文档文本内容
第04 讲 解三角形
目 录
模拟·基础演练.......................................................................................................................................2
题型01 正、余弦定理的基本应用（解三角形）
.........................................................2
题型02 三角形面积与周长问题.........................................................................................10
题型03 三角形形状的判断.................................................................................................19
题型04 三角形中的最值与范围问题
...........................................................................28
题型05 解三角形的几何应用（中线、高、角平分线）
...........................................38
题型06 解三角形的实际应用与综合交汇.........................................................................46
重难·创新演练.....................................................................................................................................53
真题·实战演练.....................................................................................................................................64
模拟·基础演练
考查重点：正余弦定理的应用
题型01 正、余弦定理的基本应用（解三角形）
一、单选题
1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）记
的内角
所对的边分别为
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理将边与角的关系转化为关于
的三角等式，求出
的值，再代入余弦定理计算边
．
【详解】由正弦定理得
，则
，
又
，所以
，
所以
，所以
为锐角，
由
，得
，
由余弦定理得
，
所以
．
2．（2026·山东潍坊·三模）设
的内角
所对的边分别为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，
由正弦定理可得：
.
又
，
，
，
.
又
，可得
.
3．（2026·广东广州·模拟预测）在钝角
中，内角
的对边分别为
，若
，则
（ ）
A．2
B．3 或5
C．5
D．3
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用余弦定理列出方程求解并验证即得.
【详解】在
中，由余弦定理得
，
整理得
，解得
或
，显然
，即角
为最大角，
由
是钝角三角形，得
，即
，
当
时，
，不符合要求；
当
时，
，符合题意，
所以
.
二、多选题
4．（2026·四川广安·模拟预测）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
，
则使此三角形只有唯一解的
的值可以是（ ）
A．3
B．4
C．6
D．12
【答案】ACD
【分析】根据正弦定理得到
，三角形只有唯一解等价于角
仅有唯一解，分
（直角三角
形唯一解）、
且
（即
，仅存在锐角解）两种情况推导
的取值范围，再逐一判断选项.
【详解】对于A：当
时，
，结合
得
，三角形只有唯一解，A 正确；
对于B：当
时，
，由于
，此时
可取锐角也可取钝角，对应两个不同
的三角形，B 错误；
对于C：当
时，
，由等边对等角得
，
，三角形只有唯一解，C 正确；
对于D：当
时，
，又
，由大边对大角得
，即
只能取锐角，对应一
个三角形，D 正确.
三、填空题
5．（2026·河南新乡·模拟预测）在等边
中，
为
内一动点，
，则
的最小值
是_____．
【答案】
【分析】根据等边三角形的性质构造直角坐标系，求出相关点坐标，结合已知条件和圆的性质，求出圆心
和半径，进而求出
的轨迹方程，设
，求出方程
，再根据直线与
圆的位置关系构造不等式求出的范围，进而求出最小值．
【详解】设等边三角形边长为1，建立平面直角坐标系，
则
，
已知
为定边，
，则
在以
为弦的圆上，圆心，在
中垂线上，
设圆心为
，半径为
，
在
中，
，由余弦定理得
，
解得
,
，故
，
的轨迹方程为：
，
则
，
设
，则
，
整理得
，
直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，圆心
，半径
，
则
，
，
整理得
，平方展开得
，
即
，
，故
，即
的最小值为
．
6．（2026·上海虹口·三模）在
中，若
，
在
上的投影向量为
，则
_____________．
【答案】
/0.5
【分析】由正弦定理边角互化可得
，结合投影向量,余弦定理可得三角形
为等边三角形，据此可得
答案.
【详解】因
，结合正弦定理边角互化可得：
.
因
在
上的投影向量为
，
则
，
由余弦定理：
.
从而
即三角形
为等边三角形，则
.
【新题型】7．（2026·河南开封·模拟预测）在
中，
，
，
，则
____________，
的面积为____________．
【答案】
【分析】先利用三角形内角和求出角
，通过角度恒等变换关联
，结合和差角公式得到正切乘
积，再结合正弦定理与面积公式求解三角形面积.
【详解】由
，
，可得
，即
，故
.
则
，
，所以
，
因此
.
又
，
联立
,
解得
，
，
则
.
由
，结合正弦定理与三角形面积公式，
.
四、解答题
8．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
，
．
(1)若
，求
的面积；
(2)若
，求
和的值；
【答案】(1)
(2)
；
【分析】（1）由余弦定理可得
，再利用平方关系得
，结合三角形面积公式求解.
（2）结合正弦定理和
，可得
，从而求得
的值.利用余弦定理
，可得的值，最后检验是否符合题意.
【详解】（1）已知
，
，
，由余弦定理得：
因为
所以由同角三角函数关系得：
的面积
（2）由正弦定理
，且
，
，
代入得
，约去
（
），解得
．
则
．
由余弦定理
，代入
，
，
得：
，
整理得
，解得
或
．
当
时，
，则
，
，即
，
此时
，矛盾，舍去；
当
时，
，符合题意；
故
．
9．（2026·湖南·模拟预测）在
中，内角
,
,
的对边分别为
,
, ,
的面积为S，且
．
(1)求
的大小；
(2)已知点
在
边上，
，且
．证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理求解；
（2）利用正弦定理相互转换即可求解.
【详解】（1）因为
，又
，所以
，
即
．
由余弦定理得：
，即
．
所以
，
所以
，又
，所以
．
（2）
在
中，由正弦定理得
，
则
，
在
中，由正弦定理得
，
则
，
因为
，
所以
，
在
中，由正弦定理得
，即
，
所以
，
所以
，即
．
10．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形
中，
，
，
，
(1)若
，求
的长．
(2)若
，当四边形
面积最大时，求
的长．
【答案】(1)
(2)
8
【分析】（1）利用余弦定理求出
，结合
判断
为外接圆直径，利用正弦定理求
解.
（2）由对角互补知四边形内接于圆，利用基本不等式确定面积最大时
为等边三角形，再结合余弦定
理和两角和的余弦公式求解
.
【详解】（1）在
中，因
，
，
，
由余弦定理，
，
所以
.
由题意，
，则四边形
内接于圆，且
为该圆的直径.
设该圆半径为
，在
中，由正弦定理得
.
（2）因为
，所以
，四边形
内接于圆.
因四边形
的面积
，其中
，
要使四边形面积最大，只需
最大，即
最大.
在
中，由余弦定理得
，即
.
因为
，即
，当且仅当
时取等号，
此时
，
为等边三角形.
在
中，由余弦定理得
，
因为
，所以
.
因为
为等边三角形，所以
，
所以
.
在
中，由余弦定理得
，
所以
.
