专题四 概率与统计
第3 讲 随机变量及其分布
一、考点透析
考点1 分布列性质与应用
1.（2025·厦门市·质检）已知随机变量X 服从正态分布
，若
，且
，则
（ ）
A. -1
B.
C. 0
D.
【答案】C
【解析】【详解】由题意知随机变量X 服从正态分布
，
，
如图所示，结合
，得
，
可知
关于
对称，所以
，解得
，
故选：C．
2.(2025·云南省昭通市·模拟)已知随机变量X~N(4,4
2).若P(X<3)=0.3,则P(3< X<5)= ,若
Y=2X+1,则Y 的方差为 .
【答案】0.4 ； 64
【解析】解：∵随机变量X~N(4,4
2)，
∴正态分布曲线关于x=4 对称，且D（X）=16,
又∵P（X＜3）=P（X＞5）=0.3，
∴P（3< X＜5）=1-0.3-0.3=0.4．
若Y=2X+1,则D(Y)=4D(X)=64.
考点2 二项分布
1.(2025·湖北省宜昌市·模拟)已知随机变量X，Y 均服从两点分布，若P( X =1)= 1
3
，
P(Y =0)= 1
3
，且P( X =Y )= 2
3
，则P( XY =0)=( )
A. 2
3
B. 1
6
C. 1
3
D. 4
9
【答案】A
【解析】解：因为随机变量X，Y 均服从两点分布，且P( X =1)= 1
3
，P(Y =0)= 1
3
，
所以P( X =1,Y =0)+ P( X =1,Y =1)= 1
3
，P( X =1,Y =0)+ P( X =0,Y =0)= 1
3
，
所以P( X =1,Y =1)= P( X =0,Y =0)，
又
因
为
P( X =Y )= 2
3
，
所
以
P( X =1,Y =1)= P( X =0,Y =0)= 1
3
，
所
以
P( X =1,Y =0)=0，
故
P( X =0,Y =1)=1−P( X =0,Y =0)−P( X =1,Y =1)−P( X =1,Y =0)=1−1
3 −1
3 −0= 1
3
所以P( XY =0)= P( X =0,Y =0)+ P( X =0,Y =1)+ P( X =1,Y =0)= 1
3 + 1
3 = 2
3
．
故答案为：A．
2.(2025·福建省龙岩市·模拟)已知函数f(x)={
x ,0≤x ≤4
5 ,
4−4 x , 4
5 < x ≤1.
随机变量ξ~B(n,p)(0< p<1),随
机变量K=f(ξ
n
), K 的期望为g(p).
(1)当n=3 时,求g(1
3
);
(2)当n=10 时,求g(p)的表达式.
【答案】(1)g(1
3
)= 8
27
.
(2)g(p)=4 p
10-5 p
9+p.
【解析】解:(1)当n=3,p=1
3
时,ξ的可能取值为0,1,2,3.
当ξ=0 时,K=f(0)=0,P(ξ=0)=(1−1
3 )
3= 8
27
;
当ξ=1 时,K=f(1
3
)=1
3
,P(K=1
3
)=P(ξ=1)=C3
1×(1−1
3 )
2× 1
3
=4
9
;
当ξ=2 时,K=f(2
3
)=2
3
,P(K=2
3
)=P(ξ=2)=C3
2×(1−1
3 )
1×( 1
3 )
2=2
9
;
当ξ=3 时,K=f(1)=0,P(ξ=3)=( 1
3 )
3= 1
27
.
故g(1
3
)=E(K)=0+1
3 × 4
9
+2
3 × 2
9
+0= 8
27
.
(2)当n=10 时,ξ的可能取值为0,1,2,⋯,10.
当ξ ≤8 时,K=f( ξ
10
)= ξ
10 ≤4
5
;
当ξ=9 时,K=f( 9
10
)=2
5
;当ξ=10 时,K=f(1)=0.
