文档文本内容
第02 讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：①
②
③
三剑客.........................................................3
高频考点二：商数关系（
与分式或多项式求值）............................................................................7
高频考点三：诱导公式的计算与应用......................................................................................................11
高频考点四：同角关系式和诱导公式的综合应用....................................................................................14
第四部分：典型易错题型.................................................................................................................................16
第一部分：基础知识
1、同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：
．
(2)商数关系：
2、三角函数的诱导公式
诱导公式一
诱导公式二
诱导公式三
诱导公式四
诱导公式五
诱导公式六
诱导公式七
诱导公式八
3、常用结论
（1）同角三角函数关系式的常用变形
（2）诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指
的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当
时，例如
但
，
即
推不出
；
当
时，
，
即
能推出
.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
2．（2022·浙江·高考真题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为
可得：
当
时，
，充分性成立；
当
时，
，必要性不成立；
所以当
，
是
的充分不必要条件.
故选：A.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：①
②
③
三剑客
典型例题
例题1．（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】两边平方可求得
，进而可求得
，利用立方和公式可求
的值.
【详解】由
两边平方，得
，
∴
，
，
而
，
，∴
，∴
，
∴
.
故选：C.
例题2．（多选）（24-25 高一上·吉林通化·期末）已知
，
，则下列等式正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】对A，将条件式平方化简得解；对B，利用
与
的关系，结合
求解判
断；对C，由选项B，结合条件求出
得解；对D，由平方差公式结合选项B 求解.
【详解】对于A，由
，则
，化简得
，故A 正确；
对于B，由
，
，则
，即
，
，
，故B 正确；
对于C，由
，解得
，所以
，故C 错误；
对于D，
，故D 正确.
故选：ABD.
例题3．（24-25 高一下·内蒙古赤峰·期中）已知
，则
．
【答案】
【分析】根据题意，平方后，利用三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】由
，
平方可得
，
所以
.
故答案为：
.
例题4．（24-25 高一下·北京朝阳·期中）已知
，
．
(1)求
值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平方关系
，再结合同角三角函数关系式，即可求解；
（2）根据（1）的结果求
的值，再结合条件，即可求解.
【详解】（1）
，
得
；
（2）
，且
，得
，
，
，
所以
，
，
联立
，得
，
，
则
.
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】应用同角三角函数故选结合二倍角正弦公式判断A，结合角的范围及同角三角函数关系判断B，
求出
，
，应用二倍角余弦及同角关系求解C,D.
【详解】因为
，
两边平方可得
，
所以
，即
，A 正确；
因为
，
，所以
，
所以
，B 错误；
所以
，
，
所以
，
，C 错误，D 错误.
故选：A.
2．（2025 高三·全国·专题练习）若
，
，则
.
【答案】
【分析】已知等式平方后得
，同时判断出
，
，可再利用平方关系求得
，代入即得结论．
【详解】由题意，
，①
所以
，即
，
则
．
因为
，且
，所以
，
，
所以
，②
由①②变形得
，
所以
．
故答案为：
.
3．（24-25 高一下·上海·期末）若
，且
，则
的值为 ．
【答案】
/
【分析】首先利用平方关系求
的值，再利用平方关系求
的值.
【详解】
，得
，
则
，
且
，则
，所以
.
故答案为：
4．（24-25 高三下·贵州·阶段练习）已知
，则
．
【答案】
【分析】应用
关系求目标函数值.
【详解】由
，则
，故
，
由
，得
，
所以
，可得
.
故答案为：
高频考点二：商数关系（
与分式或多项式求值）
典型例题
例题1．（24-25 高三下·江苏常州·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用条件求出
，再利用平方关系和倍角公式将
化简，得
，
进行切弦互化，即可求解.
【详解】由
，得
，
故
.
故选：D.
例题2．（24-25 高三下·安徽·阶段练习）已知
，则
的值为 .
【答案】
【分析】先利用二倍角公式
将
变形，再根据同角三角函数的基本关系
，将式子化为只含
的形式，最后代入
的值进行计算.
【详解】因为
，所以
.
故答案为：
例题3．（24-25 高三下·广西柳州·开学考试）已知
，计算
(1)
；
(2)
；
(3)
【答案】(1)2
(2)1
(3)
【分析】（1）利用同角三角函数商的关系即可求解；
（2）利用同角三角函数的平方关系和商的关系将弦化为正切即可求解；
（3）利用二倍角公式和同角三角函数基本关系的商的关系即可求解.
【详解】（1）由题意有
，所以
，解得
；
（2）
（3）
例题4．（24-25 高三上·海南海口·阶段练习）已知
，且
是第二象限角.
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用同角公式列式求解.
（2）利用诱导公式及正余弦齐次式法求解.