题型02 三角形面积与周长问题
一、单选题
1．（2026·山东德州·三模）已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
且
，三角
形面积为
，则
的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角形面积公式和余弦定理即可求解.
【详解】根据三角形面积公式
，代入已知
，
；
，解得：
，
根据余弦定理
，代入
，
，
对式子变形：
，代入
，
得：
，即
，所以
，
三角形周长为
.
2．（2026·湖南岳阳·三模）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
，且
，
若
的面积为
，则
的值为（ ）
A．6
B．8
C．
D．
【答案】B
【详解】由面积公式
，解得
．
由余弦定理
，代入
，得
，即
．
于是
，所以
．
3．（2026·广东广州·模拟预测）在
中，
，点
在线段
上，
，则
面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过设角表示线段长度，将面积转化为三角函数形式，利用三角函数的取值范围确定面积的最小
值，从而得到取值范围.
【详解】设
，
，则
.
由
，得
，
，故
.
所以
面积的取值范围是
.
二、多选题
4．（2026·浙江绍兴·模拟预测）设
的内角
的对边分别为
，若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
的面积可以是1
D．
的周长可以是3
【答案】BD
【分析】对于A、B 选项，由正弦定理结合两角和的正弦定理可求出角C 即可；
对于C，利用基本不等式可得
，结合三角形面积公式可求解；
对于D，利用余弦定理可得的最小值，从而得到
周长的最小值.
【详解】已知
，
由正弦定理可得
，
，
，
，
，
，
即
.所以B 正确；根据已知条件无法得出
，所以A 错误；
对于C：
，又
，
，当且仅当
时等号成立，
，所以C 错误；
对于D：由余弦定理
，
，即
，当且仅当
等号成立.
此时，
，所以
的周长范围为
.
当
，即
时，
，则存在实数解
.
所以D 正确.
【新思维】5．在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，则下列说
法正确的是（ ）
A．若
，则
的外接圆的面积为
B．若
，且
有两解，则
的取值范围为
C．若
，且
为锐角三角形，则的取值范围为
D．若
，且
，
为
的内心，则
的面积为
【答案】BCD
【分析】借助余弦定理将角化为边计算可得
；对A：由
可得
，再利用正弦定理与圆
的面积公式计算即可得；对B：由正弦定理结合
有两解，可得
，解出即可得；对C：
借助正弦定理可得
，结合锐角三角形性质可求出
的范围，即可得解；对D：借助三角形内角关
系及三角恒等变换公式计算可得
，从而可得该三角形各角及边长，再利用等面积法可得
内切圆的
半径，即可得解.
【详解】由
和余弦定理，可得
，
化简得
，解得
；
对A：因为
，
，所以
，
设
的外接圆的半径为
，由正弦定理，
，所以
，
所以
的外接圆的面积为
，A 不正确；
对B：由正弦定理可得
，
有两解等价于
有两个不同值，所以
，解得
，B 正确；
对C：因为
，所以
，
整理得
，
因为
为锐角三角形，所以
，
解得
，所以
，所以c 的取值范围为
，C 正确；
对D：因为
，
，所以
，
则
，解得
，
由于
为锐角，所以
，即
；
因为
，则
、
，
设
内切圆的半径为，则
，
即
，解得
，
所以
，D 正确.
三、填空题
6．在
中，
的面积为___________
【答案】
【详解】由余弦定理
，代入得
，
整理得
，解得
（负根舍去）；
故
.
四、解答题
7．（2026·贵州遵义·模拟预测）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
， ，已知
．
(1)求角
；
(2)若
，
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理，将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和化简求解；
（2）利用余弦定理与面积公式，通过“和平方”将
转化为
，即可计算面积.
【详解】（1）已知
，
由余弦定理
，则
，
代入可得：
.
由正弦定理
（
为
外接圆半径），
可得
，
，
，
代入上式得：
，
整理得：
，
根据两角和的正弦公式
，即
，
因为
，所以得
，解得
，
又因为
，所以
.
（2）已知
，
，
，
由余弦定理
，代入得
，
所以
，
则面积为：
.
8．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知在
中，
，
.
(1)求证：
；
(2)若
边上的中线
的长为1，求
的面积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由题意知
，再结合题意得
，整理得
，即
，再根据内角和定理即可证明结论；
（2）结合（1）得
，再结合二倍角公式得
，进而得
，
，
根据余弦定理，结合
得
，再根据正弦定理求得
外接圆半径
，最后计算面积即可.
【详解】（1）解：因为
，
，
所以
，即
，
所以
，
因为
，即
因为
，
中至少有一个为锐角，
所以
，
所以
，
即
所以
，
所以
，即
，
因为
，
所以
，即
.
（2）解：由（1）知
，即
，
所以
，
因为
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
，
，
所以
，
，
因为
，所以
，
所以，由余弦定理得
，即
，
所以
设
为
外接圆半径，
所以
，
所以
，解得
，即
，
所以
，
所以
9．（2026·贵州毕节·三模）已知
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求B；
(2)若
，______，求
的面积.
在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补充在上面问题（2）中，
并求解.
【答案】(1)
(2)若选①，面积为
或
；若选②，面积为
；若选③，面积为
【分析】（1）利用正弦定理边化角，得
，再利用三角恒等变换化简求解；
（2）若选①，正弦定理
求解
，若选②，根据余弦定理求解
，若选③，根据正弦定理
化简得
，最后利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）由
，
由正弦定理得
，
即
，
即
，
整理得
，
而
，∴
，即
，
因为
，所以
.
（2）若选①，根据正弦定理
，即
，
因为
，则
或
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
；
若选②，
，
则
，即
，
再根据余弦定理
，解得
，
所以
；
若选③，
，
根据正弦定理得
，
又
，则
，
则
，所以
，则
，
正弦定理
，可得
，
所以
.
10．（2026·江西·模拟预测）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，．已知
．
(1)求A；
(2)若
，且
的面积为
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对已知比例式进行变形，结合正弦定理与三角和角公式、三角形内角互补关系化简，求解
后确定角
.
（2）利用三角形面积公式求出
，再结合余弦定理与完全平方公式推导
，进而得到三角形周长.
【详解】（1）由已知得
．
由正弦定理，得
，
即
．
又
，所以
．
因为
，
，所以
．
又
，故
．
（2）由题意，
的面积
，可得
，
由余弦定理，得
，且
，
所以
，
则
，
因为
，所以
，
所以
的周长为
．
题型03 三角形形状的判断
一、单选题
1．（2026·湖南湘潭·三模）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
的形状是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．无法确定的
【答案】B
【分析】通过正弦定理将角化为边得
，再结合余弦定理即可得结果.
