3 × 1
3 = 2
9
，
∴P( X =1)=1−1
6 −2
9 = 11
18
，
∴E( X )= 1
6 ×0+ 11
18 ×1+ 2
9 ×2= 11
18 + 8
18 = 19
18
，
由已知得B、C控球机会相同，所以2 X +Y =3，即Y =3−2 X，
所以E(Y )=3−2 E( X )= 16
18 < E( X )；
(3)依题意，an+bn+cn=1，
根据传球规则，an= 2
3 ×bn−1+ 2
3 ×cn−1，bn= 1
2 ×an−1+ 1
3 ×cn−1，cn= 1
2 ×an−1+ 1
3 ×bn−1，
所以bn=cn，an+2bn=1，所以b1= 1
2
，
所以an= 2
3 ×bn−1+ 2
3 ×cn−1= 4
3 bn−1，an−1=1−2bn−1，
因为bn= 1
2 ×an−1+ 1
3 ×cn−1，
所以bn= 1
2 ×(1−2bn−1)+ 1
3 ×bn−1= 1
2 −2
3 bn−1，
该式可以表示为：bn+ 2
3 bn−1= 1
2
，
所以bn−3
10 =−2
3 (bn−1−3
10 )，
所以{bn−3
10}
是首项为b1−3
10 = 1
5
，公比为−2
3
的等比数列，
所以bn−3
10 = 1
5 (−2
3 )
n−1
=−3
10 (−2
3 )
n
，即bn= 3
10 (1−(−2
3 )
n
)，
所以b2025= 3
10 (1−(−2
3 )
2025
)，
因为2025是奇数，所以(−2
3 )
2025
<0，1−(−2
3 )
2025
>1，
3
10 (1−(−2
3 )
2025
)> 3
10
，
即经过2025次传球后，B队员控制球的概率大于3
10
．
5.(2025·安徽省六安市·模拟)投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点
数为3，4，5，6时得2分.独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终
得分．
(1)设投掷2次骰子，最终得分为X，求随机变量X的分布列与期望；
(2)若投掷n次骰子，记合计得分恰为n+1分的概率为Pn
，求∑
i=1
n
Pi
．
【答案】(1)E( X )= 10
3
；
(2)∑
i=1
n
Pi= 3
2 −2n+3
2
×( 1
3 )
n．
【解析】解：(1)根据题意，X可能取值为2，3，4，
P( X =2)= 1
3 × 1
3 = 1
9
，P( X =3)=C2
1× 1
3 × 2
3 = 4
9
，P( X = 4)= 2
3 × 2
3 = 4
9
，
故X的分布列为：
X
2
3
4
P
1
9
4
9
4
9
E( X )=2× 1
9 +3× 4
9 + 4× 4
9 = 10
3
；
(2)根据题意，投掷n次，得分为n+1分，则只有一次投掷得2分，
所以Pn=Cn
1× 2
3 ×( 1
3 )
n−1= 2n
3
n
，则∑
i=1
n
Pi= 2
3
1 + 4
3
2 +⋯+ 2n−2
3
n−1 + 2n
3
n
，
则
有
1
3∑
i=1
n
Pi= 2
3
2 + 4
3
3 +⋯+ 2n−2
3
n
+ 2n
3
n+1
，
两
式
相
减
得
2
3∑
i=1
n
Pi= 2
3
1 + 2
3
2 +⋯+ 2
3
n −2n
3
n+1 =2×
1
3 [1−( 1
3 )
n]
1−1
3
−2n
3
n+1 =1−( 1
3 )
n−2n
3
n+1 =1−2n+3
3
n+1 ，
所以∑
i=1
n
Pi= 3
2 −2n+3
2
×( 1
3 )
n．
6.(2025·广东省惠州市·模拟)强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两
项能力测试：学科知识整合能力指标x(考察数学、物理等学科知识的交叉应用)和创新思维
能力指标y(考察逻辑推理、问题建模等能力).随机抽取5名考生的测试结果如下表：
x
6
8
9
t
12
y
2
3
4
5
6
(1)若学科知识整合能力指标的平均值x =9，
(ⅰ)求t的值；
(ii)求y关于x的经验回归方程^y = ^b x + ^a，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思
维能力指标；
(2)现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目
通过情况相互独立；
甲高校：每门科目通过的概率均为2
5
，通过科目数记为随机变量X；
乙高校：第一门科目通过概率为m(0<m<1)，第二门科目通过概率为1
4
，第三门科目通过
概率为2
3
，通过科目数记为随机变量Y ；
若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校．
(附：经验回归方程^y = ^b x + ^a中^b和^a的最小二乘估计分别为：b̂ =
∑
i=1
n
(xi−x)( yi−y)
∑
i=1
n
(xi−x)
2
)
【答案】(1)(ⅰ)t =10；(ii)创新思维能力指标的预测值为7.5；
(2)当m= 17
60
时，该考生报考甲高校或乙高校都可以；当0<m< 17
60
时，该考生更应报考甲
高校；当17
60 <m<1时，该考生更应报考乙高校．
【解析】解：(1)(i)根据表格中的数据，可得x = 6+8+9+t +12
5
=9，解得t =10；
(ⅱ)b
^
=
∑
i=1
5
xi yi−5 x y
∑
i=1
5
xi
2−5 x
2
= 194−5×9×4
425−5×81 =0.7，
所以a
^
= 4−9×0.7 =−2.3
，
故所求经验回归方程为ŷ =0.7 x −2.3
，
当x =14时，ŷ =0.7×14−2.3=7.5
，
所以当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5；
(2)该考生通过甲高校的考试科目数为X，则X ～B(3, 2
5)
，
则E( X )=3× 2
5 = 6
5
，
设该考生通过乙高校的考试科目数为Y ，
则Y 的所有可能取值为0，1，2，3，
P(Y =0)=(1−m)(1−1
4 )×(1−2
3 )= 1
4 (1−m)，
P(Y =1)=m(1−1
4 )×(1−2
3 )+(1−m)× 1
4 ×(1−2
3 )+(1−m)(1−1
4 )× 2
3 = 7
12 −1
3 m，
P(Y =2)=m× 1
4 ×(1−2
3 )+m×(1−1
4 )× 2
3 +(1−m)× 1
4 × 2
3 = 1
6 + 5
12 m，
P(Y =3)=m× 1
4 × 2
3 = 1
6 m，
所以E(Y )= 7
12 −1
3 m+2( 1
6 + 5
12 m)+3× 1
6 m= 11
12 +m，
当E( X )= E(Y )时，此时6
5 = 11
12 +m，得m= 17
60
，
当E( X )> E(Y )时，此时6
5 > 11
12 +m，
又0<m<1，得0<m< 17
60
，
当E( X )< E(Y )时，此时6
5 < 11
12 +m，
又0<m<1，得17
60 <m<1，
所以，当m= 17
60
时，该考生报考甲高校或乙高校都可以；
当0<m< 17
60
时，该考生更应报考甲高校；
当17
60 <m<1时，该考生更应报考乙高校．