因为P(ξ=i)=C10
i (1−p)
10−i p
i,i=0,1,2,⋯,10,
所以E(K)=∑
i=0
8
i
10 ⋅C10
i (1−p)
10−i p
i+2
5 C10
9 (1-p)p
9+0=∑
i=0
8
i
10 ⋅C10
i (1−p)
10−i p
i+4 p
9-
4 p
10
又因为E(ξ)=∑
i=0
10
iC10
i (1−p)
10−i p
i=10p,
所
以∑
i=0
8
i
10 ⋅C10
i (1−p)
10−i p
i= 1
10∑
i=0
8
i⋅C10
i (1−p)
10−i p
i= 1
10
[10p-9⋅C10
9 (1-p)p
9-
10 p
10]
=8 p
10-9 p
9+p，
所以g(p)=E(K)=4 p
10-5 p
9+p.
考点3 超几何分布
1.(2025·辽宁省沈阳市·模拟)一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子
中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为X，则E( X )=( )
A. 1
B. 2
C. 4
3
D. 5
3
【答案】C
【解析】解：盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属
于超几何分布，
取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为X，则E( X )=n k
N =3× 4
9 = 4
3
．
故选：C．
2.(2025·云南省曲靖市·模拟)自“机器人扭秧歌”这一节目在2025年春晚舞台大放异彩后，
宇树科技这家专注于四足机器人研发的中国科技公司在全球范围内倍受瞩目.旗下一款机器
人Unitree Aliengo在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出机
器人Unitree Aliengo在某地区2024年1月至5月的销售量如下表所示：
月份x
1
2
3
4
5
销售量y /台
26
37
50
64
93
(1)经计算样本的相关系数r ≈0.98，故变量x，y线性相关性很强，求y关于x的经验回归
方程;
(2)用(1)中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5
时，称该对数据为一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据
中“次数据”对数X的分布列和数学期望．
附：经验回归直线^y = ^b x + ^a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b̂ =
∑
i=1
n
( xi−x)( yi−y)
∑
i=1
n
( xi−x)
2
，â = y −b̂ x
．
【答案】(1) ŷ =16.1 x +5.7;
(2)数学期望为E( X ) 6
5
．
【解析】解：(1)由所给数据得x = 1+2+3+ 4+5
5
=3，
y = 26+37+50+64 +93
5
=54，∴∑
i=1
5
( xi−x)
2= 4+1+1+ 4 =10，
∑
i=1
5
( xi−x)( yi−y)=∑
i=1
5
xi yi−5 x y =26+74+150+256+ 465−5×3×54 =161，
∴b̂ = 161
10 =16.1，â =54−16.1×3=5.7，
∴y关于x的经验回归方程为ŷ =16.1 x +5.7;
(2)这5对数据的残差的绝对值分别为4.2，0.9，4，6.1，6.8，
故5对数据中有2对“次数据”，所以X的所有可能取值为0，1，2．
且P( X =0)= C3
3
C5
3 = 1
10
，P( X =1)= C2
1⋅C3
2
C5
3
= 3
5
，P( X =2)= C2
2⋅C3
1
C5
3
= 3
10
，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P( X )
1
10
3
5
3
10
X的数学期望为E( X )=1× 3
5 +2× 3
10 = 6
5
．
考点4 正态分布
1.(2025·云南省·模拟)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和
骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y 都服从正