【详解】由
，可得
，则
，
则
，则A 为钝角，
故
的形状是钝角三角形.
2．在
中，角
的对边分别为
，已知
，则
的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理把
换成
,代入
化简得
,结合三角形内角范围,
得
或
,故三角形为等腰三角形或直角三角形.
【详解】在
中，由正弦定理
，
为
外接圆半径.
得
，
.
将其代入已知条件
，可得
.
化简得
，因为
，所以
.
因此有两种情况：
①
，即
，此时
为等腰三角形；
②
，即
，则
，此时
为直角三角形.
综上，
的形状为等腰三角形或直角三角形.
3．（2026·湖北·二模）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，
的面积记为，若
且
，则
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰非等边三角形C．等边三角形
D．钝角三角形
【答案】C
【详解】在
中，
，
又
可得
，从而
；
利用余弦定理和面积公式可将
化为
，
所以
，从而
，故
是等边三角形.
二、多选题
【新思维】4．（2026·江西南昌·三模）已知
内角
所对的边分别为
.则下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则
为钝角三角形.
B．若
，则
为等腰三角形
C．在锐角
中，不等式
恒成立
D．若
，则
的取值范围为
【答案】AD
【分析】利用余弦定理边化角判断A；由题设
，结合三角形内角性质判断B；利用正弦
函数单调性推理判断C；利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及正切函数性质求解判断D.
【详解】对于A，由
及余弦定理，得
，
为钝角，故
为钝角三角形，
A 正确；
对于B，由
中
，则
，故
或
，
所以
或
，均不能说明
为等腰三角形，B 错误；
对于C，在锐角
中
，则
，
所以
，即
，C 错误；
对于D，由
，
，得
，
，
，
由正弦定理得
，D 正确.
5．（2026·河北邯郸·三模）已知
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，则下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则
不是锐角三角形
B．若
，则
是锐角三角形
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【详解】选项A：由
，可得
，则
或
，由于
为三角形的内角，
故
或
，
为直角三角形或钝角三角形，故A 正确；
选项B：当
时，
，对于任意
，
，
恒成立，
为钝角三角形，故B 错误；
选项C：由
，得
，
由余弦定理得：
，
，
，故C 正确；
选项D：由正弦定理
，则
，即
，
，
，故D 正确．
6．（2026·新疆·二模）设
的内角
的对边分别为
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
一定是锐角三角形
B．若
，则
一定是钝角三角形
C．若
，则
一定是等边三角形
D．若
，则
一定是等腰三角形
【答案】BCD
【分析】利用正弦定理、余弦定理边角互化逐项判断即可.
【详解】A，由余弦定理
可得
为锐角，
但
角度不确定，
可为钝角三角形或直角三角形，A 错误；
B，由余弦定理
可得到
为钝角，故
一定是钝角三角形，B 正确；
C，因为
，由正弦定理可得
，即
，
又
均为
的内角，所以
，
一定为等边三角形，C 正确；
D，因为
，由正弦定理可得
，即
，
所以
，又
均为
的内角，所以
，即
一定为等腰三角形，D 正
确；
故选：BCD
7．设
的三个内角
，
，
所对的边分别为
，
，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的
是（ ）．
A．若
，则
是等边三角形
B．若
，则
是等边三角形
C．若
，则
是等边三角形
D．若
，则
是等边三角形
【答案】BCD
【分析】根据正弦定理及三角函数的图象与性质及导数判断函数单调性，即可判断ABCD 的真假.
【详解】A，若
，
由正弦定理可知：任意
都满足条件，因此不一定是等边三角形，不正确；
B，若
，
由正弦定理可得：
，
∴
，
∵
，∴
，
∴
是等边三角形，正确．
C，若
，
由正弦定理可得：
，∴
，
∵
，∴
，
∴
是等边三角形，正确．
D，若
，∴
，
时，
是等边三角形；
时，研究函数
的单调性，
，
时，
，
∴函数
在
上单调递减，因此
不成立．
综上可得：
是等边三角形，正确．
故选：BCD．
三、填空题
8．（2016·上海浦东新·二模）在
中，边
所对角分别为
，若
，则
的形状为___________.
【答案】等腰或直角三角形
【分析】由题意可知
，由正弦定理边角互化和二倍角公式化简为
，
再判断三角形的形状.
【详解】由题意可知
,
化简为
由正弦定理可知
，
即
，
或
，
即
或
,
是等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形.
【点睛】本题考查三角恒等变形和判断三角形的形状，意在考查转化与变形，以及计算能力，属于基础题
型，本题的易错点是
时，不要忘记
.
9．若
，内角
的对边分别为
，则三角形
的形状为________．
【答案】等腰三角形或直角三角形
【分析】根据条件，利用诱导公式，可得
，再由正弦定理，边化角整理得
，进一步判断三角形为等腰三角形或直角三角形.
【详解】∵
，
∴
，
根据正弦定理可得
∴
，
∴
，由于
为三角形的内角,
∴
或
，
∴三角形
的形状为等腰三角形或直角三角形．
故答案为：等腰三角形或直角三角形
四、解答题
【新思维】10．（2026·福建漳州·三模）在
中，角
所对的边分别为
，已知
．
(1)判断
的形状；
(2)若
边上的两条中线
相交于点
，求
．
【答案】(1)等腰三角形或直角三角形
(2)
【分析】（1）解法一：利用正弦定理化边为角，再根据二倍角的正弦公式结合正弦函数的性质即可得解；
解法二：利用余弦定理化角为边，化简即可得解；
（2）解法一：以
为原点，分别以
为
轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标公式求解
即可.
解法二：由题意可得
为
的重心，求出
，再利用余弦定理解三角形即可.
解法三：分别求出
的正余弦值，再根据
结合两角和的余弦
公式求解即可.
【详解】（1）解法一：由
，得
，
由正弦定理得
，
即
，即
，
因为
，所以
，
所以根据
的图象可得
，或
，或
，
所以
，或
，或
，
又
，所以
，或
，
所以
是等腰三角形或直角三角形；
解法二：由
，得
，
由余弦定理得
，
即
，
化简得
，
从而
，或
，
所以
是等腰三角形或直角三角形；
（2）解法一：①若
，则
，则
，不满足三角形三边关系，舍去；
②若
，则
，
以
为原点，分别以
为
轴建立平面直角坐标系，
则
，
所以
，
所以
.