（3）利用正余弦齐次式法求解.
【详解】（1）由
，得
，则
，
又
是第三象限角，所以
.
（2）由
，得
.
（3）由
，得
.
精练高频考点
1．（2025·山东·一模）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【分析】利用齐次化思想化简
，代值计算即得.
【详解】
.
故选：C
2．（陕西省汉中市2024-2025 学年高一下学期期末校际联考数学试题）已知
.
(1)若
是第二象限角，求
的值；
(2)求
的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
的正切可求出
的正弦和余弦，然后利用和差的余弦函数计算即可.
（2）利用正弦函数的二倍角公式和商数关系将式子化简成只含有正切的形式，继而可求出结果.
【详解】（1）因为
，所以
.
因为
，
是第二象限角，
所以
.
所以
.
（2）
.
3．（24-25 高一下·上海·期中）已知
，求值：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式计算可得；
（2）利用二倍角公式及平方关系化为齐次式，再将弦化切，代入计算可得.
【详解】（1）因为
，所以
；
（2）因为
，
所以
.
4．（24-25 高三下·河南·开学考试）已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用齐次式法，弦化切计算即得；
（2）利用诱导公式化简，齐次式法，弦化切计算得解.
【详解】（1）
．
（2）
．
高频考点三：诱导公式的计算与应用
典型例题
例题1．（24-25 高三下·全国·周测）已知
的终边上有一点
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义求出
，再利用诱导公式化简求值.
【详解】因为
的终边上有一点
，所以
，
，
所以
，
故选：C.
例题2．（24-25 高三下·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，角
的终边经过点
，其中
.
(1)求
的值；
(2)若
为第三象限角，求
的值.
【答案】(1)当
时，
；当
时，
(2)
【分析】（1）分
，
两种情况，根据三角函数的定义即可求解.
（2）由已知可得
，结合同角的正余弦的平方关系求得
，利用诱导公式化简求值即可.
【详解】（1）因为在直角坐标系中，角
的终边经过点
，
所以
.
当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
；
综上所述：当
时，
；当
时，
.
（2）若
为第三象限角，则
，所以
，
所以
.
例题3．（24-25 高三下·安徽阜阳·阶段练习）化简下列各式
(1)
(2)
【答案】(1)0
(2)
【分析】利用诱导公式即可化简.
【详解】（1）
（2）
精练高频考点
1．（24-25 高三下·河南驻马店·阶段练习）已知
，则
．
【答案】
【分析】利用诱导公式以及正余弦的齐次式化简求值即可.
【详解】由题意可得
，
故
．
故答案为：
2．（24-25 高三下·全国·周测）化简
.
【答案】
【分析】应用诱导公式计算化简求值.
【详解】
.
故答案为：
3．（24-25 高三下·安徽·阶段练习）已知角
的终边经过点
.
(1)求
，
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义可求出
，
的值；
（2）运用诱导公式进行化简，然后求值即可.
【详解】（1）角
的终边经过点
.
由三角函数的定义得
，
.
（2）由（1）知：
，
，所以
，
故
.
高频考点四：同角关系式和诱导公式的综合应用
典型例题
例题1．（24-25 高三下·辽宁沈阳·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】利用诱导公式化简，再将弦化切，代入计算可得.
【详解】因为
，
所以
.
故选：D
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，则
．
【答案】1
【分析】由诱导公式化简，化为齐次式，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】原式
.
故答案为：.
例题3．（24-25 高一下·上海嘉定·期末）已知
，
(1)求
的值；
(2)求
的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平方关系求出
，再由商数关系求解；
（2）利用诱导公式化简所求式子，利用商数关系弦化切，结合（1）得解.
【详解】（1）因为
，
所以
，
故
.
（2）由（1），
，
.
精练高频考点
1．（24-25 高三下·广东·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式化简，再根据同角三角函数的商数关系即可求解．
【详解】
，
故选：C．
2．（24-25 高一下·上海·阶段练习）已知
，则
．
【答案】
【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值.
【详解】因为
，
所以
.
故答案为：
.
3．（24-25 高一下·上海黄浦·期末）若
，则
的值为 ．
【答案】5
【分析】由已知利用诱导公式和同角三角函数关系式即可求解.
【详解】由
，得
，
根据诱导公式，化简
.
故答案为：5.
第四部分：典型易错题型
易错点一：
与分式或多项式求值时注意分子与分母要同时除以同一个不为
“0”的数
1．（24-25 高三下·广东·阶段练习）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】齐次化变形，化弦为切，代入求值
【详解】
.
故选：B.
2．（24-25 高一下·广东江门·期中）已知
，则
【答案】
/
【分析】根据题意利用
结合齐次式问题运算求解即可.
【详解】因为
，
所以
.
故答案为：
.