态分布，X ∼N (μ1,6
2)，Y ∼N (μ2,2
2)．X和Y 的分布密度曲线如图所示．则下列结果正
确的是( )
A. D( X )=6
B. μ1< μ2
C. P( X ≤38)< P(Y ≤38)
D. P( X ≤36)= P(Y ≤36)
【答案】BCD
【解析】解：因为X ∼N ( μ1,6
2)，所以D( X )=36，故A 错误；
由图象知30= μ1< μ2=34，故B 正确；
因为σ1=6,σ 2=2，
所以P( X ⩽38)< P( X ⩽μ1+2σ1)= P(Y ⩽μ2+2σ 2)= P(Y ⩽38)，故C 正确；
因为σ1=6,σ 2=2，
所以P( X ⩽36)= P( X ⩽μ1+σ1)= P(Y ⩽μ2+σ 2)= P(Y ⩽36)，故 D 正确．
故选：BCD．
2.(2025·四川省乐山市·月考)下列说法正确的为( )
A. 在回归模型的残差分析中，决定系数R
2越接近1，意味着模型的拟合效果越好
B. 数据x1, x2,⋯, xn的标准差为s，则数据a x1+b,a x2+b,⋯,a xn+b的标准差为|a|s
C. 已知随机变量ξ ∼N (1,σ
2)，若P(ξ >2)=0.2，则P(0≤ξ ≤2)=0.6
D. 在装有3个黑球，2个红球的袋子中随机摸出两个球，则摸出的两个球“均为黑球”与
“均为红球”是对立事件
【答案】ABC
【解析】对于A，决定系数R
2的值越大，残差平方和越小，拟合的效果越好，故 A 正确;
对于B：设数据x1, x2,⋯, xn的平均数x，则a x1+b,a x2+b,⋯,a xn+b的平均数为a x +b，
标
准
差
为
√
1
n [(a x1+b−a x−b)
2+(a x2+b−a x−b)
2+⋯+(a xn+b−a x−b)
2= √
1
n a
2[( x1−x)
2+( x2−x)
2+⋯+( xn
故 B 正确；
对于C：因为随机变量ξ ∼N (1,σ
2)，所以P(ξ ≥1)=0.5，
又因为P(ξ >2)=0.2，所以P(1≤ξ ≤2)=0.5−0．2=0.3，
所以P(0≤ξ ≤2)=2 P(1≤ξ ≤2)=0.6，故 C 正确；
对于D：在装有3个黑球，2个红球的袋子中随机摸出两个球，
则摸出的两个球“均为黑球”的对立事件为“摸出的两个球“不全为黑球”，故D 错误．
故选：ABC．
3.(2025·河北省秦皇岛市·模拟)为了解某种疫苗注射后血样指标的变化情况，将该疫苗给实
验小猴注射，已知实验小猴的血样指标X服从正态分布N (17,9)，则(若X ∼N (μ,σ
2)，则
P(| X −μ|≤σ )≈0.6827, P(| X −μ|≤2σ )≈0.9545)( )
A. P(| X −17|>6)>0.05
B. P( X >20)>0.15
C. P(11≤X ≤20)>0.8
D. P(| X −17|≤9)<0.95
【答案】BC
【解析】解：由题意有μ=17,σ =3，
P(| X −17|>6)=1−P(17−2×3< X <17+2×3)=0.0455<0.05，故A 错误；
P( X >20)= 1
2 [1−P(14< X <20)]= 1
2 ×[1−0.6827]=0.15865>0.15，故B 正确；
P(11⩽X ⩽20)= 1
2 [ P(11⩽X ⩽23)+ P(14⩽X ⩽20)]
= 1
2 ×[0.6827+0.9545]=0.8186>0.8，故C 正确；
P(| X −17|⩽9)> P(| X −17|⩽6)= P(17−2×3< X <17+2×3)=0.9545>0.95，
故D 错误．
故选：BC．
4.(2025·福建省福州市·模拟)脂肪含量(单位：%)指的是脂肪重量占人体总重量的比例，某
运动生理学家对某项健身活动参与人群的脂肪含量采用分层随机抽样的方式进行了调查.已
知调查中所抽取的120位男性的调查数据的平均数和方差分别为14和6，所抽取的90位女
性的调查数据的平均数和方差分别为21和17．
(1)计算这次调查总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均
值与方差作出估计.(结果保留整数)
(2)假设该健身活动的全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且X ～N (17 ,σ
2)，其中σ
2近
似为(1)中计算所得的总样本方差.现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含
量均小于12.2%的概率．