解法二：①若
，则
，则
，不满足三角形三边关系，舍去；
②若
，则
，
，
，
因为
边上的两条中线
相交于点
，所以
为
的重心，
所以
，
所以
．
解法三：①若
，则
，不满足三角形三边关系，舍去；
②若
，则
，所以
，
，所以
．
又
，所以
，
在
中，
，
所以
．
题型04 三角形中的最值与范围问题
一、单选题
1．（2026·湖南浙江·模拟预测）制造一个三角形支架
（如图），要求
，
的长度大于2 米，
且
比
长1 米，为了增加稳定性，要求
尽可能短，则
最短为（ ）
A．
米
B．4 米
C．
米
D．
米
【答案】D
【详解】设
的长度为
米，
的长度为
米，则
的长度为
米，
因为
，
根据余弦定理可得
，
代入可得
，
化简可得
，即
，
设函数
，求导可得
，
令
，可得
，即
，解得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
因此
的极小值为
，
即
最短为
米.
2．在锐角
中，角
的对边分别为
，
且
，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，得
，
由
，得
,
所以
，
，
，
由
，得
，
所以
，又
，所以
．
由
，得
，
所以
，
由
为锐角三角形，得
，所以
，解得
，
由
，得
，所以
．
所以
，即
3．在
中，角
所对的边分别为
，且
．若点
为边
的中点，边
上
的中线
的长为
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】借助余弦定理计算可得
，利用平面向量线性运算法则及模长与数量积关系计算可得
，再利用基本不等式与三角形面积公式计算即可得
面积的最大值.
【详解】由余弦定理可得
，
由点
为边
的中点，则
，
故
，
即
，即
，
则
，即
，
当且仅当
时，等号成立，
故
，
即
面积的最大值为
.
二、多选题
4．（2026·湖南衡阳·二模）在三角形ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
，
，则（ ）
A．
B．若
，则
C．若三角形ABC 为锐角三角形，则
的取值范围是
D．若
，则三角形ABC 为直角三角形
【答案】ABD
【分析】对题干信息利用正弦定理和余弦定理即可判断AB 选项；根据题意结合三角函数值域可判断C 选
项；利用正弦定理和三角恒等变换可判断D 选项.
【详解】对于A：因为
，所以
或
，又
，
故
，若
，又
，则
，与
矛盾，所以
，故A 正确；
对于B：因为
，所以
，由正弦定理将上述等式化简为
，
根据余弦定理
代入可得
，将
代入得
，解得
或
（舍），故B 正确；
对于C：由选项A 可知
，所以
，
又
，因为
为锐角三角形，
所以
，
即
，解得
，
因为
在
上单调递减，所以
，故C 错误；
对于D：因为
，由正弦定理及
得
，
所以
，
又
，
所以
，又
，
所以
，
即
，又
，所以
为锐角，可得
，
所以
，所以
，所以
，故D 正确．
5．（2026·重庆九龙坡·一模）在
中，角
所对的边分别为
，且
，
为
的中点，则（ ）
A．
B．
的最大值为
C．
的周长的取值范围是
D．
的最大值为
【答案】ABD
【分析】对于A，由题设结合正弦定理、两角和的正弦公式化简求解即可判断；对于B，先由余弦定理得
，进而结合基本不等式可得
，再结合平面向量的线性运算、数量积的运算律可得
，进而求解判断即可；对于C，结合B 及基本不等式可得
，进而判断即可；对于
D，根据正弦定理及三角恒等变换公式可得
，进而求解判断即可.
【详解】对于A，由
，
根据正弦定理得，
，
则
，
即
，
在
中，
，则
，
即
，又
，则
，故A 正确；
对于B，由余弦定理得，
，
则
，即
，当且仅当
时等号成立，
由于
为
的中点，则
，
所以
，
则
的最大值为
，故B 正确；
对于C，由B 知，
，
解得
，当且仅当
时等号成立，又
，
则
的周长的最大值为3，故C 错误；
对于D，由正弦定理得
，
则
，
所以
，
因为
，所以
，
则
，即
时，
，
取得最大值为
，故D 正确.
故选：ABD
6．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．AC 的中点为D，
，若
，则（ ）
A．
`
B．b 取值范围为
C．
面积的最大值为
D．
周长的最大值为6
【答案】BC
【分析】对于A，由三角函数恒等变形结合正弦定理边角互化可判断选项正误；对于B，
由
结合A 选项分析可得
，然后由余弦定理可得
，据此可判断选项正误；
对于C，由B 选项分析结合面积公式可判断选项正误；对于D，令
，由B 选项分析可得
，然后用导数研究函数
的单调性，可得周长最大值
情况.
【详解】对于A，
.
由正弦定理边角互化可得：
，
则
，故A 错误；
对于B，
，
则
，当且仅当
取等号.
由余弦定理，
，又
，
则
，因
，则
，故B 正确；
对于C，由B 分析可知，
，则
，故C 正确；
对于D，由B 分析，
，
得
.
.
令
，则
，由三角形三边关系可得
，
则
，则
.
则
，令
.
则
，令
，
因
，则
在
上单调递减，
则
，即
周长无最大值，恒小于
，
故D 错误.
故选：BC
7．设
中，
.下列命题正确的有（ ）
A．若
，则
的周长的取值范围是
B．若
，则
的面积的最大值是
C．若
，则
的周长的取值范围是
D．若
，则
的面积的最大值是
【答案】BCD
【分析】由三角形的三边关系可求出
周长的取值范围，可判断AC 选项；根据三角形的面积公式求
出
面积的最大值，可判断B 选项；利用余弦定理、同角三角函数的基本关系结合三角形的面积公式
可求出
面积的最大值，可判断D 选项.
【详解】对于A。当
时，
，由三角形三边关系可得，
，
所以
，因此
的周长的取值范围是
，故A 错误；
对于B，由
，可知，
当
时，
的面积取到最大值，故B 正确；
对于C，当
时，由
，即
，得
；
由
，得
，从而
，
所以
，
因此
的周长的取值范围是
，故C 正确；
对于D，由余弦定理可得
，
可得
，
所以，
，
当且仅当
时，等号成立，故
面积的最大值为，故D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
8．（2026·河北沧州·一模）已知在
中，角
所对的边分别为
，且
，
则
_____．若
为锐角三角形，则
的取值范围为_____．
【答案】
【分析】根据正弦定理与和差倍角的正弦公式化简原等式，得到
，进而求出
的范围，从而求出
结果.
【详解】因为
，
由正弦定理可得
，又
，
所以
，
又
，
所以
，即
，所以
，
又
，所以
，
，
由
，得
，由
为锐角三角形，
得
，即
，于是
，
所以
，即
的取值范围为
，
所以
，所以
，即
的取值范围为
．
故答案为：
；
.
9．（2025·浙江杭州·三模）如图，在三角形
中，若
，
，
，则四边形
的面积的最大值为________.
