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随机变量及其分布单元复习（提高卷1）
一：单项选择题：本题共8 小题，每小题满分5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，
选对得5 分，选错得0 分．
1．从1，2，3，4，5 中不放回地抽取2 个数，则在第1 次抽到奇数的条件下，第2 次又抽到奇数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知随机变量
的分布列如表：
则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．袋子中装有3 个红球和4 个蓝球，甲先从袋子中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋子中随机摸一个
球，若甲乙两人摸到红球的概率分别为
､
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
或
4．随机变量ξ 的分布列如下表：
ξ
1
a
9
P
b
b
其中
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则当
时，
随b 的增大而增大
B．若
，则当
时，
随b 的增大而减小
C．若
，则当
时，
有最小值
D．若
，则当
时，
有最大值
5．已知随机变量
，
分别满足二项分布
，
，则“
”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．下列关于随机变量X 的四种说法中，正确的编号是（ ）
①若X 服从二项分布
，则
；
②若从3 男2 女共5 名学生干部中随机选取3 名学生干部，记选出女学生干部的人数为X，则X 服从超几何分布，且
；
③若X 的方差为
，则
；
④已知
，
，则
．
A．②③
B．①③
C．①②
D．①④
7．已知某校有1200 名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩
近似服从正态分布
，则下列说法正
确的有（ ）
（参考数据：①
；②
；③
）
A．这次考试成绩超过100 分的约有500 人
B．这次考试分数低于70 分的约有27 人
C．
D．从中任取3 名同学，至少有2 人的分数超过100 分的概率为
8．某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期
､
一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2 局，当两人获胜局数不少于3 局时，则认为这
轮训练过关；否则不过关.若甲乙两人每局获胜的概率分别为
､
，
，且满足
，每局之间相互独立.记甲、
乙在
轮训练中训练过关的轮数为
，若
，则从期望的角度来看，甲乙两人训练的轮数至少为（
､
）
A．27
B．24
C．32
D．28
二：多项选择题：本题共4 小题，每小题满分5 分，共20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分．
9.下列说法不正确的是（ ）
A．随机变量X ~ B(3,0.2)，则P( X =2)=0.032
B．某人在10 次射击中，击中目标的次数为X且X ~ B(10,0.8)，则当X =8时概率最大；
C．从装有2 个红球和2 个黑球的口袋内任取2 个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事
件
D．从10个红球和20个白球颜色外完全相同中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；
10.某精密制造企业根据长期检测结果得到其产品的质量差服从正态分布N (μ,σ
2)，把质量差在(μ−σ , μ+σ )内的产品
称为优等品，在(μ+σ , μ+2σ )内的产品称为一等品，优等品与一等品统称正品，其余的产品作为废品处理．根据大量
的产品检测数据，得到产品质量差的样本数据统计如图，将样本平均数x =70作为μ的近似值，将样本标准差s作为σ
的估计值，已知质量差X ∼N (μ,100)，则下列说法中正确的是（ ）
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ,σ
2)，则P(μ−σ <ξ < μ+σ )≈0.6827，P(μ−2σ <ξ < μ+2σ )≈0.9545，
P(μ−3σ <ξ < μ+3σ )≈0.9973．
A．样本数据的中位数为71
B．若产品质量差为62mg，则该产品为优等品
C．该企业生产的产品为正品的概率是0.8186
D．从该企业生产的正品中随机抽取1000件，约有834件优等品
11.一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从袋子中随机摸出一个小球，
记录颜色后放回，当三种颜色的小球均被摸出过时就停止摸球.设Ai=“第i 次摸到红球”，Bi=“第i 次摸到黄球”，
Ci=“第i 次摸到蓝球”，Di=“摸完第i 次球后就停止摸球”，则（ ）
A．P(D3)= 2
9
B．P( D4|A1)= 2
27
C．P(Dn)= 2
n−1−2
3
n−1
，n≥3
D．P( Dn|Bn−1Cn−2)= 2
n−3
3
n−2
，n≥3
12.乒乓球（tabletennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉
为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比
赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为
p(0≤p≤1)，实际比赛局数的期望值记为f ( p)，下列说法正确的是（ ）
A．三局就结束比赛的概率为p
3+(1−p)
3 B．f ( p)的常数项为3
C．f(
1
3)<f(