附：若随机变量X服从正态分布N ( μ,σ
2)，则P( μ−σ ≤X ≤μ+σ )=0.6827，
P( μ−2σ ≤X ≤μ+2σ )=0.9545， √22≈4.7， √23≈4.8,0.15865
3≈0.004．
【答案】(1)平均数为17，方差为23；
(2)3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.004．
【解析】解：(1)根据题意，把男性样本记为x1，x2，… x120，其平均数记为x
−，方差记为
Sx
2，
把女性样本记为y1，y2，… y90，其平均数记为y
−，方差记为S y
2，
x
−
=14
，Sx
2 =6，y
−
=21
，S y
2 =17，
记总样本数据的平均数为z
−，方差为s
2，
则z = 120
210 ×14 + 90
210 ×21=17，
s
2= 120
210 ×[6+(14−17)
2]+ 90
210 ×[17+(21−17)
2]= 159
7 ≈23，
总样本数据的平均数为17，方差为23；
(2)根据题意，由(1)知μ=17，σ
2=23，所以X ～N (17,23)，
所以P(12.2≤X ≤21.8)= P(17−4.8≤X ≤17+ 4.8)≈0.6827，
P( X <12.2)≈1
2 ×(1−0.6827)=0.15865，
设抽取的3位参与者中，脂肪含量均小于12.2%的人数为Y ，
易得Y ～B(3,0.15865)，
故P( X =3)=C3
3×(0.15865)
3≈0.004，
故3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.004．
二、跟踪练习
1.(2025·陕西省西安市·模拟)盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次
球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y 为摸到黑球的个数，则( )
A. E( X )< E(Y )，D( X )< D(Y )
B. E( X )= E(Y )，D( X )> D(Y )
C. E( X )< E(Y )，D( X )< D(Y )
D. E( X )= E(Y )，D( X )< D(Y )
【答案】B
【
解
析
】
解
：
由
题
意
可
知
：
X ∼B(2, 2
5 )，
则
E( X )=2× 2
5 = 4
5 , D( X )=2× 2
5 ×(1−2
5 )= 12
25
，
且Y 的可能取值为0，1，2，
则P(Y =0)= C3
2C2
0
C5
2
= 3
10 , P(Y =1)= C3
1C2
1
C5
2
= 6
10 , P(Y =2)= C3
0C2
2
C5
2
= 1
10
，
可得E(Y )=0× 3
10 +1× 6
10 +2× 1
10 = 4
5
，
D(Y )=(0−4
5 )
2
× 3
10 +(1−4
5 )
2
× 6
10 +(2−4
5 )
2
× 1
10 = 9
25
，
所以E( X )= E(Y )，D( X )> D(Y )．
故选：B．
2.(2025·安徽省安庆市·模拟)下列结论正确的是( )
A. 若随机变量X ～B(64 , 3
4)
，则D(4 X +1)= 48
B. 测量重力加速度大小实验中所测g的值服从正态分布N (9.9,σ
2)，则σ越大时，测得的g
在(9.8,10.0)间的概率越低
C. 某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为2
3
，则他做对的题数的期望为3
D. 已知某10个数据的平均值为7，方差为1.1，则加入一个数据7后方差变为1
【答案】BD
【解析】解：已知X ～B(64 , 3
4)
，则D( X )=64× 3
4 × 1
4 =12，可知
D(4 X +1)=16 D( X )=16×12=192，故A 错误；
对于正态分布，则σ越大时，密度曲线越分散，更加矮胖，在(9.8,10.0)间的概率越低，
故B 正确；
小黄同学做对题数服从二项分布，设作对题数为X，服从X ∼B(3, 2
3 )，则
E( X )=3× 2
3 =2，故C 错误；
设10个数据为x1, x2⋯x10，原来平均值为7，加一个数据7后，均值不变，
原来方差为( x1−7)
2+( x2−7)
2+⋯+( x10−7)
2
10
=1.1，则加入一个数据7后，
方差为( x1−7)
2+( x2−7)
2+⋯+( x10−7)
2+(7−7)