【答案】
【分析】首先由条件等式，结合正弦定理，余弦定理，基本不等式，以及三角函数的有界性，确定
的形状，再以
为自变量表示四边形
的面积，根据三角函数的性质，即可求解.
【详解】由正弦定理可知
可化为
，
由余弦定理
（当且仅当
时等号成立）得
，
所以
，即
，
即
（当且仅当
时等号成立）
，
整理为
，即
，又
，
所以
，又
，
所以
，即
，
同理，条件等式也可化简为
和
，可得
，
所以
是等边三角形，
设
，
，在
中，
，
，
，
，
当
时，四边形
的面积取得最大值
.
故答案为：
四、解答题
10．（2026·河南开封·三模）在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c 且
．
(1)求角C 的大小：
(2)若边
，求
的面积S 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，由同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）由正弦定理和三角形面积公式结合三角恒等变换可得
，再利用
为锐角三
角形求得角
的范围即可求解.
【详解】（1）由
及正弦定理，得
，
所以
，即
，
因为
为锐角三角形，所以
，且
，
所以
，
，
又
，所以
．
（2）由正弦定理，得
，所以
，
，
所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，
，即
，
由
，得
，
所以
，
，
，
所以
的面积S 的取值范围为
.
题型05 解三角形的几何应用（中线、高、角平分线）
一、单选题
1．（2026·河北廊坊·一模）在
中，其所对的边分别为
，
为边
上靠近点A 的三等分点，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】A
【分析】过点
作
，利用等腰三角形的性质得到
，再由条件求出
，在
中建立等式，
求解.
【详解】
如图，过点
作
，
因为
，所以
是
中点，且
又因为
为边
上靠近点A 的三等分点，所以
，
又因为
，所以
，
则
，
.
又因为
，联立
，
因为
，所以
，解得
在
中，由余弦定理得
，
解得
，所以
2．（2025·云南昭通·模拟预测）已知
的三个内角
所对的边分别为
，
，
的
面积为
，角A 的平分线交边
于D，且
，则a 为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】由面积公式及角平分线的性质推导出
，再由面积公式求出
和
，最后由余弦定理
计算a.
【详解】因为
，且角A 的平分线交边BC 于D，且
，
所以
，即
，
又
，所以
，所以
，
，
由余弦定理得
，
所以
，即
，
故选：A．
3．（2025·甘肃武威·模拟预测）在
中，
，
是
的平分线，
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据角平分线定理可得
，在
中，利用余弦定理求出
，进而根据正弦定理求
出
.
【详解】因为
为
的平分线，且
，
在
中，根据正弦定理可知
，
在
中，根据正弦定理可知
，
而
，
，故将上述两个等式相除可得
，
又
，所以
，则在
中，
由余弦定理得
，
所以
，在
中，由正弦定理得
，
则
.
故选：A.
4．在
中，角
的对边分别为
，若
的平分线
的长为
，则
边上的高线
的长等于（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】由
可得
的值，进而可求得
、
的值，结合余弦定理可得
，
由等面积法
可求得
.
【详解】由题意知，设
，则
，如图所示，
由
可得
，
整理得
，即
，
又因为
，所以
，
所以
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，所以
，
由
可得
，解得
.
故选：B.
二、多选题
5．（2025·广西南宁·模拟预测）设
内角
的对边分别为
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
的外接圆面积为
D．若M 为
中点，则
【答案】AC
【分析】由余弦定理判断A，B；利用正弦定理求出
的外接圆的半径，即可判断C；利用向量判断
D.
【详解】对于A，由余弦定理可得
，
所以
，故A 正确；
对于B，由余弦定理可得
，
所以
，故B 错误；
对于C，由正弦定理可得
，
所以
，
所以
的外接圆面积为
，故C 正确；
对于D，因为M 为
中点，
所以
，
所以
，
所以
，故D 错误.
故选：AC.
6．（2025·湖南·一模）
中，角
所对的边分别为
、
、，则“
是直角三角形”的
充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据正弦函数的 即可判断A；根据正弦定理、两角和与差的正弦公式即可判断B；利用余弦定理
计算即可判断C；利用三角恒等变换的化简计算即可判断D.
【详解】A：
，且
，则
，
若
为锐角，则
且
，
此时
，即
；
若
为钝角，则
且
，
此时
，即
；
综上，
为直角三角形或钝角三角形，故A 不满足题意；
B：
，由正弦定理得
，
即
，得
，
由
，解得
，又
，所以
，
即
为直角三角形，故B 符合题意；
C：由
，得
，
整理得
，所以
或
，
即
为等腰三角形或直角三角形，故C 不符合题意；
D：
，
，
即
，由
，得
，
即
，
，
得
，所以
或
，解得
或
，
即
为直角三角形，故D 符合题意.
故选：BD
三、填空题
7．（2026·江苏·二模）在
中，
，
是
的中点，若
，则
________．
【答案】
【详解】
中，
，由
，
设
，
则
，
是
的中点，所以
，
在
中，由余弦定理得
．
8．（2026·四川·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，且
为
的中点，则
的最大值为__________.
【答案】
【分析】由正弦定理边化角，结合角A、B 的范围，可得角A，根据余弦定理及基本不等式，可得
的最
大值，根据条件，可得
，两边同时求模，化简整理，即可得答案.
【详解】因为
，由正弦定理得
，
即
.
因为
，所以
，即
.
又
，所以
.
由余弦定理，得
，
所以
，即
，当且仅当
时等号成立.
因为
为
的中点，所以
，
所以
，所以
的最大值为
.
四、解答题
9．（2026·河南·模拟预测）如图，在
中，
，D，E 为线段
上两点，且
平分
，
（
在
的左侧）.
(1)若
，
，求
的面积；
(2)若
，
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由角平分线性质，结合三角形面积公式即可求解；
（2）由角平分线的性质，结合两角和差的余弦公式化简可得
的值，再根据正切的诱导公式即可
求解.
【详解】（1）因为
，所以在
中，
.
又
，即
，所以
.
因为
，所以
，即
，解得
.
因为
平分
，所以
，
解得
，
所以
所以
.
（2）设
，
则
，
即
，
整理得
，
又
，
故
，即
，解得
.
10．（2026·河北邢台·二模）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
(1)判断
的形状并证明；
(2)若
，M 为边AB 上一点，且
，求CM.
【答案】(1)等腰三角形或直角三角形
(2)
或
【分析】（1）先利用正弦定理边角互化对已知等式进行变形得到
，可知
或
即
为等腰三角形或直角三角形；
（2）利用
及三角形面积公式求出
的表达式，再针对（1）中的两种情况分别分析
计算.