4
5)
D．f(
1
2)= 33
8
三：填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项
目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合
以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A 为丙和丁参加的项目不同，事件B 为甲和乙恰好有一人参加跳台滑
雪，则
．
，
．
15．为准备2022 年北京一张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9~14 岁的青少年参加集训，以选拔运动员，
共有10000 名运动员报名参加测试，其测试成绩
（满分100 分）服从正态分布
，成绩为90 分及以上者可
以进入集训队，已知80 分及以上的人数为228 人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为 ．附：
，
，
．
16．边长为2 的正方形ABCD 的中心为O，对A、B、C、D、O 这五个点中的任意两点，以其中一点为起点、另一点为
终点作向量，任取其中两个向量（不包括“向量和同端点的相反向量”），以它们的数量积的绝对值作为随机变量
X，则其数学期望
．
四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．甲、乙两人参加一场比赛，比赛采用五局三胜制（比赛最多进行五局，每局比赛都分出胜负，先胜三局者获胜，
比赛结束）．由于心理因素，甲每局比赛获胜的概率会受到前一局比赛结果的影响：如果前一局比赛甲获胜，则下一
局比赛甲获胜的概率为
；如果前一局比赛乙获胜，则下一局比赛甲获胜的概率为
．已知第一局比赛甲获胜的概率
为
，事件
表示“第
局比赛甲获胜”.
(1)求第二局比赛甲获胜的概率；
(2)证明：当
时，
，并类比上述公式写出
的公式（不需要
证明）；
(3)求比赛结束时甲获胜两局的概率.
18．“男男女女向前冲”是一项热播的闯关类电视节目．该节目一共设置了四关，由以往的数据得，男生闯过一至四
关的概率依次是
，女生闯过一至四关的概率依次是
．男生甲、乙，女生丙、丁四人小组前往参加
闯关挑战（个人赛）．
(1)求甲闯过四关的概率；
(2)设随机变量
为该四人小组闯过四关的人数，求
．
19．已知某客运轮渡最大载客质量为
，且乘客的体重（单位：
）服从正态分布
．
(1)记
为任意两名乘客中体重超过
的人数，求
的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）；
(2)设随机变量
相互独立，且服从正态分布
，记
，则当
时，可认为
服
从标准正态分布
．若保证该轮渡不超载的概率不低于
，求最多可运载多少名乘客．
附：若随机变量
服从正态分布
，则
；若
服从标准正态分布
，则
；
，
，
．
20．某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业.该公司生产的甲、乙两种类型无
人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用.已知在单位时间内，甲、乙两种类型无人
运输机操作成功的概率分别为
和
，假设每次操作能否成功相互独立.
(1)随机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无人运输机操作成功的概率；
(2)操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：
方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初
次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作；
方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无
人运输机进行操作.
假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值.
21．雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分，近年来某市教育局积极推
广经典诗文诵读活动，致力于营造“诵读国学经典，积淀文化底蕴”的书香校园，引导广大学生熟悉诗词歌赋，亲近
中华经典，感悟中华传统文化的深厚魅力，丰厚学生的人文积淀，该市教育局为调查活动开展的效果，对全市参加过
经典诗文诵读活动的学生进行了测试，并从中抽取了1000 份试卷，根据这1000 份试卷的成绩(单位：分，满分100
分)得到如下频数分布表.
成绩/分
频数
40
90
200
400
150
80
40
（1）求这1000 份试卷成绩的平均数
(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
（2）假设此次测试的成绩
服从正态分布
，其中
近似为样本平均数，
近似为样本方差
，已知的近
似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平
均成绩大约为多少(结果保留一位小数)？
（3）该市教育局准备从成绩在
内的120 份试卷中用分层抽样的方法抽取6 份，再从这6 份试卷中随机抽取3
份进行进一步分析，记
为抽取的3 份试卷中测试成绩在
内的份数，求
的分布列和数学期望.
参考数据：若
，则
，
，
.
22．信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948 年发表的论文《通信的数学理论》中指
出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：
设随机变量
所有可能的取值为
，且
，定义
的信息熵
.
(1)当
时，计算
；
(2)若
，判断并证明当
增大时，
的变化趋势；
(3)若
，随机变量
所有可能的取值为
，且
，证明：
.