2
11
= 10×1.1
11
=1，故D 正确．
故选：BD．
3.(2025·江西省九江市·模拟)已知随机变量X ,Y , X ～B (10, p),Y ～N (4 ,4)，则下列说
法正确的是( )
A. 若P( X =3)= P( X =7)，则p= 1
2
B. D( X )> 5
2
C. P(Y >4)> 1
2
D. P(Y <2)= P(Y >6)
【答案】AD
【解析】解：P( X =3)=C10
3 p
3(1−p)
7, P( X =7)=C10
7 p
7(1−p)
3，
由C10
3 =C10
7 ，等式化简为：p
3(1−p)
7= p
7(1−p)
3⇒(1−p)
4= p
4⇒1−p= p⇒p= 1
2
，
故A 正确；
二项分布方差为：D( X )=10 p(1−p)，
当p= 1
2
时，D( X )=10× 1
2 × 1
2 =2.5，此时D( X )= 5
2
，
对于其他p，D( X )< 5
2
，
故B 错误；
由题可得Y ～N (4 ,4)，均值μ= 4，因此P(Y >4)= 1
2
，
故C 错误；
由正态分布的对称性，2和6关于μ= 4对称，
根据对称性，P(Y <2)= P(Y >6)，
故D 正确．
故选：AD．
4.(2025·江苏省南京市·模拟)在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识
竞赛活动，为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为
m(m∈N
∗)的样本进行调查，调查结果如下表：
满意不满意合计
男
生
2
5 m
2
3 m
女
生
合
计
1
2 m
(1)完成上面的列联表，若有不少于99 %的把握认为“性别与满意度有关系”，求样本容量
m的最小值；
(2)本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰．
某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为2
3 , 1
2 , 1
2
，
且3道题目答对与否互不影响．
①设X表示这20人中晋级的人数，求E ( X )；
②记这20人中k(k ∈N )人晋级的概率为P(k )，求P(k )取得最大值时k的取值．
附：χ
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c +d．
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα2.7063.8416.63510.828
【答案】(1)m的最小值为90；
(2)①E (X )= 35
3
；②P(k )取最大值时k的取值为12．
【解析】解：(1)列联表如下：
满意不满意合计
男生2
5 m
4
15 m 2
3 m
女生1
10 m
7
30 m 1
3 m
合计1
2 m
1
2 m
m
先提出统计假设为H 0：性别与满意度没有关系，
根据上表可知，χ
2=
m(
14
150 m
2−4
150 m
2)
2
2
3 m× 1
3 m× 1
2 m× 1
2 m
= 2m
25
，
因为性别与满意度有关系，所以χ
2= 2m
25 >6.635，解得m>82.9375，
由题意可知，m为30的整数倍，故m的最小值为90；
(2)①设Ai(i=1,2,3)分别表示3道题目答对事件，
令该年级的20名同学中1人晋级的事件为B，
则P(B)= P( A1 A2 A3)+ P( A1 A2 A3)+ P( A1 A2 A3)+ P( A1 A2 A3)
= 2
3 × 1
2 × 1
2 +(1−2
3)× 1
2 × 1
2 + 2
3 ×(1−1
2)× 1
2 + 2
3 × 1
2 ×(1−1
2)= 7
12
，
由题意可知，X ∼B(20, 7
12)
，则E (X )=20× 7
12 = 35
3
；
②P(X =k )=C20
k (
7
12)
k
(1−7
12)
12−k，k =0，1，2，3，⋯，20，
P(k )最大，则{
C20
k (
7
12)
k
(1−7
12)
20−k
≥C20
k −1(
7
12)
k −1
(1−7
12)
21−k
,
C20
k (
7
12)
k
(1−7
12)
20−k
≥C20
k +1(
7
12)
k +1
(1−7
12)
19−k
,
解得45
4 ≤k ≤147
12
，k ∈N
∗，
所以k =12，即P(k )取最大值时k的取值为12．