【详解】（1）由正弦定理和已知条件可得
，
变形得
，于是有
，则
即
或
即
，故
为等腰三角形或直角三角形.
（2）依题意可知
为角
的角平分线，利用
可得
，
即
，
当
为等腰三角形时，
，由余弦定理可得
即
，所以
，
当
为直角三角形时，
且
，
得
，所以
，
综上所述
或
.
题型06 解三角形的实际应用与综合交汇
一、单选题
1．（2026·广东珠海·模拟预测）龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的
八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底
B 所在的水平地面上选取C，D 两点，测得
米，
，
，在点
处测得塔
顶
的仰角为
，则龙辰塔的高度
约为（ ）（参考数据：取
，
）
A．46 米
B．48 米
C．50 米
D．52 米
【答案】D
【分析】利用正弦定理求出
，再由直角三角形边角关系求解.
【详解】依题意，
，
在
中，由正弦定理得
，
即
，
在
中，
，
所以
（米）.
2．（2026·辽宁锦州·二模）《海岛算经》问题一：今有望海岛，立两表齐高三丈（五步），前后相去千步，
令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目著地取望海峰，与表末参合，从后表却行一百二十
七步，人目著地取望海峰，亦与表末参合．问岛高几何大意为：现在有人观测海岛，立两根竿（表）皆高
3 丈（5 步），前后相距
步，令后表与前表及岛峰三者在同一平面内，从前表退行
步，人目着地观
测岛峰，与竿顶端重合，从后表退行
步，人目着地观测岛峰，也与竿顶端重合，则岛高为（ ）
A．
步
B．
步
C．
步
D．
步
【答案】C
【详解】设海岛到前表水平距离为
，岛高为
，
则
，解得
，
岛高为
步．
3．（2026·贵州黔东南·模拟预测）一艘轮船从A 处出发，沿着正东方向行驶到B 处，再从B 处向北偏西
30°方向行驶
千米到达C 处，此时，C 处在A 处的东北方向，则A、C 两处之间的距离是（ ）
A．30 千米
B．
千米
C．
千米
D．
千米
【答案】B
【详解】如图，由题意可知
千米，
，
，
则由正弦定理知
千米.
二、填空题
4．（2026·河北石家庄·三模）如图，要在相距200 km 的A，B 两地各放置一个地动仪，B 在A 的东偏北
60°方向.若A 地正东方向的铜丸落下，B 地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C 在A 地正东________km.
【答案】
【分析】根据正弦定理解三角形即可得到答案.
【详解】由题意可得，
，
，
，则
，
根据正弦定理可得
，又
，所以
，所以地震
的位置C 在A 地正东
处.
【新角度】5．（2026·湖北·一模）某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完
全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底
同一水平
面内共线的三个点
，
，
，且在点
，
，
处测得塔顶端
的仰角分别为
，
，
，同时测
得
，
（如下图），则塔的高度为________
.
【答案】60
【分析】设
，则可由余弦定理构建关于
的方程，求出其解即可.
【详解】由题设
，
设
，则
，
在
中，由余弦定理有
，
故
，同理
，
而
，故
，
所以
，故
，
故
.
6．（2025·广东梅州·模拟预测）位于灯塔
的正西方向且相距50 海里的
处有一艘甲船，需要海上加油，
位于灯塔
的东北方向的
处有一艘乙船在甲船的北偏东
方向上，则乙船前往支援
处的甲船需要航
行的最短距离是______海里.
【答案】
【分析】根据题设画出示意图，利用正弦定理可得
.
【详解】依题意，画出示意图如下，
，
，
在
中，
，由正弦定理得
，
因此
（海里），
故答案为：
.
三、解答题
7．（2026·湖南郴州·三模）苏仙岭又称“天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的
处，此时
他测得山顶
的仰角为
.他沿着东偏南
的方向前行200 米后到达点
处，此时他测得山顶点
的仰角
为
.假设山顶在水平面上的投影为点
，且点
位于点
的南偏西方向，测量仪器的高度忽略不计.
(1)求山高
；
(2)已知景区内点
处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段：平缓上升阶段的倾斜角为
，在行至
山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为
.求山脚下缆车上车点
到
点的距离.
【答案】(1)200 米；
(2)
米.
【分析】（1）设
， 进而结合题意，在
中根据余弦定理求得
或
，再结合点
位于点
的南偏西方向得
即可得答案；
（2）结合（1），设
，
，进而得
，
，再结合三角函数求解
即
可得答案.
【详解】（1）解：如图，在
中，设
，
由题意知
，且
,
由余弦定理，
代入得：
化简得：
，即
解得
或
由“点
位于点
的南偏西方向”可知，
必在
的东北方向，从而
的横坐标应大于
的横坐标.
由
点向东位移为
米，可得
，即
.
故只能取
，所以山高
米.
（2）解：由第（1）问知，山高
米.
因为缆车在点
处转换坡度，故两段缆车各上升100 米.
设第一段（倾斜角
）的水平距离为
，即
，
第二段（倾斜角
）的水平距离为
，即
则有：
，
，所以
，
；
因此，山脚下缆车上车点到
点的距离为：
利用常用三角函数值：
，
得
故山脚下缆车上车点到
点的距离为
米.
8．（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的
处发现两座小岛
，测得小岛
在
的北偏
东
的方向上，小岛
在
的北偏东
的方向上，海轮从
处向正东方向航行
海里后到达
处，
测得小岛
在
的北偏西
的方向上，小岛
在
的北偏东
的方向上.
(1)求
处与小岛
之间的距离；
(2)求
两座小岛之间的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在
中利用正弦定理计算可得；
（2）在
中利用余弦定理求出
，再在
中利用余弦定理求出
；
【详解】（1）由题可知在
中，
，
，所以
，
由正弦定理可得：
，及
，
所以
（海里）．
（2）由题可知在
中：
，
，所以
．
所以
（海里），
由余弦定理可得：
，
所以
（海里），
由题意可知，在
中，
，
由余弦定理可得：
，
所以
（海里）.
9．（2025·河南南阳·一模）如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上一点A 处有一个水声监
测点，另两个监测点B，C 分别在A 的正东方20km 和54km 处.某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一
个声波，8s 后监测点A，20s 后监测点C 相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度
是1.5km/s.
(1)设A 到P 的距离为xkm，求x 的值；
(2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离（结果精确到0.01km）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据速度得三角形边之间关系，再根据余弦定理求结果，
（2）作垂线，根据直角三角形解结果.
【详解】（1）依题意，得
，
，所以
，
．在
中，
，
余弦定理，得
．
同理在
中，
．
由于
，
所以
，
解得
．
（2）作
，垂足为
，在
中，
．
所以目标
到海防警戒线
的距离为
．
重难·创新演练
设题创新:综合考察
一、单选题
1．（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆
：
交于
两点，当
面
积取得最大值时，直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】先由圆方程得圆心与半径，借助垂径定理用圆心到直线距离
表示弦长，进而写出
的面积
解析式；利用基本不等式得到面积最大时
，设过原点直线斜截式方程，代入点到直线距离公式列方程，
求解得到直线斜率．
【详解】由题意得圆
的圆心为
，半径
，
设圆心
到直线的距离
，
因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
若的斜率不存在，则的方程为
，
，
若的斜率存在，设的方程为
，即
，
所以
，即
，
整理得
，解得
，
，
综上，直线的斜率为
或
．
2．（2026·河北邢台·三模）已知抛物线
在
处的切线与圆
：
交于
两点，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】∵ 抛物线方程为
，即
，求导得
.
当
时，
，切线斜率
，
∴ 抛物线在
处的切线方程为
，整理得
.
∵ 圆
的方程为
，∴ 圆心
，半径
.
圆心
到切线
的距离
.
由弦长公式得
.
在
中，
，
由余弦定理：
，
∵
，∴
.
3．（2026·安徽合肥·模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
，若
，则
的相反数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理进行边化角，利用两角和差的正弦公式结合正弦函数的图像得到
的等量关系式，
利用二倍角的余弦公式求出
，从而得到所求.
【详解】因为
，
所以
，
即
，
即
，而
为三角形内角，
则
或
(舍，因为
与题设矛盾)，
解得
，即
，则
的相反数为
.
【新思维】4．（2026·云南保山·二模）公园某处有一个半径为40 米的圆形水池，准备在水池中建两个喷
泉.如图，设该圆形水池的圆心为O，A，B 两点为喷泉，
为该圆形水池边缘任意一点，要求O，A，B 三
点共线，且
.若在该水池边缘任意一点
处观察喷泉，观察角度
的最大值不小于
，则A，
B 这两个喷泉间距离的最小值为（ ）
A．
米
B．
米
C．80 米
D．40 米
【答案】A
【分析】设
，利用余弦定理得到
，再找出观察角度
最大时，
取得最小值，进而利用余弦定理和基本不等式求解即可．
【详解】设
，在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
因为
，所以
，
结合余弦函数的性质得，当观察角度
最大时，
取得最小值，
在
中，由余弦定理可得
，
当且仅当
时，等号成立，
因为
的最大值不小于
，所以
，解得
，
即
，故
，
这两个喷泉间距离的最小值为
米．
二、多选题
5．（2026·河北秦皇岛·一模）在
中，角
所对的边分别为
，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
有两解
C．
是钝角三角形
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】用正弦定理、三角形内角和性质、大边对大角、余弦定理等知识，结合已知条件逐一分析各选项
即可.
【详解】 选项A：由正弦定理
，结合
，得
，
又
，因此
，即
.
又
，故
，故A 正确；
选项B：由
，得
，则
，得
.
因为
，由大边对大角得
，
故
，
，只有1 解，所以B 错误；
选项C：三角形内角和
，
故
是钝角三角形，故C 正确；
选项D：若
，又
，则
，
由余弦定理
，得
，
化简得
，解得
或
（舍去），故D 正确.
【新考法】6．（2026·江苏·模拟预测）在
中，设角
所对边分别为
．若
为锐角三
角形，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不存在
使得其边长为三个连续的正整数
C．存在
使得其三边长成等比数列
D．当
时，
的面积存在最大值
【答案】ACD
【分析】对于A 运用题目条件与三角形的内角和求解；对于B 运用角度关系、二倍角公式、正余弦定理，
再对边长的长度大小讨论求出相应的长度即可；对于C 对边长的长度大小讨论，边长的关系加入等比数列
的性质，判断关系式是否有解；对于D 对三角形运用面积公式求出面积，运用导数求出这个面积的最大值.
【详解】对于A，在锐角
中，由
，得
，解得
，
∴
，∴
，A 正确；
对于B，由
，得
，由正弦定理得
，
由余弦定理得
，整理得
，即
．
由
，得
，
当
时，令
，方程
解得
，则
，
不满足题目条件；
当
时，令
，
由
，解得
，此时
，
同理
,
，故三角形为锐角三角形，
，因此B 错误；
对于C，当
时，
与
矛盾；
当
时，
，即
，而
，则
，
即
，令
，函数
，
求导得
，函数
在
上单调递增，
而
，则存在
，使得
，
∴存在
使得其三边长成等比数列，C 正确；
对于D，当
时，
，
的面积
，
令
，则
，
，
又
，∴存在唯一的
，使得
，
当
时，
，函数
在
上递增；
当
时，
，函数
在
上递减，
∴函数
，D 正确．
【新角度】7．（2026·山东青岛·模拟预测）在三棱锥
中，
，
，
平
面
，则（ ）
A．
外接圆直径为
B．
C．当
时，三棱锥
的体积取得最大值
D．三棱锥
的外接球半径的取值范围是
【答案】ABD
【分析】应用正弦定理求外接圆的直径判断A，令
，根据已知得
、
，进而得到
，最后即可判断B，应用棱锥的体积公式及B
分析结论，再由导数求体积最大对应参数的值判断C，由棱锥的结构特征得
且
，
即可求范围判断D.
【详解】A：在
中
，
，则外接圆直径为
，对，
B：令
，
在
中
，即
，
由
平面
，
平面
，则
，
，
所以
，
，
在
中
，
所以
，则
，
所以
，则
，
所以
，则
，
所以
，则
，
综上，
，即
，对，
C：由B 分析，三棱锥的体积
，且
，
所以
且
，则
，
当
，则
在
上单调递增，
当
，则
在
上单调递减，
所以
，即
，三棱锥的体积最大，错，
D：
平面
，易知三棱锥外接球的球心在底面外心的正上方，且与
距离相等，
所以外接球半径
，又
，
当
，则
，当
，则
，所以外接球半径的范围是
，对.
三、填空题
8．（2026·浙江·三模）在
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，，且
，
，
，
则
的面积为___________.
【答案】
【分析】首先根据正弦定理及二倍角公式求出
的值，再求出
，
，
的值，利用诱导公
式及和角公式得到
的值，最后根据
的面积公式
进行求解.
【详解】因为
，
，
，
由正弦定理
得
，
即
，
即
，
因为
，
所以
，
即
，
因为
，所以
，
，
，
，
所以
的面积
.
9．（2026·甘肃嘉峪关·三模）在
中，
，
，
，角C 为钝角，则
________．
【答案】
【分析】根据给定条件求出角
，再利用正弦定理及平方关系求解.
【详解】在
中，由角C 为钝角，得角
是锐角，则
，
由
，得
，
，而
，
，
由正弦定理得
，而角C 为钝角，
所以
.
10．（2026·北京顺义·二模）在
中，
.
①若
，则
__________.
②若
为锐角三角形，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】①由正弦定理求解即可；②由余弦定理求解即可.
【详解】①由正弦定理:
,代入数据得
解得：
.
② 构成三角形，必有
，所以
若
为锐角三角形，则
，即
，
，
所以
，
，
，
代入数据得
，因为
，所以
，
综上所述，的取值范围是
.
四、解答题
11．（2026·福建泉州·模拟预测）在凸四边形
中，
，
，
，
，
，
，
交于点
.
(1)求
的值；
(2)设
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在
中用余弦定理求
；分别在
和
中求
与
的正余弦；利用
两角和公式得
；最后在
中用余弦定理求
；
（2）将
表示为向量
与
的点积除以模长；利用余弦定理将点积转化为边长平方差；代入已知数
值计算得结果.
【详解】（1）如图，在
中，由余弦定理得
，
所以
.
在
中，由余弦定理得
，
又
，所以
，
.
所以
，
所以
，
所以
.
（2）依题意，
，
又
所以
. 由（1）知
，
，
所以
.
12．（2026·湖北·三模）
内角
，
，
的对边分别为
，
，，满足
．
(1)求证：
；
(2)当角
取得最大值时，
的面积为
，求
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将
进行切化弦，利用正弦定理和余弦定理可得结论.
（2）求出
为锐角，利用余弦定理结合基本不等式得到
，此时
最大，利用平方关系得到
．
利用三角形的面积公式求出
的值．
【详解】（1）由
，可得
．
由正弦定理可得
．
故
．
由余弦定理可得
．
化简得
．
（2）因为角
取得最大值，所以
为锐角，
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
为锐角，
则
，
当且仅当
即
时取等号．
此时
最大，且
．
所以
．
解得
．
真题·实战演练
高频考点：正余弦定理的应用
一、单选题
1．（2024·北京·高考真题）已知
是平面直角坐标系中的点集.
设
是
中两点间距离的最大值，是
表示的图形的面积，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域
，结合图形分析求解即可.
【详解】对任意给定
，则
，且
，
可知
，即
，
再结合x 的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域
，
如图阴影部分所示，其中
，
可知任意两点间距离最大值
，
阴影部分面积
.
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，
见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确
把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
【答案】B
【分析】方法一：以
为基底向量表示
，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，
利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求
，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以
为基底向量，可知
，
则
，
所以
；
方法二：如图，以
为坐标原点建立平面直角坐标系，
则
，可得
，
所以
；
方法三：由题意可得：
，
在
中，由余弦定理可得
，
所以
.
故选：B.
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得
，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为
，即
，可得圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，
因为
，则
，
可得
，
则
，
，
即
为钝角，
所以
；
法二：圆
的圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，连接
，
可得
，则
，
因为
且
，则
，
即
，解得
，
即
为钝角，则
，
且
为锐角，所以
；
方法三：圆
的圆心
，半径
，
若切线斜率不存在，则切线方程为
，则圆心到切点的距离
，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为
，即
，
则
，整理得
，且
设两切线斜率分别为
，则
，
可得
，
所以
，即
，可得
，
则
，
且
，则
，解得
.
故选：B.
二、解答题
4．（2025·上海·高考真题）在
中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且
．
(1)若
，求a；
(2)若
，求
的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可；
（2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可；
【详解】（1）由正弦定理可得
即
，
又
，所以
，即
，解得
，
所以
.
（2）因为
，且
，
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
当
取最小值时，
取最大值，最大值
，
所以
的面积的最大值为
.
5．（2024·天津·高考真题）在
中，角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）
，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；
（2）法一：求出
，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出
，则得到
；
（3）法一：根据大边对大角确定
为锐角，则得到
，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；
法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.
【详解】（1）设
，
，则根据余弦定理得
，
即
，解得
（负舍）；
则
.
（2）法一：因为
为三角形内角，所以
，
再根据正弦定理得
，即
，解得
，
法二：由余弦定理得
，
因为
，则
（3）法一：因为
，且
，所以
，
由（2）法一知
，
因为
，则
，所以
，
则
，
.
法二：
，
则
，
因为
为三角形内角，所以
，
所以
6．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O，
，点F 在AC 上，
.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面BEF；
(3)求二面角
的正弦值.
【答案】(1)
连接
，设
，则
，
，
，
则
，
解得
，则
为
的中点，由
分别为
的中点，
于是
，即
，则四边形
为平行四边形，
，又
平面
平面
，
所以
平面
.
(2)
法一：由（1）可知
，则
，得
，
因此
，则
，有
，
又
，
平面
，
则有
平面
，又
平面
，所以平面
平面
.
法二：因为
，过点
作
轴
平面
，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在
中，
，
在
中，
，
设
，所以由
可得：
，
可得：
，所以
，
则
，所以
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，得
，
令
，则
，所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，得
，
令
，则
，所以
，
，
所以平面
平面BEF；
(3)
.
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形
为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点
作
轴
平面
，建立如图所示的空间直角坐标系，设
，所以由
求出
点坐标，再
求出平面
与平面BEF 的法向量
，由
即可证明；
（3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求
出平面
与平面
的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）略
（2）略
（3）法一：过点
作
交
于点
，设
，
由
，得
，且
，
又由（2）知，
，则
为二面角
的平面角，
因为
分别为
的中点，因此
为
的重心，
即有
，又
，即有
，
，解得
，同理得
，
于是
，即有
，则
，
从而
，
，
在
中，
，
于是
，
，
所以二面角
的正弦值为
.
法二：平面
的法向量为
，
平面
的法向量为
，
所以
，
因为
，所以
，
故二面角
的正弦值为
.
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求
,再由正弦定理求出
，根据等面积法
求解即可.
【详解】（1）
，
，即
，
又
，
，
，
，
即
，所以
，
.
（2）由（1）知，
，
由
，
由正弦定理，
，可得
，
，
.
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积为
，
为
中点，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出
，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积
公式求出
，作出
边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出
即可求解作答；方法2，利用向量
运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出
即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，
，由余弦定理得
，
即
，解得
，则
，
，
所以
.
方法2：在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
，有
，则
，
，过
作
于
，于是
，
，
所以
.
（2）方法1：在
与
中，由余弦定理得
，
整理得
，而
，则
，
又
，解得
，而
，于是
，
所以
.
方法2：在
中，因为
为
中点，则
，又
，
于是
，即
，解得
，
又
，解得
，而
，于是
，
所以
.
